第37期 平面内两条直线的位置关系-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（湘教版·新教材）

竖 - S98130-1St0 SX1TU-1590 .1.0tt1.6 :k.s1 度- .22) -Io .%! 精1100 田雨 话)元 1-PC) ò 20.(8分)两条直线被第三条直线所截，∠1和∠2是同旁内角， 22.(10分)如图21是 个跳棋棋盘，其游戏规则是 个棋子从 24.(14分)如图23，直线AB,CD相交于点0,0N把∠A0D分成 ∠3和∠2是内错角. 某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角.跳动时，每 两个角，且∠AON:∠NOD=2:3. (1)根据上述条件，画出符合题意的示意图； 步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上.例如，从 (1)若∠B0C=75°，求∠A0N的度数 (2)若∠1=3∠2，∠2=3∠3，求∠1，∠2的度数 起始位置∠1跳到终点位置∠3的路径如下： (2)如果∠B0C=75°，OM平分∠B0N,那么OB是∠C0M的 路径1：∠1 同旁内角 <9 内错角 平分线吗？请说明理由， ∠3 路径2：∠1内角，∠12内错角，∠6同位角，∠10同旁内角 (3)若∠M0N=90°，则号∠A0C-LD0M是否为定值？若是， ∠3. 请求出这个定值：若不是，请说明理由。 (1)写出从起始位置∠1跳到终点位置∠8的一种路径； (2)从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序 跳，能否跳到终点位置∠8？若能，写出其路径；若不能，请说明理由。 7 1016 初中数学 图21 湘教七年 21.(10分)如图20，直线AB,CD相交于点0，OM平分∠B0E ∠A0C=50°，∠D0E=90° (1)求∠DOM的度数； 级能 (2)在∠A0M的内部画射线ON,使得∠M0N=45°，那么0N 力达标自评 是∠A0D的平分线吗？请说明理由. 初中数学·湘教七年级能力达标自评 23.(10分)如图22，直线AB与直线CD相交于点0，且0A平分 ∠C0E,∠E0F=90. (1)若∠D0E=50°，求∠B0F的度数； (2)设∠DOE=a,∠BOF=B,请探究与B的数量关系（要 12 求写出过程) 参考答案见下期 数评极 2026年3月17日·星期二 初中数学 第 37期总第1181期 (湘教七年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F 传题辅导 名师点睛 三线八角 人2 星对顶角 图2 ©好识别 3.同旁内角的形象如字母“U”状.如图3中 言助你解题 ⊙重庆吴华 ⊙湖南彭金蓉 的∠1与∠2都是同旁内角. 对顶角在求角度时起到了很大的作用，它 一、明确概念及特征 常与角平分线等联合起来，为求角提供便利.下 1.同位角：两直线被第三条直线所截，无公 不1 面举例说明，供同学们学习时参考， 共顶点的两个角都在其中一条直线的同侧，并 例1如图1，直线AB,CD 且分别在另两条直线的同一个方向上.所以其 交于点O.射线OM平分 特征是“同旁同侧” 例如图4，请判断∠1与∠3，∠2与∠4， ∠A0C,若∠B0D=48°，则 2.内错角：两直线被第三条直线所截，无公共 ∠5与∠6分别是什么位置关系的角， ∠BOM= 解析：根据对顶角的性质 图1 顶点的两个角都在两条直线之间，并且分别在第 可求出∠A0C的度数，再根据角平分线的定义 三条直线的两侧.所以其特征是“内部两旁” 得出∠AOM的度数，最后根据平角的定义即可 3.同旁内角：两直线被第三条直线所截，无公 ② 得解. 共顶点的两个角都在两条直线之间，并且都在第 图5 因为∠B0D=48°， 三条直线的同侧所以其特征是“内部同旁” 由对顶角相等，得∠A0C=∠BOD=48° 温馨提示：三种角均是从位置的角度加以 解析：我们把相关的两个角从图4中分离出 因为OM平分∠A0C, 定义和区分的，并且三种角分别是成对出现的， 来，形成如图5所示的简单图形，从而易判断它 每一对角的顶点都不相同，且与角的大小无关. 们各是什么位置关系的角， 所以∠A0M=方∠A0C=24, 二、形象感受三种角 分离的关键是会判断这些角是哪两条直线 所以∠B0M=180°-∠A0M=156° 1.同位角的形象如字母“F”状.如图1中的被哪一条直线所截而形成的角，其中： 故填156°. 1与∠2都是同位角. 例2如图2，直线AB,CD (1)如图5-①，∠1与∠3可以看成直线 相交于点O,已知∠EOF= DE,BC被直线EC所截构成的同位角： 90°，∠B0F=20°，0C平分 (2)如图5-②，∠2与∠4可以看成直线 ∠A0E. 则∠BOD DE,BC被直线BE所截构成的内错角； 2.内错角的形象如字母“Z”状.如图2中的 (3)如图5-③，∠5与∠6可以看成直线 解析：根据平角的定义可求出∠AOE的度 ∠1与∠2都是内错角 BE,DE被直线BD所截构成的同旁内角. 数，再根据角平分线的定义求出∠AOC的度数， 十十十十十十十”十十十十十十十十十十十 十十十十十十十十十十十十 十十 十一十十 然后由对顶角的性质即可求出LBOD的度数. ®论命 A.