精品解析：黑龙江牡丹江市初中课改联盟第一子联盟 2025—2026学年第二学期八年级期中考试 数学试卷

2025-2026学年度第二学期八年级期中考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. 一组对边相等，另一组对边平行 B. 一组对边平行，一组对角互补 C. 一组对角相等，一组邻角互补 D. 一组对角互补，另一组对角相等 4. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，交于点F，连接，若，的周长为14，则的周长为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 6. 如图，矩形中，于，且：：，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，是的边上的高，其中所有的四边形都是正方形，正方形的面积分别为，，，，若，，，则（ ） A. 78 B. 82 C. 84 D. 86 8. 长和宽的比为的矩形叫“标准矩形”，“标准矩形”蕴藏着丰富的美学价值．在某次“矩形的折叠”为主题的数学活动中，进行了如下的操作： 第一步：将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，如图①； 第二步：沿过点F的直线折叠，使点C落在边上的点H处，折痕为，如图②． 根据以上操作，在图②中，若四边形是“标准矩形”，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 如图，在中，，点，分别在边和上，且，，连接，，分别是和的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，连接，，，．下列结论：①；②；③；④若，则；⑤．其中结论正确的有（ ） A. ②③④⑤ B. ①②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤ 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围为________． 12. 如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 13. 化简的结果是________． 14. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍大，则这个多边形的所有对角线的条数是________． 15. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 16. 如图，点是的边上的点，是的中点，连接，并延长交于点，连接，交于点，若，，则的面积为________． 17. 如图，圆柱的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 18. 如图，在中，，，是斜边上的中线，点是上的动点，当周长最小时，________． 19. 如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，把△沿线段折叠，点的对应点刚好落在矩形的边的垂直平分线上时，则________． 20. 如图①所示的“数学风车”图案，是由含有角的四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，再分别连接大小正方形的四组顶点后得到的图案．在图②中，已知，顶点和顶点分别在射线和射线上，若，则第2026个“数学风车”图案中阴影部分的面积为________． 三、解答题（满分60分） 21. 按要求完成各题： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中． 22. 如图所示，在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求解决下列问题： （1）根据计算判断的形状为________； （2）求点到的距离； （3）若点的坐标为，格点与组成平行四边形，则点的坐标为________． 23. 定义：如果一个梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么称这个梯形为“和谐梯形”，这条对角线称为“和谐线”． （1）【概念理解】如图①，在梯形中，，，若，，，则梯形________（填“是”或“不是”）“和谐梯形”，“和谐线”是对角线________； （2）【方法应用】如图②，在矩形中，，点E、F分别在边和上，且，当梯形为“和谐梯形”时，直接写出“和谐梯形”的面积； （3）【拓展提升】如图③，在“和谐梯形”中，对角线为“和谐线”，，与交于点O，判断的形状，并说明理由． 24. 如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 25. 如图，在中，，，连接，，点，，在同一条直线上，，点为的中点，连接． （1）如图，当时，求证：； （2）当时，如图；当时，如图，分别写出线段，，之间的数量关系，并选择图或图进行证明． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴的正半轴上，线段，满足，且． （1）请直接写出点D的坐标； （2）动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S和t之间的关系式，要求写出t的取值范围； （3）在（2）条件下，当时，过点P作直线l⊥x轴，点M在直线l上，在平面内是否存在点N，使点A，C，M，N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期八年级期中考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确最简二次根式的判定条件，即根指数为2，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，依次对各选项判断即可． 【详解】解：最简二次根式需要同时满足：根指数为2，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此判断如下： 选项A：是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 选项B：，被开方数含分母，不符合题意； 选项C：，被开方数含能开得尽方的因式，不符合题意； 选项D：，满足所有条件，是最简二次根式，符合题意． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和算术平方根的性质，逐一判断选项即可． 【详解】A、与不是同类二次根式，不能合并，因此，A错误； B、，B正确； C、 ，C错误； D、，D错误； 3. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. 一组对边相等，另一组对边平行 B. 一组对边平行，一组对角互补 C. 一组对角相等，一组邻角互补 D. 一组对角互补，另一组对角相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理进行推导即可．本题考查的是平行四边形的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形，不符合题意； B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形，不符合题意； C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形，符合题意； D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形，不符合题意； 故选：C． 4. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴判断出  的正负性及大小关系，进而确定绝对值符号内式子的正负，利用  和  进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴原式 ． 5. 如图，在中，对角线交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，交于点F，连接，若，的周长为14，则的周长为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，再根据三角形的周长可以得到，再由平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：由已知条件可知是的垂直平分线，所以， ∵的周长为， ∴， ∴ 即， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的周长为． 6. 如图，矩形中，于，且：：，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的性质结合：：，求解再求解再利用角的和差即可得到答案． 【详解】解：∵矩形中， ∴ ∵：：， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键． 7. 如图所示，是的边上的高，其中所有的四边形都是正方形，正方形的面积分别为，，，，若，，，则（ ） A. 78 B. 82 C. 84 D. 86 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理得，，则，进而得，结合已知即可求出，的值，进而可得、、的长，再根据即可求解． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴，， 根据题意知，，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ∴，，， ∴． 8. 长和宽的比为的矩形叫“标准矩形”，“标准矩形”蕴藏着丰富的美学价值．在某次“矩形的折叠”为主题的数学活动中，进行了如下的操作： 第一步：将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，如图①； 第二步：沿过点F的直线折叠，使点C落在边上的点H处，折痕为，如图②． 根据以上操作，在图②中，若四边形是“标准矩形”，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解：根据题意可知，、是正方形，是矩形，设，则，由四边形是“标准矩形”，，， ，，即可得到，结合证明，得到，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意可知，、是正方形，是矩形， 设，则， ∵四边形是“标准矩形”， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴，， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在中，，点，分别在边和上，且，，连接，，分别是和的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，，延长线交于点，作，交延长线于点，则，由三角形的中位线定理，可得，，，，由平行线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边可得，根据勾股定理可得，即可得． 【详解】解：连接，取的中点，连接，，延长线交于点，作，交延长线于点，则， ∵是的中点，是的中点，是的中点， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在中，，连接，，，．下列结论：①；②；③；④若，则；⑤．其中结论正确的有（ ） A. ②③④⑤ B. ①②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于，过作于，过作交直线于，得到四边形，，是矩形，由，得到，再根据，得到，即可求出，故①说法正确；证明，，，故②说法正确；根据，得到③说法正确；证明，得到，推出，故④说法错误；设，，分别表示，，，，即可证明． 【详解】解：延长交于，过作于，过作交直线于， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形，，是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故①说法正确； ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 故②说法正确； ∵，， ∴，， 故③说法正确； 若，则， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④说法错误； 设，， ∴，，， ∵四边形，是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故⑤说法正确； 综上所述，正确的有①②③⑤． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据，分式的分母不等于0，二次根式的被开方数是非负数求解即可. 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴且. 12. 如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理，先证明四边形的一组对边平行且相等，从而判定它是平行四边形；再通过添加条件使对角线互相垂直，让平行四边形的一个内角为直角，进而证明它是矩形． 【详解】解：，（答案不唯一）， 如图，连接， ∵ 在中，分别是的中点， ∴，， 同理，在中，分别是的中点， ∴，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 当，平行四边形有一个直角，即成为矩形． 13. 化简的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出，再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可知，，且， ， ． 14. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍大，则这个多边形的所有对角线的条数是________． 【答案】27 【解析】 【分析】任何多边形的外角和是，n边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得，， 解得， ∴（条）， 即这个多边形的所有对角线的条数是27． 15. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故答案为：． 16. 如图，点是的边上的点，是的中点，连接，并延长交于点，连接，交于点，若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质，可得，，由是的中点，可得，证明，四边形是平行四边形，可得，可得，即可得的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 17. 如图，圆柱的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 【答案】25 【解析】 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱展开图如下， 由题意可知，，， 由勾股定理可得：， ∴爬行的最短路程为． 18. 如图，在中，，，是斜边上的中线，点是上的动点，当周长最小时，________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，周长为，即取最小值时，周长最小，当、、三点共线且时，取最小值时，根据直角三角形的两锐角互余，结合等边对等角，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ，即， 垂直平分， ， ， 是斜边上的中线， ，为定值， 周长为，即取最小值时，周长最小， 当、、三点共线且时，取最小值， ，， ， ， ． 19. 如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，把△沿线段折叠，点的对应点刚好落在矩形的边的垂直平分线上时，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论：①当落在的垂直平分线上时，设的垂直平分线交,分别于点,点，结合矩形和折叠的性质，通过勾股定理可以求出，然后得出，再设，在直角三角形中通过勾股定理列方程即可；②当落在的垂直平分线上时，设的垂直平分线交于点，由垂直平分线的性质可得而，可进一步推导出是等边三角形，再由折叠的性质可得再利用的直角三角形的性质即可求出． 【详解】①当落在的垂直平分线上时， 如下图，的垂直平分线交,分别于点,点， 在矩形中，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ； ②当落在的垂直平分线上时， 如下图,设的垂直平分线交于点， 由垂直平分线的性质可得， ， 又， 是等边三角形， ， 又 设,则 ， ， 综上所述：的长度为：或． 20. 如图①所示的“数学风车”图案，是由含有角的四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，再分别连接大小正方形的四组顶点后得到的图案．在图②中，已知，顶点和顶点分别在射线和射线上，若，则第2026个“数学风车”图案中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先寻找规律求出第2026个正方形的边长，，，，…，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形，四边形，…，四边形都是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求：，…，． 第2026个“数学风车”图案如图③所示， ∵四个直角三角形是含的全等三角形， ∴， ∴， ∴ ． 三、解答题（满分60分） 21. 按要求完成各题： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 当时，原式． 22. 如图所示，在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求解决下列问题： （1）根据计算判断的形状为________； （2）求点到的距离； （3）若点的坐标为，格点与组成平行四边形，则点的坐标为________． 【答案】（1）直角三角形 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（）利用勾股定理求出的长，进而可证明，则是直角三角形； （）利用三角形面积的两种不同计算方式建立等式，通过解方程求出点到的距离为； （）根据平行四边形对角线互相平分的性质，分分别为对角线三种情况，利用中点坐标公式求出点的坐标，得到所有符合条件的格点． 【小问1详解】 解：由题意可得，，即；  ，即；  ，即； ∵， ∴是直角三角形，直角在点 【小问2详解】  解：设点到的距离为，  的面积， ， ∴， 解得：，即点到的距离为 【小问3详解】 解：四边形对角线互相平分，分三种情况讨论： 点的坐标为， 若为对角线：中点与中点重合，如图： 得； 若为对角线：中点与中点重合，如图： 得； 若为对角线：中点与中点重合，如图： 得； 综上可得，三种情况均满足为格点， ∴的坐标为上述三种． 23. 定义：如果一个梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么称这个梯形为“和谐梯形”，这条对角线称为“和谐线”． （1）【概念理解】如图①，在梯形中，，，若，，，则梯形________（填“是”或“不是”）“和谐梯形”，“和谐线”是对角线________； （2）【方法应用】如图②，在矩形中，，点E、F分别在边和上，且，当梯形为“和谐梯形”时，直接写出“和谐梯形”的面积； （3）【拓展提升】如图③，在“和谐梯形”中，对角线为“和谐线”，，与交于点O，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）是， （2）或10 （3） 解：是等腰三角形，理由如下： 延长到点E，使， ∵为“和谐梯形”的和谐线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）连接，由勾股定理求出的长，则，再根据“和谐梯形”的定义判断即可； （2）连接、，根据“和谐梯形”的定义得或，根据勾股定理分别求解即可； （3）延长到点E，使，根据“和谐梯形”的定义得，进而可得，，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质进而推出，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵在梯形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴梯形是“和谐梯形”，“和谐线”是对角线； 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∵梯形为“和谐梯形”， ∴或． 分以下两种情况讨论： 当时，， ∴“和谐梯形”的面积； 当时，设， ∴， ∴， 解得， ∴“和谐梯形”的面积； 综上所述，“和谐梯形”的面积为或10； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，则，证明，得，根据对边平行且相等，即可证明四边形是平行四边形； （2）当时，，由平行四边形的性质得，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，，，连接，，点，，在同一条直线上，，点为的中点，连接． （1）如图，当时，求证：； （2）当时，如图；当时，如图，分别写出线段，，之间的数量关系，并选择图或图进行证明． 【答案】（1） 证明过程见解析； （2） 当时，，证明过程见解析； 当时，，证明过程见解析． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接，，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，是等边三角形，证明，可得，是的中位线，可得，即可证得结论； （2）当时，延长到点，使，连接，，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，可得，证明，可得，是的中位线，，由勾股定理可得，即可得线段，，之间的数量关系；当时，延长到点，使，连接，，作于点，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，可得，证明，可得，是的中位线，，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理可得，即可得线段，，之间的数量关系． 【小问1详解】 证明：如图，延长到点，使，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴， ∵，点为的中点， ∴垂直平分， ∴, ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：图结论：， 证明：延长到点，使，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，，， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 图③结论：， 证明：延长到点，使，连接，，作于点， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线． ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴的正半轴上，线段，满足，且． （1）请直接写出点D的坐标； （2）动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S和t之间的关系式，要求写出t的取值范围； （3）在（2）条件下，当时，过点P作直线l⊥x轴，点M在直线l上，在平面内是否存在点N，使点A，C，M，N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）点D的坐标为 （2） （3）当时，，；当时，， 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，则，，设，根据勾股定理得出，求出，则，然后根据平行四边形的性质求解即可； （2）分点P在上，点P在上讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分点P在上，点P在上讨论，根据等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质、平移的性质等知识求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点D的坐标为； 【小问2详解】 解：当点P在上时，，如图，此时， ∴； 当点P在上时，，如图，此时， ∵，， ∴， ∴； 综上，； 【小问3详解】 解：取中点E，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，， 解得， ∴， 当M在上方时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A向右平移1个单位，再向上平移个单位得到， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴C向右平移1个单位，再向上平移个单位得到， ∴； 当M在下方时， 同理可求； 当时，， 解得， ∴， 当M在x轴上方时，过作于H， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴A向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴C向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ∴， 当M在x轴下方时， 同理可求， 综上，当时，，；当时，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $