精品解析：辽宁省沈阳市实验中学2025-2026学年高二下学期期中数学试题

辽宁省实验中学2025-2026学年度下学期期中阶段测试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题校对：28届1部数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令导数小于零求解． 【详解】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 2. 从某市参加升学考试的学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ） A. 总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩 B. 样本是指名学生的数学成绩 C. 样本量指的是名学生 D. 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体、样本、样本容量和个体的定义直接判断选项即可. 【详解】总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，A正确； 样本是指名学生的数学成绩，B正确； 样本量是，C错误； 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，D正确. 故选：C 3. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可. 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 4. 若，，则事件A与B的关系是（ ）. A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B对立 C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B互斥又相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】先计算，再结合相互独立事件、互斥事件的判定定理即可得出结论. 【详解】因为， ，所以事件A与B相互独立. 又，所以，所以事件A与B不互斥. 故选：C. 5. 已知等比数列前项和满足，数列是递增的，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列前n项和公式，递推前三项，利用等比中项的性质计算参数A，再根据数列的单调性得，结合n的属性计算即可. 【详解】因为等比数列前项和满足，所以， ，， 因为等比数列中，所以， 解得或（舍去），所以， 因为数列是递增的， 所以，所以， 因为，所以. 故选：C． 6. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 7. 已知正项数列满足，当最大时，的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，取对数并构造函数，利用导数确定取最大值的条件，进而确定数列单调性求出最大项. 【详解】正项数列中，，令，显然， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此当时，数列递增，当时，数列递减， 而，且， 则，当最大时，的值为5. 8. 已知数列中，，，记，，，给出下列结论：①；②；③；④，则这4个结论中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先由递推式比较与的大小，得到，从而判断数列单调递增．再结合和递推式证明对任意，都有． ①：令，把原递推式转化为，再利用推出，进而得到关于的比较关系，判断①是否成立． ②：直接由递推式整理出的表达式，再利用判断该式的符号，从而判断②是否正确． ③：先借助①中得到的关系估计的大小，再利用数列单调递增，把与联系起来进行比较，判断不等式是否成立． ④：把写成，再利用的范围判断每一项与1的大小关系，从而推出，④正确． 【详解】由，，得 . 所以数列单调递增． 又因为 ，若，则 . 所以由递推可知，对任意，都有. ①令，则. 因为，所以 . 又，所以 . 从而，即. 因为，所以．故①错误． ②由递推式得 . 整理得. 因为，所以 . 所以 . 故②正确． ③由上面①的判断可知，．又因为数列单调递增，所以当时，. 于是. 即. 而 . 所以 .故③错误． ④由，，得. 又因为 . 所以. 故④正确． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列计算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据求导运算规则逐项计算即可判断各选项. 【详解】选项A， ，正确. 选项B，是常数，常数的导数为，不是，错误. 选项C，根据商的求导法则：，这里；，分子计算得： 因此，正确. 选项D，根据复合函数求导法则：，，， 因此：，D中遗漏了内层导数，错误 10. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A：利用平均数公式计算新样本平均数，再利用方差公式分析方差变化；选项B：结合回归直线必过样本中心点，先计算原样本的中心点，再去除异常点后计算新的样本中心点，验证是否为给定的点；选项C：结合正态分布关于均值对称，利用对称性求出和，再计算；选项D：将数据排序，再根据百分位数的计算规则确定位置，进而找到对应数值. 【详解】选项A，设原样本有个数据，原平均数，总和为； 添加数据后，新总和为，新平均数，平均数不变. 当原方差为0时，每个数据为3，由新增数据也为3， 可知新方差； 当原方差不为0时，原方差， 新方差，方差变小，错误. 选项B，原回归直线必过原样本中心点，代入， 得原. 原10个点总，总；去掉异常点后， 新样本中心点：，，即新中心点为， 回归直线必过样本中心点，正确. 选项C，，正态曲线对称轴为，， 则，由对称性得， 因此： ，错误. 选项D，将数据从小到大排序：，共个数据， 计算，不是整数，根据百分位数计算规则， 向上取整得第个数据为第70百分位数，第6个数据，正确. 11. 已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（ ） A. B. 数列是以2为公比的等比数列 C. 对任意的， D. 的最小正整数n的值为15 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题设的递推关系可得，从而可得，由此可得的通项和的通项，从而可逐项判断正误. 【详解】由题设可得， 因为，，故， 所以，所以， 所以，因为，故， 所以，所以为等比数列， 所以即，故，故A错，C错. 又，故， 所以，即是以2为公比的等比数列，故B正确. ， ， 故的最小正整数n的值为15，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛： 题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D是否成立时注意先考虑的值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出事件的对立事件和事件包含的样本点个数，再利用求解即可. 【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种． 事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种， 事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种； 乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种； 共种事件， 所以． 13. 已知函数，且曲线在点处的切线方程为.则曲线上点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为______. 【答案】6 【解析】 【详解】将化为斜截式，可知该切线斜率为， 由题可知该切线过点，则，即，则有， 对求导得，即， 联立解得，即. 因为，所以点处的切线方程为， 即. 令，得到，故切线与直线交于点， 令，得到，故切线与直线交于点， 则点处的切线与直线所围成的三角形面积为：. 14. 设数列的前项和为，，且对任意的都有.若存在，使得，则实数等于______. 【答案】15或-14 【解析】 【分析】通过递推得到相邻项的关系，进而分析数列的奇数项和偶数项的规律，判断其为等差数列，再利用数列的通项公式求出前项和的表达式，再结合建立关于的方程，求解. 【详解】由前项和定义：，已知，因此. 已知对任意，， 当时，有，两式相减得： ，因此数列的奇数项、偶数项均为公差为2的等差数列. 由，得，可得通项： 奇数项：， 偶数项：. 根据，分两种情况： 情况1：为奇数，设，则，得. 此时为偶数，分组求和： ， 令，得方程，解得正根，因此. 情况2：为偶数，设，则，得. 此时为奇数，分组求和得：， 代入，得方程，解得正根，因此. 综上，或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各100人，整理得到列联表如下． 《红楼梦》 《三国演义》 男生 30 70 女生 60 40 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关？ （2）已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关 （2）分布列： 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用公式计算，对照临界值表下结论； （2）依题意，根据二项分布的概率公式求解概率，由此能求出的分布列和期望． 【小问1详解】 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，可以认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关． 【小问2详解】 由题可知，的所有可能取值为0，1，2，3， 选择《红楼梦》的学生是女生的概率为，所以． 所以， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 所以． 16. 已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以k余数为s的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为. （1）求； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，进而可得，结合等差数列求和公式运算求解； （2）利用错位相减法直接求和即可. 【小问1详解】 因为，可知（满足除以3余数为1），当时，为3的倍数， 进行操作，即删除，剩余， 则，可得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 则， ， 两式子相减可得， 则，得到. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在内的最大值为2，求的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增. （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）求导，分、、、四种情况讨论； （2）结合第1问的单调性求出最值即可； （3）利用参变分离求最值即可. 【小问1详解】 求导得， 当时，，则，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 当时，，则，得或，，得， 则在内单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则，得或，，得， 则在区间内单调递减，在和上单调递增， 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在内单调递增， 则，解得与矛盾； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 令则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. 【小问3详解】 由可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 18. 已知数列的前项和，设数列满足 （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2026项和. 【答案】（1）， （2） （3）2646 【解析】 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）计算可得到的项数，则可得时，共有项，则最后10项都为，再借助分组求和法与等差数列求和公式计算即可得前2026项和. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，，符合上式，故； 由，则， 则时，有， 故，即； 当时，，符合上式，故； 【小问2详解】 ， 则； 【小问3详解】 ：，1，，，，，3，3，3，，…，，…， 从到共有项， 所以，当时，， . 19. 甲乙两个人进行一次迷宫游戏，两个人在两个房间内游走.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.甲从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟甲乙两人都在一个房间，那么下一分钟乙必定移动到另一个房间，否则乙从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，甲在0号房间，乙在1号房间.