四川省内江市第六中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C A D B C D ABC ACD ACD 4．A【详解】由，得，解得， 6．B 【详解】由题意可设①， 当时，，∴；当时，② ①－②相减可得，，∴． 当时，不满足上式．综上可知，数列的通项公式为． 7． C【详解】因为时，可化为 设，，，则， 所以函数在上的单调递减，因为，所以， 所以，即，所以.故选：C. 8．D【详解】因为，①当时，由可得，令， 则，由，可得或（舍）， 当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，且，无解； ②当时，由可得，令，则， 由，可得（舍）或， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 因为，因为，，如下图所示： 因为有且只有两个整数解使成立， 所以，，即.故选：D. 方法二：由题知有且只有两个整数解。设 如图：显然当且仅当,满足题意。解得 9．ABC 10．ACD【详解】数列的前项和，当时，，而满足上式，因此.对于A，，A正确； 对于B，，，则数列是公差为的等差数列，B错误；对于C，，数列的前项和为，C正确；对于D，， 则数列的前2025项的和为，D正确. 11．ACD【详解】A选项，，令得， 令，，则与有两个不同的交点，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，， 当时，恒成立，要想与有两个不同的交点，则，解得，A正确；BC选项，因为，所以， 画出与的图象如下： 令得， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，B错误，C正确； D选项，，故， 先证明，理由如下：因为，不等式变形为， 即，令，则，令，， 则恒成立，故在上单调递减， 故，所以，结论得证， 故，结合A选项，，D正确. 12． 13． 2 14． 【详解】设第个处理器发射的类信号数量记作，则，由题意，当时，第个处理器发射的类信号数量为，即当时，，当时，， 则， 故当时，，可得，又， 所以数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以..故答案为：；. 15．【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为， 由，，，，可得，， 解得：（负值舍去），---------------------------------------------------------------------------------------4分 则，；-------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （2），所以数列的前项和，----------8分 ，----------------------------------------------------------------------10分 两式相减可得， 即.-----------------------------------------------------------------------------------------------13分 16．【详解】（1）因为，所以， 因为在处取得极值，所以，--------------------------------------------------------4分 所以，解得，----------------------------------------------------------------------------6分 经检验，符合题意，--------------------------------------------------------------------------------------------------------7分 所以，； （2）由（1）知，所以， 令，得或，---------------------------------------------------------------------------------------9分 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，-----------------------------------------------------------------11分 所以函数的极小值为，极大值为，又，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为.-----------------------------------------------------15分 17．【详解】（1）由题意知，所以，---------------------4分 由于，故， 故，故数列是以3为首项，公比为3的等比数列；--------------------------------------------5分 所以，故----------------------------------------------------------------8分 （3）由（2）知．所以，--------------11分 故，----------------13分 由于，故，----------------------------------------------------------------------15分 18．【详解】（1）由题可得，令，得．-----------------------------------------2分 ①若，即， 故当)时，，在)上单调递减．----------------------------------------------------5分 ②若，则， 即当)时，，故在)上单调递增，在)上单调递减.------------8分 （2）法一：当时即恒成立，令，则， 令，则，所以在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得（☆），----------------------------------------------11分 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则．由（☆）得，设，则，易知在上单调递增，所以，得，-------------------------------------14分 （由，得，故），故， 因此，故的取值范围为．-----------------------------------------------------------------------------17分 法二：当时即恒成立，令，则，-------------------------10分 而，-----------------------------------------------------------------------12分 令，则，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故，即，当且仅当时取等号． 所以，即，-------------------------14分 所以，当且仅当时等号成立． 令，则在上单调递增，又，， 所以存在，使得，当时，取得最小值1． 因此，故的取值范围为．------------------------------------------------------------------------------17分 19. 【详解】（1）-----------------------------------------------------------------------3分 对于任意恒成立，则，从而.---------------------------5分 （2）由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾；-----------------------------------------------------7分 ②当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，----------------------------------------------------------------------------9分 因为恒成立，所以. 记， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以..(注：证明过程不扣分) 又，所以，所以.-----------------------------------------------------11分 （3）先证，设，则， 所以在区间上单调递减，所以，即.(注：证明过程不扣分) 所以，-------------------------------------------------------13分 再证.由（2）可知，当时等号成立， 令，则，即，-------------------------------------------------------15分 所以， 累加可得， 所以.-----------------------------------------------------------------17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$内江六中高 2026 届数学试卷第 1页（共 4 页） 内江六中 2024—2025 学年（下）高 2026 届半期考试 数学试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 第Ⅰ卷 选择题（满分 60 分） 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.） 1．已知函数� � = �′ 1 ⋅ �2 − ln�，则�′ 1 =（ ） A．1 B．−1 C．2 D．−2 2．已知数列 �� 是等差数列，�2 = 1，�3 + �4 = 5，则�10 =（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．函数�(�) = ln� − � + 1 的单调递增区间为（ ） A．(0, + ∞) B．( − ∞,1) C．(0,1) D．(1, + ∞) 4．记等比数列 �� 的前�项和为��，若 �10 �5 = 33 32 ，则公比� =（ ） A．1 2 B．− 1 2 C．1 2 或 1 D．− 1 2 或 1 5．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（ ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有A44A44种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有A33A55种不同排法 C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有A44A53种不同排法 D．如果女生不能站在两端，那么有A32A55种不同排法 6．已知数列 �� 满足条件 1 2 �1 + 1 22 �2 + 1 23 �3 +⋯+ 1 2� �� = 2� + 5，则数列 �� 的通项公式为（ ） A．�� = 2�+1 B．�� = 14(� = 1) 2�+1(� ≥ 2) C．�� = 14(� = 1) 2�(� ≥ 2) D．�� = 2 �+2 7．定义在 0,  π 2 上的函数� � ，�′ � 是� � 的导函数，且�′ � <− tan� ⋅ � � ，若 � = 2� π 3 ，� = 2� π 4 ，� = 2 3 3 � π 6 ，则�，�，�的大小关系为（ ） A．� > � > � B．� > � > � C．� > � > � D．� > � > � 8．已知� � = � � + 1 e� − 2�，若有且只有两个整数解使� � < 0成立，则实数�的取值范围为（ ） A． 4 3e2 , 1 e B． 4 3e2 , 1 e C． 3 2e3 , 4 3e2 D． 3 2e3 , 4 3e2 内江六中高 2026 届数学试卷第 2页（共 4 页） 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9．从 40 个能歌善舞的人中选择 15 个人参加艺术节表演，其中 7 个人唱歌，8 个人跳舞，共有多少 种选择方式，下列各式表述正确的为（ ） A．C4015C157 B．C407 C338 C．C408 C327 D．C157 C258 10．记数列 �� 的前�项和为��，且�� = �2 + � � ∈ �* ，则（ ） A．�3 = 6 B．数列 �� �� 是公差为 1 的等差数列 C．数列 1 �� 的前�项和为 � �+1 D．数列 −1 ��� 的前 2025 项的和为−2026 11．若函数�(�) = � − 1 2 � ∙ (ln�)2, (� ∈ R)有两个极值点�1，�2，（�1 < �2）则下列说法正确的是（ ） A．� > e B．� �1 < 1 C．� �2 < e 2 D．�1 + �2 > 2e 第Ⅱ卷 非选择题（满分 92 分） 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．用数字 1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有 个．（用数字作答） 13．过点 0, − 2 作曲线� = � − 1 � 的切线的斜率为 ． 14．现有 n 个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号 ——发射新信号．当处理器接收到一个 A 类信号时，会产生一个 A 类信号和一个 B 类信号并全部发 射至下一个处理器；当处理器接收到一个 B 类信号时，会产生一个 A 类信号和两个 B 类信号，产生 的 B 类信号全部发射至下一个处理器，但由接收 B 类信号直接产生的所有 A 类信号后只发射一个 A 类信号至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个 A 类信号至第二个处理器，按上述规则依次类 推，若第 n 个处理器发射的 B 类信号数量记作��，即�1 = 0，则�4 = ；当� ≥ 2时，数列 �� 的通项公式�� = ． 内江六中高 2026 届数学试卷第 3页（共 4 页） 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．(13 分)已知 �� 是等差数列, �� 是各项都为正数的等比数列.且�1 = 2,�1 = 1,�3 + �2 = 8,�2 = �3． (1)求 �� ， �� 的通项公式； (2)求数列 �� ⋅ �� 的前�项和��； 16．(15 分)已知函数� � =− �3 + ��2 + ��在� =− 2处取得极值−8. (1)求实数�，�的值 (2)求函数� � 在区间 −3,3 上的最大值和最小值 17．(15 分)已知数列 �� 中，�1 = 7 2 ，且满足��+1 − 3�� + 1 = 0（� ∈ �∗）． (1)证明：数列 �� − 1 2 为等比数列； (2)求 �� 的通项公式； (3)令�� = 3� ��⋅��+1 ，��为数列 �� 的前 n 项和，证明：�� < 1 7 ． 内江六中高 2026 届数学试卷第 4页（共 4 页） 18．(17 分)已知� � = ln�+� � ，� � = e� − �(�, � ∈ �)． (1)讨论函数� � 在[1, + ∞)的单调性； (2)当� = 1 时，若� � ≥ � � 恒成立，求�的取值范围． 19．(17 分)已知函数� � = ln � + 1 − �� �+1 . (1)若函数� � 在 −1,2 单调递减，求�的范围； (2)若� � ≥ 0恒成立，求�的值； (3)求证：sin 1 �+1 + sin 1 �+2 +⋯+ sin 1 2� < ln2 � ∈ �* ．