第42期 平面图形变换的简单应用-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（湘教版·新教材）

口流心需等十跸盖·烘丹 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 马ALEP联e. 海一儿EE8度款 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 第40期2版 (z)花县CP-8.CE-4.液里汉PCE8国发 .厅制型川克EDAA.上A。21图扣)20L(2 21 / AB.m.仙涤色小、m店：EAB//BC.E杂1人L-600.装1B.:CA! 20.(8分)机图LB.汉AAAC党片C川量计斗T梦20C石茗装 19.(83)m图17。-个G建族保开业8食功。测8 参考答案 4.5垂线 1.C;2.C: 3.35:4.26 5.(1)(2)图略；(3)0P (4)PH<C0.理由略 6.(1)122°. (2)略 4.6两条平行线间的距离 1.B;2.B;3.5 42或8.5.略. 第40期3,4版 参考答案 -、1.A;2.C; 3.B;4.B; 5.D: A: 6. 7.A 8.C NC-72° LD,AABE 9.D;10.B. 二、11.垂线段最短 12.线段BD的长度； 13.115: 14.∠2=∠3； 15.110°或130°： 16.110°或70°. 00有纱。 三、17.(1)略 (2)垂线段最短 (3)4. D话食2：7。G8-2.派gP8休度： 22.102) 18.略 19.略 (3)川图22。ACHE磊用ARCE党扬乐E移虹北中T戲舒 (2)无图2]分供证共！明价高： )系来8面Z2Bk.y-DhbL.B-EC话Z:汉C a 2X2M茶·。Z.C.D越冰裕店：AECE草共AME功能乐P鸡盘活 (0Sn5360).EP/VaB.kn物镇： 各。冲！与rg度各。说共B.C.D年-金商珠七)·保华一集琴机具门 20.证明略 21.证明略 22.(1)90,140,70,160. 一三确定热机图20秒价有想效（所） (2)图略.∠E0F =20 3 (1) (2)6 (3)3 24.(1)0P⊥CD.理由略 (2)30 (3)与2∠E0F度数相等 的角有 ∠AOD,∠BOC ∠FON,∠EOM. 第41期参考答案 -、l.B;2.C;3.A 4.B: 5.D;6.B;7.B; 8.C; 9.D:10.C 二、11.135°； ∠C= ∠D(答案不唯 13.30°； 14.北偏东54： ,56°；16.6或43.5. 三、17.(1)图略，垂线 KCOB8度教火 i00-120° 段最短： (2)图略 18.CM∥DN.理由略 19 30° 20.60° 21.两直线平行，内错角相等 已知； ∠GHD;等量代换 同位角相等，两直线平行 ∠FNG; 一委集一有货20E8高有所质效在际0沙。 24.(l22)图23.0小B- 两直线平行，同旁内角互补 MG∥FN; 两直线平行，同旁内角互补； 同角的补角相等 22.(1)略. (2)70°. 23.略. 24.(1)略. (2)①∠MEN=120 ∠MFN=30 ②∠E=180 -2a 用用 Q厦口锈装UE商合H. (3)245°. 口一隙十哔盖·腾丹当 数评极 2026年4月21日·星期二 初中数学 第 42期总第1186期 (湘教七年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 题型空间 轴对称图形和成轴对称图形是“亲兄弟”， 入门向导 ì称变换 相貌比较相近，但二者之间既有区别又有联系， 因而同学们在学习这两个概念时，容易相互混 走进轴对称的 应用体验 淆.请同学们一起进入轴对称的“直播间”，对这 两个概念进行比较和辨析 “直播间” 一、区别 ◎湖南邓爱华 ◎四川武晓东 、求角度 1.定义不同 二、联系 1.轴对称图形和成轴对称图形都有对称轴 例1如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直 线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么 都是沿对称轴折叠后能够完全重合， =90°，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B 1这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的 2.如果把轴对称图形被对称轴分成的两部 的对称点是点B',∠BAD=40°，则∠CAB'的度 对称轴. 分看成两个图形，那么这两个图形关于这条直 数为 成轴对称图形：如果两个平面图形沿一条 线成轴对称：如果把两个成轴对称的图形看成 直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形 一个整体，那么它就是一个轴对称图形.可见， 成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 它们在一定的条件下，可以相互转化，由轴对称 图形的性质能研究成轴对称图形的性质， 2.图形个数不同 轴对称图形是对一个图形而言，即一种具 三、典例精析 A.10° B.20° 有特殊性质的图形，它能被一条直线分割为两 例 下列图形中，是轴对称图形的是 C.30 D.409 部分，沿这条直线折叠后，其中一部分能与这个图 分析：利用轴对称的性质得出∠BAD=形的另一部分互相重合 ∠B'AD,再根据角之间的关系即可求出∠CAB 成轴对称图形是对两个图形而言的，是指两个 的度数 图形之间的关系，这两个图形沿一条直线对折后能 解：因为△ADB与△ADB'关于直线AD对够完全重合 解析：根据轴对称图形的定义即可作答 称，点B的对称点是点B', 3.对称点不同 故选B. 所以∠BAD=∠B'AD=40° 轴对称图形的对称点在同一个图形上 例2 下列图形中，左、右两个图形成轴对 因为∠BAC=90° 成轴对称图形的对称点分别在两个图形称的是 (填序号) 所以∠CAB'=∠BAC-∠BAD-∠B'AD上 =109 4.对称轴的条数不同 VN 1I 33 故选A. 轴对称图形不一定只有一条对称轴.如：长 ① ② ③ 二、求周长 方形有两条对称轴，而圆有无数条对称轴 解析：根据两个图形成轴对称的概念作答 成轴对称的两个图形只有一条对称轴。 故填①② 例2如图2，等边三角形 4BC的边长为1cm,D,E分别是 ○名师课掌幻 在这条垂线上截取BA'=BA,即得点A的对应 AB,AC上的点，将△ADE沿直 点A'; 线DE折叠，使点A落在点A' 旋转作图 (2)过点B作BC的垂线，并在这条垂线H 处，且点A'在△ABC外部，求阴 截取BC'=BC,即得点C的对应点C'; 影部分图形的周长 “两境” (3)连接A'C',则△A'BC'就是所求作的三 分析：由折叠知，直线DE是△ADE和 角形. ⊙河北丁艳芳 △A'DE的对称轴，根据轴对称的性质知，AD= 二、三个要素不完整 作出一个图形绕定点旋转某一角度后的图 A'D,AE=A'E,由此可知阴影部分图形的周长 例2如图3，△ABC绕点O按顺时针方向 形的关键是抓住图中的每一个点都绕着旋转中 等于等边三角形ABC的周长. 旋转某个角度后，顶点A的对应点为'，试确定 解：因为△ADE和△A'DE关于DE对称， 心按相同的方向旋转了同样大小的角度，而且 点B,C的对应点的位置，并画出旋转后的三 对应点到旋转中心的距离相等. 所以AD=A'D,AE=A'E. 角形 因此，要作出旋转后的图形，必须具备三个 所以阴影部分图形的周长为： 要素：旋转中心、旋转角和旋转方向.根据题目 A'D BD +BC +A'E CE 特点，将旋转作图的两种情形解析如下，供同学 AD BD BC +AE CE 们参考. AB BC AC 3(cm). 一、三个要素都具备 三、求面积 例1如图1，在△ABC中，∠C=90°，以点 例3如图3，正方形 B为旋转中心，按顺时针方向把△ABC旋转90° 解析：如图4，(1)连接A0和A'0,可得旋转 ABCD的边长为4cm,求阴影部 请作出旋转后的三角形. 角为∠AOA'; 分的面积. (2)连接B0,以点0为顶点，在B0的上方 分析：根据轴对称的性质 B 图3 知，阴影部分的面积是正方形 作∠B0B=∠AOM',且使OB′=OB: 面积的一半 (3)连接C0,以点0为顶点，在C0的上方 解：阴影部分的面积为： 作∠C0C=∠A0A',且使0C'=0C: (4)连接C'A',C'B',4'B,则△'BC就是 2×4×4=8(cm2). 解析：如图2，(1)过点B作AB的垂线，并所求作的三角形 2 素养专练 数理招 5.1.1轴对称图形 1.下列图形中，是轴对称图形的是 图6 A D 图4 2.下列“数字”图形中，没有对称轴的是 5.如图5，△ABC和△ADE关于直线MN对 5.3图形变换的简单应用 称，BC与DE的交点F在直线MN上. 1.下列各图中，既可经过平移，又可经过旋 (1)图中点D的对应点是点 ,AE的 转，由图形①得到图形②的是 对应边是 (2)若∠DAE=108°，∠EAF=39°， 3.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方 ·∠DAC的度数 出函出密 B 块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图 2.如图1，在4×4的正方形网格中，三个阴影 形的是 小正方形组成一个图案，在这个网格图中补画 A.吉 B.祥 C.如 D.意 个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组 4.如图1所示的轴对称图形有 成的图形为轴对称图形，则符合条件的不同的画 条对称轴 法有 5.请画出图2中的各个轴对称 A.1种 B.2种 图形的对称轴. C.3种 D.4种 图2 6如图3，是小明用棋子摆成的字母“T”,它 5.2旋转 客1 图2 的主要特点是轴对称图形.请你再用棋子摆出两 1.下列选项中，不能由图1在同一平面内经 3.如图2，在正方形网格中，图2-①经过 个轴对称图形的字母（用“O”代表棋子）： 过旋转得到的是 变换（填“平移”“旋转”或“轴对称”）可 o00oo 以得到图2-②；图2-③是由图2-②经过旋转 变换得到的，其旋转中心是点 (填“A”或 “B”或“C”) 4.认真观察图3中阴影部分构成的图案，回 2.如图2，△A0B绕点0逆时针旋转65°后得 图3 答下列问题， 到△COD,若∠A0B=30°，则∠BOC的度数是 ( A.25° B.30° C.35° D.65° 图3 (1)请写出这四个图案都具有的一个共同特征： 5.1.2轴对称变换 (2)请在图4中设计出一个图案，使它也具备 1.如图1，已知△ABC与 你所写出的特征 △DEF关于直线m对称，那 图2 图3 么线段AC关于直线m的对 3.如图3，若正方形EFGH是由正方形ABCD 应线段是 绕图中某点顺时针旋转90°得到的，则旋转中心 A.线段AB 应该是 点 B.线段DF 4.如图4，点A,B,C,D,0都在方格纸上，若 C.线段DE + 图4 △COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而 D.线段EF 5.如图5，按要求涂阴影： 得，则旋转的角度为 2.如图2所示的每组中的两个图形，成轴对 (1)将图形①平移到图形②： 称的是 (填序号)」 (2)将图形②沿图中虚线翻折到图形③： (3)将图形③绕其右下方的顶点旋转180° 得到图形④. ① ② 图4 图5 图2 5.如图5，该图形绕其中心旋转能与其自身 3.如图3，是一个轴对 完全重合，则其旋转角最小为 度 称图形，点A和点D,点B和 6.作图： 点E是对应点.若LA= (1)如图6-①，以点0为中心，把线段AB逆 50°，∠B=70°，则∠D+∠E的度数为 时针旋转90°； 4.如图4，以直线m为对称轴，请画出图形的 (2)如图6-②，以点0为中心，把△ABC顺 数理报社试题研究中心 另一半 + 时针旋转120°. 参考答案见44期 论不成立的是 14.如图11，把长方形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在边 5.1~5.3能力达标自评 A.点A与点D是对应点 B.BO EO DC上的点F处.若△AFD的周长为12，△ECF的周长为4，则长方形 C.∠ACB=∠FED D.AB∥DE 纸片ABCD的周长为 ◆数理报社试题研究中心 8.将图5绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度 15.当一个图形在旋转中第一次与自身重合时，我们称此图形 不能是 转过的角度为旋转对称角，如图12，图①、图②、图③按旋转对称角 (答题时长120分钟，满分120分) A.909 B.120 C.180 D.270° 从小到大的顺序排列是 (用“<”连接) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）》 1.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量.图书 馆是开展全民阅读的重要场所.以下是我省四个地市的图书馆标 志，其文字上方的图案是轴对称图形的是 ( ☆李 图6 图12 可 时 9.如图6，在正方形方格中，阴影部分是由4张小正方形纸片所 16.如图13，A0为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形 太展市电者第 晋中市国者馆 嘴京园享俗 臨洛园吉桥 组成的图案，只移动其中一张纸片，使得到的新图案成为一个轴对 AB0C绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB'O'C',且∠OAC'= A 心 称图形的移法有 100°，则四边形AB0C旋转的角度是 A.9种 B.8种 C.7种 D.6种 三、解答题（本题共8小题，共72分） 2.下列运动形式属于旋转的是 ( 10.如图7,8×8方格纸的两条对称轴 17.(6分)指出如图14所示的图形中各有多少条对称轴，并在 A.飞驰的动车 B.匀速转动的摩天轮 EF,MN相交于点O,对△ABC分别作下列变 各个轴对称图形上画出它所有的对称轴， C.运动员投掷标枪 D.乘坐升降电梯 初 换：①以点0为旋转中心逆时针旋转180°； 3.图1中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为 初 中 ②先以点A为旋转中心顺时针旋转90°，再 ( 向右平移4格，最后向上平移4格；③先作出 B.2 C.3 D.5 中数学· 湘 关于直线MN成轴对称的图形，再向上平移 教 4格，最后以点A的对应点为旋转中心顺时 七年 (2) (3 针旋转90°.其中，能将△ABC变换成△PQR的是 图14 级能 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 湘教七年级能 图2 力 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 4.如图2，为芜湖市轨道交通L0g0,将其按顺时针方向旋转90 18.(6分)按下列要求画出图形： 11.如图8，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半 (1)如图15，画出△ABC绕点B按逆时针旋转90°后的 力达 标 后得到的图形是 并写出这个字： 标 △A,BC1; 评 E份) 评 D 5.如图3，△ABC与△DEF关于直线l成轴对称，下列结论正确 的是 ( 图8 图9 A.AC DE B.∠B=∠F 12.如图9（甲），在俄罗斯方块游戏中，上方小方块可先顺时针 C.直线l⊥AD D.AD =3AP 旋转」 度，再向 (填“左”或“右”)平移至边格，然后 让它自已往下移动，最终拼成一个完整的图案如图9（乙），使其自动 (2)如图16，将已知四边形分别在格点图中补成以已知直线m, 消失. n为对称轴的轴对称图形. 13.如图10的图案由三个叶片组成，绕点0旋转120°后可以和 自身重合.若每个叶片的面积为4cm2,∠A0B=120°，则图中阴影 图 部分的面积为 6.P为锐角∠AOB内的一点，点M与点P关于OA对称，点N与 点P关于OB对称，若OP=3,MN=5,则△MON的周长是 ( A.8 B.11 C.13 D.15 图16 7.如图4，△DEF是由△ABC绕点0旋转180°得到的，则下列结初中数学湘教七年级第40~44期 ”盆理柄 答案详解 2025~2026学年初中数学湘教七年级 第40.44期 第40期2版 第40期3,4版 4.5垂线 4.5~4.6能力达标自评 1.C;2.C;3.35;4.26°. 一、选择题 5.解：(1)(2)图略；(3)0P; 题号12345678910 (4)PH<C0.理由如下： 答案AC BBDAAC DB 由垂线段最短，得PH<PO,P0<CO.所以PH<CO. 提示： 6.解：(1)因为∠A0C=64°， 7.解：如图1，作CH⊥AB于点H, 由对顶角相等，得∠B0D=∠A0C=64°， 因为AC⊥BC, 因为ON平分∠BOD, 1 所以Sc=7AC·BC=74B,CH 所以∠B0N=2∠B0D=32°， 因为AC=3,BC=4,AB=5, 因为OM1ON, 所以CH=2.4. 所以∠M0N=90°. 因为PC≥CH=2.4, 所以∠MOB=∠M0N+∠BOW=122°. 所以PC的长不可能为2. (2)因为OM10W, 8.解：当直线c在a,b外时， 所以∠MON=∠MOD+∠NOD=90°， 因为a与b的距离为3.5cm, ∠AOM+∠B0W=180°-∠M0N=90°. b与c的距离为1.8cm, 所以∠MOD+∠NOD=∠AOM+∠BON 所以a与c的距离为3.5+1.8=5.3(cm). 因为ON平分∠BOD, 当直线c在直线a,b之间时， 所以∠BON=∠NOD. a与c的距离为3.5-1.8=1.7(cm). 所以∠MOD=∠AOM,即OM平分∠AOD. 综上所述，a与c的距离为1.7cm或5.3cm. 4.6两条平行线间的距离 9.解：因为CE⊥AB,AC⊥CB, 1.B;2.B;3.5;4.2或8. 所以∠ACE+∠CAB=90°，∠ACE+∠ECB=90°， 5.解：过点B作BE1AD,交DA的延长线于点E,过点D作 所以∠ECB=∠CAB,故①正确； DF⊥BC,交BC于点F.图略 因为AB∥CD,CE⊥AB, 由AD∥BC,可得BE=DF. 所以EC1CD,所以∠ECF=90°. 因为AD=宁8C, 因为AC⊥CB,所以∠ACB=90°， 所以∠ACE+∠BCD=∠ACE+∠ACF+∠ACB 所以Sn=AD:BE =∠ECF+∠ACB=180°， -(c.DF) 故②正确； 因为∠ACE=∠D,所以∠D+∠BCD=180°， 1 所以AD∥BC,故③正确； 初中数学湘教七年级第40~44期 因为点F为CD边的中点，S△ACF=4, 因为∠EOD=∠BOE+∠BOD,∠BOD=90°， 所以S△DF=SAACF=4. 所以当∠B0E=20°时，∠E0D=20°+90°=110°； 在△ADF中，设AD边上的高为h,则号AD·h=4, 当∠B0E=40°时，∠E0D=40°+90°=130°； 综上所述，∠E0D的度数为110°或130°. 解得h=2, 16.解：分两种情况进行讨论： 所以点F到直线AD的最短距离为2，故⑤错误； ①如图4所示，OM在AC上方， 由已知条件无法证明出AF∥CE,故④错误。 综上所述，正确的为①②③. 10.解：如图2所示， 过点E作EK∥AB, .H E 0 C 过点H作HM∥AB, 图4 因为AB∥CD, G 因为OD平分∠BOC,所以∠COD=∠BOD. 所以AB∥EK∥HM∥CD, 图2 因为4∠B0E+∠B0C=180°，∠A0B+∠B0C=180°， 所以∠BFH=∠FHM,∠DGH=∠GHM. 所以∠A0B=4∠B0E,即∠AOE=3∠B0E. 因为∠FHIM+∠GHM=∠FHG=50°，∠BFH=30°， 设∠BOE=a, 所以∠GHM=∠DGH=50°-30°=20°. 则∠A0E=3a,∠B0D=70°-a=∠C0D. 因为∠EGH=30°， 因为∠AOC为平角， 所以∠EGD=∠EGH+∠DGH=30°+20°=50°， 所以∠AOE+∠D0E+∠C0D=180°， 因为EK∥CD,所以∠KEG=∠EGD=50°. 即3a+70°+70°-=180°， 因为EF1AB,所以∠AFE=∠EFB=90°. 解得a=20°， 因为AB∥EK,所以∠AFE+∠FEK=180°， 所以∠BOE=20°. 所以∠FEK=180°-∠AFE=180°-90°=90°. 又因为OM⊥OB,所以∠M0B=90°， 所以∠FEG=∠FEK+∠KEG=90°+50°=140°. 所以∠M0E=∠B0E+∠M0B=20°+90°=110°. 二、填空题 ②如图5所示，OM在AC下方. 11.垂线段最短；12.线段BD的长度；13.115°； 14.∠2=∠3；15.110°或130°；16.110°或70° 提示： 13.解：过点B作BE∥1，如图3. A\D 0 因为BD⊥I, 图5 所以BD1BE,即∠DBE=90° 同理可得，∠B0E=20° 因为l1∥L2,所以BE∥l∥42， 图3 所以∠1=∠CBE=25°， 又因为OM⊥OB,所以∠M0B=90°， 所以∠M0E=∠M0B-∠B0E=90°-20°=70°. 所以∠2=∠DBE+∠CBE=115°， 14.解：因为AD⊥BC于D,EG⊥BC于G, 综上所述，∠M0E的度数为110°或70°. 所以∠ADC=∠EGC=90°，所以AD∥EG, 三、解答题 所以∠1=∠2，∠E=∠3. 17.解：(1)如图6，CD,CE即为所画的直线； 又因为∠E=∠1，所以∠2=∠3. 15.解：因为∠A0C=90°，∠B0C=30°， 所以∠AOB=∠AOC-∠B0C=60°. 因为OE是∠AOB的一条三等分线， 1 所以∠B0E=3∠A0B=20° 图6 图 (2)由垂线段最短，可得CE<CA, 或LB0E= 2∠A0B=40°. 理由是垂线段最短 初中数学湘教七年级第40~44期 (3)如图7，除点C外，网格纸中有4个格点D,F,G,H到线 所以∠A0E=马∠A0D=70. 2 段AB所在直线的距离等于线段CE的长度. 18.解：(1)因为两点之间线段最短，所以连接AD,BC交于 因为OF是直线AB下方的一条射线， 所以∠E0F=∠AOE+∠A0F=160°； 点M,则点M为蓄水池位置（如图8所示），点M到四个村庄距 故答案为：90,140,70,160. 离之和最小 (2)如图10所示， （2)如图8所示，过点M作MG⊥ 当射线OF在直线AB上方时， EF,垂足为G. 因为射线OF⊥AB, 根据“直线外一点与直线上各点连 所以∠AOF=90°. 接的所有线段中，垂线段最短”知，把河 因为∠AOC与∠AOD互补， 图10 水引入蓄水池M中，沿MG开渠最短. 图8 ∠A0C=40°， 19.解：因为EF⊥BC,AD⊥BC 所以∠A0D=140°. 所以∠BFE=∠BDA=90°， 因为OE平分∠AOD, 所以EF∥AD,所以∠2=∠3. 所以∠40E=号∠A0D=70 因为∠1=∠2，所以∠1=∠3， 因为OF是直线AB上方的一条射线， 所以DG∥AB. 所以∠E0F=∠AOF-∠AOE=20° 20.证明：因为∠A=112°，∠ABC=68°， 23.解：(1)过C点作CD⊥AB交AB于点D. B 所以∠A+∠ABC=180°， 如图11所示， 所以AD∥BC,所以∠1=∠3. 在Rt△ABC中， 因为BD⊥DC,EF⊥DC, 1 所以∠BDF=∠EFC=90°， 2b=2c×CD, 即时×6x8= 1 图11 所以BD∥EF, -×10×CD. 所以∠2=∠3，所以∠1=∠2 解得CD=5, 24 21.证明：(1)因为∠A=∠ADE, 所以AC∥ED,所以∠E=∠EBA. 所以点C到直线AB的距离为4 5 又因为∠C=∠E,所以∠EBA=∠C, (2)设CE=x,则EB=8-x, 所以BE∥CD; 因为线段AE把△ABC分成两个周长相等的△ABE和 (2)由(1)知AC∥ED, △ACE, 所以∠EDC+∠C=180°. 所以AC+CE+AE=AB+EB+AE, 因为∠EDC=2∠C,3∠C=180°， 即AC+CE=AB+EB, 所以∠C=60°，∠EDC=120°. 所以6+x=10+(8-x), 因为∠ADE=∠A=30°， 解得x=6, 所以∠ADC=∠EDC-∠ADE=120°-30°=90. 所以当线段AE把△ABC分成两个周长相等的三角形时， 因为BE∥CD, CE的长是6. 所以∠EFD=∠ADC=90°， (3)如图12所示， 所以BE⊥AD. 设CE=EC'=m. 22.解：(1)如图9所示， 由翻折的性质可知AC=AC'=6,∠C= 当射线OF在直线AB下方时， ∠ACE=90° 因为射线OF⊥AB, 所以SAARC=S△ABC+S△ABE, 图12 所以∠AOF=90°. 即号x6×8=分×6Xm+7x10×m, 1 因为∠AOC与∠AOD互补， 图9 解得m=3,即CE=3. ∠A0C=40°， 24.解：(1)OP1CD.理由如下： 所以∠A0D=140° 因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°，即∠1+∠A0C=90° 因为OE平分∠AOD, 因为∠1=∠2， 3 初中数学湘教七年级第40~44期 所以∠2+∠A0C=90°，即∠P0C=90°， 所以∠BFC=180°-∠BFG-∠CFE=30°. 所以OP⊥CD. 20.解：因为OF1OE,所以∠FOE=90° (2)因为∠A0C+∠B0C=180°，且∠B0C=2∠A0C, 因为∠C0F=70°，所以∠C0E=20°. 所以∠A0C=60°. 因为∠B0E=2∠C0E,所以∠B0C=3∠C0E=60°， 因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°， 所以∠A0D=60° 所以∠C0E=90°-60°=30°. 21.解：两直线平行，内错角相等； (3)与2∠EOF度数相等的角有∠AOD,∠BOC,∠FON, 已知； ∠EOM. ∠GHD;等量代换 由(2)知∠A0C=60°. 同位角相等，两直线平行； 因为OM平分∠BOD, ∠FWG; 所以∠BOM=∠DOM=∠AOW=∠CON= 1 2 ·∠A0C= 两直线平行，同旁内角互补； MG∥FW; 30° 两直线平行，同旁内角互补； 因为OE⊥AB,OC⊥OF, 同角的补角相等， 所以∠AOE=∠EOB=∠COF=90°， 22.解：(1)由折叠知∠AEB=∠AEF 所以∠AOC=∠E0F=60°， 因为EG平分∠CEF, 所以∠A0D=∠B0C=180°-60°=120°=2∠E0F 所以LFEG=LCEG. 因为∠A0W=30°，所以∠W0E=60°， 因为∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG=I80°， 所以∠NOF=∠NOE+∠E0F=120°=2∠EOF. 所以∠AEG=∠AEF+∠FEG=90°. 因为∠B0M=30°，∠E0B=90°， 因为HG⊥EG,所以∠HGE=90°， 所以∠EOM=∠BOM+∠EOB=120°=2∠EOF 所以∠AEG+∠HGE=180°， 综上所述，与2∠EOF度数相等的角有∠AOD,∠BOC, 所以HG∥AE. ∠FON,∠EOM. (2)因为∠CEG=20°，∠AEG=90°， 第41期 所以∠AEB=70°， 因为AD∥BC, 《平面内的两条直线》综合能力达标自评 所以∠DAE=∠AEB=70 一、选择题 因为HG∥AE, 题号 1 2 3 4 5 67 9 10 所以∠DHG=∠DAE=70°， 答案B 23.解：(1)因为∠EFC+∠BDC=180°， 二、填空题 ∠ADC+∠BDC=180°， 11.135°；12.∠C=∠D(答案不唯一)； 所以∠EFC=∠ADC,所以EF∥AB, 13.30°；14.北偏东54°；15.56°； 所以∠ADE=∠DEF 16.6或43.5. (2)因为∠ADE=∠DEF,∠DEF=∠B, 三、解答题 所以∠ADE=∠B, 17.解：(1)图略，垂线段最短； 所以DE∥BC, (2)图略 所以∠AED=∠ACB,∠CDE=∠BCD. 18.解：CM∥DN.理由如下： 又因为∠AED=2∠CDE, 因为CF平分∠ACM,∠1=72°， 所以∠ACB=2∠BCD, 所以∠ACM=2∠1=144° 所以∠ACD=∠ACB-∠BCD 所以∠BCM=180°-∠ACM=36°. =2∠BCD-∠BCD=∠BCD. 又因为∠2=36°，所以∠2=∠BCM, 即∠ACD=∠BCD. 所以CM∥DN 24.解：(1)过点E在∠MEN内作EF∥AB,(图略) 19.解：因为AB∥CD,AB∥GE,所以CD∥GE 所以∠MEF=∠1. 因为∠B=110°，所以∠BFG=70° 因为AB∥CD,EF∥AB, 因为∠C=100°，所以∠CFE=80°， 所以EF∥CD, 4 初中数学湘教七年级第40~44期 所以∠NEF=∠2 5.1.2轴对称变换 因为∠MEN=∠MEF+∠NEF, 1.B;2.③；3.120° 所以∠MEN=∠1+∠2. 4.图略。 (2)①因为∠CWE=140°， 5.解：(1)B,AC; 所以∠EWD=180°-∠CNE=40° (2)因为∠EAF=39°， 因为AB∥CD,∠BME=80°， 根据轴对称的性质，得∠CAF=∠EAF=39° 由(1)可知∠MEN=∠BME+∠END=120°， 又因为∠DAE=108°， 因为锐角∠BME和钝角∠CNE的平分线所在的直线交于 所以∠DAC=∠DAE-∠CAF-∠EAF=30°. 点F, 5.2旋转 所以∠FC=7∠CE=70, 1.C;2.C;3.M: 4.135°；5.60. 1 ∠BMQ=2∠BME=40° 6.图略. 5.3图形变换的简单应用 过点F在FN右侧作FP∥AB,(图略) 1.D;2.D:3.平移，A 所以FP∥AB∥CD, 4.解：(1)答案不唯一，如都是轴对称图形： 所以∠PFM=∠BMQ=40°，∠PFN=∠FWC=70°， (2)图略 所以∠MFN=∠PFV-∠PFM=30° 5.图略. ②因为FN∥ME, 所以∠EMQ=∠NFQ=a,∠BGN=∠BME. 第42期3,4版 因为MQ,NF分别平分∠BME,∠CNE, 5.1~5.3能力达标自评 所以∠BGW=∠BME=2∠EMQ=2a, 一、选择题 ∠CNE=2∠CNG. 因为AB∥CD,所以∠CNG=∠BGN=2a, 题号 1 234567 8910 所以∠CNE=4a. 由(1)可知∠E=∠BME+∠END=2a+(180°-4a) 二、填空题 =180°-2a 11.共；12.90，右；13.4cm2; (3)过点F在∠EFN内作FS∥CD,(图略)》 14.16;15.③<①<②；16.75° 所以∠CNF+∠SFW=180°. 提示： 因为AB∥CD,所以AB∥FS. 16.解：因为A0为∠BAC的平分线，∠BAC=50°， 由(I)可知∠E=∠AME+∠EFS. 所以∠BA0=∠OAC=25°. 因为∠EFN=∠EFS+∠SFW, 因为将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边 所以∠AME+∠EFN+∠CNF 形AB'O'C, =∠AME+∠EFS+∠SFN+∠CNF 所以∠BAC=∠B'AC'=50°， =∠E+∠SFN+∠CNF ∠BA0=∠0'AC'=25°， =65°+180°=245°. 所以∠0A0'=∠0AC-∠0'AC'=100°-25°=75°. 三、解答题 第42期2版 17.解：图略.(1)有2条对称轴： 5.1.1轴对称图形 (2)有1条对称轴； 1.D:2.B;3.A;4.3 (3)有1条对称轴. 5.略. 18.图略。 6.解：答案不唯一，如下图所示： 19.解：因为△ABE关于直线AE的对称图形是△AFE, 所以∠AEB=∠AEF,∠B=LAFE. 因为∠B=∠D, 所以∠AFE=∠D, 所以EF∥CD, 初中数学湘教七年级第40~44期 所以∠BEF=∠C=72°， 所以BF=5-2=3. 所以∠AEB=子∠BEF=36 ②CB⊥GF,理由如下： 如图4，延长CB交GF于点H, 20.解：由题意知，∠ACA'=∠BCB'=20°， 设AB与EG相交于点M. ∠A=∠A'=60° 由旋转的性质知 因为A'B'∥BC, ∠BEG=∠CEB=∠ADE, 所以∠BCA'+∠A'=180(两直线平行，同旁内角互补)， ∠G=∠CBE=∠A, 所以∠BCA'=180°-∠A'=120°， 所以EG∥AD(同位角相等，两直线平行)， 所以∠B'CA=∠BCA'-∠ACA'-∠BCB 所以∠EMB=∠A(两直线平行，同位角相等)， =120°-20°-20°=80°. 所以∠EMB=∠G, 21.解：(1)A,90: 所以AB∥GF,所以∠BHG=∠CBA=90°， (2)因为△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合， 所以CB⊥GF, 所以BF=DE,SAABF=S△ADE 24.解：(1)30° 因为CF=CB+BF=8, 因为0为直线AB上一点，∠A0C=120°， 所以BC+DE=8. 所以∠B0C=180°-∠A0C=60°. 由题知BC=CD, 又因为∠E0D=90°， 所以CE=CD-DE=BC-DE=4. 所以∠COE=∠EOD-∠BOC 所以BC=6. =90°-60°=30°. 所以Sg边形FE=S正方形cn=6=36. (2)在三角板DOE绕，点O逆时针旋转一周时，只有以下两 22.解：如图1，因为EF∥AB, 种情况符合： 所以∠AFE=∠BAC=45°，即n的值为45； ①当OD在0C的右侧时，如图5所示， 0 图5 图1 图2 依题意，得旋转角α=∠B0D,∠EOD=90°， 如图2，因为EF∥AB, 由(1)，知∠B0C=60°， 所以∠BFE=∠ABC=45°. 所以∠COD=∠BOC-∠BOD=60°-a, 所以旋转角的度数为：360°-∠ACB-∠BFE=225°， ∠A0E=180°-∠E0D-∠B0D=90°-. 即n的值为225. 因为∠AOE=3∠COD, 综上所述，n的值为45或225. 所以90°-a=3(60°-a),解得a=45°. 23.解：(1)根据旋转的性质，知∠ABD=∠BCE=B, ②当0D在0C的左侧时，如图6所示， ∠CBE=∠BAD=Y: 因为∠ABC=∠CBE+∠ABD=a, 所以a=B+Y 0 (2)点P的位置如图3所示 6 图6 (3)①由题意可知∠FEG=90°. 依题意，得旋转角α=∠BOD,∠EOD=90°， 因为∠CEB=90°， 由(1)，知∠B0C=60°， 所以∠FEG+∠CEB=90°+90°=180°， 图3 所以∠COD=∠B0D-∠BOC=a-60°， 即点C,E,G三点共线。 ∠A0E=180°-∠E0D-∠B0D=90°-. 因为CG=7,GE=2,所以CE=7-2=5. 因为∠AOE=3∠COD. 因为△GFE是由△BCE旋转得到的， 所以90°-a=3(-60）,解得a=67.5°. 所以FE=CE=5,BE=GE=2, 综上所述，a的值为45°或67.5°. 6 初中数学湘教七年级第40~44期 所以∠DAB=∠CAB+∠CAD=65 第43期 23.解：因为△A0P与△AOP1关于0A对称， 《轴对称与旋转》综合能力达标自评 所以∠POA=∠P,OA. 一、选择题 因为点Q在OA上，所以PQ=PQ. 题号 12345678910 同理，得PR=P2R,∠POB=∠P2OB 答案DB D ACCAB C A (1)因为P,P2=10cm, 二、填空题 所以△PQR的周长为 11.118°；12.8；13.平行： PQ PR OR P Q P2R+OR P P2 =10 cm. 14.D;15.②④⑤：16.25. (2)因为∠A0B=45°， 三、解答题 所以∠POP2=∠P,OA+∠POA+∠POB+∠P2OB 17.解：如图1，图形A'B'CDE,A"BCD0为所作. =2∠POA+2∠P0B=2∠A0B=90°. 24.解：因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°. ①如图3，当点G在线段AF上时， 设∠GDF=x,则∠FDB=3x, 所以∠ADF=90°-3x, ∠ADG=∠ADF-∠GDF=90°-4x. 根据折叠的性质，得∠ADE=∠ADF=90°-3x, 所以∠EDG=∠ADE+∠ADG=180°-7x=75°， 18.解：如图2所示. 解得x=15°， 所以∠ADF=90°-3×15°=45. 图3 4 图2 ②如图4，当点G在线段BF上时， 19.解：(1)由对称及已知，得BC=B'C, 设∠GDF=y,则∠FDB=3y, A'C'AC =8cm, 所以∠ADF=90°-3y, 所以△A'B'C'的周长为 ∠ADG=∠ADF+∠GDF=90°-2y. A'C+B'C'+A'B=A'C+AC=12+8=20(cm). 根据折叠的性质，得∠ADE=∠ADF=90°-3y, (2)根据轴对称的性质，得∠A'=∠A=90, 所以∠EDG=∠ADE+∠ADG=180°-5y=75°， 所以△A'CC的面积为之A'C·A'C=48(cm). 解得y=21°， 所以∠ADF=90°-3×21°=27°. 20.解：(1)旋转中心是点A,相等的角有：∠ACB=∠E, 综上所述，∠ADF的度数为45°或27°. ∠BAC=∠DAE,∠B=∠D. (2)由旋转的性质可知AB=AD=6cm,AC=AE. 第44期2版 因为点C是AD的中点， 6.1抽样调查 1 所以AE=CD=2AD=3(cm): 1.D;2.C;3.18岁，2,15%. (3)最小的旋转角度为360°-∠BAC=210°. 4.解：(1)不能，抽样调查； 21.图略 (2)76÷95%=80(个). 22.解：由旋转的性质可知∠B=∠D=25°， 答：共有80个节能灯接受检查. ∠EAD=∠CAB (3)不同意.因为抽查B品牌的样本容量偏小， 因为∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=120°， 5.解：(1)200,64,6%： ∠CAD=10°， (2)因为14%+6%=20%，所以一等奖的分数线为大于 所以∠CAB=∠EAD=55°， 或等于80分 7 初中数学湘教七年级第40~44期 6.解：(1)总体是该市1万名初中生的视力情况；个体是该 因为该城市连续30天的空气质量良的天数最多，有21天， 市每名初中生的视力情况：样本是抽取的1000名初中生的视 且没有中度污染的天数，所以，总体而言该城市连续30天的空 力情况；样本容量是1000 气质量良好 (2)总体是10×10×12=1200（套）冬装的质量；个体是 20.解：不合适.理由如下： 每一套冬装的质量；样本是抽取的100套冬装的质量；样本容 因为这两幅图不仅不容易对两种蛋的各种维生素B的含 量是100. 量进行比较，而且会给我们造成错误的印象：鸡蛋中各种维生 6.2统计图 素B的含量比鹤鹑蛋的高，这是由于两幅图的纵轴单位长度不 1.C;2.B;3.C;4.B; 统一造成的. 5.5. 21.解：(1)80； 6.解：(1)200： (2)不正确.理由如下： (2D所占的百分比为：品×10%=15%。 七年级学生的近视率为5 ×100%=56.25%; 0 所以扇形统计图中，“D”所在扇形圆心角的度数为： 42 360°×15%=54°. 八年级学生的近视率为200X359%×100%=60%; 喜欢C类书籍的人数是：200×30%=60（名），补图略 35 九年级学生的近视率为200×25%×100%=70%. 70 (3)2600×200=910(名)： 因为56.25%<60%<70%， 答：估计喜欢B类书籍的学生有910名. 所以从七年级到九年级学生的近视率越来越高。 7.解：(1)甲、乙两幅统计图所表示的数据相同.甲图给人 22.解：(1)300： 的感觉是小明的数学成绩提高较快，乙图给人的感觉是小明的 (2)由图可知，爱好羽毛球的人数为90， 数学成绩较平稳。 爱好篮球的人数为60， (2)若小明要向他的父母说明他的数学成绩在努力后的 爱好乒乓球的人数为300×40%=120 情况，他将向父母展示甲图，理由是：两幅图横轴上同一个单位 所以爱好排球的人数为300-90-60-120=30， 长度表示的意义相同，而纵轴上同一个单位长度表示的意义不 所以“排球”所在扇形的圆心角的度数为 同，甲图被纵向拉高了，看上去成绩提高的幅度比乙图的大. 30 300 ×360°=36°. 第44期3,4版 (3)补图略. 《收集、整理与描述数据》综合能力达标自评 23.解：(1)7月7日使用单车的师生有 一、选择题 20×(1+50%)=30(人)，补图略. 题号 34 5 67 8 910 (2) -×(1-45%-15%)=32(人). 答案 答：喜欢ofo的师生有32人. 二、填空题 24.解：(1)图17-②能更好地反映该学校每个年级学生 11.抽样调查；12.20；13.25%；14.2；15.54 的总人数，图17-①能更好地比较该学校每个年级男女生的 16.40. 人数 三、解答题 (2)由图17-②，得七、八、九年级的学生人数分别为 17.解：调查对象是九年级(1)班所有同学的衣服尺码，应 800人，800人，400人， 采用全面调查. 所以总人数为800+800+400=2000（人）. 18.解：(1)总体是：该小区8个单元所有居民对物业工作 所以七、八年级占总人数的百分比为 的满意程度；个体是：每位小区居民对物业工作的满意程度；样 800 本是：调查的1单元280位居民对物业工作的满意程度；样本容 ×100%=40%, 2000 量是280. 对应扇形的圆心角是360°×40%=144°； (2)不能.理由如下： 因为聪聪抽取的样本太少，缺乏广泛性 九年级占总人数的百分比为0×100%=20%。 19.解：表格从左到右、从上到下依次填：6,21,3,0,30 对应扇形的圆心角是360°×20%=72°. 20%,70%,10%,0,100% 绘制扇形统计图略。 8