四川省南江中学2025-2026学年高二下学期期中测试数学试题

**基本信息** 聚焦函数、数列、几何等核心模块，通过梯度化问题设计考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，解答题综合度高，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|函数导数、数列、极值点、命题真假|第7题以零点个数考查数学眼光，第8题抽象函数不等式体现逻辑推理| |选择题（多选）|3/18|导数应用、数列与前n项和、函数性质|第11题结合方程根与切线考查数学思维的严谨性| |填空题|3/15|切线方程、数列求和、切线与圆相切|第14题切线与圆相切综合几何直观与运算能力| |解答题|5/77|函数单调性与恒成立、立体几何证明与线面角、椭圆方程与直线问题、数列综合、导数极值点|第19题三问递进，结合极值点与不等式考查数学语言表达与创新意识，贴合高考命题趋势|

高二下半期考试数学参考答案 、 选择题 题号 1 2 4 6 9 10 11 答案 D B y D B B A BD AD BCD 二、填空题 1 12.2x-y+1=0; 13. 56: 14.2m. 三、解答题 15.解：(1)因为f(x)=x3-3x2-9x+1(x∈R), 则f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 2分 令f'(x)=0,可得x=-1或x=3,列表如下： (-0,-1) -1 (-1,3) (3,+0) f'(x) 0 0 f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数f(x)的增区间为(-0，-1)，(3，+∞)，减区间为(-1,3)， 5分 f(x)的极大值为(-1)=-1-3+9+1=6，极小值为f(3)=27-27-27+1=-26..7分 (2)由(1)可知，f(x)在区间[-2，-1]上单增，在[-1,3]上单减，在[3,4]上单增，8分 且f(-2)=-8-12+18+1=-1,f(3)=27-27-27+1=-26, 故当xe[-2,4]时，f(x)mn=mim{f(-2),f3y=3)=-26, 10分 因为2a-1≤f()对x∈[-2,4]恒成立，则2a-1≤fx)m=-26,解得a≤- 25 2, 12分 因比，实数a约取位随用是-引 13分 16.解：(1)证明：连接DB,由题知AB=AC1,E是BC1的中点，∴.AE⊥B,C1分 AD⊥平面ABC,而平面ABC/1平面AB,C,∴AD⊥平面ABC, 1 又BC1C平面ABC,.AD⊥BC1. 3分 又ADOAE=A,AD,AEC平面ADE,∴.BC1⊥平面ADE, 5分 又DEc平面ADE,.B,C1⊥DE. D,E分别是BC,C的中点，.DEIBB,∴.BC⊥BB. ∴.侧面BCCB为矩形. 7分 另：也可先证明BC⊥平面ADEA. (2)连接AD,以D为坐标原点，直线DB,AD,DA分别为x,,z轴建立如图所示的空间直 角坐标系 8分 易知4E=AD=√2，AD=14,BC=2W2, ZA B ∴A0,-2,0）,C(V2,0,0）,4(0,0,14),E(0,2,14,9分 ∴C4=(2,0,14),CE=(2,V2,14),A4=(0,V2,14), 设平面ACE的一个法向量为i=(x,y=), D市 B 叫 C4·i=√2x+√14：=0 哑i=V2x+24vi4:=0取i=(V5,0-1. ..11分 cos(44,= A4·元-14_√万 A4园4×⑧8 14分 水sa训号 ·直线A4与平面ACB夹角的正弦值为 8 15分 另：若以DA、DB、DA1分别为x,y,三轴建系时，平面ACE的一个法向量为 i=(0,-√7,1，A4=(-20,14). 17.解：(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0),则(-c,0),E(c,0), 2-02 因为直线AR,AR的斜率之积为-4，所以-22：-4，解得c=1. 2分 cC 2 因为B+Br=2w2,利用椭圆定义可得椭圆长轴2a=22,解得a=√2， 3分 则b=√a2-c2=1. 4分 所以C的方程为 +2=1. 5分 (2)由已知得过点A(0,2)且满足题意的直线1的斜率存在，不妨设1：y=x+2,6分 餐v消去y得2x+x+8+6三0 y=+2 令△=(8-4x6x(2+1>0,解得2>是 -8k 6 设D(5),E(5,),则+名2水+2+' 9分 因为以DE为直径的圆经过点O,所以OD.OE=0,即xx3+2=0, 所以x5+(+2)(+2)=0,即(k2+1):x2+2k(3+x2)+4=0, 所以++24=0， 2k2+1 12分 整理可得2-10=0即公=5，满足>2，解得k=5, 14分 所以直线1的方程为y=±V5x+2: 15分 18.解：(1)设等差数列{an}的公差为d, 2a +a+d=a +3d 所以 s=5a+10d=4(4+2d0+3解得a=d-1, 2分 所以a,=a4+(n-1)d=1+(n-1)x1=n, 所以an=n, 3分 由Tn=2b.-2，,当n=1时，T=2b-2=b,解得b=2, 当n≥2时，由Tn=2b.-2有T-1=2bn-1-2, 所以b.=Tn-T=2b.-2-(2b1-2)=2bn-2b1,即b.=2b1,5分 所以数列b}是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以b=g-1=2×2m-1=2”, 3 所以b=2”: 6分 设数列{cn}的前n项和为A 7分 所以4=+e+**e=12[日++-日+m[固旷@， 4-1261w”e 8分 0-@:4([公w 9分 =1-+2 2n+ 11分 所以4=2-+2」 20 12分 (3)令e=(-1”G=(-1)x, 所以en=（-1)×(2m=(2n3,e1=(-121×(2n-1)2=-(2n-12 所以en+e2m1=(2n2-(2n-1)}=(2n+2n-1)[2n-(2n-1)]=4n-1, 13分 所以 3m=(%+6)+(e+e4)++(e+e)=4×1-1+4×2-1++4-1 =3+7+11+…+-1-n3+4n-)=M2+, 2 15分 又乃m>2026, 因为2=2×(31)°+31=1953<2026，L4=2×(32)}+32=2080>2026, 所以n的最小值为32 17分 19解：（1)由fc)=r-1-4血(1+x)得f(x)=2x-,4-2+2x- 1+x1+x 1(x>-)2分 当-1<x<1时，f'"(x)<0:当x>1时，f'(x)>0, 3分 4 所以，f(x)在(-1,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增； 4分 (2)当a=2时，不等式可化为x2-1+2ln(1+x)+x+2≤be+nb, 变形为x2+2x+1+2hn(1+x)≤be+hb+x即(x+1)'+h(1+x≤be+lh(be） 6分 同构函数g0=t+血t,求导得g)=1+子>0，所以g)=1+hf在(0，+)上是增函数 所以原不等式可化为8(x+1)sg(be), 根指体调件可得(+广sc台6≥ate61+四 8分 有将=，测-2-c旷E-二1回 (e) 当e10时，M-0,当=Lo、r网0 e h(x)在(-1,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以(+4.即满足不等式成立的b≥ e 所以办的最小值为号 10分 (3)因为f(x)存在两个不同的极值点，为，<x, 所以由f(x)=2x+,a-2+2x+0=0可得： 1+xx+1 1 △=4-8a>0→a<5+5三15=7 11分 因为>1，而y=20+2+a的对将第是x=分，所以可得-1<<-号 根据对称性可得另一个零点<0，此时有5号03a>0, 12分 故0<a<行又由fs)<ms且<0可得m<), 而儿飞)_￡-1+am+1-5+251-)n1+）1-+2xn0+)…l13分 X2 -1-x1 -1-为 令a(=1x+2xh0+xxe（l- 则回)1+2h0+r22h+=1名2h. 1+x1+x 因为(1引所以1（即子=to)n+0, 则p)=1-2+2h(1+x)<0, x+1 即p(y)=1-x+2.xhn(1+x)在区间 上单调递减， .15分 所以有e)1-+2xn0+>分} 13 -ln 2-2 +n2, 画f1-+2x(0+5)号a2.则m≤+h2 3 2 所以实数mu取值范国←，子+h] 17分 6 南江中学2025-2026学年高二下学期期中测试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 命题人：张桂华 审题人：虎忱 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的通项公式为，则使得前项和最小的的值为（    ） A． B． C． D． 3．函数的导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数的极大值点为（    ） A． B． C． D． 4．已知等比数列中，，，则公比为（    ） A． B．2 C． D．4 5．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知，设函数的零点个数为，则＝（    ） A．75 B．120 C．210 D．240 8．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的有（     ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 10．记为数列的前项和，已知则（    ） A．2026是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 11．对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B．不存在，使得直线与曲线相切 C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，则曲线在处的切线方程为__________. 13．已知数列的前项和为，则__________. 14．已知函数的图象在点（其中）处的切线与圆心为的圆相切，则圆的最大面积是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数． (1) 求函数的单调区间和极值． (2) 若对恒成立，求实数的取值范围． 16．如图，在三棱柱中，平面，，，分别为，的中点． (1) 证明：侧面为矩形； (2) 若，求直线与平面夹角的正弦值． 17．已知椭圆的左右焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点是上任意一点，． (1) 求的方程； (2) 过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 18．已知等差数列前项和为．数列前项和为，． (1) 求数列和的通项公式； (2) 求数列的前项和； (3)若数列的前项和为，且，求的最小值． 19．已知函数， (1) 当时，讨论函数单调性； (2) 当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (3) 若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 高二数学 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $