第38期 一次函数与二元一次方程的关系-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（湘教版·新教材）

S931L58-1SS0 8621L0S-1590 -=u'I=() -).9 -Io 5.0-523-) ::O'7 盘 i ) -<w(I) 13 i … OI= - 二+ D() 雨 …1 ) 2085.0-(1).02 (0I>x g=q'AD(I)'I 中()。23 +--) Ix(E) (0.872+5)8 'I-(I)' 22.(10分)【数学活动】在“数学建模周”活动中，小青用激光 次函数y= 20.（8分)k为何值时，方程组 y 23.(12分) 如图12 已知 2 +b的图象与y轴 触感器探究平面镜反射规律时，发现反射路径可以用二元一次方程 = -6x 描述.现有两面成特殊角度的平面镜，其反射路径用 二元一次方程 交于点A,与x轴交于点B,与正比例函数y=2x的图象交于点C(1, (1)有唯一 一组解 描述如下： (2)有无穷多解； 镜面a的方程为x+y=3; (1)求a,b的值； (3)无解. 镜面B的方程为x-y=-1 2x-y=0, 【实践操作】(1)下列表格中上下每对x,y的值都是镜面x的方 (2)方程组{1 (2*+r=b 的解是 程x+y=3的解. (3)在正比例函数y=2x的图象上是否存在点P,使得△BOP x…-101m… y…n320… 的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐 标；若不存在，请说明理由。 则m= ,n= (2)将表格中的每组解表示为点(x,y)的形式，例如：方程x+y =3的一组解=0的对应点是(0,3)，请在所给的平面直角坐标 ly =3 系（图11）中依次描出(1)中四组解的对应点； 【观察猜想】(3)观察(2)中描出的点，猜想镜面α的方程x+y 初中数学 =3的所有解的对应点组成的图形是 ,并根据猜想画出这 个图形，我们把这个图形叫作镜面α的方程x+y=3的图象； 【类比操作】(4)类比镜面α方程的图象画法，请在同一个平面 湘教八 直角坐标系中，直接画出镜面B的方程x-y=-1的图象（无需列表 初中数学·湘教八 21.(10分)如图10，在平面直角坐标系中，函数y=-3x+b的 格)； 年级能 图象与)箱相交于点R,与函数)=一手的图象相交于点4，且 【解决问题】(5)请根据图象，直接写出方程组+y=3,的 (x-y =-1 方 0B=5. 24.(12分)如图13，在平面直角坐标系中，过点B(6,0)的直线 解 (1)求点A的坐标： 4B与直线OA相交于点A(4,2),动点M沿路线0→A→C运动 自评卷 4 (2)求函数y=-3x+b,y=- 3x的图象与x轴所围成的三角 (1)求直线AB的表达式： 年级能力达标自评卷 (2)求△OAC的面积； 形的面积 (3)当△0MC的面积是△01C的面积的4时，求出这时点M 的坐标 参考答案见下期 兹理极 2026年3月25日·星期三 初中数学 第38期总第1182期 (湘教八年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 专题辅导8 翻折后经过点(4,1)，则b的值为 ( 一、新定义型 求一次函数表艺式 A.-5 B.5 C.-3 D.3 例1若对实数a,b 题 解：由题意，得点(4,1)关于x轴对称的点定义一种新运算：a⑧b= ● 有妙招 的坐标是(4，-1) a-b(a≥2b), 展 例 将(4，-1)代人一次函数y=x-b, la+b-6(a<2b), ◎山西李秋瑜 得4-b=-1.解得b=5. 如：3⑧1=3-1=2；5 一次函数及其图象是初中数学的重要内容 故选B. ⑧4=5+4-6=3.则函 之一，也是中考的重点考查内容.求一次函数的 数 三、平分图形用面积 数y=(x+2)⑧(x-1) 表达式是一类常见题型，它涉及知识面广、技巧 例3如图，在平面直 的图象大致是 性强、题目灵活多变本文对常见的几种典型题 ( 型进行归纳总结，现剖析如下 角坐标系中，已知点A(0 一、待定系数直接求 4),B(-1,2),C(3,2),直 姚瑞光 新 例1已知一次函数的图象经过(-1，-3)， 线l经过点A,它将△ABC -012345元-012345 45 6 (2,3)两点，则它的图象不经过第 分成面积相等的两部分，则 限 直线（的函数表达式为 解：设该一次函数的表达式为y=cx+b. 1012345-1012345元 将(-1，-3)，(2,3)代入y=x+b, 解：设直线I与BC交于点D. D 3己 因为直线l经过点A,并将△ABC分成面积 b=-1. 相等的两部分，所以AD是△ABC的中线， 分析：根据定义的新运算分两种情况讨论， 所以该一次函数的表达式为y=2x-1. 因为B(-1,2),C(3,2), 分别求出每种情况的函数表达式，画出图象进 因为2>0，-1<0， 所以点D的坐标为(1,2) 行判断即可. 所以一次函数y=2x-1的图象不经过第二 设直线l的函数表达式为y=kx+4. 解：当x+2≥2(x-1)时，x≤4. 象限 把D(1,2)代入，得k+4=2. 所以当x≤4时，y=(x+2)⑧(x-1)= 故填二 解得k=-2. (x+2)-(x-1)=x+2-x+1=3; 二、翻折问题用性质 所以直线l的函数表达式为y=-2x+4. 当x>4时，y=(x+2)⑧(x-1)=(x+ 例2已知一次函数y=x-b的图象沿x轴 故填y=-2x+4. 2)+(x-1)-6=x+2+x-1-6=2x-5. 思维天地 故选A. (2,-2)在直线y=x+b上， 二、程序运算型 翕类讨论思想 所以6+6=解得k=1山 例2根据如图1所示的程序计算函数y的 2k+b=-2. lb=0. 来“亮 所以这条直线的函数表达式为y=一x 值.若输入x的值是2时，则输出的y的值是6. 若输人x的值是3，则输出的y的值是( ) 综上可知，这条直线的函数表达式为 ⊙湖南张莉莉 y=x-1或y=-x x为偶数时 y=2x+b 有些与一次函数有关的数学问题，在题目 例3如右图，直线y=2 /输入 输出y 给定的条件下，其答案有两种或两种以上的结 +3与x轴交于点A,与y轴交于 t为奇数时3x-b 果，解决这类问题时，许多同学往往因忽视某种 图1 点B. 情况而导致以偏概全.本文列举数例，供同学们 A.6 B.7 C.8 D.9 (1)求A,B两点的坐标； 参考学习. (2)过B点作直线BP与x 0 分析：根据已知数值和运算公式求出b的 例1已知函数y=(m-2)x3+n+轴交于点P,且使0P=20M,求△ABP的面积 值，进而代入求出x=3时对应的y的值 2(m,n是常数)是正比例函数，则m+n的值为 解：(1)对于y=2x+3,令y=0,得 解：因为输人x的值是2时， 2x+3=0,解得x=-子， 输出的y的值是6， A.-4或0B.±2C.0D.-4 所以6=2×2+b. 解：因为函数y=(m-2)x2-3+n+2(m, 解得b=2. n是常数)是正比例函数， 以A点坐标为多 所以若输入x的值是3，则输出的y的值是： 所以m2-3=1,m-2≠0，n+2=0, 令x=0,得y=3, y=3×3-2=7. 解得m=±2，m≠2，n=-2, 所以B点坐标为(0,3). 故选B. 所以m=-2,n=-2,所以m+n=-4. 2)因为p=20A,-2,0).以0P=3. 三、实际问题型 故选D. 例3东东用仪器匀速向如 ①当点P在点A的左边时， 例2一次函数y=kx+b(k≠0)满足当 图2容器中注水，直到注满为止 P点坐标为(-3,0) -1≤x≤2时，-2≤y≤1，求这条直线的函数 用t表示注水时间，y表示水面的 表达式. 所以5=方×(3-2》x3= 4 高度，下列图象适合表示y与的 解：①当y随着x的增大而增大时，点(-1， 图 ②当点P在点A的右边时， 对应关系的是 -2),(2,1)在直线y=kx+b上， P点坐标为(3,0)， 以2常 lb=-1. 所以sam=方×3+2》x3= 27 4 所以这条直线的函数表达式为y=x-1. ②当y随着x的增大而减小时，点(-1,1) 综上可知，△ABP的面积为？或号 (下转第2版) 素养专练 数理极 3.4用待定系数法确定一次函数表达式 3.5一次函数与二元一次方程的关系 1.已知点(-1,2)，(-2,8)在一次函数的图 1.在下列图象中，直线上每个点的坐标都满 象上，则该函数的表达式为 ( )足2x-y=2的是 A.y=6x+8 B.y=-2x+4 C.y=2x+4 D.y=-6x-4 2.如图是一个瓶子盛入某kg 种液体时，总质量y(kg)与所盛 液体体积x(L)的关系图象，请 根据图象所提供信息计算空瓶 01 子的质量为 A.0.5 kg B.1 kg C.1.5 kg D.2 kg 6.【探究】在平面直角坐标系中，把方程x+) 3.已知y关于x的一次函数的图象经过点(1， =4的解中的x和y值列表如下，并将它们分别作 为点的横、纵坐标，请补充完整表格信息，并在平 3)和(-1,2)，则当x=3时，y= 4.已知一次函数的图象经过点(-2,1)，且与 2.如图1，已知一次函数y=ax+b和y=x 面直角坐标系（图3）中描出对应点 y轴交点的纵坐标为3，求该一次函数的表达式， 的图象交于点P,则根据图象可得关于x,y的二元 日 -次方程组)=r+6,的解是 ( ly lix 【发现】过这些点中的任意两点画直线，你有 什么发现？ 【归纳】一般地，在平面直角坐标系中，任何 一个二元一次方程对应的函数图象都是一条直 线. 【应用】关于x,y的二元一次方程ax+by= -1对应的函数图象上有两个点，它们的坐标分 图1 A.x3 B.x=-3 别为(-1,1)，(1，-3)，请求出这个二元一次方 ly=-1 程 ly=-1 5.已知y与x-1成正比例，且当x=3时y C. ∫x=-3 D.x=3 =4. ly =1 ly =1 3. (1)求y与x之间的函数表达式； 已知关于x,y的二元一次方程组 (2)若点(-1，m)在这个函数图象上，求m -y+6=0的解为=-3则一次函数 + 的值 x+y+5=0 ly=-2, y=ax+b和y=-x-5的图象的交点坐标为 A.(4,8) B.(-3,-2) C.(2,8) D.(8,4) 4.当x取不同值时，多项式k1x+6(1≠0) 和k,x+b,(:,≠0)的对应值t分别如下表所示，则 关于，y的二元一次方程组=x+的解 Ly h2x+b2 ! 为 -2-10 12… k1x+b1(k1≠0) -10 123 … k2x+b2(k2≠0) -5-3-113… 6.已知y是x的一次函数 (1)当x=4时，y=6;当x=2时，y=2,求 A. x=-5 B.E=4 y=-2 y=5 该一次函数的表达式 C./x=2 D.x=-1 (2)若A(m,y),B(m+1,y2)是该一次函数 ly =3 (y=-3 图象上的两点，求y2-y的值 5.如图2，直线l:y= 青：+5与直线6： 数理报社试题研究中心 2 参考答案见下期 x+c相胶于点P(3,b),求关于x,y的方 （上接第1版) 3x+5, 分析：根据题目中的图形可知，刚开始水面上 程组 的解 升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上 YE. 十C 升最快，从而可以解答本题。 5 解：因为底部的圆柱底面半径最大，所以刚开 图2 始水面上升最慢.中间部分的圆柱底面半径较小， 所以第二阶段水面上升较快.顶部的圆柱底面半径 最小，所以最后阶段水面上升最快 故选C 8.如图3，关于一次函数y=x+3k+5(k 16.如图7是某个动画程序的数学模型.以A(-1,3),B(1,1), 3.4~3.5同步达标自评卷 ≠0)与y=ax(a≠0)的图象，下列说法正确 C(4,2)为顶点的△ABC代表黑区（包括三角形的边及内部），信号 的有 ( 光束沿直线y=x-2扫描坐标平面，当信号光束触到黑区时，黑区 ◆数理报社试题研究中心 ①k>0,a<0: 则全部消失，能够使黑区全部消失的k的取值范围是 ②在y=ax(a≠0)中，y随x的增大而减 三、解答题（本题共8小题，共72分） (答题时长120分钟，满分120分)》 小； 3 17.(6分)已知y与x构成一次函数关系，当x=0时，y=3,当 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） ③不论k为何值，一次函数y=x+3k+5(k≠0)的图象都经 x=2时，y=7. 1.已知正比例函数y=kx的图象如图1所示， 过定点(-3,5)； (1)求y与x之间的一次函数表达式； 则k的值为 ( ④关于x,y的方程组=x+3张+5的解是{=：3， (2)求当x=4时的函数值. A.12 B告 ly ax ly=5. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①2③④ c-号 D 9如图4，直线)=子+3分别与轴，y轴交于 3 图1 2.已知一次函数y=ax+b(a,b为常数)，x与y的部分对应值如下 点A,B,C是直线AB上方的一点，若∠ABC=45° 表： 则直线BC的函数表达式为 ( x-2-1012 3 1 ☒4 y6420-2 Ay=-7+3 B.y=- 5x+3 初 中 那么关于x的方程ax+b=0的解是 1 初 警 Cy=-3+3 D.y=-9t+3 中 A.x=-2 B.x=2 C.x=1 D.x=0 18.(6分)在图8的平面直角坐标系中，画出一次函数y=-2x 10.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫作 3.若直线y=kx+b经过A(2,0)和B(0,4)两点，那么这个一 +6的图象，并利用图象求： 整点，已知直线y=(k-1)x+2k(k>1)与两坐标轴围成的三角形 次函数的表达式是 (1)一元一次方程-2x+6=0的解； 区域（不含边界）中有且只有四个整点，则k的取值范围是( 湘教 八 A.y=2x+3 B.y=-2x+4 (2)当-2<y<2时，x的取值范围. 年 级 2 A<6<2 B.2<k≤3 能 C.y=-3t+2 D.y=x-4 级能 力 4.如图2，已知一次函数y=-2x+4与一次 C.3 2≤k≤3 D多≤k≤3且≠2 21 达 标 函数y=mx+n的图象相交点的横坐标为1，则方 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 543-212346 标 评 程组=-2x+4的解是 11.如图5，直线0A的表达式是 ↑y ( Ly mx n 12.在平面直角坐标系中，过点B(-4,0) 1 的直线y=x+b与直线y=mx+2交于点 2 A.f=1 图8 B. 图2 y=3 y=2 A-子，-1)则关于的方程+2=+ 0123元 19.(8分)如图9，直线1与x轴、y轴分别相交于点A,B,点A的 a=1 b的解为 ☒5 坐标是(-6,0)，点B的坐标为(0,3)，点P(-4,n)是直线1在x轴 =3 C. D.∫x-1 13.若点A(2,m+1),点B(4,m)是一次函数y=x+1(k≠0) 上方这部分上的一点 y=2 图象上的两点，则k的值为 (1)求点P的坐标； 5.若关于x的方程4x-b=0的解是x=-2,则直线y=4x- 14.已知直线AB是一次函数y=kx+k-1的图象，若关于x的 (2)将点P向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度后 b一定经过点 方程x+k-1=0的解是x=-子，则直线AB的函数表达式为 得到点Q,求△APQ的面积. A.(2,0) B.(0.-2) C.(-2.0) D.(0,2) 6.若一次函数y=x+b的图象经过(4,0)和(3,2)两点，则关 15.已知函数y=kx+b的图象如图6所示，则关于x的不等式 于x的方程kx+b=4的解为 k(x+3)+b<0的解集是 A.x=0 B.x=2 C.x=3 D.x=5 7.在平面直角坐标系中，直线l1:y=2x-4关于y轴对称的直线 为12，则直线1，直线12与x轴围成的三角形的面积为( ) A.4 B.6 C.8 D.16 图6 图7八年级数学湘教第35~38期 数理橘 答案详解 2025~2026学年八年级数学湘教 第35~38期(2026年3月) 35期3,4版 因为∠MCE=15°， 一、选择题 所以∠DCF=55°. H 题号 因为DF⊥CM, 1 34 5 6 10 所以∠CDF=35. 图2 提示： 因为四边形ABCD是菱形， 8.解：如图1，经过8次反弹后弹性y 所以BD平分∠ADC, 小球回到出发点(0,2) 所以∠HDC=35. 因为100÷8=12…4， ,∠CHD=∠CFD」 所以弹性小球第100次碰到矩形的0123456x 在△CDH和△CDF中 ∠HDC=∠FDC. 图1 边时对应点的坐标与第4次碰到矩形的边时对应点的坐标相 DC DC, 同.由图可知，弹性小球第4次碰到矩形的边时对应点的坐标 所以△CDH≌△CDF(AAS), 为(6,2). 所以DF=DH=3, 所以DB=2DH=6. 9.解：因为四边形ABCD是矩形， 对角线AC与BD相交于点O, 二、填空题 所以∠ABC=90°，OA=0B. 11.5;12.3;13.-1:14.5;15.290°；16.2. 因为∠ABD=60°， 提示： 所以△AOB是等边三角形， 16.解：如图3，延长DE至点A,使得EA= 所以AB=OA=OC. FC,延长CF至点B,使得BF=DE,连接AC交 因为AE⊥BD于点E, EF于点O,连接OD,AB. 所以E为OB的中点. 因为FC+DE=CD=4, 所以AD=BC=CD=4. 又F是OC的中点，EF=25, 因为∠DCF=∠EDC=90°， 所以BC=2EF=45. 所以∠DCF+∠EDC=180°. 因为BC=AC-AB=(2AB)2-AB=√5AB, 所以AD∥BC. 所以3AB=43, 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以AB=4, 又∠EDC=90°，BC=CD 所以矩形ABCD的周长是2(BC+AB)=85+8. 所以四边形ABCD是正方形. 10.解：如图2，连接AC交BD于点H,由菱形的性质，得 所以∠EA0=∠FC0=45°. ∠DCE=70 又∠AOE=∠COF,EA=FC, 八年级数学湘教第35~38期 所以△AEO兰△CFO. 所以∠AEC=90°， 所以A0=CO,E0=FO. 所以四边形AECD是矩形 所以O为AC和EF的中点， 20.解：(1)30； 所以0D=分4C (2)设这个多边形的边数为n. 根据题意，得(n-2)×180°=1800°.解得n=12. 因为EH=子BF,所以H为E0的中点 答：小明求的是十二边形的内角和。 又G为DE的中点， (3)正十二边形的每一个内角为：1800°÷12=150°. 所以GH为△EOD的中位线， 21.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以Gl=70D 所以AB∥CD,AB=CD, 所以∠GAE=∠HCF 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 因为点G,H分别是AB,CD的中点， AC=AD2+CD=4+4=42. 所以AG=CH. 所以0D=2AC=2,万 在△AGE和△CHF中， 所以GM=宁00=E 因为AG=CH,∠GAE=∠HCF,AE=CF, 所以△AGE≌△CHF(SAS), 三、解答题 所以GE=HF,∠AEG=∠CFH, 17.解：(1)图略.(2)∠A'B'C'=90° 所以180°-∠AEG=180°-∠CFH, 18.证明：因为CF∥DB,CF=DE, 即∠GEF=∠HFE, 所以四边形FCDE为平行四边形， 所以GE∥HF, 所以CD∥EF,CD=EF 所以四边形EGFH是平行四边形 因为四边形ABCD为平行四边形， (2)解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,AB=CD, 所以OB=OD. 所以AB∥EF,AB=EF, 因为BD=14, 所以四边形BFEA为平行四边形， 所以AE=BF 所以08=0D=7 19.证明：(1)因为∠B=∠ACB, 因为E,G分别是AO,AB的中点， 所以AB=AC. 因为AE是BC边上的中线， 所以EG=子0B=子 所以AE⊥BC. 22.(1)证明：因为AF平分∠BAD, (2)因为AE是BC边上的中线， 所以∠BAF=∠DAF 所以BE=CE. 因为四边形ABCD是平行四边形， 因为AD=BE, 所以AD∥BC,AB∥CD, 所以AD=CE. 所以∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE, 又AD∥BC, 所以∠CEF=∠CFE, 所以四边形AECD是平行四边形 所以CE=CF. 因为AE⊥BC, 因为四边形ECFG是平行四边形， 八年级数学湘教第35~38期 所以四边形ECFG为菱形. (2)解：取CF的中点G,连接MG,图略. 因为∠B=90°， 图4 图5 所以四边形ABCD是矩形， (ⅱ)如图5，因为A(4,30°)，B(m,90), 所以AB=CD=6,BC=AD=8, 所以OA=4,∠AOX=30°，0B=m, ∠BAD=∠BCD=90°， ∠B0X=90°， 所以∠ECF=180°-∠BCD=90°. 所以∠A0B=90°-30°=60. 由(1)可知四边形ECFG为菱形， 因为AB=4,所以AB=OA, 所以四边形ECFG为正方形. 所以△AOB是等边三角形， 因为AF平分∠BAD, 所以OB=m=4. 所以∠BAE=7∠BAD=45, 故答案为4. 所以∠AEB=90°-∠BAE=45°， (ⅲ)如图6.因为A(4,30°)， 所以BE=AB=6, B(3,a),AB=5, 所以EC=BC-BE=2, 所以0A=4,∠AOX=30°， 所以c=20F=C=1, 图6 AB =5 AB,OB =3 =0B. 因为0B2+0A2=25=AB2, 所以DG=CD+CG=7. 所以∠A0B=90°=∠AOB, 因为M为EF的中点， 所以a=90°+30°=120°或a=120°+180°=300°. 所以MG∥BC,MG=BC=1, 故答案为120°或300° 所以∠MGC=∠BCD=90. 24.解：(1)AB=CG-CE.证明如下： 在Rt△DMG中，根据勾股定理，得 因为四边形ABCD是菱形， DM=√MG+DG=52. 四边形AEFG是菱形， 23.(1)6,30: 所以AB=BC,AE=AG (2)(i)7;(iⅱ)4；(i)120°或300°. 因为∠BAC=60°， 解：(1)若点N在平面内的位置记为N(6,30°)， 所以△ABC是等边三角形， 则0W=6,X0N=30. 所以AB=AC. 故答案为6,30. 因为∠EAG=60°， (2)(i)如图4.因为A(4,30°)，B(3,210), 所以∠BAC+∠CAE=∠EAG+∠CAE, 所以0A=4,∠A0X=30°，0B=3, 即∠BAE=∠CAG ∠B0X=360°-210°=150°， 在△ABE和△ACG中， 所以∠AOX+∠B0X=180°， 因为AB=AC,∠BAE=∠CAG,AE=AG, 所以A,O,B三点共线， 所以△ABE≌△ACG(SAS), 所以AB=4+3=7 所以BE=CG, 故答案为7. 所以AB=BC=BE-CE=CG-CE. (2)AB=CE-CG.证明如下： -3 八年级数学湘教第35~38期 因为四边形ABCD是菱形， =8+4+6+2+14=34(cm), 四边形AEFG是菱形， 所以b=34÷2=17. 所以AB=BC,AE=AG. 3.1.2.2函数的表示法（列表法、公式法） 因为∠BAC=60°， 1.C;2.3. 所以△ABC是等边三角形， 3.解：y=-(60+x)(70-x) 所以AB=AC. =x2-10x-4200(1≤x≤9的整数). 因为∠EAG=60°， 4.解：(1)自变量是r,因变量是V 所以∠BAC-∠B.AG=∠EAG-∠BAG, (2)圆柱的体积V与底面半径r的函数表达式是 即∠CAG=∠BAE. V=4Tr2. 在△ABE和△ACG中， (3)当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm时，圆柱的体 因为AB=AC,∠BAE=∠CAG,AE=AG, 积由16πcm3变化到256πcm3. 所以△ABE≌△ACG(SAS), 5.(1)刹车时车速，刹车距离； 所以BE=CG, (2)s=0.25(v≥0)： 所以AB=BC=CE-BE=CE-CG. (3)当s=32时，0.25u=32, 36期2版 解得v=128>120. 3.1.1变量与函数 答：推测刹车时车速是128km/h,所以事故发生时，汽车 1.D:2.B:3.D 是超速行驶 4.解：(1)0.52为常量，y,x为变量： 36期3,4版 (2)3为常量，l,a为变量； 一、选择题 (3)60为常量，a,b为变量； 题号 1 234567 8910 (4)90°是常量，x,y是变量. 答案C B C CACADDA 3.1.2.1函数的表示法（图象法）》 二、填空题 1.C;2.B:3.④：4.0.5. 11.6;12.20;13.7.9×10；14.450; 5.解：由题意，得y=1x+31.函数图象略. 15.mx2+20mx;16.2或4. 6.解：(1)10；(2)1；(3)3； 三、解答题 (4)不一样.理由如下： 17.解：(1)当x=5时，y=15-11+2=4+2=6. 乙骑自行车出故障前的速度为： (2)当y=5时，y=1x-11+2=5, 7.5÷0.5=15(千米/时)， 解得x=4或-2. 乙修车后的速度为： 18.解：(1)y是关于x的函数， (22.5-7.5)÷(3-1.5)=10(千米/时)， 理由：对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应. 所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样 (2)①当x=48时，y=3.60, 7.解：(1)8,4； 实际意义：当信件质量为48克时，邮资为3.60元 (2)a=7×8x6=24 ②当寄一封邮件的邮资为2.40元时，信件的质量大约是 (3)根据题意，动点P共运动了： 大于20克，且不超过40克， BC CD DE EF FA 19.解：因为√a+I+(b-2)2=0, -4 八年级数学湘教第35~38期 所以a+1=0,b-2=0,所以a=-1,b=2, 综上，输入的x值为0或5. 所以y=(2+3)x(-)+1-2×(-1)×2+2=5x+9, 37期2版 所以函数y=(b+3)x“+1-2ab+62是一次函数. 3.2一次函数 当x=-之时，y=5×(-）+9=号 1.B;2.-5;3.y=-3x. 4.解：(1)由条件可知m+1≠0且2-1ml=1, 20.解：(1)y与x之间的函数表达式为： n为任意实数，解得m=1, y=200E 所以当m=1,n为任意实数时，y是x的一次函数， 1 (2)由条件可知m+1≠0且2-m1=1,n+5=0, =2×6×(8-x) 解得m=1,n=-5, =-3x+24(0<x<8). 所以当m=1,n=-5时，y是x的正比例函数. (2)当x=3时，y=-3×3+24=15. 5.解：(1)根据题意，得 21.解：(1)小明的百米成绩是12s,小亮的百米成绩是125s. y=x+1.5×(550-x) (2)小明的速度是：100÷12-空(m): =825-0.5x(0≤x≤550)， 所以y关于x的函数是一次函数： 小亮的速度是：100÷12.5=8(m/s). (2)当y=650时，825-0.5x=650, (3)当小明到达终点时，小亮所跑的路程是： 解得x=350. 12×8=96(m). 550-350=200(辆). (4)因为当小明到达终点时小亮尚未到达终点，而且小明 答：电动自行车有200辆，普通自行车有350辆. 的速度大于小亮的速度，所以小明和小亮到达终点后如果各自 3.3一次函数的图象 继续以原速度往前跑，他们不能相遇。 1.D;2.D;3.D: 22.解：(1)表格从左到右依次填：4.2,5.9,11. 4.1;5.三. (2)y=1.7x+0.8. 6.图略。 (3)因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩 7.解：在正比例函数y=(m+1)x中，y的值随x的增大而 短0.8cm,所以这根链条安装到自行车上后，总长度是：1.7× 增大，则m+1>0,得m>-1. 80+0.8-0.8=136(cm). 在正比例函数y=(2m-4)x中，y的值随x的增大而减 23.解：(1)刹车时车速，刹车距离. 小，则2m-4<0,得m<2,即-1<m<2, (2)70. 又因为m为整数， (3)y=0.25x 所以m的可能值为0,1. (4)当x=110时，y=0.25×110=27.5,27.5<31, 8.解：(1)因为函数图象经过第一、三象限， 所以该汽车不会和前车追尾。 所以2m+4>0,解得m>-2. 24.解：(1)当x=-3时，y=-2×(-3)+1=7; (2)因为y随x的增大而减小，所以2m+4<0, 当=2时=宁×2-= 解得m<-2. (2)A. (3)因为点(1,3)在该函数图象上，所以2m+4=3, (3)①当x<1时，-2x+1=1,解得x=0,符合题意； 解得m=-子 ②当x≥1时，7-子=1，解得x=5,符合题意 1 9.解：(1)①y=x+1直线1如图所示. 5 八年级数学湘教第35~38期 ②y=2x直线2如图所示. 在Rt△BCD中，DC2+BD=BC2, 所以+1=(3-m,解得m=手 故点C的坐标为0，专) 二、填空题 11.3;12.y= 年+4,1B.314子 ③12 15.(2,-10；16.(-18,0)或(-子 (2)解法一：把x=1,y=2代入y=x+2-, 提示： 得左边=2，右边=k+2-k=2, 左边=右边， 16解：因为直线)=子+6与x轴、y轴分别交于点A,B, 所以直线y=kx+2-k必经过点(1,2)： 所以A(-8,0),B(0,6),所以AB=√6+82=10. 解法二：y=x+2-k=k(x-1)+2, 当AB=PA=10时，因为点P在x轴的负半轴上， 图象过定点，即说明与k的取值无关， 所以P(-18,0). 因此x-1=0,得x=1,此时y=2, 如图2，作AB的垂直平分线 所以直线y=kx+2-k必经过点(1,2). PD,交x轴于点P,交AB于点D D 37期3,4版 根据线段垂直平分线的性质， 一、选择题 得到PA=PB. 图2 题号 1 3456 7 8910 设P0=t,则PA=PB=8-t. 答案ACBAAABD C B 根据勾股定理，得OP2+OB2=BP, 提示： 所以(8-t)2=2+6,解得1=4 7 1O.解：过C作CD⊥AB于点D, 如图1所示. 因为点P在x轴的负半轴上，所以P(-子，0） 对于宜线)=子+3， 综上，点P的坐标为(-18,0)或(-子，0 图1 当x=0时，y=3; 三、解答题 当)=0时，-子+3=0，得x=4, 17.解：(1)因为点(1，-2)在正比例函数y=(3k-1)x 的图象上， 所以A(4,0),B(0,3),即0A=4,0B=3, 由勾股定理得AB=5. 所以-2=3k-1,解得长=-宁 又因为坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上， (2)由(1)知y=-2x, 所以AC平分∠OAB,∠CAD=∠CAO, 将x=3代人y=-2x,得y=-6≠2. 因为CD⊥AB,AOC=90°，所以∠ADC=∠AOC, 所以点A(3,2)不在这个函数的图象上： 又AC=AC,所以△CAD≌△CAO(AAS), 18.解：(1)因为y=(m-2)x3m+m+7是一次函数， 所以CD=C0=n,DA=OA=4, 3-1m1=1, 所以 解得m=-2. 则BC=3-n,DB=5-4=1. lm-2≠0， 故当m=-2时，y是x的一次函数. 6 八年级数学湘教第35~38期 (2)由(1)可知y=-4x+5. 23.解：(1)对于y=2x-4,令y=0,即2x-4=0. 当y=3时，3=-4x+5,解得x=2 解得x=2.所以点A的坐标是(2,0) 把B(m,4)代入y=2x-4,得2m-4=4. 故当x=之时，y的值为3. 解得m=4.所以点B的坐标是(4,4). 19.解：(1)(2,0)，(0,4)： (2)图略。 (2)把x=-3代入y=-2x+4,得y=10, (3)因为A(2,0),B(4,4),所以AB=√22+42=25. 所以C(-3,10) 因为点P在x轴的正半轴上， 所以Saoc=2×2×10=10, △ABP是以AB为腰的等腰三角形， 20.解：(1)还未完成的公路的长度y(km)与施工时间 所以点P的坐标为(6,0)或(2+25,0). x(天)之间的数量关系为还未完成的公路的长度=公路总长 24.解：(1)-1,4； 度-已施工修建的长度， (2)设一次函数y=x+1图象的“7阶和点”的坐标为 由题意得，该工程队每天修建公路的长度为36÷120= (a,a+1). 0.3(km),施工x天共修建公路的长度为0.3xkm, 根据题意，得1a|+la+1I=7,解得a=-4或a=3. 所以它们之间的函数表达式为 当一次函数y=kx-2的图象经过点(-4，-3)时， y=36-0.3x(0≤x≤120). -4-2=-3,解得k=子 (2)将x=30代人y=36-0.3x, 当一次函数y=kx-2的图象经过点(3,4)时， 得y=36-0.3×30=27. 3k-2=4,解得k=2. 即该工程队已施工了30天，还未完成的公路的长度是27km 21.解：(1)根据题意，得2a-4≠0,3-b=0, 综上，k的值为子或2 解得a≠2，b=3. 38期2版 (2)根据题意，得2a-4<0,3-b<0, 3.4用待定系数法确定一次函数表达式 解得a<2,b>3. 1.D;2.C;3.4. 22.（1)证明：在y=k(x-3)中，令x=3得y=0, 4.解：设该一次函数的表达式为y=kx+b. 所以点(3,0)在函数y=k(x-3)的图象上. 根据该一次函数与y轴交点的纵坐标为3， (2)解：一次函数y=k(x-3)的图象向上平移2个单位 得该函数图象过点(0,3). 长度得y=k(x-3)+2, 将点(-2,1)，(0,3)代人y=kx+b,得 将(4，-2)代入得-2=(4-3)+2， -2k+b=1, rk=1, 解得 解得k=-4. 【b=3. b=3. (3)解：x1-2<0不成立.理由如下： 所以该一次函数的表达式为y=x+3. 因为点A(x1,y1),B(x2,2)在y=k(x-3)的图象上， 5.解：(1)设y与x之间的函数表达式为 所以y=k(x1-3),y2=(x2-3), y=k(x-1)(k≠0). 所以y-y2=k(1-x2), 将x=3,y=4代入，得2k=4, 又y1<y2,所以y1-y2<0,即k(x1-x2)<0, 解得k=2, 而k<0,所以x1-x2>0, 所以y与x之间的函数表达式为y=2(x-1)=2x-2. 故x1-2<0不成立. (2)将(-1，m)代入y=2x-2, 一7 八年级数学湘教第35~38期 得m=2×(-1)-2=-4. 38期3,4版 6.解：(1)设该一次函数的表达式为y=kx+b. 一、选择题 根据题奁，得6+6=6， k=2, 解得 题号 1 234 567 8910 2k+b=2. b=-2. 答案 BC 所以该一次函数的表达式为y=2x-2. 提示： (2)因为A(m,y1),B(m+1,y2)是该一次函数图象上的 7.解：因为在y=2x-4中， 两点，所以2-y1=2(m+1)-2-(2m-2)=2. 当y=0时，2x-4=0,解得x=2, 3.5一次函数与二元一次方程的关系 当x=0时，y=-4, 1.A;2.C;3.B;4.C 所以直线（与x轴的交点坐标为(2,0）， 5.解：把点P(3,b)代入直线l:y= 3t+5, 与y轴的交点坐标为(0，-4)， 所以直线（与x轴的交点关于y轴对称的点的坐标为 得6=专x3+5=9,所以P(3,9), （-2,0), [y 3t+5, 直线2过点(0，-4)， 所以由图象可知关于x,y的方程组 的解为 所以直线(1，直线2与x轴围成的三角形的面积为 2 3x+c 7×[2-(-2)]×4=8 x=3, 8.解：由题图可知，一次函数y=kx+3k+5(k≠0)中， y=9. y随x的增大而增大，所以k>0; 6.解：【探究】当x=-1时，-1+y=4,解得y=5; y=ax(a≠0)中，y随x的增大而减小，所以a<0, 当y=2时，x+2=4,解得x=2. 故①正确，②正确。 故答案为①2，②5 因为y=x+3k+5可变形为y=k(x+3)+5, 在平面直角坐标系中描出对应点如图所示 所以当x=-3时，不论k(k≠0)为何值，y均等于5， 所以一次函数y=x+3k+5(k≠0)的图象经过定点 (-3,5),故③正确， 因为一次函数y=kx+3k+5(k≠0)与y=ax(a≠0) -10 12345x 的图象交于点A(-3,5), 3 y=kx+3k+5, x=-3, 所以关于x,y的方程组 的解是 y ax ly=5, 【发现】过这些点中的任意两点画直线，所有的点都在同 故④正确. 条直线上 故①②③④都正确. 【应用】因为关于x,y的二元一次方程ax+by=-1对应 9.解：如图1，过点A作AN⊥AB 的函数图象上有两个点， 交直线BC于点N,过点N作MW⊥x 它们的坐标分别为(-1,1)，(1，-3)， 轴于点M,则∠AMWN=∠BOA= A -a+b=-1, ra=2, 所以 解得 90°，则∠AWM+∠MAW=90°. 图1 La-3b=-1, b=1, 对于直线y=子+3， 所以这个二元一次方程为2x+y=-1. 一8 八年级数学湘教第35~38期 令x=0,得到y=3,即B(0,3),OB=3; 二、填空题 令y=0,得到x=-4,即A(-4,0),0A=4, 1山y=2:12=-子；13.-： 1 因为∠ABC=45°，∠NAB=90°， 14.y=3x+2;15.x>-1; 所以△ABN为等腰三角形，即AN=BA, 16.k≤-5或k≥1. ∠NAM+∠BA0=90°，所以∠ANM=∠BAO, 三、解答题 ,∠AMW=∠BOA=90°， 17.解：(1)设y=kx+b(k≠0)， 在△NAM和△ABO中 ∠ANM=∠BAO. rb=3, k=2, AN BA, 根据题意有 解得 2k+b=7, b=3, 所以△NAM≌△ABO(AAS), 所以y与x之间的一次函数表达式是y=2x+3. 所以AM=OB=3,MW=OA=4, (2)当x=4时，y=2×4+3=11. 即0M=OA+AM=4+3=7, 18.解：画图略 所以N(-7,4) (1)一元一次方程-2x+6=0的解为x=3. 设直线BC的解析式为y=kx+b, (2)由图象可知，当-2<y<2时，x的取值范围是2<x<4. rb=3, 因为B(0,3),所以 19.解：(1)设直线l的函数表达式为y=kx+b. -7h+b=4, 把A(-6,0),B(0,3)代入， 「k=-7 解得 -6k+b=0, 2 解得{ b=3. 念 b=3, b=3. 所以过B,C两点的直线对应的函数表达式是y=一 1 7龙+3 所以直线1的函数表达式为)=分+3 10.解：因为y=(k-1)x+2k=k(x+2)-x(k>1), 1 所以直线y=(k-1)x+2k(k>1)经过点(-2,2) 当x=-4时，n=2×(-4)+3=1 如图2，当直线经过(0,3)时，直 y个 所以点P的坐标为(-4,1). 线y=(k-1)x+2(k>1)与两坐 (2)由题知Q(2,0), 标轴围成的三角形区域（不含边界） 所以5auw=分×40×=子×(2+6)x1=4 1 中有且只有四个整点， 1 则3=2k,解得k= 3 2 [y=kx+3. 图2 20.解：原方程组可化为 当直线经过(0,6)时，直线y=(k-1)x+2k(k>1)与两 g=-2x+分 坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则6=2k,解得k=3. ()当直线)=：+号与直线y=-2x+号相交时， 当直线经过(0,4)时，直线y=(k-1)x+2(k>1)与两 1 方程组 坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， x-y=-了’有唯一一组解，此时表≠-2： 3y=1-6x 此时4=2k,解得k=2. 综上，若直线y=(k-1)x+2k(k>1)与两坐标轴围成的 (2)当k=-2时，直线y=c+号与直线)=-2x+号 三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则k的取值范围 [kx-y=-3 1 是号≤6≤3且62 重合，方程组 有无穷多解： 3y=1-6x 9 八年级数学湘教 第35~38期 kx -y = (3)存在. 当k≠-2时，方程组 3 有唯一一组解； 过点P作PM⊥x轴于点M,PW⊥y轴于点N,图略. 13Y=1-6x 因为点P在y=2x的图象上，所以可设P(m,2m). (3)由(2)知，k无论取什么值，都不能使原方程组无解。 21.解：(1)由0B=5可得B(0,-5). 因为该一次函数的表达式是y=-7+多， 把(0，-5)代人y=-3x+b,可得b=-5, 所以点A的坐标为(0，号)，点B的坐标为(5.0)。 =-3x-5, 所以y=-3x-5.联立得 解得3， 所以Sam=之0B·P1=7x5x12ml=51ml, 1 4 y=-3x, y=4, 5 所以点A的坐标为(-3,4) 0P=×3x1m=子m (2)设直线AB与x轴交于点C, 根据题藏，得51m1=子引m+5,解得m± 4 则点c的坐标为(-子，0）· 所以点P的坐标为（告号）或（号号） 所以c0=号 24.解：(1)设直线AB的表达式是y=x+b. 图3 如图3，过A作AE⊥x轴于E. 4k+b=2, rk=-1, 由A(-3,4)可得AE=4, 根据题意，得 解得 16k+b=0, b=6. 所以Saw=B,C0=方x4×亭=9 所以直线AB的表达式是y=-x+6. 22.解：(1)在x+y=3中，当x=-1时，y=4,即n=4; (2)对于y=-x+6,令x=0,得y=6. 当y=0时，x=3,即m=3, 所以5c=号×6x4=12 故答案为3,4. (3)设直线OA的表达式是y=mx. (2)在平面直角坐标系中描出四组解的对应点的位置如 图4. 将(4,2)代人，得4m=2,解得m=2 所以直线0A的表达式是y=2x 1 因为△0MC的面积是△0AC的面积的片， 所以点M的横坐标是子×4=1 当点M在线段0A上时，y=2, 1 图4 (3)镜面α的方程x+y=3的所有解的对应点组成的图 所以点M的坐标是(1，)： 形是一条直线，镜面α：的方程x+y=3的图象如图4所示，故 当点M在线段AC上时，y=5,所以点M的坐标是(1,5) 答案为一条直线。 综上，点M的坐标是(1,2)或(1,5). (4)镜面B的方程x-y=-1的图象如图4所示. x+y=3, (5)由图象可知，方程组 的解为厂1， x-y=-1 1y=2 x=1, 23.解：(1)a=2,b= (2 ly=2. -10