第39期 平行线的性质 平行线的判定 垂线 两条平行线间的距离-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（湘教版·新教材）

9907070-1590 Ofs'e HW'NW (I) T() 8#:5t ym图！)。e .P(c) 'dOI g'6 8-1 .0Ls1 离(0)：57三 定阳达()2 HXXW m(2) 612 :t8(I) :1.-1(E) :喜09(5) :S.E) 15422) 20. (8 分)如图20 ,已知AB∥EF ,∠1 ∠2，BE,CE分别平分 22.(10分)如图22，已知0B,0C,0D ∠AOE内的三条射线 24.(12分)如图24，已知AB∥CD, ,∠A= ∠C =50°，线段AD ∠ABC和LBCD,求∠BEC的度数， OB 平分∠A0E,0D 平分∠C0E 上从左到右依次有两点E,F(不与A,D重合)： (1)若∠A0B=70 9,∠DOE =20°，求∠BOC的度数； (1)试说明AD∥BC; (2)若∠A0C=90°，求∠B0D的度数 (2)比较∠1，∠2，∠3的大小，并说明理由； (3)若∠FBD:∠CBD =1:4,BE平分∠ABF,且∠1 BDC,求LEBC的度数 图21 图24 初中数学·湘教七年级能力达标自评 21.(10分)如图21是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB 23.(12分)如图23，已知AB∥CD,∠1=∠2. 与底座CD都平行于地面，前支架OE与后支架0F分别与CD交于点 (1)试说明EF∥NP; G和点D,AB与DM交于点N,∠EOF=90°，∠ODC=32 (2)若FH平分∠EFG,交CD于点H,交NP于点O,且∠1= (1)求扶手AB与支架OE的夹角∠AOE的度数； 40°，∠FHG=10°，求∠FGD的度数 (2)若扶手AB与靠背DM的夹角∠BNM=58°，请说明OE∥ 初中数学·湘教七年级能力达标自评 DM H /C 图23 图21 参考答案见下期 数评橘 2026年3月31日·星期二 初中数学 39期总第1183期 (湘教七年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) °品味方法 分析：根据对顶角的性质 可求出∠CNM的度数，再根 判平行有方法 据“同旁内角互补，两直线平 行”即可判定AB∥CD. 解：因为∠1=55 图3 ©湖南陈林 由对顶角相等，得∠CNM=∠1=55°， 判定两条直线平行的基本方法有： 所以∠B=∠ECD, 因为∠2=125°， ①同位角相等，两直线平行； 所以AB∥CE(同位角相等，两直线平行) 所以∠CNM+∠2=180° ②内错角相等，两直线平行； 例2如图2，已知∠A=∠AGE,∠D= 所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平 ③同旁内角互补，两直线平行： ∠DGC,试说明AB∥CD. 行) ④平行公理的推论，即平行于同一条直线 二、用线判定 的两条直线平行. 例4如图4，已知 一、用角判定 ∠DAF=∠AFE,∠EFB 例1如图1，AF与BD相 ∠FBC,则AD与BC平行吗？ 交于点C,∠B=∠ACB,且 图2 为什么？ CD平分∠ECF,试说明AB∥ 分析：由对顶角的性质可知∠AGE= 分析：由已知的两对等 CE ∠DGC,再结合已知条件可得∠A=∠D,然后 图 角，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AD 分析：由角平分线的定义和对顶角的性质 根据“内错角相等，两直线平行”即可判定AB ∥EF,EF∥BC,再根据“平行于同一条直线的 可知∠ECD=∠ACB,再结合已知条件可得 ∥CD. 两条直线平行”即可判定AD∥BC ∠B=∠ECD,然后根据“同位角相等，两直线 解：由对顶角相等，得∠AGE=∠DGC 解：AD∥BC.理由如下： 平行”即可判定AB∥CE 因为∠A=∠AGE,∠D=∠DGC 因为∠DAF=∠AFE, 解：因为CD平分∠ECF, 所以∠A=LD, 所以AD∥EF(内错角相等，两直线平行)： 所以∠ECD=∠DCF. 所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行). 因为∠EFB=∠FBC, 由对顶角相等，得∠ACB=∠DCF 例3如图3，直线EF分别与直线AB,CD 所以EF∥BC(内错角相等，两直线平行)， 所以∠ECD=∠ACB. 交于M,N两点，∠1=55°，∠2=125°，试说明 所以AD∥BC(平行于同一条直线的两条 因为∠B=∠ACB, AB∥CD 直线平行) ++++十 一、方位角问题 数眼省世乳 例1如图1，在甲、乙两地 之间修一条笔直的公路，从甲地 平行线魅力生活行 测得公路的走向是北偏东48， 甲、乙两地同时开工，若干天后， 公路准确接通，测乙地所修公路 ◎安徽李冉 的走向是南偏西度 110° A.39° B.51° 解析：本题是一道实际应用问题，它融平行 因为CD∥AB, C.41° D.70 线的性质、方位角为一体.解题时，结合题意观 所以∠ABC+∠BCD=180(两直线平行， 解析：先根据折叠的性质可得∠CFE= 察方位图，由图形可知所求的方位角为∠α，借 同旁内角互补) ∠CFE,∠DEF=∠D'EF,由∠1=39°可求出 助“两直线平行，内错角相等”可知∠α：=48 所以∠BCD=180°-∠ABC=70° ∠AEF的度数，再根据平行线的性质求出 所以乙地所修公路的走向是南偏西48°， 又因为∠BCO=∠DCN, ∠CFE的度数，最后根据平角的定义即可求出 故填48. ∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠2的度数 二、光线问题 例2如图2，一束光线AB 所以LDCN-2180-∠BGD)=55 由折叠的性质，得∠CFE=∠C'FE, LDEF=∠D'EF 先后经平面镜OM,ON反射后， 故选A. 因为∠DEF+∠AEF=180°，∠1=39° 反射光线CD与入射光线AB平 0 三、操作问题 所以∠DEF+∠D'EF=180°+39 行，且∠ABM=∠OBC,∠BCO 例3如图3，在长方形ABCD中，点E是 =2199 =∠DCN.当∠ABM=35°时， 图 AD上一点，点F是BC上一点，将长方形ABCD 所以∠DEF=∠D'EF ∠DCN的度数为 () 沿直线EF折叠，点D的对应点为点D',点C的 A.55° B.709 =3×219°=109.50 对应点为点C',若∠1=39°，则∠2的度数是 C.60° D.359 所以∠AEF=∠D'EF-∠1=70.5 解析：根据平行线的性质和平角的定义即 因为AD∥BC 可得解. 所以∠C'FE=∠CFE=∠AEF= 因为∠ABM=∠OBC,∠ABM=35°， 70.5(两直线平行，内错角相等) 所以∠0BC=35°. 所以∠2=180°-∠C'FE-∠CFE=39° 所以∠ABC=180°-∠ABM-∠0BC= 故选A. 2 素养专练 数理极 4.3平行线的性质 4.4平行线的判定 《思维天地>》 1.如图1，a∥b,∠1=43°，则∠2的度数是 1.如图1，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平 ( 行，添加的下列条件中，正确的是 採求思路不用慌⊙ A.137 B.53 3 C.47° D.43° 铁轨工 逆向思维来帮忙 铁轨 ©河北施小炜 枕 “司马光砸缸”是我们熟悉的历史故事.当一个 图1 X 小朋友掉进水缸里时，伙伴们首先想到的是怎样 A.∠2=90 B.∠3=909 图 图2 “人离开水”，而司马光却开动脑筋，采取“让水离 C.∠4=90° D.∠5=909 2.如图2，平行线AB,CD被直线EF所截，FG 开人”的方法，从而把水缸砸破，救出了落水小朋 2.一副三角尺按如图2所示的方式摆放，则 平分∠EFD,若LEFD=70°，则∠EGF的度数是 友.司马光的这种想法就是逆向思维方法.运用逆 DE∥BC,理由是 ( 向思维，可顺利探寻平行线问题中的解题思路 X A.35 B.55° 例1如图1，已知 C.70° D.110 AB∥CD,∠B=∠D,那 3.一副直角三角板按如图3所示放置，点A在 么∠E与∠DFE相等吗？ DE上，∠BAC=∠DCE=90°.若BC∥DE,则 请说明理由. 图1 ∠ACF的度数为 分析：第一步：通过观察图形发现上E与 X 图2 3 ∠DFE是内错角，要说明∠E与∠DFE相等，需要 3.如图3，能判定DE∥BC的条件是 通过AD∥BE得到： (填一个即可) 第二步：要说明AD∥BE,需先说明∠D= 4.如图4，已知直线AB ∠DCE; 图3 图4 CD被EF所截，EG是∠AEF 第三步：要说明∠D=∠DCE,由AB∥CD 4.一副三角板按如图4摆放，直线AB∥CD, 的平分线，若∠1=∠2，∠2 可得∠B=∠DCE.又由已知∠B=∠D即可得 则∠的度数是 +∠4=120°，则∠3= 出∠D=∠DCE 5.如图5，已知CD平分∠ACB,AC∥DE, 图4 通过上述三步，逆推即可说明∠E与∠DFE CD∥EF,试说明EF平分∠DEB. 5.如图5，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180° 相等 试说明AB∥EF 解：∠E=∠DFE.理由如下： 因为AB∥CD,所以∠B=∠DCE(两直线平 4 行，同位角相等).又因为∠B=∠D,所以∠D= 4 ∠DCE.所以AD∥BE(内错角相等，两直线平 图5 行).所以∠E=∠DFE(两直线平行，内错角相 ! 等) + 例2如图2，已知 ∠BAG与∠AGD互补，且 E ∠1=∠2，问∠E与∠F F 4 相等吗？请说明理由 2 G 6.如图6，∠A=59°，∠D=121°，∠1= 分析：第一步：通过 图2 3∠2，∠2=24°，点P是BC上的一点， 观察图形发现∠E与∠F是内错角，要说明∠E与 (1)求∠DFE的度数； ∠F相等，需要通过AE∥FG得到； 第二步：要说明AE∥FG,需说明∠3=∠4； 6.如图6，已知BE平分∠ABC,交AC于点E, (2)若∠BFP=48°，请判断CE与PF是否平 第三步：要说明∠3=∠4，因为已知∠1= DE∥BC,且∠ABC=-110°，∠C=35,求∠AEB行 ∠2，故需说明∠BAG=∠CGA即可； 的度数 第四步：要说明∠BAG=∠CGA,只需说明AB ∥CD.由已知∠BAG与∠AGD互补，易得AB∥ CD. 通过上述四步，逆推即可说明∠E与∠F相等 解：∠E=∠F.理由如下： 因为∠BAG与∠AGD互补，即∠BAG+ + ∠AGD=180°，所以AB∥CD(同旁内角互补，两 直线平行).所以∠BAG=∠CGA(两直线平行，内 错角相等).因为∠1=∠2，所以∠BAG-∠1= ∠CGA-∠2，即∠3=∠4.所以AE∥FG(内错角 相等，两直线平行).所以∠E=∠F(两直线平行， 内错角相等). 编者语：从以上两例可以看出，逆向思维在数 学中有着广泛的应用，同学们不妨在学习中多练 数理报社试题研究中心 习和尝试这种思维方法，一定会起到事半功倍的 + 参考答案见下期 +效果 15.如图15，直线AE∥BD,点C在BD上，若AE=5,BD=8, 4.3~4.4能力达标自评 △ABD的面积为16，则△ACE的面积为 ◆数理报社试题研究中心 (答题时长120分钟，满分120分) 8.如图8，直线c与直线a相交于点A,与直线b相交于点B,∠1 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） =135°，∠2=65°，若要使直线a∥b,则将直线b绕点B按如图所 15 图16 1.如图1，AB∥CD,∠A=120°，则∠1的度数为 示的方向至少转动 ) 16.如图16，∠A0B=90°，射线0C在∠A0B的内部，∠A0C< A.60° B.100° C.120 D.1309 A.10° B.20 C.60 D.130° 30°，若∠B0D=∠A0C,0E平分∠A0D,∠E0D=m°，则∠C0B= 9.如图9，∠1+∠2=180°，∠3=103°，则∠4的度数是 (用含m的代数式表示). ( 三、解答题（本题共8小题，共72分） A.73° B.83 C.77 D.879 17.(6分)如图17所示，已知∠B=∠C,AD∥ BC,试说明：AD平分∠CAE. 图1 图2 2.如图2，木工用图中的角尺画平行线的依据是 请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由 ( A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 或数学式) 解：因为AD∥BC(已知)， 图1 C.同旁内角互补，两直线平行D.以上都不对 图9 图10 初 3.如图3，AB∥DE,BC∥EF,则∠E与∠B的关系一定成立的 所以∠B= 必 10.如图10，四边形ABCD中，∠A=50°，DB平分∠ADC,∠1+ 初 是 ( ∠C= 警 ∠2=180°，∠EDB=90°.下列判断错误的是 ( A.互余 B.∠E=2∠B 又因为∠B=∠C(已知)， 中数学 C.相等 A.AB∥CD D.互补 所以 (等量代换)， B.∠EDC=25o 所以AD平分∠CAE( C.若AD∥BC,则∠1=130° 18.(6分)如图18，点C在∠MOW的一边0M上，过点C的直线 D.若∠1=140°，则DE∥BC 级 AB∥ON,CD平分∠ACM.当∠DCM=60°时，求∠0的度数 能力达 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 级 图3 11.如图11，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF 标 4.如图4，将三个相同的三角尺不重叠、不留空隙地拼在一起 等于 力达标 观察图形，在线段AB,AC,AE,ED,EC,BC,CD中，相互平行的线段 有 ( 评 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 图18 5.已知l1∥2，将含30°角的直角三角板按如图5所示放置，使 得直角顶点C落在直线L,上，锐角顶点B落在直线，上，∠A=30 若∠1=45°，则∠2的度数为 A.45° B.60 C.75 D.90° 12.绿色出行，健康你我.图12-①是自行车放在水平地面的实 19.(8分)如图19，已知∠ABC=90°，∠1+∠2=90°，∠2= 物图，12-②是其示意图，其中AB,CD都与地面平行，AM与CB也 ∠3，试说明BE∥DF 平行，若∠BCD=62°，则∠MAB的度数为 13.如图13，∠DAC=25°，∠BAC=90°，要使AD∥BC,需再添 加的一个条件是」 (要求：添加这个条件后，其他条 件也必不可少，才能推出结论) 图5 图6 四工作篮 6.如图6，直线AB,CD,EF相交于点O,且AB⊥CD,OB平分 3 ∠EOG,若∠FOD=30°，则∠BOG的度数为 ( 2 A.90° B.60° C.30° D.无法确定 支撑平台 7.如图7，AB∥DC∥EF,BC∥AD,AC平分∠BAD且与EF交 图13 图14 于点0，那么与∠AOE相等的角有 14.如图14所示的是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 支撑平台平行.若∠1=30°，∠2=50°，则∠3=初中数学湘教七年级第35~39期 ”发理招 答案详解 2025~2026学年 初中数学湘教七年级 第35~39期 提示： 第35期 12.解：方法一：-2a-1<-2b+m, 第3章《一元一次不等式（组）》综合能力达标自评 解得a>6~分-受 一、选择题 因为a>b, 题号 678 910 答案 DDBABCBABD 所以-分-受≤0， 提示： 解得m≥-1. 7.解：不等式组 x-m<0,① 方法二：因为a>b,所以-2a<-2b, 由①，得x<m, 4-2x<0,② 所以-2a+(-1)<-2b+(-1)≤-2b+m. 由②，得x>2. 在-2b+(-1)≤-2b+m的两边都加26， 因为m的取值范围是4<m<5, 得-1≤m,即m≥-1. 「x-m<0, 16.解：(1)设甲种文创产品的进价为每个x元，乙种文创 所以不等式组 的整数解有3,4，共两个 4-2x<0 产品的进价为每个y元. 注：此处若不好理解，可以在数轴上画一画， r60x+40y=1520, 依题意，得 秒杀技巧：不妨令m=4.1,则2<x<4.1,秒出答案. 30x+50y=1360, 9.解：设小李乘车路程为x千米. x=12, 解得 依题意，得1.5(x-3)≤11-5， y=20 则x-3≤4，解得x≤7. 答：甲种文创产品的进价为每个12元，乙种文创产品的进 答：小李乘车路程最多是7千米 价为每个20元， 10.解：设甲将数字3抄成了数字a, (2)设购进甲种文创产品m个， x+6 ≤2」 ① 则购进乙种文创产品(200-m)个， 依题意，得 4 依题意可得12m+20(200-m)≤3360， x-7<2(x-a),② 解得m≥80. 解不等式①，得x≤2， 答：最少需要购进80个甲种文创产品. 解不等式②，得x>2a-7, 三、解答题 因为此不等式组无解， 17.(1)x≥-5； 所以2a-7≥2， (2)x≤-2. 解得a≥4.5， 18.x≤1.数轴表示略. 所以根据选项知甲将数字3可能抄成了数字5. 19.解：因为a,b,c都是实数，a>b, 二、填空题 根据不等式的基本性质1，得a+c>b+c 1.a<7:12.m≥-l:1330+4<60: 因为c>d,根据不等式的基本性质1，得b+c>b+d. 14.七；15.x<-2;16.(1)12,20;(2)80. 根据不等式的传递性，得a+c>b+d. 初中数学湘教七年级第35~39期 20.提示：从题中提取信息：(1)利润率=售价进价× 所以A的“解集中点值”为5. 进价 因为5在-1<x≤5这一范围内， 100%);(2)售后利润率不低于20%. 所以不等式B对于不等式组A中点包含. 解：设可降价x元 (2)因为不等式组D对于不等式组C中点包含， 360 所以不等式组C和不等式组D有解 根据题意，得 60-x-1+80% ×100%≥20%， 360 1+80% 2x+7>2m+1, 解不等式组C: 得，>m-3, 3x-16<9m-1,lx<3m+5. 解得x≤120. 答：最多可降价120元. x>m-4, rx m-4, 解不等式组D: 得 注：本题难，点是列出一元一次不等式 3x-13<5m, x<5m+13 3 21.解：解2x-1>5,得x>3; rm-3<3m+5, 解5x+1≤-4，得x≤-1. 所以 m-4<5m+13解得m>-4, 因为实数a是不等式2x-1>5的一个最小整数解， 3 实数b是不等式5x+1≤-4的一个最大负整数解， 所以当m>-4时，不等式组C的解集为m-3<x<3m+5, 所以a=4,b=-1. 不等式组D的解集为m-4<x<5m+13 3 则ax-9<b为4x-9<-1, 解得x<2. 所以C的“解集中点值”为m-3+3m+5=2m+1 2 22.解：因为a☒b=a-2b, 因为不等式组D对于不等式组C中点包含， 所以x☒m=x-2m>3, 所以m-4<2m+1<5m+3,解得-5<m<10. 则x>2m+3. 3 因为x☒m>3的解集为x>-1, 又因为m>-4,所以-4<m<10. 所以2m+3=-1, (3)解不等式组E,得2n<x<2m, 所以m=-2. 解不等式组F,得3n+m<x<5+n, 2 x=2a+1, 23.解：(1)解原方程组可得 Ly =2-a. 其中3n+m<5+n,即m+n<10, 2 因为方程组的解为一对正数， 所以E的“解集中点值”为n+m. r2a+1>0, 所以 因为不等式组F对于不等式组E中点包含， 2-a>0, 所以3n+m<m+n<5+n,解得n<m<5. 2 解得了 <a<2, 因为所有符合要求的整数m之和为9， 即a的取值范周为-子<。<2 所以整数m可取2,3,4或-1,0,1,2,3,4， 所以1≤n<2或-2≤n<-1. (2)由(1)可知2a+1>0,2-a>0, 所以2a+1>0,a-2<0, 第36期3,4版 即12a+11-la-21 阶段能力达标自评 =(2a+1)-(2-a)=3a-1. 注：求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取大，同小 一、选择题 取小，小大大小中间找，大大小小解不了 题号12345678910 24.解：(1)不等式B对于不等式组A中点包含， 答案CCDADBCD BD 判断过程如下： 提示： 2x-3>5得4<x<6, 2.解：A.x>4可以变形为-x<-4,故本项错误； 解不等式组A: 6-x>0, B.x>4可以变形为x+2>6,故本项错误； -2 初中数学湘教七年级第35~39期 Cx>4可以变形为-分<-2，故本项正确： 解得7≤0≤14， 所以0的最大值m=14,最小值n=7, D.x>4可以变形为x-2>2,故本项错误 所以m+n=14+7=21. 3.解：由16<18<25，得16<√18<√25， 二填空题 即4<18<5. 11.-2,2-√3，-2；12.-5； 4.解：50×8×20=20(cm). 13.1或-3.14.-1；15.14；16.-1或2. 答：锻造成的立方体铁块的棱长是20cm. 提示： 5.解：A.若a>b,c≠0，则ac>bc(c>0),故本项错误； 12.解：由题意得，四边形ABCD是正方形，且其面积为 B若a>6,c≠0，则？>之（e>0),放本项错误： 1 c 3×3-4×2×1×2=5,所以AB=5, C.若a>b,c≠0，则2c-a<2c-b,故本项错误； 所以点A'表示的实数为-5. D.若a>b,c≠0，则-c+a>-c+b,故本项正确 13.解：因为2m-4与3m-1是同一个数的平方根， 6.解：设进价应不低于x元， 所以①2m-4+3m-1=0时， 根据题意，得1200-x≤20%x, 解得m=1; 解得x≥1000. ②2m-4=3m-1时，解得m=-3, 7.解：因为(x+a)(x+b)=x2-5x+4, 综上可知，m为1或-3. 所以x2+(a+b)x+ab=x2-5x+4, 14.解：(ax2+bx+1)(2x2-3x+1) 所以a+b=-5. =2ax+(2b-3a)x23+(a-3b+2)x2+(b-3)x+1. 8.解：根据题目中的新定义运算法则，可得 因为展开式中不含x项，也不含x项， 5☆x=5x2-5x-1, 2b-3a=0, 所以 所以5x2-5x-1=6-4x, 6-3=0, 所以5x2-x=7, 解得a=2,b=3, 所以3-2x+10x2=3+2(5x2-x)=3+2×7=17. 所以a-b=-1. 9.解：因为-1<a<0,0<b<1, 15.解：小杰继续在A窗口排队打完饭所花的时间为 所以a<ab<0, a-4×2=a-8(分). 4 4 因为a×b=c, 因为小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新 所以a<c<0. 排队，打完饭时所花的时间比原来少， 10解：设-2兮-， 3 所以0-8X名6X2<”:8解得a>2 8 则x=2t+1,y=2-3t. 又因为a为偶数，所以a的最小值是14. 因为x≥0，y≥0， x≥-3， 所以2t+1≥0,2-3t≥0， 16.解：因为 所以-3≤x<a. Lx a, 解得1≥-子4≤子 因为不等式组 x≥-3， 的解集中的整数和为-5， 即≤1≤子 Lx a 所以x取-3，-2或x取-3，-2，-1,0,1， 因为0=3x+4y, 所以-1≤a<0或2≤a<3, 把x=2t+1,y=2-3t代入，得0=-6t+11, 则整数a的值为-1或2. 则t=11-0 三、解答题 6 17.解：(1)原式=(a)2=a2 所以-≤"。≤ 2 (2)原式=(-8×0.125)2+1-(-2) 一3 初中数学湘教七年级第35~39期 =-1+1+2=2. 答：建立每个中型图书馆需要5万元，建立每个小型图书 18.解：因为a2-2a+b2-6b+10 馆需要3万元. =(a2-2a+1)+(b2-6b+9)=0, (2)设建立中型图书馆a个，则小型图书馆(10-a)个. 即(a-1)2+(b-3)2=0, r5a+3(10-a)≤44， 根据题意，得 所以a=1,b=3, 10-a≤a, 所以b=3=3 1 解得5≤a≤7. 因为a为正整数， 19.解：(1)2x-3≤1， 所以a可取5,6,7，对应的10-a分别为5,4,3. 移项，得2x≤3+1，即2x≤4， 答：一共有3种方案： 解得x≤2. 方案一：中型图书馆5个，小型图书馆5个； 5x-2>3(x+1),① 方案二：中型图书馆6个，小型图书馆4个； 2) -1≤7-2 1 方案三：中型图书馆7个，小型图书馆3个 解不等式①，得x>2.5, 23.解：(1)是. 解不等式②，得x≤4， (2)3x+a<2的解集是x<24, 3 所以不等式组的解集为2.5<x≤4， 所以整数解为4,3. 1-3>0的解集是x<分 20.解：不能.理由如下： 因为大正方形纸片的面积为2×18=36(cm2), 根据题意，得2兮=子 =3 解得a=1. 所以大正方形的边长为6cm 设裁出的长方形的长为3bcm,宽为2bcm, (3)不等式-x+4m>0的解集为x<4m, 因为x<-2是关于x的不等式-x+4m>0的“覆盖不 则662=30，所以b=5(取正值). 等式”， 因为5>4，所以5>2. 所以4m≤-2， 由上可知35>6. 所以不能裁得长、宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方 解得m≤-子 形纸片 24.解：(1)设1-x=a,x-5=b, 21.解：(1)因为x2=2,y°=3， 则(1-x)(x-5)=ab=2, 所以x3=(x7)9=2°=512， a+b=(1-x)+(x-5)=-4, y=(y)7=37=2187. 所以(1-x)2+(x-5)2=a2+b2 因为512<2187， =(a+b)2-2ab=(-4)2-2×2 所以x3<y,所以x<y =16-4=12. (2)40=(22)0=20,826=(23)26=278 (2)设30-x=3,x-20=t, 因为75<78<100， 则(30-x)(x-20)=st=-580,s+t=10, 所以25<28<210，即25<826<40 所以(30-x)2+(x-20)2 22.解：(1)设建立每个中型图书馆需要x万元，建立每个 =82+2 小型图书馆需要y万元. =(s+t)2-2st 3x+5y=30, =100-(-1160)=1260. 根据题意，得 2x+3y=19, (3)由题知，正方形ACFG的边长为13-m,面积为(13- 解得5， m)2,正方形ABDE的边长为10-m,面积为(10-m)2, y=3 则有(13-m)2+(10-m)2=117. -4 初中数学湘教七年级第35~39期 设13-m=p,10-m=9, 二、填空题 则p2+92=117, 11.同平行于一条直线的两条直线互相平行； p-9=13-m-10+m=3, 12.140°；13.30°；14.3；15.69°；16.55°. 所以长方形ACPE的面积为： 三、解答题 m=D+9）,p-4)=17-9=54 17.解：∠1与∠2，∠4与∠DBC是同位角； 2 2 ∠1与∠3，∠4与∠5是内错角： 第37期2版 ∠3与∠4，∠1与∠5是同旁内角 18.解：因为∠1=80°，由对顶角相等，得 4.1.1相交与平行 ∠A0D=∠1=80°. 1.D;2.C;3.C; 因为∠2=30°， 4.①②④⑤. 所以∠A0E=∠A0D-∠2=50°. 5.图略. 19.解：因为∠E0D比∠B0D大20°， 4.1.2.1对顶角 所以∠EOD=∠BOD+20° 1.B;2.D;3.B; 因为∠AOE=2∠AOC, 4.14；5.60;6.2,6,n(n-1). 且由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC, 7.解：因为∠2=52°， 所以∠AOE=2∠BOD, 由对顶角相等，得∠1=∠2=52°. 所以2∠B0D+∠B0D+20°+∠B0D=180°， 因为∠1=∠3+12°， 所以∠B0D=40°. 所以∠3=∠1-12°=40°， 20.解：(1)（画法不唯一）如图即为所求作. 所以∠4=180°-∠3=140°. 8.解：(1)∠AOE的对顶角是∠BOF; ∠DOF的对J顶角是∠COE. (2)因为∠C0E=90°， 由对顶角相等，得∠D0F=∠C0E=90°. 因为∠B0F=20°， (2)因为∠1=3∠2，∠2=3∠3， 所以∠BOD=∠DOF-∠BOF=70°. 所以∠1=9∠3. 所以∠AOD=180°-∠B0D=110°. 又因为∠1+∠3=180°， 4.1.2.2同位角、内错角、同旁内角 所以9∠3+∠3=180°， 1.B:2.B: 所以∠3=18°， 3.AC,∠EBD和∠ABD. 所以∠1=162°，∠2=54° 4.解：∠1与∠2是直线CD与AB被直线AC所截形成的内 21.解：(1)因为∠A0C=50°， 错角；∠3与∠D是直线AC与CD被直线AD所截形成的同旁 由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=50° 内角 因为∠DOE=90°， 5.解：(1)∠2的同位角的度数是50°； 所以∠B0E=∠B0D+∠D0E=140°. (2)∠2的内错角的度数是50°： 因为OM平分∠BOE, (3)∠2的同旁内角的度数是130°. 所以∠B0M=子∠B0E=70, 第37期3,4版 所以∠DOM=∠BOM-∠B0D=20°. 4.1能力达标自评 (2)画图略，OW是∠AOD的平分线.理由如下： 一、选择题 因为∠A0C=50° 所以∠A0D=180°-∠A0C=130° 题号 1 34 10 因为∠D0M=20°，∠M0N=45°， 答案BC C BCC D 所以∠DON=∠D0M+∠M0N=65°， 提示： 4.与∠AOB是同位角的是∠ACD和∠CDB. 所以∠D0N=之∠A0D, 初中数学湘教七年级第35~39期 所以ON是∠AOD的平分线. 3(180°-5m)-(90°-3)=18 = 2,解：1)路径：∠1内错角∠12 同旁内角，∠8（答案 不唯一) 第38期2版 (2)从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺 4.2.1平移现象 序跳，能跳到终点位置∠8.其路径为∠1 同位角 10 1.A;2.B;3.540m2. 内错角∠5同旁内角，∠8 4.解：如图1为平移4根火柴棒变成三个相同的正方形；如 图2为平移4根火柴棒变成四个相同的正方形.（答案不唯一） 23.解：(1)因为∠D0E=50°， 所以∠C0E=180°-∠D0E=130%. 因为OA平分∠COE, 1 所以∠A0E=2∠C0E=65°. 因为∠E0F=90°， 4.2.2平移的性质 所以∠B0F=180°-∠AOE-∠E0F=25°. 1.B;2.C;3.C;4.A; (2)因为∠D0E=a, 5.35;6.42. 所以∠C0E=180°-∠D0E=180°-a. 7.解：(1)MN,MH,MK,KH; 因为OA平分∠COE, (2)线段BC,CE对应的线段分别是NG,GK; 所以∠A0E=分∠c0E=分(180°-0)=90°- (3)∠B=∠V,∠ADC=∠MHG. 2. 8.解：由已知，得重叠部分为长方形，其长为5-2=3， 因为∠E0F=90°， 宽为3-1=2， 所以B=∠B0F=180°-∠AOE-∠E0F 所以阴影部分图形的面积和为两个长方形， =180°-(90-2)-90=7a, 即阴影部分图形的面积和=总面积-2×重叠面积， 即5×3×2-3×2×2=18. 即a=2B. 4.2.3平移作图 24.解：(1)因为∠B0C=75°， 1.C;2.B;3.2;4.3和5. 由对顶角相等，得∠AOD=∠B0C=75°. 5.图略. 因为∠AON:∠NOD=2:3, 6.(1)图略； 所以∠40N=子∠A0D=30e (2)△A'BC的面积为号 ×4×4=8. (2)OB是∠COM的平分线.理由如下： 第38期3,4版 由(1)知，当∠B0C=75°时，∠A0N=30°. 所以∠B0W=180°-∠A0W=150. 4.2能力达标自评 因为OM平分∠BON, 一、选择题 所以∠B0N=子∠B0N=75, 题号12345678910 答案AC C DA CCC BD 所以∠BOC=∠BOM, 所以OB是∠COM的平分线. 二、填空题 11.1.65;12.∠F,AB;13.10:14.6;15.14cm;16.6. (3)号∠A0c-∠D0M是定值 三、解答题 设∠A0N=2x,则∠N0D=3x. 17.解：(1)图略； 因为∠M0W=90°， (2)平行且相等. 所以∠D0M=∠M0N-∠N0D=90°-3x. 18.解：答案不唯一，如图1. 因为∠AOD=∠AON+∠DON=5x, 所以∠A0C=180°-∠A0D=180°-5x, 所以号∠A0C-∠D0M 6 初中数学湘教七年级第35~39期 19.解：因为将△ABC沿BC方向平移2.5cm得到△DEF, (2)根据题意，长方形每次平移5个单位， 所以AD=BE,AB=DE, 则n次平移5n个单位，即BB.=5n, 所以阴影部分的周长=AD+EC+DE+AC=BE+EC+ 所以AB,=AB+BB.=6+5n. AB +AC BC AB AC=4+3+2=9(cm). 第39期2版 20.解：(1)平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离 是线段AD的长度. 4.3平行线的性质 (2)因为△ABC平移到△DEF的位置， 1.D;2.A;3.15°；4.15° 所以CF=AD. 5.解：因为AC∥DE, 因为CF+BC=BF, 所以∠ACE=∠DEB. 所以AD+BC=BF 因为CD∥EF, 21.解：因为△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF, 所以∠DCE=∠BEF 所以AD=CF. 因为CD平分∠ACB, 设AD=xcm,则CF=xcm 所以LDCE=子∠ACB 因为S四边形BFD= 子5aw,8c=6cm, 所以∠BEP=宁∠DER 所以子(x+6+)×B=子 2×6AB, 71 所以EF平分∠DEB. 解得x=4, 6.解：因为BE平分∠ABC,∠ABC=110°， 所以AD的长为4cm. 1 22.解：(1)该种红地毯的长是：2.6+5.8=8.4(m): 所以LEBC=7∠ABC=559, (2)该种红地毯的面积是：8.4×2=16.8(m2); 因为DE∥BC,∠C=35°， (3)购买该种红地毯至少需要：16.8×30=504（元）. 所以∠DEB=∠EBC=55°，∠AED=∠C=35° 23.解：(1)如图2，△A'B'C'即为所求 所以∠AEB=∠DEB+∠AED=90. (2)连接AA',CC',如图2，线段AC所扫过的面积即四边形 4.4平行线的判定 A4C"的面积，为10x3-分×2x4-分×2×4-7×1× 1.C; 2.内错角相等，两直线平行； 6-分×1×6=16 3.答案不唯一，如∠AED=∠C;4.40° 5.解：因为∠1=∠2， 所以AB∥CD, 因为∠3+∠4=180°， 所以CD∥EF: 所以AB∥EF 图2 6.解：(1)因为∠A=59°，∠D=121°， (3)如图3，满足条件的格点P共有8个 所以∠A+∠D=180. 所以AB∥CD. 所以∠DFE=∠1. 因为∠1=3∠2，∠2=24°， 所以∠DFE=72°. 图3 (2)CE∥PF理由如下： 24.解：(1)根据题意，AB=6,BB1=5, 因为∠DFE=72°， 所以AB,=AB+BB,=6+5=11. 由对顶角相等，得∠BFC=∠DFE=72°. 初中数学湘教七年级第35~39期 因为∠BFP=48°， 所以∠1=130°.选项C正确。 所以∠PFC=∠BFC-∠BFP=24°. 若∠1=140°，则∠DCB=40°. 又因为∠2=24°， 因为∠EDC=25°≠40°， 所以∠PFC=∠2. 所以不能推出DE∥BC.选项D错误. 所以CE∥PF 二、填空题 11.115°；12.118°； 第39期3,4版 13.∠B=65°；14.160°；15.10： 4.3~4.4能力达标自评 16.2m°或(180-2m)°. 一、选择题 提示： 题号 2 34 567 8 910 11.解：由折叠可得： 答案 A ∠BE=∠GFE=7(180-∠)=65， 提示： 因为长方形ABCD中，AD∥BC, 5.解：如图1： 所以∠AEF=180°-∠BFE=115° 14.解：如图2所示，过∠2的顶点作直线1∥支撑平台，直 线1将∠2分成∠4和∠5两个角. 印工作篮 3 图1 由题意，得∠3=∠1+30°=75°， 支撑平台 因为l1∥12，所以∠2=∠3=75° 图2 7.解：因为AC平分∠BAD, 因为工作篮底部与支撑平台平行，直线∥支撑平台， 所以∠EAO=∠BAO. 所以直线1∥支撑平台∥工作篮底部， 因为AB∥DC∥EF, 所以∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°. 所以∠BAO=∠AOE=∠DCO. 因为∠4+∠5=∠2=50°， 因为BC∥AD, 所以∠5=50°-∠4=20°， 所以∠DAC=∠ACB, 所以∠3=180°-∠5=160°. 所以∠BAO=∠AOE=∠DC0=∠EA0=∠COF= 16.解：(1)当OD在∠A0B内时，如图3， ∠ACB. 因为OE平分∠AOD, 10.解：因为∠1+∠DCB=180°，∠1+∠2=180°， 所以∠AOD=2∠E0D=2m°. 所以∠DCB=∠2，所以AB∥CD.选项A正确。 因为∠BOD=∠AOC, 因为∠A=50°，AB∥CD, 所以∠C0B=∠AOD=2m°； 所以∠ADC=180°-∠A=130°. 因为DB平分∠ADC, 所以∠BDC=子∠ADG=65, 因为∠BDE=90°， 图3 图4 所以∠EDC=∠BDE-∠BDC=90°-65°=25°.选项 (2)当OD在∠A0B外时，如图4， B正确. 因为OE平分∠AOD, 若AD∥BC,则∠A=∠2=50°. 所以∠E0D=∠AOE=m°，∠AOD=2m°， 因为∠1+∠2=180°， 所以∠A0C=∠B0D=2m°-90°， 8 初中数学湘教七年级第35~39期 所以∠C0B=∠A0B-∠A0C=90°-(2m°-90°) 所以∠AOE=∠AND, =180°-2m°. 所以OE∥DM. 综上所述，∠C0B=2m°或∠C0B=(180-2m). 22.解：(1)因为OB平分∠A0E, 三、解答题 OD平分∠COE, 17.解：∠EAD两直线平行，同位角相等 ∠A0B=70°，∠D0E=20°， ∠DAC两直线平行，内错角相等 所以∠B0E=∠AOB=70°， ∠EAD∠DAC ∠C0E=2∠D0E=40°， 角平分线的定义 所以∠B0C=∠BOE-∠COE=30°， 18.解：因为CD平分∠ACM,∠DCM=60°， (2)因为0B平分∠A0E,OD平分∠C0E, 所以∠ACM=2∠DCM=120°， 所以∠B0E=宁∠A0E,∠D0E=方∠C0E, 所以∠MCB=180°-∠ACM=60. 所以∠BOD=∠BOE-∠DOE 因为AB∥ON, 所以∠0=∠MCB=60°. =7(LA0E-∠C0E)=号∠A0C 19.解：因为∠ABC=90°，即∠3+∠4=90° 因为∠A0C=90°， 因为∠1+∠2=90°，∠2=∠3， 所以∠B0D=45. 所以∠1=∠4， 23.解：(1)因为AB∥CD, 所以BE∥DE 所以∠BNP=∠2. 20.解：因为BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD, 因为∠1=∠2， 所以∠ABE=∠BBC=子∠ABC, 所以∠BNP=∠1， 所以EF∥NP. ∠2=∠ECD=∠BCD. (2)如图5，过点F作FM∥AB. 因为∠1=∠2， E 所以∠1=∠ECD, 2 所以EF∥CD. PG D 图5 因为AB∥EF, 所以AB∥CD, 因为AB∥CD, 所以∠ABC+∠BCD=180°， 所以AB∥FM∥CD, 所以∠EBC+∠2=(LABC+LBCD)=90, 所以∠EFM=∠1=40°，∠MFH=∠FHG=10°， 所以∠EFH=∠EFM+∠MFH=50°. 所以∠BEC=90°. 因为FH平分∠EFG, 21.解：(1)因为扶手AB与底座CD都平行于地面， 所以∠HFG=∠EFH=50°， ∠0DC=32°， 所以∠MFG=∠MFH+∠HFG=60°. 所以AB∥CD, 因为FM∥CD, 所以∠B0D=∠ODC=32. 所以∠FGD=∠MFG=60° 因为∠E0F=90°， 24.解：(1)因为AB∥CD, 所以∠AOE=180°-∠EOF-∠B0D 所以∠A+∠ADC=180°. =180°-90°-32°=58. 因为∠A=∠C, (2)因为∠BNM=58°， 所以∠C+∠ADC=180°， 所以∠AND=∠BNM=58°. 所以AD∥BC. 因为∠A0E=58°， (2)∠1>∠2>∠3.理由如下： -9 初中数学湘教七年级第35~39期 因为AD∥BC, 因为∠1=∠BDC, 所以∠1=∠EBC,∠2=∠FBC,∠3=∠DBC. 所以180°-∠A-∠1=180°-∠C-∠BDC, 因为∠EBC>∠FBC>∠DBC, 所以∠ABE=∠DBC. 所以∠1>∠2>∠3. 因为∠FBD:∠CBD=1:4, (3)因为AD∥BC, 设∠FBD=x,则∠CBD=4x. 所以∠1=∠EBC,∠A+∠ABC=180°， 因为BE平分∠ABF, 因为∠A=50°， 所以∠ABE=∠EBF=∠CBD=4x, 所以∠ABC=130°. 所以∠ABC=4x+4x+x+4x=130°， 因为AB∥CD, 解得x=10°， 所以∠BDC=∠ABD. 所以∠EBC=4x+x+4x=90°. 一10-