设在第分钟时，甲乙两人在0号房间的概率分别为，. （1）求第1分钟时，甲乙两人所在房间号之和为1的概率； （2）求，的通项公式. （3）若为等比数列，求，的值. 【答案】（1）0.5 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据房间号之和为1的情况是甲在0号乙在1号，或甲在1号乙在0号，所以需分别计算这两种情况的概率再相加； （2）根据甲在第分钟和第分钟在0号房间的概率关系，建立关于的递推公式，再利用递推数列求通项的方法求解；先分析第分钟甲乙同房间、不同房间的概率，再结合乙的移动规则建立的递推公式，进而求通项； （3）根据等比数列的定义，即后项与前项的比值为常数，结合（2）中得到的、的通项公式，建立关于、的方程求解. 【小问1详解】 初始条件：第0分钟，甲在0号，乙在1号， 故（甲在0号概率），（乙在0号概率）. 甲第1分钟在0号概率：（留在原房间），甲在1号概率为 ； 第0分钟甲乙不同房间，故乙移动或留房概率均为0.5， 乙第1分钟在0号概率：，在1号概率为. 房间号之和为1即一人0号一人1号， 概率为：. 【小问2详解】 ①求：由题意，， 当时，甲在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为 ； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为 ， 所以 ，则 ， 又因为 ，所以数列是首项为，公比为的等比数列， ，满足上式也满足题意，则. ②求，乙第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟甲和乙都在1号房间，乙转移到0号房间的概率为 ； 上一分钟甲在0号房间，乙在1号房间，乙转移到0号房间的概率为 ； 上一分钟甲在1号房间，乙在0号房间，乙仍在0号房间的概率为 ； 所以 ， 整理可得， 因为， 所以， 即， 又因为 ，所以数列是首项为， 公比为的等比数列，则， ，满足上式也满足题意，则. 【小问3详解】 设,由（2）可得： ， 若数列为常数列，则应满足且，即且，显然不成立； 若数列不为常数列，因为为等比数列，其通项公式中至多含有一个指数项，且常数项为0，故有： 情况一：当 且 时，解得. 情况二：当且时，解得. 综上， 或 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验中学2025-2026学年度下学期期中阶段测试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题校对：28届1部数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 2. 从某市参加升学考试的学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ） A. 总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩 B. 样本是指名学生的数学成绩 C. 样本量指的是名学生 D. 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩 3. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则事件A与B的关系是（ ）. A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B对立 C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B互斥又相互独立 5. 已知等比数列前项和满足，数列是递增的，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知正项数列满足，当最大时，的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知数列中，，，记，，，给出下列结论：①；②；③；④，则这4个结论中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列计算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； 11. 已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（ ） A. B. 数列是以2为公比的等比数列 C. 对任意的， D. 的最小正整数n的值为15 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 13. 已知函数，且曲线在点处的切线方程为.则曲线上点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为______. 14. 设数列的前项和为，，且对任意的都有.若存在，使得，则实数等于______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各100人，整理得到列联表如下． 《红楼梦》 《三国演义》 男生 30 70 女生 60 40 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关？ （2）已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以k余数为s的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为. （1）求； （2）设数列满足，求数列的前项和. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在内的最大值为2，求的值； （3）若，求的取值范围． 18. 已知数列的前项和，设数列满足 （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2026项和. 19. 甲乙两个人进行一次迷宫游戏，两个人在两个房间内游走.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.甲从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟甲乙两人都在一个房间，那么下一分钟乙必定移动到另一个房间，否则乙从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，甲在0号房间，乙在1号房间.设在第分钟时，甲乙两人在0号房间的概率分别为，. （1）求第1分钟时，甲乙两人所在房间号之和为1的概率； （2）求，的通项公式. （3）若为等比数列，求，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $