第34期 10.3 实际问题与二元一次方程组 10.4 三元一次方程组的解法-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

初中数学·人教七年级(GDY)第33~36期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教七年级(GDY)第33~36期(2026年3月) ①×5，得5x+5y=1450. ④ 第33期2版 ④-③，得2y=400.所以y=200. 10.1二元一次方程组的概念 把y=200代入①，得x=90. 基础训练1.A;2.C;3.D:4.0:5.=2y, Lx-y=38. 所以这个方程组的解是厂：=90， y=200. 6.(1)表格从上到下、从左到右依次填：0，-2,10,6. 答：A,B两地间国道为90千米，高速公路为200千米。 (2)表格从上到下、从左到右依次填：2，-3,4，-6. 第33期3版 (3)二元一次方程组)=4红+2的解是=-2， l2x-y=2 ly=-6. 题号12345678 7.设购买x本笔记本，y支中性笔。 答案D BCACB AD 根据题意，得3x+2y=28. 二、9.3；10.7；11.-6；12.2；13.32；14.-1或7. 因为x,y均为正整数， 6 所。 「x=23 Esaim, Ly=7: 所以有4种购买方案。 10.2消元—解二元一次方程组 16.设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛. 10.2.1代入消元法 根据题意，得6r+y=5解得区=0,8， 基础训练1.D;2.B;3.丙 lx+6y=2. ly=0.2. 4(=0(②=，13=1， 答：大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛 y=-3: y=2 'y=2 17.把=2，代人3x+cy=2,得6-c=2.解得c=4. 5.设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国 y=-1 结需用绳y米. 根据题意，得2+4y=20, 把=2，和=3代入ax+=5,得2a-6=5, ① y=-1ly=1 l3a+b=5. x+3y=13. ② 由②，得x=13-3y. ③ 解得/02， lb=-1. 把③代入①，得2(13-3y)+4y=20. ① 解这个方程，得y=3. 18.(1)-2y=m, l2x+2y=5m-18. ② 把y=3代人③，得x=4. ①+②，得3x=6m-18.所以x=2m-6. 所以这个方程组的解是下=4， 把x=2m-6代人①，得2m-6-2y=m. ly=3. 答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结 解得y=2m-3, 需用绳3米 rx=2m-6, 10.2.2加减消元法 所以该方程组的解是 1 =2m-3. 基础训练1.B;2.A;3.3;4.-6. 5)=3,2=43=- (2)因为方程组的解也满足方程2x+3y=1, ly=-2: y=3; ly=5. 所以2(2m-6)+3(m-3)=1.解得m=4 6.设A,B两地间国道为x千米，高速公路为y千米。 x+y=290, ① (3)ar+y+4-6a=a(2m-6)+b(2m-3)+4-60 根据题意，得 l60+100=3.5. ② =(2a+2b)m-12a-3站+4 由②，得5x+3y=1050. ③ 因为ax+by+4-6a是个定值， 初中数学·人教七年级(GDY)第33~36期 所以2a+25=0,即4a+6=0 根据题意，得+y=200×20%, 解得27， x+y+5x+2y-1=200 1y=13. 所以ax+by+4-6a=-12a-3b+4=-3(4a+b)+4 答：绵羊毛的质量是27g,腈纶的质量是13g =4.所以这个定值是4. 能力提高6.(1)设每份“堂食”小面的价格是x元，每份 附加题1.(1)设每件A产品的售价为x元，每件B产品 “生食”小面的价格是y元. 的售价为y元 根据题意，得+2y=700,。解得=30， 根据题意，得3x+2y=31解得=7， 4x+y=33. ly=5. l2x+3y=1200. Ly=200. 答：每份“堂食”小面的价格是7元，每份“生食”小面的价 答：每件A产品的售价为300元，每件B产品的售价为 格是5元 200元. (2)设出售A产品a件，出售B产品b件. (2)根据题意，得250×7+1500×1+9%)×(5 根据题意，得300a+2006=1800. 1)=(2500×7+1500×5)×(1+a%). 化简，得3a+2b=18. 解得a=10. 因为a,6均为正整数，所以{=2或=4， 10.4三元一次方程组的解法 b=6lb=3. 基础训练1.B;2.8. 答：出售A产品2件，B产品6件域出售A产品4件，B产品3件 rx=2, a= 2.(1)是 y=-3 (2】 (2)因为关于x,y的二元一次方程kx+(2k-1)y=11是 11 8 “最佳”方程，所以k+2k-1=11.解得k=4. 29 c=2 (3)因为二元一次方程组+(m-3)y=2-m:是 ra+b+c=0, a=2. lmx+(n+1)y=2m+3 4.根据题意，得{4a+2b+c=3,解得{b=-3, “最佳”方程组， L9a-3b+c=28, 所以n+m-3=2-m,解得m=1 Lm+n+1=2m+3. ln=3. 第34期3版 所以原方程组为3x-2y=1, 题号12345678 x+4y=5. 因为=P是方程组3-2y=1的解， 答案A CBCDA D B Ly=q Lx +4y =5 二、9.8x-3=y510.120:11.38；12.号； 所以3印-24=1解得P=1·所以2p+3g=5 13.2;14.50. p+4g=5. 三、5.设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克 第34期2版 根据题意，得~x=760, 得2.5x+0.6r=1200.特1y=100 10.3实际问题与二元一次方程组(1) 基础训练1.B;2.C;3.1.5,7. 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银 4.设这把硬币中1元硬币有x枚，5角硬币有y枚. 1000克. 16.设应该安排x名工人加工大齿轮，y名工人加工小齿轮. 据E意得s0年彩8 根据题意，得+y=85, 解得=25， l3×16.x=2×10y ly=60. 所以6.1×10+6.0×10=121(g) 答：应该安排25名工人加工大齿轮，60名工人加工小齿轮 答：这把硬币的总质量是121g 5.(1)设甲组每天加工x袋粽子，乙组每天加工y袋粽子 17.设平路是xkm,坡路是ykm 3 根据题意，得：+y=350,解得=200， l2x-y=250. ly=150. 根据题意，得 解得=6， y-55 ly=3. 答：甲组每天加工200袋粽子，乙组每天加工150袋粽子 9+2=60 (2)设甲组需要加工m天，乙组需要加工n天. 所以6+3=9(km). 根据题意，得m+n=10, 解得m4, 答：从出发点到景区的路程是9km 【200m+150n=1700. n=6. 18.(1)设A种航模每件x元，B种航模每件y元. 答：甲组需要加工4天，乙组需要加工6天 根据题意，得：+2)=800，解得=200， 10.3实际问题与二元一次方程组(2) l2x+3y=1300. ly=300. 基础训练1.A;2.B;3.39,15;4.108. 答：4种航模每件200元，B种航模每件300元. 5.设绵羊毛的质量是xg,腈纶的质量是yg (2)设购买m件A种航模，n件B种航模. 2 初中数学·人教七年级(GDY)第33~36期 根据题意，得200×0.9m+300×0.9n=990. 3 「x= 所以m=1-3五 所以原方程组为厂+2y=5。 5 解得 2 3x+y=4. (y= 11 5 因为m,n均为正整数，所以m=4或m=L In ==3. 四、19.设百位上的数字为x,由十位上的数字与个位上的 所以张老师有2种购买方案：购买4件A种航模，1件B种 数字组成的两位数为y 航模；购买1件A种航模，3件B种航模 根据题意，得9x=y-3, 解得4， 附加题1.设甲每小时步行x千米，乙每小时骑行y千米 1100x+y-45=10y+x.ly=39. 品+4， 30 所以100×4+39=439. 根据题意，得 解得厂x3, 答：小华原来的积分是439. 4- =3(4-40 40 ly=5. 60 20.(1)根据题意，得红+3=7，解得x=,2, l3x+2y=0. ly=3. 相适南：(4-)(3+5)=冬（小时： 将=2代人x-2y+任+9=0，得-2-6-2张+9 y=3 相适后：(4+1)÷(3+5)=音（小时）。 1 =0.解得k=2 答：他们出发后受小时或？小时两人相距1千米 (2)x-2y+kx+9=0可整理为(1+k)x-2y+9=0. 2.(1)+2y+32=10, ① 因为无论实数k取何值，二元一次方程x-2y+x+9=0 l5x+6y+7z=26. ② 总有一个公共解， ①+②，得6x+8y+10z=36. ③ 所以方程的解与k的值无关 ③×7，得3+4+5=18. 所以x=0,-2+9=0.解得y= 2 (2)设买1本笔记本需要a元，买1支签字笔需要b元，买 rx=0, 1支记号笔需要c元. 所以这个公共解是 9 根据题意，得厂3a+26+c-28, ① =21 l7a+5b+3c=66. ② 21.(1)由题意，得 ①×2，得6a+46+2c=56. ③ 260x+(560-260)y=351, ②-③，得a+b+c=10. l260x+(600-260)y+(760-600)×0.9=521 所以45×(a+b+c)=450(元). 解得=06， 答：购买45本笔记本、45支签字笔45支记号笔需要450元 ly=0.65. (2)7月的电费为：0.6×360+(560-360)×0.65= 第35期综合评估卷 346(元)； 题号123456 789 10 8月的电费为：0.6×360+(700-360)×0.65+(760- 700)×0.9=491(元). (351+521)-(346+491)=35(元). 二、11.6；12.2；13.1；14.(-2,10)； 答：小海家7,8月份共可节省35元电费. 15-4或-子或1 五22(1)m=2, ln=-5. 三16(1)0=3，(2)=2， b=-9: ly=2. (2)设x+y=a,x-y=b,则原方程组可化为 17.设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载 1 x= 2a+3b=3:解得一1'所以+y=0,解得 2 满货物一次可运货y吨. l3a+2b=2 Lx -y 1. 根据题意，得3x+y=13,解得：=3， y=- lx+2y=11. ly=4. 所以3×6+4×8=50（吨）. (3)将二元一次方程组 r4ax+3b,y=5c1'变形为 (4azx +3b2y =5c2 答：该物流公司有50吨货物要运输. 18.