精品解析：四川内江市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

内江一中2026年春季学期高2027届半期考试 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前项，则这个数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图象计算出、、、的值，进而可归纳得出数列的通项公式. 【详解】设第幅图中着色的三角形个数为， 由图形可得，，，， 据此可归纳得出该数列的一个通项公式为. 故选：A. 【点睛】本题考查利用观察法求数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题. 2. 已知函数在处的导数为，则等于（ ） A. －2 B. －1 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义，即可判断. 【详解】根据导数的定义可知. 故选：A 3. 已知数列中，，()，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得，，…，即是周期为3的数列，即可求. 【详解】由题设，知：，，，…， ∴是周期为3的数列，而的余数为1， ∴. 故选：D. 4. 如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极小值 D. 当时取得极大值 【答案】B 【解析】 【分析】利用导函数值的正负判断的单调区间，再确定函数的极值 【详解】时， ，此时在单调递减 时， ，此时在 单调递增 时，，此时在 单调递减 时，，此时在 单调递增 在处左增右减，故在时取得极大值 在处左减右增，故在时取得极小值 综上可知：B正确 故选：B 5. 若在内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由在单调递减，所以时恒成立列出不等式组求解可得答案. 【详解】，由在单调递减， ∴，∴，∴. 故选：A 【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，还考查了恒成立问题解决方法，考查转化能力，属于中档题． 6. 已知函数表示不超过的最大整数，，，数列的前项和为，则（ ） A. 673 B. 747 C. 769 D. 821 【答案】A 【解析】 【分析】用特殊值法，根据对数得运算对进行分类，从而求出前100项的和. 【详解】根据题意分析可得：，， ，， ，，，，， 所以． 故选：A 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将化简，然后分别对，和，进行作差，构造函数，利用导数判断出构造函数的单调性，通过单调性对作差结果的正负进行判断，从而比较出大小. 【详解】∵ ∴ 令 则，易知在区间单调递增，， ∴在区间单调递增， 又∵ ∴，即， ∴ 令 则，当时，， ∴在区间单调递增， 又∵ ∴，即， ∴， 综上所述，，，之间的大小关系为. 故选：A. 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ）． A. e B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，把，转化为在恒成立，令，求得，得出函数的单调区间和最大值，求得，即可求解. 【详解】由函数， 因为，即，即在恒成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，即为最大值， 所以，即，所以实数的最小值为. 故选：D. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据常见函数的导数及复合函数的导数判断即可. 【详解】对于A，常数的导数为0，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 10. 下列说法中，正确的有（    ） A. 已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列 B. 已知等差数列的前项和为，若，则 C. 已知等差数列与的前项和分别为与，若，则 D. 设为等差数列的前项和，，若，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义、前项和的性质、中项与前项和的关系，以及由不等式推导数列单调性，逐一验证选项的正确性. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，则 ，为常数， 故是等差数列，A正确. 对于B，在等差数列中，设公差为，则， 解得B正确. 对于C，在等差数列与中，若， 则，C错误. 对于D，由，得， 整理得，所以等差数列是递增数列. 又，所以，即数列的前7项为负值，即的最小值是，D正确. 11. 若点是函数f（x）的图象上任意两点，且函数f（x）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ） A. x1＜0 B. 0＜x1＜1 C. 最小值为e D. x1x2最大值为e 【答案】CD 【解析】 【分析】根据,分三种情况讨论: ,或.对函数求导,由导数的几何意义及函数在点A和点B处的切线互相垂直,即可得的关系,进而判断选项即可. 【详解】因为,点 所以 因为在点A和点B处的切线互相垂直 由导数几何意义可知, 在点A和点B处的切线的斜率之积为 所以时,满足,即.因为,所以 所以,所以A、B错误; 对于C,可知,令, 所以 令,得 所以当时, ,则在时单调递减 所以在时取得极小值,即最小值为,所以C正确; 对于D,可知 令, 则 令,解得 所以当时, ,则在时单调递减 当时, ,则在时单调递增 所以在时取得极小值,即最小值为. 当时取得最大值, ,所以D正确. 当时,满足,即 此方程无解,所以不成立. 综上可知,D为正确选项. 故选:CD 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果某物体做运动方程为的直线运动（s的单位为m，t的单位为s），那么其在1.2s末的瞬时速度为______m/s． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求解即可 【详解】由可得， 所以在1.2s末的瞬时速度为 m/s， 故答案为：． 13. 设数列{}的通项公式是其前项和为，则=______ 【答案】240 【解析】 【详解】由题意得 . 14. 已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有三个零点. 其中，所有正确结论的序号是_____________ . 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据图像及导数与函数单调性的关系判断出实的图像是的图像，虚的图像是的图像，对函数求导，利用导数与函数单调性的关系求解. 【详解】由图像可知实的图像在区间、、函数值分别为正、负、正，而虚的图像在区间、、分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实的是的图像，虚线是的图像. 