过一点有且只有一条直线平行于已知直 因为∠E0F=90°，∠B0F=20°， 平行、相交 圣 所以∠A0E=180°-∠EOF-∠B0F=70° B.同一平面内，有且只有一条直线平行于 因为0C平分∠A0E, 错亮相 已知直线 C.经过直线外一点，可以画一条直线平行于 所以∠A0C=3∠A0E=350 ◎河南许柴瑞 已知直线 由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=35 易错点1：平行线的概念掌握不牢 D.同一平面内，过两点有且只有一条直线 故填35° 例1下列说法中，正确的是 与已知直线平行 小试牛刀 A.在同一平面内，两条射线不相交，则这两 错解：A 如图3，直线AB与CD相 条射线互相平行 纠错：过已知直线上一点无法画一条直线交于点0，∠A0C-2∠AOE B.两条不重合的直线有两种位置关系：平 平行于这条直线，平行公理中所说的“一点”是 =20°，射线0F平分∠D0E, 行与相交 指在已知直线外；同一平面内，可以画无数条直 若∠B0D=60°，则∠A0F C.不相交的两条线段是平行线 线平行于已知直线；两点确定一条直线，但是， 的度数为 D.在同一平面内，没有公共点的两条直线过平面内两点所画直线未必与已知直线平行。 是平行线 正解： 易错点4：错识内错角 错解：B 易错点3：错识对顶角 例4如图2，下列各组 纠错：两条直线平行或相交的前提条件是 例3如图1，已知 角中，是一对内错角的为 “在同一平面内”.由于射线的一端不可无限延三条直线AB,CD,EF相 伸，所以在同一平面内，两条射线不相交，也不交于点O,则∠B0D的 A.∠1和∠2 B.∠2和∠3图2 一定平行；在同一平面内，两条不重合的直线有对顶角是 C.∠1和∠3 D.∠2和∠5 相交与平行两种位置关系；线段的长度有限，所 错解：∠COE. 图1 错解：C. 以不相交的两条线段也不一定平行： 纠错：要确定两个角是否互为对顶角，须把 纠错：要确定两个角是否为内错角，首先要 正解 _（正解答案请同学们自行握好对顶角的两大特征，即有公共顶点和两边确定截线和被截直线，内错角在截线两旁，被截 完成) 互为反向延长线.错解中的0B与0E不是互为直线之间.而错解中的两个角在截线同旁，被截 易错点2：平行公理理解不透 反向延长线 直线同侧，显然是一对同位角. 例2下列说法中，正确的是 正解： 正解： 2 素养专练 人 数理极 4.1.1相交与平行 3.如图2，直线a,b相交，∠1=130°，则∠2+1 4.1.22同位角、内错角、同旁内角 1.如图1，已知直线AB与 ∠3= () 1.如图1，∠1的内错角是 直线CD平行，下列表示方法正 A.50° B.100° C.130° D.180° A.∠2 B.∠3 确的是 () b D 4.如图3，当光线从空气射入水中时，光线的 C.∠4 D.∠5 A.A∥C B.A∥D 图1 传播方向发生了改变，这就是光的折射现象.若 X C.B∥b D.a∥b ∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了 2.若P,Q是直线AB外不重合的两点，则下列 说法不正确的是 A.直线PQ可能与直线AB相交 2.如图2，下列说法错误的是 B.直线PQ可能与直线AB平行 A.∠A与∠C是同旁内角 C.过点P的直线一定与直线AB相交 图3 图4 B.∠1与∠3是同位角 D.过点Q只能画出一条直线与直线AB平行 5.如图4，直线AB与CD相交于点0，OE平分 C.∠2与∠3是内错角 3.下列说法中，正确的个数是 () ∠B0D,OF平分∠C0B,∠AOD:∠E0D=4:1, D.∠3与∠B是同旁内角 ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的 则∠COF= 3.如图3，∠ABE和∠C是直 位置关系不是相交就是平行； 6.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）.线BE,CD被直线 所截 ②过一点有且只有一条直线与已知直线平 如图5二①，图中有2条直线相交，则对顶角有 形成的同位角，∠D的内错角是 行； 对；如图5-②，图中有3条直线相交于 ③过两条直线a,b外一点P,画直线c,使 图3 点，则对顶角有 4.如图4，∠1与∠2是哪两 c∥a,且c∥b; 对；如图5-③，图中 有n条直线相交于一点，则对顶角有 对 条直线被哪一条直线所截，形成的是什么位置关 ④若直线a∥b,b∥c,则c∥a. 系的角？∠3与∠D呢？ A.4 B.3 C.2 D.1 4.小明列举如下生活中的几个例子： ①马路上的斑马线；②两条笔直的火车铁 图5 轨；③雨后天上的彩虹；④长方形门框的左右两 7.如图6，直线a,b,c两两相交，∠1=∠3+ 边：⑤直跑道线你认为其中是平行线的有12°，∠2=52°，求∠4的度数。 （填序号). 5.如图2，在方格纸中，有两条线段AB,BC, 利用方格纸完成以下操作： (1)过点A作BC的平行线； (2)过点C作AB的平行线，与(1)中的平行 线交于点D. 5.如图5，已知∠1=75°，∠3=130° (1)求∠2的同位角的度数； (2)求∠2的内错角的度数； (3)求∠2的同旁内角的度数 8.如图7，直线AB,CD和EF相交于点O. (1)分别写出∠A0E,∠D0F的对顶角； 4.1.2.1对顶角 (2)如果∠C0E=90°，∠B0F=20°，求 1.下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是 ∠BOD和∠AOD的度数 A B 2.如图1，直线AB,CD相交于点0，若∠A0C 增大1227'，则∠B0D的大小变化是() A.减少1227' B.增大167331 C.不变 D.增大1227 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 15.如图15，直线AB,CD相交于点0,0E平分∠B0D,0F平分 4.1能力达标自评 ∠C0E.若∠A0C=84°，则∠E0F= 16.如图16，直线AB,CD,EF相交于点O,OG平分∠AOD,若 ◆数理报社试题研究中心 ∠B0C=70°，∠A0E=90°，则∠G0F= 图 (答题时长120分钟，满分120分) 8.如图8，直线AB,CD相交于点O,若∠BOC=3∠DOB,∠AOE 三、解答题（本题共8小题，共72分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 17.(6分)如图17，指出图中直线AC,BC被直线AB所截的同位 =90°，则∠E0C的大小为 1.如图1，直线AB与CD相交于点O,则∠BOD= 角、内错角和同旁内角. A.75° B.120 C.135 D.150° A.40° B.50° 9.如图9，直线AB,CD被直线EF所截，直线EF与AB,CD分别 C.55 D.60 交于点E,F,下列结论正确的是 ( ①∠1与∠2是同位角：②∠3与∠4是内错角：③∠1=∠4： 图17 ④∠4+∠5=180° A.②③ B.②④ C.①③ D.③④ 图1 图2 2.如图2，过点A画直线1的平行线，能画 初 A.2条以上 B.2条 初 中数学 C.1条 D.0条 18.(6分)如图18，直线AB,CD相交于点0，若∠1=80°，∠2 3.如图3，直线b,c被直线a所截，则∠1与∠2 =30°，求∠A0E的度数. 中数学 图9 10 A.互为对顶角 B.是同位角 搜 C.是内错角 D.是同旁内角 10.如图10，直线AB,CD相交于点0，OF平分∠B0D,若∠A0C 七 +∠D0F=39°，∠AOE=90°，则∠E0F的度数为 ( 级 A.77° B.74° C.67° D.64° 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图11所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要 七年级能力达标 图3 图4 保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的 4.如图4，已知点C为∠AOB的边OA上一点，射线CE交0B于 线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么 点D,图中与∠AOB是同位角的角的个数是 ( 它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是 A.1 B.2 C.3 D.4 5.在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ( 19.(8分)如图19，已知直线AB,CD相交于点0,0E是射线， A.平行 B.相交 ∠AOE=2∠AOC,∠EOD比∠BOD大20°，求∠BOD的度数. C.平行或相交 D.无法确定 6.图5是自由式滑雪大跳台项目图 标，其简化图如图6所示，给出下列结 12.如图12，直线a,b相交，若∠1+∠3=80°，则∠2= 论：①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4 图19 是同旁内角；③∠5与∠6是同位角； 13.如图13，直线AB,CD,EF相交于点0，若∠1+∠2=150°， ④∠1与∠4是内错角.其中正确结论的 图5 图6 则∠3= 个数是 ( 14.如图14，与∠1构成同位角的有 A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图7，直线a,b被直线c所截，若∠1=∠2，∠3=50°，则 ∠4的度数为 A.50° B.110° C.120° D.130°初中数学湘教七年级第35~39期 ”发理招 答案详解 2025~2026学年 初中数学湘教七年级 第35~39期 提示： 第35期 12.解：方法一：-2a-1<-2b+m, 第3章《一元一次不等式（组）》综合能力达标自评 解得a>6~分-受 一、选择题 因为a>b, 题号 678 910 答案 DDBABCBABD 所以-分-受≤0， 提示： 解得m≥-1. 7.解：不等式组 x-m<0,① 方法二：因为a>b,所以-2a<-2b, 由①，得x<m, 4-2x<0,② 所以-2a+(-1)<-2b+(-1)≤-2b+m. 由②，得x>2. 在-2b+(-1)≤-2b+m的两边都加26， 因为m的取值范围是4<m<5, 得-1≤m,即m≥-1. 「x-m<0, 16.解：(1)设甲种文创产品的进价为每个x元，乙种文创 所以不等式组 的整数解有3,4，共两个 4-2x<0 产品的进价为每个y元. 注：此处若不好理解，可以在数轴上画一画， r60x+40y=1520, 依题意，得 秒杀技巧：不妨令m=4.1,则2<x<4.1,秒出答案. 30x+50y=1360, 9.解：设小李乘车路程为x千米. x=12, 解得 依题意，得1.5(x-3)≤11-5， y=20 则x-3≤4，解得x≤7. 答：甲种文创产品的进价为每个12元，乙种文创产品的进 答：小李乘车路程最多是7千米 价为每个20元， 10.解：设甲将数字3抄成了数字a, (2)设购进甲种文创产品m个， x+6 ≤2」 ① 则购进乙种文创产品(200-m)个， 依题意，得 4 依题意可得12m+20(200-m)≤3360， x-7<2(x-a),② 解得m≥80. 解不等式①，得x≤2， 答：最少需要购进80个甲种文创产品. 解不等式②，得x>2a-7, 三、解答题 因为此不等式组无解， 17.(1)x≥-5； 所以2a-7≥2， (2)x≤-2. 解得a≥4.5， 18.x≤1.数轴表示略. 所以根据选项知甲将数字3可能抄成了数字5. 19.解：因为a,b,c都是实数，a>b, 二、填空题 根据不等式的基本性质1，得a+c>b+c 1.a<7:12.m≥-l:1330+4<60: 因为c>d,根据不等式的基本性质1，得b+c>b+d. 14.七；15.x<-2;16.(1)12,20;(2)80. 根据不等式的传递性，得a+c>b+d. 初中数学湘教七年级第35~39期 20.提示：从题中提取信息：(1)利润率=售价进价× 所以A的“解集中点值”为5. 进价 因为5在-1<x≤5这一范围内， 100%);(2)售后利润率不低于20%. 所以不等式B对于不等式组A中点包含. 解：设可降价x元 (2)因为不等式组D对于不等式组C中点包含， 360 所以不等式组C和不等式组D有解 根据题意，得 60-x-1+80% ×100%≥20%， 360 1+80% 2x+7>2m+1, 解不等式组C: 得，>m-3, 3x-16<9m-1,lx<3m+5. 解得x≤120. 答：最多可降价120元. x>m-4, rx m-4, 解不等式组D: 得 注：本题难，点是列出一元一次不等式 3x-13<5m, x<5m+13 3 21.解：解2x-1>5,得x>3; rm-3<3m+5, 解5x+1≤-4，得x≤-1. 所以 m-4<5m+13解得m>-4, 因为实数a是不等式2x-1>5的一个最小整数解， 3 实数b是不等式5x+1≤-4的一个最大负整数解， 所以当m>-4时，不等式组C的解集为m-3<x<3m+5, 所以a=4,b=-1. 不等式组D的解集为m-4<x<5m+13 3 则ax-9<b为4x-9<-1, 解得x<2. 所以C的“解集中点值”为m-3+3m+5=2m+1 2 22.解：因为a☒b=a-2b, 因为不等式组D对于不等式组C中点包含， 所以x☒m=x-2m>3, 所以m-4<2m+1<5m+3,解得-5<m<10. 则x>2m+3. 3 因为x☒m>3的解集为x>-1, 又因为m>-4,所以-4<m<10. 所以2m+3=-1, (3)解不等式组E,得2n<x<2m, 所以m=-2. 解不等式组F,得3n+m<x<5+n, 2 x=2a+1, 23.解：(1)解原方程组可得 Ly =2-a. 其中3n+m<5+n,即m+n<10, 2 因为方程组的解为一对正数， 所以E的“解集中点值”为n+m. r2a+1>0, 所以 因为不等式组F对于不等式组E中点包含， 2-a>0, 所以3n+m<m+n<5+n,解得n<m<5. 2 解得了 <a<2, 因为所有符合要求的整数m之和为9， 即a的取值范周为-子<。<2 所以整数m可取2,3,4或-1,0,1,2,3,4， 所以1≤n<2或-2≤n<-1. (2)由(1)可知2a+1>0,2-a>0, 所以2a+1>0,a-2<0, 第36期3,4版 即12a+11-la-21 阶段能力达标自评 =(2a+1)-(2-a)=3a-1. 注：求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取大，同小 一、选择题 取小，小大大小中间找，大大小小解不了 题号12345678910 24.解：(1)不等式B对于不等式组A中点包含， 答案CCDADBCD BD 判断过程如下： 提示： 2x-3>5得4<x<6, 2.解：A.x>4可以变形为-x<-4,故本项错误； 解不等式组A: 6-x>0, B.x>4可以变形为x+2>6,故本项错误； -2 初中数学湘教七年级第35~39期 Cx>4可以变形为-分<-2，故本项正确： 解得7≤0≤14， 所以0的最大值m=14,最小值n=7, D.x>4可以变形为x-2>2,故本项错误 所以m+n=14+7=21. 3.解：由16<18<25，得16<√18<√25， 二填空题 即4<18<5. 11.-2,2-√3，-2；12.-5； 4.解：50×8×20=20(cm). 13.1或-3.14.-1；15.14；16.-1或2. 答：锻造成的立方体铁块的棱长是20cm. 提示： 5.解：A.若a>b,c≠0，则ac>bc(c>0),故本项错误； 12.解：由题意得，四边形ABCD是正方形，且其面积为 B若a>6,c≠0，则？>之（e>0),放本项错误： 1 c 3×3-4×2×1×2=5,所以AB=5, C.若a>b,c≠0，则2c-a<2c-b,故本项错误； 所以点A'表示的实数为-5. D.若a>b,c≠0，则-c+a>-c+b,故本项正确 13.解：因为2m-4与3m-1是同一个数的平方根， 6.解：设进价应不低于x元， 所以①2m-4+3m-1=0时， 根据题意，得1200-x≤20%x, 解得m=1; 解得x≥1000. ②2m-4=3m-1时，解得m=-3, 7.解：因为(x+a)(x+b)=x2-5x+4, 综上可知，m为1或-3. 所以x2+(a+b)x+ab=x2-5x+4, 14.解：(ax2+bx+1)(2x2-3x+1) 所以a+b=-5. =2ax+(2b-3a)x23+(a-3b+2)x2+(b-3)x+1. 8.解：根据题目中的新定义运算法则，可得 因为展开式中不含x项，也不含x项， 5☆x=5x2-5x-1, 2b-3a=0, 所以 所以5x2-5x-1=6-4x, 6-3=0, 所以5x2-x=7, 解得a=2,b=3, 所以3-2x+10x2=3+2(5x2-x)=3+2×7=17. 所以a-b=-1. 9.解：因为-1<a<0,0<b<1, 15.解：小杰继续在A窗口排队打完饭所花的时间为 所以a<ab<0, a-4×2=a-8(分). 4 4 因为a×b=c, 因为小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新 所以a<c<0. 排队，打完饭时所花的时间比原来少， 10解：设-2兮-， 3 所以0-8X名6X2<”:8解得a>2 8 则x=2t+1,y=2-3t. 又因为a为偶数，所以a的最小值是14. 因为x≥0，y≥0， x≥-3， 所以2t+1≥0,2-3t≥0， 16.解：因为 所以-3≤x<a. Lx a, 解得1≥-子4≤子 因为不等式组 x≥-3， 的解集中的整数和为-5， 即≤1≤子 Lx a 所以x取-3，-2或x取-3，-2，-1,0,1， 因为0=3x+4y, 所以-1≤a<0或2≤a<3, 把x=2t+1,y=2-3t代入，得0=-6t+11, 则整数a的值为-1或2. 则t=11-0 三、解答题 6 17.解：(1)原式=(a)2=a2 所以-≤"。≤ 2 (2)原式=(-8×0.125)2+1-(-2) 一3 初中数学湘教七年级第35~39期 =-1+1+2=2. 答：建立每个中型图书馆需要5万元，建立每个小型图书 18.解：因为a2-2a+b2-6b+10 馆需要3万元. =(a2-2a+1)+(b2-6b+9)=0, (2)设建立中型图书馆a个，则小型图书馆(10-a)个. 即(a-1)2+(b-3)2=0, r5a+3(10-a)≤44， 根据题意，得 所以a=1,b=3, 10-a≤a, 所以b=3=3 1 解得5≤a≤7. 因为a为正整数， 19.解：(1)2x-3≤1， 所以a可取5,6,7，对应的10-a分别为5,4,3. 移项，得2x≤3+1，即2x≤4， 答：一共有3种方案： 解得x≤2. 方案一：中型图书馆5个，小型图书馆5个； 5x-2>3(x+1),① 方案二：中型图书馆6个，小型图书馆4个； 2) -1≤7-2 1 方案三：中型图书馆7个，小型图书馆3个 解不等式①，得x>2.5, 23.解：(1)是. 解不等式②，得x≤4， (2)3x+a<2的解集是x<24, 3 所以不等式组的解集为2.5<x≤4， 所以整数解为4,3. 1-3>0的解集是x<分 20.解：不能.理由如下： 因为大正方形纸片的面积为2×18=36(cm2), 根据题意，得2兮=子 =3 解得a=1. 所以大正方形的边长为6cm 设裁出的长方形的长为3bcm,宽为2bcm, (3)不等式-x+4m>0的解集为x<4m, 因为x<-2是关于x的不等式-x+4m>0的“覆盖不 则662=30，所以b=5(取正值). 等式”， 因为5>4，所以5>2. 所以4m≤-2， 由上可知35>6. 所以不能裁得长、宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方 解得m≤-子 形纸片 24.解：(1)设1-x=a,x-5=b, 21.解：(1)因为x2=2,y°=3， 则(1-x)(x-5)=ab=2, 所以x3=(x7)9=2°=512， a+b=(1-x)+(x-5)=-4, y=(y)7=37=2187. 所以(1-x)2+(x-5)2=a2+b2 因为512<2187， =(a+b)2-2ab=(-4)2-2×2 所以x3<y,所以x<y =16-4=12. (2)40=(22)0=20,826=(23)26=278 (2)设30-x=3,x-20=t, 因为75<78<100， 则(30-x)(x-20)=st=-580,s+t=10, 所以25<28<210，即25<826<40 所以(30-x)2+(x-20)2 22.解：(1)设建立每个中型图书馆需要x万元，建立每个 =82+2 小型图书馆需要y万元. =(s+t)2-2st 3x+5y=30, =100-(-1160)=1260. 根据题意，得 2x+3y=19, (3)由题知，正方形ACFG的边长为13-m,面积为(13- 解得5， m)2,正方形ABDE的边长为10-m,面积为(10-m)2, y=3 则有(13-m)2+(10-m)2=117. -4 初中数学湘教七年级第35~39期 设13-m=p,10-m=9, 二、填空题 则p2+92=117, 11.同平行于一条直线的两条直线互相平行； p-9=13-m-10+m=3, 12.140°；13.30°；14.3；15.69°；16.55°. 所以长方形ACPE的面积为： 三、解答题 m=D+9）,p-4)=17-9=54 17.解：∠1与∠2，∠4与∠DBC是同位角； 2 2 ∠1与∠3，∠4与∠5是内错角： 第37期2版 ∠3与∠4，∠1与∠5是同旁内角 18.解：因为∠1=80°，由对顶角相等，得 4.1.1相交与平行 ∠A0D=∠1=80°. 1.D;2.C;3.C; 因为∠2=30°， 4.①②④⑤. 所以∠A0E=∠A0D-∠2=50°. 5.图略. 19.解：因为∠E0D比∠B0D大20°， 4.1.2.1对顶角 所以∠EOD=∠BOD+20° 1.B;2.D;3.B; 因为∠AOE=2∠AOC, 4.14；5.60;6.2,6,n(n-1). 且由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC, 7.解：因为∠2=52°， 所以∠AOE=2∠BOD, 由对顶角相等，得∠1=∠2=52°. 所以2∠B0D+∠B0D+20°+∠B0D=180°， 因为∠1=∠3+12°， 所以∠B0D=40°. 所以∠3=∠1-12°=40°， 20.解：(1)（画法不唯一）如图即为所求作. 所以∠4=180°-∠3=140°. 8.解：(1)∠AOE的对顶角是∠BOF; ∠DOF的对J顶角是∠COE. (2)因为∠C0E=90°， 由对顶角相等，得∠D0F=∠C0E=90°. 因为∠B0F=20°， (2)因为∠1=3∠2，∠2=3∠3， 所以∠BOD=∠DOF-∠BOF=70°. 所以∠1=9∠3. 所以∠AOD=180°-∠B0D=110°. 又因为∠1+∠3=180°， 4.1.2.2同位角、内错角、同旁内角 所以9∠3+∠3=180°， 1.B:2.B: 所以∠3=18°， 3.AC,∠EBD和∠ABD. 所以∠1=162°，∠2=54° 4.解：∠1与∠2是直线CD与AB被直线AC所截形成的内 21.解：(1)因为∠A0C=50°， 错角；∠3与∠D是直线AC与CD被直线AD所截形成的同旁 由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=50° 内角 因为∠DOE=90°， 5.解：(1)∠2的同位角的度数是50°； 所以∠B0E=∠B0D+∠D0E=140°. (2)∠2的内错角的度数是50°： 因为OM平分∠BOE, (3)∠2的同旁内角的度数是130°. 所以∠B0M=子∠B0E=70, 第37期3,4版 所以∠DOM=∠BOM-∠B0D=20°. 4.1能力达标自评 (2)画图略，OW是∠AOD的平分线.理由如下： 一、选择题 因为∠A0C=50° 所以∠A0D=180°-∠A0C=130° 题号 1 34 10 因为∠D0M=20°，∠M0N=45°， 答案BC C BCC D 所以∠DON=∠D0M+∠M0N=65°， 提示： 4.与∠AOB是同位角的是∠ACD和∠CDB. 所以∠D0N=之∠A0D, 初中数学湘教七年级第35~39期 所以ON是∠AOD的平分线. 3(180°-5m)-(90°-3)=18 = 2,解：1)路径：∠1内错角∠12 同旁内角，∠8（答案 不唯一) 第38期2版 (2)从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺 4.2.1平移现象 序跳，能跳到终点位置∠8.其路径为∠1 同位角 10 1.A;2.B;3.540m2. 内错角∠5同旁内角，∠8 4.解：如图1为平移4根火柴棒变成三个相同的正方形；如 图2为平移4根火柴棒变成四个相同的正方形.（答案不唯一） 23.解：(1)因为∠D0E=50°， 所以∠C0E=180°-∠D0E=130%. 因为OA平分∠COE, 1 所以∠A0E=2∠C0E=65°. 因为∠E0F=90°， 4.2.2平移的性质 所以∠B0F=180°-∠AOE-∠E0F=25°. 1.B;2.C;3.C;4.A; (2)因为∠D0E=a, 5.35;6.42. 所以∠C0E=180°-∠D0E=180°-a. 7.解：(1)MN,MH,MK,KH; 因为OA平分∠COE, (2)线段BC,CE对应的线段分别是NG,GK; 所以∠A0E=分∠c0E=分(180°-0)=90°- (3)∠B=∠V,∠ADC=∠MHG. 2. 8.解：由已知，得重叠部分为长方形，其长为5-2=3， 因为∠E0F=90°， 宽为3-1=2， 所以B=∠B0F=180°-∠AOE-∠E0F 所以阴影部分图形的面积和为两个长方形， =180°-(90-2)-90=7a, 即阴影部分图形的面积和=总面积-2×重叠面积， 即5×3×2-3×2×2=18. 即a=2B. 4.2.3平移作图 24.解：(1)因为∠B0C=75°， 1.C;2.B;3.2;4.3和5. 由对顶角相等，得∠AOD=∠B0C=75°. 5.图略. 因为∠AON:∠NOD=2:3, 6.(1)图略； 所以∠40N=子∠A0D=30e (2)△A'BC的面积为号 ×4×4=8. (2)OB是∠COM的平分线.理由如下： 第38期3,4版 由(1)知，当∠B0C=75°时，∠A0N=30°. 所以∠B0W=180°-∠A0W=150. 4.2能力达标自评 因为OM平分∠BON, 一、选择题 所以∠B0N=子∠B0N=75, 题号12345678910 答案AC C DA CCC BD 所以∠BOC=∠BOM, 所以OB是∠COM的平分线. 二、填空题 11.1.65;12.∠F,AB;13.10:14.6;15.14cm;16.6. (3)号∠A0c-∠D0M是定值 三、解答题 设∠A0N=2x,则∠N0D=3x. 17.解：(1)图略； 因为∠M0W=90°， (2)平行且相等. 所以∠D0M=∠M0N-∠N0D=90°-3x. 18.解：答案不唯一，如图1. 因为∠AOD=∠AON+∠DON=5x, 所以∠A0C=180°-∠A0D=180°-5x, 所以号∠A0C-∠D0M 6 初中数学湘教七年级第35~39期 19.解：因为将△ABC沿BC方向平移2.5cm得到△DEF, (2)根据题意，长方形每次平移5个单位， 所以AD=BE,AB=DE, 则n次平移5n个单位，即BB.=5n, 所以阴影部分的周长=AD+EC+DE+AC=BE+EC+ 所以AB,=AB+BB.=6+5n. AB +AC BC AB AC=4+3+2=9(cm). 第39期2版 20.解：(1)平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离 是线段AD的长度. 4.3平行线的性质 (2)因为△ABC平移到△DEF的位置， 1.D;2.A;3.15°；4.15° 所以CF=AD. 5.解：因为AC∥DE, 因为CF+BC=BF, 所以∠ACE=∠DEB. 所以AD+BC=BF 因为CD∥EF, 21.解：因为△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF, 所以∠DCE=∠BEF 所以AD=CF. 因为CD平分∠ACB, 设AD=xcm,则CF=xcm 所以LDCE=子∠ACB 因为S四边形BFD= 子5aw,8c=6cm, 所以∠BEP=宁∠DER 所以子(x+6+)×B=子 2×6AB, 71 所以EF平分∠DEB. 解得x=4, 6.解：因为BE平分∠ABC,∠ABC=110°， 所以AD的长为4cm. 1 22.解：(1)该种红地毯的长是：2.6+5.8=8.4(m): 所以LEBC=7∠ABC=559, (2)该种红地毯的面积是：8.4×2=16.8(m2); 因为DE∥BC,∠C=35°， (3)购买该种红地毯至少需要：16.8×30=504（元）. 所以∠DEB=∠EBC=55°，∠AED=∠C=35° 23.解：(1)如图2，△A'B'C'即为所求 所以∠AEB=∠DEB+∠AED=90. (2)连接AA',CC',如图2，线段AC所扫过的面积即四边形 4.4平行线的判定 A4C"的面积，为10x3-分×2x4-分×2×4-7×1× 1.C; 2.内错角相等，两直线平行； 6-分×1×6=16 3.答案不唯一，如∠AED=∠C;4.40° 5.解：因为∠1=∠2， 所以AB∥CD, 因为∠3+∠4=180°， 所以CD∥EF: 所以AB∥EF 图2 6.解：(1)因为∠A=59°，∠D=121°， (3)如图3，满足条件的格点P共有8个 所以∠A+∠D=180. 所以AB∥CD. 所以∠DFE=∠1. 因为∠1=3∠2，∠2=24°， 所以∠DFE=72°. 图3 (2)CE∥PF理由如下： 24.解：(1)根据题意，AB=6,BB1=5, 因为∠DFE=72°， 所以AB,=AB+BB,=6+5=11. 由对顶角相等，得∠BFC=∠DFE=72°. 初中数学湘教七年级第35~39期 因为∠BFP=48°， 所以∠1=130°.选项C正确。 所以∠PFC=∠BFC-∠BFP=24°. 若∠1=140°，则∠DCB=40°. 又因为∠2=24°， 因为∠EDC=25°≠40°， 所以∠PFC=∠2. 所以不能推出DE∥BC.选项D错误. 所以CE∥PF 二、填空题 11.115°；12.118°； 第39期3,4版 13.∠B=65°；14.160°；15.10： 4.3~4.4能力达标自评 16.2m°或(180-2m)°. 一、选择题 提示： 题号 2 34 567 8 910 11.解：由折叠可得： 答案 A ∠BE=∠GFE=7(180-∠)=65， 提示： 因为长方形ABCD中，AD∥BC, 5.解：如图1： 所以∠AEF=180°-∠BFE=115° 14.解：如图2所示，过∠2的顶点作直线1∥支撑平台，直 线1将∠2分成∠4和∠5两个角. 印工作篮 3 图1 由题意，得∠3=∠1+30°=75°， 支撑平台 因为l1∥12，所以∠2=∠3=75° 图2 7.解：因为AC平分∠BAD, 因为工作篮底部与支撑平台平行，直线∥支撑平台， 所以∠EAO=∠BAO. 所以直线1∥支撑平台∥工作篮底部， 因为AB∥DC∥EF, 所以∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°. 所以∠BAO=∠AOE=∠DCO. 因为∠4+∠5=∠2=50°， 因为BC∥AD, 所以∠5=50°-∠4=20°， 所以∠DAC=∠ACB, 所以∠3=180°-∠5=160°. 所以∠BAO=∠AOE=∠DC0=∠EA0=∠COF= 16.解：(1)当OD在∠A0B内时，如图3， ∠ACB. 因为OE平分∠AOD, 10.解：因为∠1+∠DCB=180°，∠1+∠2=180°， 所以∠AOD=2∠E0D=2m°. 所以∠DCB=∠2，所以AB∥CD.选项A正确。 因为∠BOD=∠AOC, 因为∠A=50°，AB∥CD, 所以∠C0B=∠AOD=2m°； 所以∠ADC=180°-∠A=130°. 因为DB平分∠ADC, 所以∠BDC=子∠ADG=65, 因为∠BDE=90°， 图3 图4 所以∠EDC=∠BDE-∠BDC=90°-65°=25°.选项 (2)当OD在∠A0B外时，如图4， B正确. 因为OE平分∠AOD, 若AD∥BC,则∠A=∠2=50°. 所以∠E0D=∠AOE=m°，∠AOD=2m°， 因为∠1+∠2=180°， 所以∠A0C=∠B0D=2m°-90°， 8 初中数学湘教七年级第35~39期 所以∠C0B=∠A0B-∠A0C=90°-(2m°-90°) 所以∠AOE=∠AND, =180°-2m°. 所以OE∥DM. 综上所述，∠C0B=2m°或∠C0B=(180-2m). 22.解：(1)因为OB平分∠A0E, 三、解答题 OD平分∠COE, 17.解：∠EAD两直线平行，同位角相等 ∠A0B=70°，∠D0E=20°， ∠DAC两直线平行，内错角相等 所以∠B0E=∠AOB=70°， ∠EAD∠DAC ∠C0E=2∠D0E=40°， 角平分线的定义 所以∠B0C=∠BOE-∠COE=30°， 18.解：因为CD平分∠ACM,∠DCM=60°， (2)因为0B平分∠A0E,OD平分∠C0E, 所以∠ACM=2∠DCM=120°， 所以∠B0E=宁∠A0E,∠D0E=方∠C0E, 所以∠MCB=180°-∠ACM=60. 所以∠BOD=∠BOE-∠DOE 因为AB∥ON, 所以∠0=∠MCB=60°. =7(LA0E-∠C0E)=号∠A0C 19.解：因为∠ABC=90°，即∠3+∠4=90° 因为∠A0C=90°， 因为∠1+∠2=90°，∠2=∠3， 所以∠B0D=45. 所以∠1=∠4， 23.解：(1)因为AB∥CD, 所以BE∥DE 所以∠BNP=∠2. 20.解：因为BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD, 因为∠1=∠2， 所以∠ABE=∠BBC=子∠ABC, 所以∠BNP=∠1， 所以EF∥NP. ∠2=∠ECD=∠BCD. (2)如图5，过点F作FM∥AB. 因为∠1=∠2， E 所以∠1=∠ECD, 2 所以EF∥CD. PG D 图5 因为AB∥EF, 所以AB∥CD, 因为AB∥CD, 所以∠ABC+∠BCD=180°， 所以AB∥FM∥CD, 所以∠EBC+∠2=(LABC+LBCD)=90, 所以∠EFM=∠1=40°，∠MFH=∠FHG=10°， 所以∠EFH=∠EFM+∠MFH=50°. 所以∠BEC=90°. 因为FH平分∠EFG, 21.解：(1)因为扶手AB与底座CD都平行于地面， 所以∠HFG=∠EFH=50°， ∠0DC=32°， 所以∠MFG=∠MFH+∠HFG=60°. 所以AB∥CD, 因为FM∥CD, 所以∠B0D=∠ODC=32. 所以∠FGD=∠MFG=60° 因为∠E0F=90°， 24.解：(1)因为AB∥CD, 所以∠AOE=180°-∠EOF-∠B0D 所以∠A+∠ADC=180°. =180°-90°-32°=58. 因为∠A=∠C, (2)因为∠BNM=58°， 所以∠C+∠ADC=180°， 所以∠AND=∠BNM=58°. 所以AD∥BC. 因为∠A0E=58°， (2)∠1>∠2>∠3.理由如下： -9 初中数学湘教七年级第35~39期 因为AD∥BC, 因为∠1=∠BDC, 所以∠1=∠EBC,∠2=∠FBC,∠3=∠DBC. 所以180°-∠A-∠1=180°-∠C-∠BDC, 因为∠EBC>∠FBC>∠DBC, 所以∠ABE=∠DBC. 所以∠1>∠2>∠3. 因为∠FBD:∠CBD=1:4, (3)因为AD∥BC, 设∠FBD=x,则∠CBD=4x. 所以∠1=∠EBC,∠A+∠ABC=180°， 因为BE平分∠ABF, 因为∠A=50°， 所以∠ABE=∠EBF=∠CBD=4x, 所以∠ABC=130°. 所以∠ABC=4x+4x+x+4x=130°， 因为AB∥CD, 解得x=10°， 所以∠BDC=∠ABD. 所以∠EBC=4x+x+4x=90°. 一10-