根据题意，得厂+2y=5, a()+6，（字）= l(c-1)x+y=4. a(号)+b,(3)=s 把：代入(c-1)x+y=4,得c-1+2=4 ly =2 因为关于x,y的二元一次方程组at+6y=G1'的解是 解得c=3. 【a2x+b2y=c2 初中数学·人教七年级(GDY)第33~36期 5t4 11.2一元一次不等式（概念及解法） 所以 解得 「x=5 基础训练1.D;2.B;3.-1;4.a≤4. y=6, 5y=6. y=10. 5.解集在数轴上表示略.()x<氵；(2)x>-3: 所以关于x,y的二元一次方程组 4ax+36y=5c'的解 (3)x≥-4；(4)x≤2. L4azx +3b2y =5c2 是/5， 6.()根据题意，得+子≤0解得x≤-子 y=10. 23.(1)设第一次购进A型台灯每台的进价是x元，B型台 (2)根据题意，得20%y≥1-水解得y≥名 灯每台的进价是y元 根据题意，得10x+20,=30, 第36期3版 15(1+30%)x+10(1+20%)y=4500. 题号12345678 解得/200， 答案B C D BDC AB ly=50. 答：第一次购进A型台灯每台的进价是200元，B型台灯每 二、9.x<3;10.4；11.<; 台的进价是50元. 12.m<-4;13.x>-3;14.a≥1. (2)第二次购进A型台灯每台的进价是：200×(1+30%) 三，1512a+1>0:(2)合-9≥-1： =260(元)，B型台灯每台的进价是：50×(1+20%)= (3)设每件上衣的价钱是m元，每条长裤的价钱是n元.所 60(元). ①设A型台灯每台的售价是m元，B型台灯每台的售价是 以3m+4n≤268. n元. 16解集在数轴上表示略()x<子；(2)x≤3： 根据题意，得10(m-200)+20(n-50)=2800, 15(m-260)+10(n-60)=1800. (3)x≤-子 解得m340, n=120. 1.解不等式3x-2>2(2x+7),得x<-3. 答：A型台灯每台的售价是340元，B型台灯每台的售价是 120元. 解不等式3(x-1)+5>5x+2(m+x),得x<,严 2 ②设购进A型台灯a台，B型台灯b台. 根据题意，得(340-260)a+(120-60)b=740. 因为不等式3x-2>2(2x+宁)的解集与关于x的不等 化简，得4a+3b=37. 式3(x-1)+5>5x+2(m+x)的解集相同， 因为a,b均为正整数，所以0=1或=4，或4=7， 所以20=-3解得m=7 b=11b=7b=3. 所以有3种购买方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购 18.(1)因为x>y,所以4x+8y-(3x+9y)=4x+8y- 进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台. 3x-9y=x-y>0. 所以4x+8y>3x+9y 第36期2版 (2)M-2N=2a2+3b+1-2(a2+3b)=2a2+3b+1- 11.1不等式 2a2-6b=-3b+1. 11.1.1不等式及其解集 因为M-2V>0,所以-36+1>0解得6<子 基础训练1.B;2.C; 3.答案不惟一，如x-7<0;4.x>1500. 附加题1解x-2(3x-1)≥x+4,得x≤-} 5.(1)x-y>-4;(2)-2a+(-1)<0: (3)h<1.2;(4)2(4+a-3)>20. 所以该不等式的最大整数解是一1. 6.5.5,6,7.5,10,12是不等式2x+1>9的解；-5，-2.5， 因为方程8x-6a=4的解是不等式x-2(3x-1)≥x+ -1,0,3不是不等式2x+1>9的解. 4的最大整数解，所以8×(-1)-6a=4.解得a=-2. 7.(1)x>4;(2)x>-9;(3)x<13. 2.(1)③. 11.1.2不等式的性质 (2)解不等式3(x-1)<2x+m,得x<m+3. 基础训练1.A;2.B;3.D; 因为不等式x<-6是不等式3(x-1)<2x+m的“蕴含 4.a>0;5.-2≤t≤6；6.> 不等式”，所以m+3≥-6.解得m≥-9. 7.(1)5m<-10;(2)m-4<-6: (3)x>n+3是x>2的“蕴含不等式”.理由如下： (3)3m+6<0:(4)-罗>1. 因为x<-2n+4是x<2的“蕴含不等式”， 所以-2n+4≤2.解得n≥1. 8.解集在数轴上表示略.(1)x≤-1；(2)x≥2 所以n+3≥4.所以x>n+3是x>2的“蕴含不等式” -44 素养拓展 数理招 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 题型空间 第33期2版参考答案 报纸发行质量反馈电话 56 图形信息题”大看台 10.1二元一次方程组的概念 0351-5271248 基础训练1.A;2.C；3.D; (上接4版参考答案) ⊙陕西张惠茹” e:5[ 附加题1.(1)设 每件A产品的售价为 在二元一次方程组的实际应用题中，图形 例2如图2，小明在拼图时发现8个一样 6.(1)表格从上到下、从左到右依次填：0，-2,10,6 (2)表格从上到下、从左到右依次填：2，-3,4，-6. x元，每件B产品的售 信息题是一道亮丽的风景线，现撷取几例解析大小的长方形恰好拼成一个大的长方形，小红 价为y元. 如下，供同学们参考 看见了，说：“我也来试一试”结果小红七拼八凑， (3)二元一次方程组g4红+2的解是=-2， L2x-y =2 ly=-6. 根据题意，得 例1根据如图1提供的信息，小红去商店拼成如图3所示的正方形，但中间留下了一个洞， 7.有4种购买方案.过程略. ∫x+2y=700, 买一只水瓶和一只杯子应付 恰好是边长为2mm的小正方形，则每个小长方 10.2消元—解二元一次方程组 l2x+3y=1200. 形的长和宽分别为 ( ) 10.2.1代入消元法 基础训练1.D;2.B;3.丙. 洲 共37元 共56元 4()=0, y=-3: oo 答：每件A产品的 ly=2: 售价为300元，每件B 图1 产品的售价为200元. 图2 图3 5.编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号 A.30元 B.32元 中国结需用绳3米 (2)设出售A产品 C.31元 A.6 mm,10 mm B.10 mm,6 mm a件，出售B产品b件. D.34元 10.2.2加减消元法 C.10 mm,18 mm D.18 mm,10 mm 根据题意，得300。 分析：根据图中给定的两种购买方案可得 基础训练1.B;2.A;3.3;4.-6. 分析：根据图中的相等关系：“5个小长方形 +200b=1800. 出关于x,y的二元一次方程组，将两个方程相 加，再除以3即可得出结论 的宽=3个小长方形的长，2个小长方形的宽- 5.(1)=3, y=-2: eio 化简，得3a+2b= y=3; 解：设购买一只水瓶需要x元，购买一只杯小长方形的长=小正方形的边长”列出二元一 6.A,B两地间国道为90千米，高速公路为200 因为a,b均为正整 次方程组，解方程组即可得解 米 子需要y元 数，所以=2或 限想题忘得60 ① 解：设小长方形的长为xmm,宽为ymm 第33期3版参考答案 lb=6 ② 根据题意，得3x=5,解得：=10， fa=4, 一、 (①+②)÷3，得x+y=31 2y-x=2. y=6. 题号12345678 Lb=3. 故选C. 故选B. 答案DBC A C BA D 答：出售A产品 二、9.3；10.7；11.-6；12.2；13.32 2件，B产品6件或出售 专题辅导： 14.-1或7. A产品4件，B产品3件 2.(1)是 正整数解的应用 x 23 (2)因为关于x, ly=-2: 的二元一次方程kx+ (2k-1)y=11是“最 ⊙云南刑羽雯 16.设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛 佳”方程， 二元一次方程有无数个解，在实际问题中 经常会用到二元一次方程的正整数解.现结合 所g 压 所以k+2k-1= 11.解得k=4. 例题讲解如下，供同学们参考. 因为公鸡和母鸡之和不超过20只，且公鸡 例1我市组织300名志愿者去基层参与服数不低于母鸡数，所以x=12,y=4. ;:0 (3)因为二元一次 方 程 组 「x+(m-3)y=2-m, 务工作，可以选用大小客车两种车型已知1辆小 所以100-x-y=84.故填84. 答：大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是 0.2斛. Lmx+(n+1)y=2m+3 客车可载45人，1辆大客车可载60人，若同时租 例3某汽车制造厂招聘了一些新工人，他 是“最佳”方程组， 用小客车和大客车两种车型，一次性将300名志们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的 17.把{=2，代入3+0y=2,得6-6=2 Ly=-1 所 以 愿者送到目的地，要使租用的车辆恰好都能坐满安装，经调研发现：2名熟练工和1名新工人每 解得c=4. ∫n+m-3=2-m, 且不超载，求需租用的小客车和大客车的数量. lm+n+1=2m+3. 月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工 解：设需租用小客车a辆，大客车b辆. 把2和气代入o+女=5.得 解得m1, 人每月可安装16辆电动汽车.该厂计划一年生 ln=3. 根据题意，得45a+606=300所以b=5-a.产安装288辆新式电动汽车.如果工厂抽调n(0 a6e代2 3a+b=5. 所以原方程组为 因为a6均为正整致所以 <n<5)名熟练工，使得新工人和抽调的熟练 工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪 16y- ① ∫3x-2y=1, ② Lx+4y=5. ①+②，得3x=6m-18.所以x=2m-6. 答：需租用小客车4辆，大客车2辆 几种安排方案？ 因为是为 把x=2m-6代人①，得2m-6-2y=m. 例2《张丘建算经》中提出“百鸡问题”： 解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽 “今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车。 解得y=m-3. 程组3x-2y=1的 Lx+4y =5 解， 钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几 根据题意，得2x+y=10,解得：=4， rx=2m-6, 所以该方程组的解是 何？”（译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三 l3x+2y=16. ly=2. =2m-3 文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买 设安排a名新工人. (2)因为方程组的解也满足方程2x+3y=1, 解得P=1, lg=1. 一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各 根据题意，得12(2a+4n)=288. 所以2(2m-6)+3(m-3)=1.解得m=4. 所以2p+3g=5. 多少只？)若买得公鸡和母鸡之和不超过20只， 化简，得a=12-2n. (全文完) 且买得公鸡数不低于母鸡数，则此时买得小鸡 因为0<n<5,且n,a均为正整数， (3)ax+by+4-6a=a(2m-6)+b(2m-3)+ 只 解：设公鸡有x只，母鸡有y只，则小鸡有 感或我0a-中 因为ax+by+4-6a是个定值， (100-x-y)只. 所以工厂共有4种安排方案： 根据题意，得}（10-x-）=10-5x-3, 所以2a+2b=0,即4a+6=0. 方案1：安排10名新工人，抽调1名熟练工； 所以ax+by+4-6a=-12a-3b+4=-3(4a+ 整理，得)=25-子 方案2：安排8名新工人，抽调2名熟练工；b)+4=4. 方案3：安排6名新工人，抽调3名熟练工； 所以这个定值是4， 因为x,y均为正整数， 方案4：安排4名新工人，抽调4名熟练工.十 （下转1,4版中缝) 数理极 2026年3月10日·星期三 初中数学 第34期总第1178期 人教 七年级(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-155 名师点晴 本周主讲 找相等关系 有窍门 10.3实际问题与二元一次方程组 学习目标：会列二元一次方程组解决简 ⊙广东刘泽 单的实际问题，提高学生运用数学知识解决 列二元一次方程组解决实际问题，需要快两种食物中蛋白质的占比，即可用含x,y的式子 实际问题的思维能力 速地从问题中找出相等关系，如何轻松，准确地 表示出这两种食物中蛋白质的含量； 认知重点：掌握列二元一次方程组解决 从问题中挖掘出相等关系呢？下面介绍两个小 (2)根据“早餐套餐的总质量为400克，且蛋 实际问题的一般步骤，体验化复杂问题为简 窍门供同学们参考. 白质总含量为10%”列出关于x,y的二元一次方程 单问题的策略，准确设元，将实际问题转化 窍门一：借助表格分析 组，解答即可. 成二元一次方程组的数学模型 根据所要解决的问题，恰当地设出未知数， 解：(1)10%x,7%y. *10.4三元一次方程组的解法 结合已知条件，把一些相关的数量用表格列出 (2)根据题意，得 学习目标：了解三元一次方程组的概念 来，借助表格找相等关系。 「x+y+50=400 及其解法 例1在某学校食堂为学生提供的400克早 (10%x+7%y+11=400×10% 认知重点：深刻感悟“三元化三元” 餐套餐中，蛋白质总含量为10%，包括一个谷物 解得x150. “二元”把“一元”的消元思想，事握解三元 面包、一盒牛奶和一个去壳鸡蛋。一个去壳鸡蛋 y=200. 次方程组的方法G】 的质量约为50克，其中蛋白质含量为11克；谷物 63 窍门二：利用图示分析 面包和牛奶的部分主要营养成分如下表所示： 借助画示意图的方法把已知条件和未知条过30分钟，甲追上乙，这时甲行30x米，乙行 谷物面包（占比）牛奶（占比） 件之间的数量关系表示出来，相等关系在示意图30y米，甲、乙行程的差是300米；相向而行为相 蛋白质 10% 7% 上便一目了然 遇问题，2分钟后相遇，这时甲行2x米，乙行 脂肪 30% 3.4% 例2甲、乙两人在东西方向的公路上行2y米，甲、乙行程的和是300米. 碳水化合物 459% 5.89% 走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东 解：设甲的速度是x米/分，乙的速度是 设该份早餐中谷物面包为x克，牛奶为y克 走，那么30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人y米/分 (1)请补全表格（用含x,y的式子表示）： 同时相向而行，2分钟后相遇.问甲、乙两人的速 根据题意，得30x-30y-300, 谷物面包牛奶去壳鸡蛋 总量 度各是多少？ 2x+2y=300. 质量/克 50 400 分析：设甲的速度 西k 蛋白质含量/克 11 解得/代80 400×10% 是x米/分，乙的速度甲收300 ←-2x42y 30y→ 1y=70. (2)求x,y的值 是y米/分，则本题中 答：甲的速度是80米/分，乙的速度是 分析：(1)根据谷物面包、牛奶的质量及这 的数量关系如图所示.同向而行为追及问题，经70米/分 设元是列方程组解应用题的重要环节.只 品味方法 有设得巧，才能解得巧，那么怎样设元呢？这里 结合例题介绍几种方法，供同学们参考 三法在手设元不愁 一、直接设元法 如果题设中的关系能明确表示出所求的未 ◎湖南 林佳颖 知量时，可采用直接设元法，即求什么就设什 么，这是最常用的设元法 方形ABCD如图1所示，求 作辅助设元法，也叫设而不求法。 例1在一次知识竞赛中，学校为获得一等 这个长方形ABCD的面积 例3如图2，桌面上有甲、乙、丙三个杯 奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费 解：设长方形地板砖 子，三个杯子内原本均装有一些水.先将甲杯的 的长为xcm,宽为ycm. 水全部倒入丙杯，此时丙杯内的水量为原本甲 528元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品 根据题意， 得 杯内水量的3倍：再将乙杯内的水全部倒人丙 每件16元，获得一等奖和二等奖的学生分别有 「x+2y=60, 杯，此时丙杯内的水量比原本乙杯内水量的4倍 多少名？ x =4y. 少150毫升.若此过程中水没有溢出，则原本甲 解：设获得一等奖的学生有x名，获得二等 奖的学生有y名. :品 乙两杯内的水量相差多少毫升？ 根据题意，得+y=30, 所以长方形ABCD的长为：2×40 20x+16y=528. 80(cm). 解得x12, 所以80×60=4800(cm2). ly=18. 答：这个长方形ABCD的面积是4800cm2 图2 答：获得一等奖的学生有12名，获得二等奖的 三、辅助设元法 解：设原本甲杯内有水α毫升，乙杯内有水 学生有18名. 对于一些较复杂的问题，往往条件隐含、关b毫升，丙杯内有水c毫升. 二、间接设元法 系交错，这时不妨引入辅助元，在已知量和未知 根据题意，得a+c=3a, ① 间接设元法就是选取一个和问题相关的量作量之间架起一座“桥梁”，以便理顺各个量之间 a+b+c=4b-150. ② 为未知数，再通过这个未知数求出所要求的量. 的关系，列出方程组.而所引入的辅助元在解题 ②-①并化简，得b-a=50. 例2用12块相同的长方形地板砖拼成的长过程中被消去，不影响问题的结果.这种方法叫 答：原本甲、乙两杯内的水量相差50毫升. 素养·专练 数理极 10.3实际问题与二元一次方程组(2) (1)每份“堂食”小面和“生食”小面的价格 跟踪训练 分别是多少元？ 屋础训练 (2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面2500份， GENzoNGXUNLIAN 1.某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙 “生食”小面1500份.为回馈广大食客，该面馆从 10.3实际问题与二元一次方程组(1) 地，如果他以50k/h的速度行驶，那么就会迟到 5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每 24min;如果他以75km/h的速度行驶，那么可提 份“生食”小面的价格降低1元，统计5月的销量 屋础训练 前24min到达乙地，求甲、乙两地之间的距离.设 和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同， 1.某校八年级学生共有342人，其中男生人 甲、乙两地之间的距离为skm,从甲地到乙地的规“生食“小面的销量在4月的基础上增长)%，这 数y比女生人数x的2倍少18人，则下面所列的二 定时间为th,则可列二元一次方程组为( 两种小面的总销售额在4月的基础上增加α%，求 元一次方程组正确的是 ) 501+24 [ /50= 24 0 601 a的值. A.x+y=342, B.x+y=342, A. l2y=x-18 ly=2x-18 24 24 C.x+y=342, D.x+y=342, 60 60 24 「0=1+ 24 ly=2x+18 l2y=x+18 场=1- 60 2.学校计划采购一批白色和彩色无尘粉笔， C. D. 若购买白色无尘粉笔3盒、彩色无尘粉笔2盒，共 751+24 0 房 60 需34元；若购买白色无尘粉笔2盒、彩色无尘粉笔 2.某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午 3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出二元 餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和 次方程组3x+2y=34①，用①-②可得x 碳水化合物含量如下表所示： 12x+3y=36②. 甲食材 乙食材 y=-2,下列关于“x-y=-2”的意义解释正确 每克所含蛋白质 0.3单位0.75单位 的是 ( ) 每克所含碳水化合物0.6单位0.5单位 A.每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔贵2元 ·10.4三元一次方程组的解法 B.白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔多买了2盒 若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和 40单位碳水化合物，为恰好满足一个中学生的需 垦出训练 C.每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔便宜2元 D.白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔少买了2盒 要，那么每餐需要甲、乙两种食材各 ) 2x-y+5z=8, 3.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样 A.45克，12.5克 B.65克，2克 1.解三元一次方程组3x+y-8:=9,若要 一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(‘两’为我 C.12.5克，45克 D.2克，65克 6x-y+3z=6. 国古代货币单位)；马二匹、牛五头，共价三十八 3.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共使运算简便，消元的方法应选取 两，问马、牛各价几何？”经计算可得，马每匹 车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人 A.先消去x B.先消去y 两，牛每头 两. 步.问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐 C.先消去z D.以上说法都不对 4.