所以①错误，②正确； 因为，即，由图可知恰有三个零点，故④正确； 又因为， 由图像可知、、时，，即， 又在区间上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 在区间上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 所以、、分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点 所以③正确 故答案为②③④ 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【答案】（1） （2），切点为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点为，由（1）得， 所以切线方程为， 因为切线经过原点， 所以， 所以，． 则， 所以所求的切线方程为，切点为． 16. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，求. 【答案】（1） （2）或21 【解析】 【分析】（1）由等差、等比数列通项公式基本量列方程组求解即可. （2）首先由得公比，结合得公差，由此即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由得：，解得（舍去），，于是. 【小问2详解】 由得，解得或. 当时，由得，∴； 当时，由得，∴， 综上所述，故或21. 17. 已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)答案见解析；(2) . 【解析】 【详解】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案； 解析：（1）∵ ∴ ∴， ∵，， ∴是以为首项，以4为公比的等比数列 ∴， ∴， ∴， （2）， ∴① ② ①-②得 ∴. 18. 已知函数 （1）求函数的极值； （2）在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像； （3）讨论关于x的方程的实根个数． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）当时，方程有唯一的实数根； 当时，方程有两个不同的实数根； 当时，方程无实数根. 【解析】 【分析】（1）求导得，分析单调性，得极小值，无极大值； （2）结合单调性、零点和极限趋势，画出函数图像； （3）将方程根的个数转化为函数与的交点个数，结合图像分情况讨论. 【小问1详解】 因为函数定义域为，，又恒成立， 当时，；当时，； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 当时，，，此时， 再结合（1）中分析，可得图象如下： 【小问3详解】 方程的根的个数等价于函数与的交点个数； 结合（2）中图象可知： 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与有两个不同交点； 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与无交点； 综上所述：当时，方程有唯一的实数根； 当时，方程有两个不同的实数根； 当时，方程无实数根. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明： （其中无理数） 【答案】（1）当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后分析分子的符号，分、、三种情况，讨论函数单调性； （2）取，利用单调性得，对乘积取对数放缩，再用裂项相消求和，证得不等式. 【小问1详解】 ， 当时， . 在单调递增，在单调递减. 当且的判别式， 即时对恒成立， 在上单调递减. 当时，由得：， 解得：. 由可得：或， 在上单调递增， 在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知当时，在上单调递减. 当时，， ，即 . . 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中2026年春季学期高2027届半期考试 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前项，则这个数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在处的导数为，则等于（ ） A. －2 B. －1 C. 2 D. 1 3. 已知数列中，，()，则等于（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极小值 D. 当时取得极大值 5. 若在内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数表示不超过的最大整数，，，数列的前项和为，则（ ） A. 673 B. 747 C. 769 D. 821 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ）． A. e B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的有（    ） A. 已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列 B. 已知等差数列的前项和为，若，则 C. 已知等差数列与的前项和分别为与，若，则 D. 设为等差数列的前项和，，若，则的最小值是 11. 若点是函数f（x）的图象上任意两点，且函数f（x）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ） A. x1＜0 B. 0＜x1＜1 C. 最小值为e D. x1x2最大值为e 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果某物体做运动方程为的直线运动（s的单位为m，t的单位为s），那么其在1.2s末的瞬时速度为______m/s． 13. 设数列{}的通项公式是其前项和为，则=______ 14. 已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有三个零点. 其中，所有正确结论的序号是_____________ . 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 16. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，求. 17. 已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 18. 已知函数 （1）求函数的极值； （2）在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像； （3）讨论关于x的方程的实根个数． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明： （ 其中无理数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $