3.6 一次函数的应用（1） 学案 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第3章 一次函数 3.3 一次函数的应用（1） ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题，理解自变量取值范围的意义。 3.能结合函数图象分析实际问题，体会数形结合思想。 4.提升数学建模能力，感受函数在生活中的应用价值。 学习重点： 从实际情境中建立一次函数模型并解决问题。 学习难点： 准确提取实际问题中的变量关系，确定自变量取值范围。 ► 学习过程 一、复习回顾 回顾：1.一次函数与正比例函数的一般形式是什么？ 2.有什么方法确定一次函数与正比例函数的表达式？ 二、探究新知 探究：一次函数的应用 教材第112页 【思考】伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距.假设指尖距与身高具有如下关系： 指距 x/cm 19 20 21 身高 y/cm 151 160 169 (1) 身高y与指尖距x之间可用函数关系式刻画吗？如果可以，其表达式是怎样的？ (2) 若李华的指尖距为22cm，你能估计他的身高吗？ 【归纳】建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤： 1.分析已知数据的变化规律，确定合理的函数模型； 2.设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数据求出函数表达式； 3.进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式； 4.应用这个函数模型解决实际问题. 三、例题探究 例1已知甲、乙两地相距40km，小徐8:00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h；小李10:00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小徐所用的时间为xh，小徐与甲地的距离为y1km，小李离甲地的距离为y2km. (1)分别写出y1，y2与x之间的函数表达式； (2)在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系．若点燃6分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（　　） A． B． C． D． 2.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 3.小明走楼梯回家，他所走的台阶总数m（个）是楼层的层数n（层）（n≥2且n为整数）的一次函数，其部分对应值如下表所示： 层数 n/层 2 3 4 5 … 台阶总数m/个 42 70 98 126 … 当层数为20层时，小明走的台阶总数为 （　　） A．560个 B．546个 C．574个 D．592个 选做题 4.某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1000万元，当投入90万元时，销售额为5000万元.则投入80万元时，销售额为　 　万元. 5.如图，将规格相同的某种盘子，整齐地摞在一起，4个这种盘子摞在一起的高度为，7个这种盘子摞在一起的高度为．若设x个这种盘子摞在一起的高度为，则当时，y的值为　 　． 6.如图所示，某弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，则弹簧不挂物体时的长度是　 　． 【综合拓展类作业】 7.连平县上坪镇是中国鹰嘴蜜桃之乡，今年鹰嘴蜜桃价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收A级、B级鹰嘴蜜桃共300斤，A级鹰嘴蜜桃售价每斤12元，B级鹰嘴蜜桃售价每斤8元． （1）求该农户全部售出这些鹰嘴蜜桃的收入y（元）与采收的A级鹰嘴蜜桃数量x（斤）之间的函数关系式； （2）若当天全部售出这些鹰嘴蜜桃的总收入为2920元，求售出的A级鹰嘴蜜桃的数量． 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么? 六、作业布置 1.如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（　　） A．12 B． C．10 D．6 2.如图表示的是甲、乙两船沿相同路线从A港出发到B港的行驶过程中，路程y（km）随时间t（h）变化的图象，则乙船出发多长时间赶上甲船（　　） A．1.5h B．2h C．2.5h D．3.5h 3.某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，，分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 4.，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． （1）求，的函数关系式． （2）几小时后，甲乙两人相距？ 答案解析 课堂练习： 1.【答案】C 【解析】解：设蜡烛燃烧的长度与燃烧时间之间的正比例关系为为常数，且， 把代入关系式，得， 解得：， 与之间的函数关系式为：， ∴当时，有， ∴， ∴剩余蜡烛的长度为， 故答案为：C． 2.【答案】C 【解析】由图可得， 甲无人机的速度为 乙无人机的速度为， ∴时，甲无人机所在的位置距离地面的高度为米， 乙无人机所在的位置距离地面的高度， ∴时，两架无人机的高度差为， 故选：C． 3.【答案】B 【解析】解：设一次函数表达式为 m=kn+b.将(2，42)，(3，70)代入得 解得 所以m=28n-14.当n=20时，m=28×20-14=546. 故选B. 4.【答案】4500 【解析】解：设y与x的关系式为：y=kx+b， 当x=10时，y=1000；当x=90时，y=5000， 可列得，解得， ∴一次函数表达式为：y=50x+500， 当x=50时，得y=4500. 故答案为：4500. 5.【答案】 【解析】解：设x与y的关系式为 由题意得∶ 解得∶ ∴x与y的关系式为：， 当时， 故答案为：． 6.【答案】 【解析】解：由题意得，设函数关系式为， 把代入得：， 解得， ∴弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是， 当时， ， ∴弹簧不挂物体时的长度是； 故答案为：9． 7.【答案】（1）解：依题意，得，即； （2）解：当时，可得 解得． 答：若收入2920元时，则售出的A级鹰嘴蜜桃130斤． 作业布置： 1.【答案】A 【解析】解：设一次函数解析式为，由图象可知一次函数图象过，，代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为， 设点， 由解析式可知：， 四边形的周长是， 故选：A． 2.【答案】B 【解析】解：设y甲= kx，将(8，160)代入得160=8k，解得k=20，所以 8).设 ，将(2，0)，(6，160)代入得 解得 所以 (2≤x≤6).联立得 解得 所以乙船出发4-2=2(h)赶上甲船.故选 B. 3.【答案】10 【解析】解：设图象的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， 图象的函数关系式为， 设图象的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， 图象的函数关系式为， 当时，，， ， 当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：10． 4．【答案】（1）解：设解析式为， 由图可知经过点， ∴ 解得： ∴解析式为； 设解析式为， 由图可知经过点 ∴ 解得： ∴解析式为； （2）解：由题意得， 解得：或， ∴小时或小时后，甲乙两人相距． 学科网（北京）股份有限公司 $