王明从储蓄罐取出一把1元和5角硬币，每 车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆车空；如果每 r2x+y=7, 枚1元硬币的厚度是1.8mm,质量是6.1g;每枚 2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各 2.已知三元一次方程组2y+8=8,则x+y 5角硬币的厚度是1.7mm,质量是6.0g.已知这 多少？经计算得共有■ 辆车 2z+x=9, 把硬币的总金额是15元，把这些硬币摞起来，用 4.如图，将四个形状、大小 +z的值是 尺量出它们的总厚度是35mm,求这把硬币的总 相同的长方形拼成一个大的长 3.解下列三元一次方程组： 质量. 方形.如果大长方形的周长为 y=2x-7, 42,那么大长方形的面积是 (1)5x+3y+28=2, l3x-4z=4; 5.杨老师通过研究缝在毛衣内部标签上的内 容，得出以下结论： ①毛衣的总质量是200g; ②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维； ③绵羊毛和腈纶的含量占20%，锦纶的含量 是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含量比腈纶含 ra-2b+4c=12, 5.临近端午节，一网红门店接到一份粽子订量的2倍少1g (2)3a+2b=1, 单，立即决定由甲、乙两组加工完成已知甲、乙两 请你求出绵羊毛和腈纶的质量 l4a-c=3. 组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙 组加工1天多加工250袋粽子. (1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子； (2)已知这份粽子订单为1700袋，若甲、乙 两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加 工)，求甲、乙两组各需要加工多少天 4.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y= 0;当x=2时，y=3;当x=-3时，y=28.求a, 4 b,c的值. 能力提高 6.某面馆向食客推出经典特色小面，顾客可 到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料 的袋装生面（简称“生食”小面）.已知3份“堂食” 小面和2份“生食”小面的总售价是31元，4份“堂 数理报社试题研究中心 食”小面和1份“生食”小面的总售价是33元 (参考答案见36期) 数理极 素养·测评 3 同步检测 (六) TONGBUJIANCE 【检测范围：10.3*10.4】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） “今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问 题号123456 > 人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一 17.(12分)小明骑自行车去某景区，出发时， 件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，他先以8km/h的速度走平路，而后以4km/h的速 答案 求人数及物品的价格，用二元一次方程组解答该 1.长江某文创店出售不同规格的江豚玩具， 问题，若列出一个方程7x+4=y,则符合题意的另 度上坡到达景区，共用了弓；返回时，他先以 已知3个大号玩具和1个小号玩具共110元：1个大 一个方程是 12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走平 号玩具和2个小号玩具共70元，求大、小号玩具各 10.小林在某商店两次购买商品A,B,购买商路，回到原出发点，共用了55mi,求从出发点到景 多少钱？设1个大号玩具x元，1个小号玩具y元，则品A,B的数量和费用如下表： 区的路程 可列二元一次方程组为 ( A.3x+y=110, B.3x+y=110, 购买商品A 购买商品B 购买总费用（元） 的数量（个） 的数量（个） Lx+2y=70 2x+y=70 第一次购买 6 1140 C.+3y=110. D.+3y=110, 第二次购买 3 7 1110 lx+2y=70 2x+y=70 2.某工厂去年的总利润为200万元，今年的总 则商品B的标价是 元 收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了 11.课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞 18.(14分)某中学为了培养学生的科技创新 10%,今年的总利润为780万元.小明列出二元 镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分 意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购 次方程组x-y=200, 值不同，每人投5次飞镖，其落点如图1所示.已知 刻 进A,B两种航模.据了解购买1件A种航模和2件 1(1+20%)x-(1-10%)y=780 小杰和小明的5次飞镖总分分别为41分和47分 B种航模需800元；购买2件A种航模和3件B种 画这一情境中的相等关系，则方程组中的x,y分别 则小丽的5次飞镖总分为 航模需1300元， 表示 (1)求A,B两种航模每件分别多少元？ A.今年的总收入，今年的总支出 (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰 B.今年的总支出，今年的总收入 逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这 C.去年的总收入，去年的总支出 小明 小丽 )em 次采购预计共花费990元，请问张老师有哪几种购 图1 图2 D.去年的总支出，去年的总收入 12.在长方形ABCD中放入六个完全相同的小 买方案？ 3.五一小长假，小亮和家人到公园游玩，湖边 长方形，所标尺寸如图2所示，则小长方形的宽CE 有大、小两种游船，小亮发现2艘大船与3艘小船 是 cm. 一次共可以满载游客58人，3艘大船与2艘小船一 13.某超市现有n人在收银台排队等候结账， 次共可以满载游客72人，则1艘大船与1艘小船 设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速 次共可以满载游客 ( 度固定.若同时开放2个收银合，则20分钟后可使 A.24人B.26人C.28人 D.30人 排队人数为0；若同时开放3个收银台，则12分钟 4.小明带30元去买笔，已知钢笔5元一支，圆 后可使排队人数为0，由此可知，收银员结账的速 珠笔2元一支，买这两种笔（两种都买）刚好用完 度是结账人数增加速度的倍. 这些钱，则小明的购买方案有 附加题⊙ 14.某班同学参加运土劳动，女同学除1人请 A.4种B.3种C.2种D.1种 (以下试题供各地根据实际情况选用) 假外，全部分配去抬土，两人拾一筐，男同学除去 5.已知10年前，小明妈妈的年龄是小明的 3人跟女同学一起抬土外，其余全部去担土，1人 1.(10分)A,B两地相距4千米，甲从A地出发 6倍：10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，则小 担两筐，这样全部共需土筐59个，扁担36根，则该 步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人 明现在的年龄是 ( 班共有同学 人. 同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩 A.50岁B.40岁C.25岁D.15岁 余路程是乙剩余路程的3倍.问他们出发后多长时 三、耐心解一解（共44分） 6.甲、乙两个工程队负责修建一条长为 15.(8分)科学处理废旧智能手机，既可减少 间两人相距1千米？ 1000米的公路.甲工程队独立施工3天后，乙工程 环境污染，又可回收其中的可利用资源.据研究， 2.(10分)【阅读理解】在求代数式的值时，有 队加入，两工程队联合施工7天后，还剩86米的工 从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多 些题目可以用整体求值的方法，化难为易： 程.已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，则 760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄 例：已知x+2+：=4①，求2+y+:的值 甲工程队每天施工 金与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数 l7x+4y+3z=10②， A.55米B.54米C.53米 D.52米 之和为1200克.求从每吨废旧智能手机中能提炼 解：②-①，得4x+2y+2z=6. ③ 7.一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽 出黄金与白银的克数， ③×7，得2x+y+:=3. 子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外 的每位同学的帽子.每位男生看到的白色帽子比 【类比迁移】(1)已知：+2y+3:=10,求 红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的 l5x+6y+7z=26, 2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有 3x+4y+5z的值； 【实际应用】(2)某班级班委准备把本学期卖 A.13人B.14人C.15人D.16人 废品的钱给同学们买奖品，根据商店的价格，若购 8.对于实数x,y定义新运算：x◆y=ax+by 买3本笔记本2支签字笔、1支记号笔需要28元； 1,其中a,b是常数.已知1◆2=9，(-3)◆3=5， 16.(10分)机械厂加工车间有85名工人，平若购买7本笔记本，5支签字笔、3支记号笔需要 则4◆(-5)的结果是 （)均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知 66元.已知本班共45位同学，则购买45本笔记本 A.13B.-13C.11D.-11 2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，若使每天加工 45支签字笔45支记号笔需要多少钱？ 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 的大、小齿轮刚好配套，那么应该如何安排工人加 数理报社试题研究中心 9.《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：工大小齿轮？ (参考答案见36期)