第38期 8.1 与三角形有关的边和角-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

素养·拓展 数理极 数学来源于生活，又 思维天地日 数眼看世界， 广泛应用于生活.三角形 角形出谋 的应用在生活中随处可 聚焦数学本质，渗透数学思札 见，下面让我们一起领略 三角形的魅力吧！ ◎湖南李秋雨 问 ·、三角形的三边 数学思想方法是数学的灵魂，是解决问题 因为BD和CD分别是∠ABC,∠ACB的平 关系献计 的金钥匙.掌握一种思想方法比采用题海战术分线， 例1 嘉嘉家和琪 更为重要下面就将本章中蕴涵的一些主要数 所以∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠DCB. 琪家到学校的直线距离 学思想提炼如下 所以∠ABC+∠ACB=2(∠DBC+ 陕 分别是3km和1km,他 一、方程思想 ∠DCB)=120° 们两家的直线距离可能 例1如果三角形的一个外角等于与它相所以∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)= 是 ( )邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的60°， 峰 A.1 km B.3 km 2倍，则此三角形最小内角的度数是 故选B. 而 C.5 km D.7 km 解：因为三角形的一个外角等于与它相邻 三、分类讨论思想 解：设嘉嘉家和琪琪 的内角的4倍，所以可设这一内角为x,则与它 例3如图2，直线m 家的直线距离为dkm 相邻的外角为4x. ∥n,BC为∠ABD的三等分 根据三角形的三边 所以x+4x=180°.解得x=36 线，∠DAB=a,∠DBC= 关系和实际，得3 ≤d≤3+1，即2≤d≤4. 所以4x=144°. B,则∠1的度数为( 故选B. 因为这个外角还等于与它不相邻的一个内角 A.a 28 B.2a+B 例2如图1，ABCD 的2倍，所以与这个外角不相邻的内角都是72° 是一个四边形木框，为了 C.2B+a或a+2BD.2a+B或2B+a 所以此三角形最小内角的度数是36° 使它保持稳定的形状，需 故填36° 在AC或BD上钉上一根木B 解：当∠DBC=号∠ABD时，∠ABC=2B, 二、整体思想 条，现量得AB=4cm,BC 图1 例2如图1，在△ABC 所以∠1=∠ABC+∠BAD=2B+x; =8cm,CD=6cm,AD=5cm,试问一根长为 中，∠ABC和∠ACB的平分 3cm的木条能否满足要求，并说明理由。 当∠DBC=号∠ABD时，∠ABC=B. 线相交于点D.若∠BDC= 解：能满足要求.理由如下： 120°，则∠A的度数为( 所以∠1=∠BAD+∠ABC=Q+2B. 连结AC,BD,图略 A.30° B.60° C.90° D.120° 因为AB=4cm,BC=8cm,CD=6cm 解：因为∠BDC=120°，所以∠DBC+ 综上所述，∠1的度数为2B+a或a+2B AD =5 cm, ∠DCB=180°-∠BDC=60°. 故选C. 所以在△ABC中，BC-AB<AC<AB+ BC,即4cm<AC<12cm; 第37期1,2版参考答案 <160×0.8a+200×0.8(30-a). 在△ACD中，CD-AD<AC<AD+CD,即 解得a<25.又因为0<a<30,所以0<a<25. 1 cm AC 11 cm; 一、 题号12345678910112 答：当0<a<25时，使用无人机配送商品更合算. 在△ABD中，AD-AB<BD<AB+AD,即 答案A DD B C B C BB A C D 第37期3,4版参考答案 1 cm BD 9 cm; 二、13.-1；14.9；15.7,53；16.-1<m≤0. -、题号12345678910112 在△BCD中，BC-CD<BD<BC+CD, 即2cm<BD<14cm. 三、17.(1)x= 答案B AA C BB A D C A BB 所以4cm<AC<11cm,2cm<BD< ly=-4. 二、13.y= 3 9cm.所以一根长为3cm的木条能满足要求. 18.数轴表示略.(1)x≥1；(2)-1<x≤4. 2-子；14.-4：1536：165 二、三角形的稳定性献力 19.a的取值范围是a≥-子 三.222 ly=-3. 例3要使图2的木架 20.甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需 18.(1)①三，等式的基本性质1：②二，去括号后， 不变形，至少需要再钉上 要4天 等式右边括号里的第二项没有变号. 根木条？ 21.(1)根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转 (2)去分母，得18x+3(x-1)=18-2(2x-1). 解：根据三角形的稳定 图2 化为2>0，或？<0，解不等式组 去括号，得18x+3x-3=18-4x+2. 性可知，要使六边形木架不变形，至少需要再钉 x+3<0 lx+3>0. 移项、合并同类项，得25x=23. 上3根木条.故填3. {:2>0得无解；解不等式组：？<0得-3< 系数化为1，得=器 lx+3<0, Lx+3>0, 三、三角形的外角献策 <2.所以原不等式的解集为-3<x<2. 19.设小轩要答对x道题，则答错或不答(25-x)道题 例4嘉嘉在作业本上 根据题意，得4x-(25-x)≥80.解得x≥21. 画了一个四边形，并标出部分 （2)解方程组+y=3-m,得=m+因 lx-y =3m-1,ly =2-2m. 答：小轩至少要答对21道题. 数据（如图3），淇淇说：“这四 为>0，所以>0或<0，所以m+1>0. 解 20.解不等式组 匹5-5>得2<≤ 2 个数据中有一个是错的”.嘉 y>0ly<0. l2-2m>0, 3x-2a≥5x+4, 嘉经过认真思考后，进行如下 250 -2-a. 修改：若∠A,∠B,∠BCD保 图3 行-1<m<1.成60。解此不等式组无路 因为关于x的不等式组恰有4个整数解，即为3,4， 持不变，则将图中的∠D」 (填“增大”或 综上所述，m的取值范围是-1<m<1. 5,6,所以6≤-2-a<7.解得-9<a≤-8. “减小”)」 度，淇淇说：“改得不错”. 22.(1)设A商品的销售单价是x元，B商品的销售 21.(1)由题意，得5x+4×3=2×15. 解：延长DC交AB于点E,如图3.因为 单价是y元. 解得x=3.6. ∠BCD=∠B+∠CEB,∠CEB=∠A+∠D,所 根据题意，得x+8,=240,解得=160， (2)由题意，得5x+4y=2×15,即5x+4y=30. l8x+5y=2280. ly=200. 以∠BCD=∠A+∠B+∠D.因为∠BCD= 答：该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是 整理，得x=6-5 145°，∠A=90°，∠B=25°，所以∠D=∠BCD 160元，B商品的销售单价是200元. -∠A-∠B=30°.所以∠D应该增大，增大的 (2)因为A商品购买a件，所以B商品购买(30-a)件 因为x,)为正整数，所以x=2, 1y=5. 度数为：30°-25°=5°.故填增大，5. 由题意，得250+160×0.75a+200×0.75(30-a) (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 数理橘 2026年3月17日·星期二 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 38期总第1182期 华东师大 0351-5271248 七年级 上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-44 (3)设笔记本的单 价为a元，圆珠笔的单 本周生讲 名师点睛： 价为b元. 由题意，得5a+8b 120.整理，得a=24 81与三角形有关的边和角 活学活用 三角形的三边关系 学习目标：1了解三角形的顶点、角、边 a®。。。 因为a,b为正整 会将三角形分类，会用几何语言描述三角形 。山东南峦宇 数，所以亿6或 的高、中线和角平分线」 三角形的三边之间存在如下的关系：“三角 A.2 B.3 C.4 D.11 2.掌握三角形的内角 形两边的和大于第三边”和“三角形两边的差小 分析：根据三角形的三边关系列出不等式 [a=8, 1b=10. 和定理及三角形的三个内 于第三边”.利用这个关系可以解决与三角形三判断即可. 当a=16,b= 角以及内角与外角的关系 边有关的题目.现举例剖析如下，供同学们参考 解：因为AB=4,BC=7,所以7-4<AC< 时，4a+5b=4×16+5 3.掌握三角形的三 考点一、判断三条线段能否组成三角形 7+4,即3<AC<11.所以边AC的长可能是4. ×5=89; 当a=8,b=10 边关系以及稳定性 例1 下列长度的三条线段能组成三角形 故选C. 时，4a+5b=4×8+5 的是 考点三、计算等腰三角形的周长 ×10=82. 一、自我介绍 A.3,3,6 B.3,5,10 答：购买4本笔记 例3 以方程组：+2，=8，的解作为等 本和5支圆珠笔的费用 三角形中，连结 C.4,6,9 D.4,5,9 [2x+y=10 为89元或82元. 向 个顶点和它所对的边的 分析：根据三角形的三边关系判断即可. 腰三角形两边的长，则该三角形的周长是 22.(1)根据题意 中点的线段叫做三角形 解：因为3+3=6，所以长度为3,3,6的三 得3b-12×2=6. 的中线 条线段不能组成三角形，故选项A不符合题意； A.6 B.8 解得b=10. (2)设购买x台甲 例1如图1，AE是 因为3+5<10，所以长度为3,5,10的三条 C.10 D.8或10 型设备，则购买(10 x)台乙型设备. 来 安徽 △ABC的中线，点D是 线段不能组成三角形，故选项B不符合题意； 分析：根据等腰三角形的定义和三角形的 BE上一点.若BD=5, 因为4+6>9，所以长度为4,6,9的三条线 三边关系即可得到结论 根据题意，得12x+ 10(10-x)≤112. 的中线 CD=9,则CE的长为 段能组成三角形，故选项C符合题意； 解得x≤6. 面试口 婷婷 解：解方程组+2y=8,得=4， 因为4+5=9，所以长度为4,5,9的三条线 2x+y=10, ly=2. 因为x为非负整 段不能组成三角形，故选项D不符合题意 若腰长为4，底边长为2,4+2>4，则此三 数，所以x可取值为0， 1,2,3,4,5,6 故选C 角形的周长为：4+4+2=10： 所以共有7种购买 考点二、确定三角形的第三边长 若腰长为2，底边长为4,2+2=4，不能构成三 方案： 例2已知在△ABC中，AB=4,BC=7,则 角形 方案1：购买10台 乙型设备； 边AC的长可能是 故选C. A.3 B.6 方案2：购买1台甲 C.7 D.8 型设备，9合乙型设备： 专题辅导8 方案3：购买2台甲 解：因为BD=5,CD=9, 型设备，8台乙型设备： 所以BC=BD+CD=14. 三角尺中的内角与外角 方案4：购买3合甲 因为AE是△ABC的中线， 型设备，7合乙型设备； 方案5：购买4台甲 所以CE=2BC=7 ◎四川 杨雅静 A.30 型设备，6台乙型设备； 一、一副三角尺重叠 B.189 方案6：购买5台甲 故选C. 例1如图1，将一副三角尺叠在一起，则 C.159 D.10° 型设备，5合乙型设备： 二、能力展示 图中∠a的度数是 解：由题意，得∠EDF=45°，∠BAC=30° 方案7：购买6合甲 三角形的一条中线分成的两个三角形面积 A.50° B.60° 因为AB∥FC, 型设备，4合乙型设备. (3)根据题意，得 相等 C.759 D.85 所以∠BAD=∠EDF=45° 240x+180(10-x)≥ 例2 如图2，AD是 所以∠DAC=∠BAD-∠BAC=15° 2100.解得x≥5. △ABC的中线，点E,F分别为 故选C 又因为x≤6，且 00y 为非负整数，所以x=5 AD,CE的中点.若S△HC 例3将一副三角尺 4cm2,则阴影部分的面积为 45 45 或6.所以满足条件的 按如图4所示的位置摆放 购买方案只有2种，即： cm2. 图1 图2 其中点0，E,F在直线l上， ①购买5台甲型设 备，5台乙型设备，所需 解：因为AD是△ABC的 解：如图2. 点B恰好落在DE边上， 资金为：12×5+10×5 中线，S△c=4cm2 由题意，得∠ABC=∠BCD=90°. ∠1=20°，∠A=45°， 4 =110(万元)； ②购买6台甲型设 所以S△ABm=S△ACn= 所以∠ABC+∠BCD=180°. ∠AOB=∠DEF=90°，则∠ABE的度数为 2 备，4台乙型设备，所需 所以AB∥CD. 资金为：12×6+10×4 因为点E为AD的中点， 所以∠AED=∠A=30°， A.60° B.65° =112(万元). 所以SADE= 所以∠a=∠D+∠AED=75 C.70 D.759 因为110<112，所 故选C. 解：因为∠1=20°，∠A=45°，∠A0B=90°， 以最省钱的购买方案是 购买5台甲型设备，5台 1 cm 二、一副三角尺有一个交点 所以∠AB0=90°-∠A=45°，∠B0E= 乙型设备. 所以SARCE=SAms+SACDE=2cm 例2一副直角三角E、 180°-∠A0B-∠1=70° (全文完) 因为F为CE的中点， 尺按如图3所示方式放置， 因为∠DEF=90°， 1 点C在FD的延长线上，AB 所以∠OBE=∠DEF-∠BOE=20° 所以S△Br=2S△BCE=1cm2, ∥FC,∠F=∠ACB= 所以∠ABE=∠AB0+∠OBE=65 故填1. 90°，则∠DAC= 故选B. 素养专练 数理招 (4)若C△0c-CAAB=3(C表示周长)，且 8.1.2.2三角形的外角和 跟踪训练 AB=4,则AC= 屋础训练 GENZONGXUNLIAN 1.将一副三角板（含30°，45°的直角三角形） 8.1与三角形有关的边和角 如图1摆放，则∠1的度数是 8.1.1.1认识三角形 A.90° B.135°C.120° D.150° 屋础训练 图3 1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中 5.如图4，CD是△ABC的角平分线，DE∥ 符合三角形概念的是 BC,∠2=∠3=40°，FH⊥AB于点H (1)求∠1的度数； X.人.△ (2)试说明CD是△ABC的高. 2.如图2，若∠A=27°，∠B=45°，∠C= 38°，则∠AFD的度数为 2.如图1，以AD为边的三角 3.如图3，在△ABC中，∠A=30°，∠ABC= 形是 ,以∠B为内角的 70°，△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延 三角形是 ,在△ACD 长线于点E. 中，三个内角是 (1)求∠BCE的度数； 3.如果三角形的一个内角 1 (2)过点D作DF∥CE,交AB的延长线于点 大于它的邻补角，则这个三角形一定是 F,求∠F的度数 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。 8.1.2.1三角形的内角和 4.观察图2中的图形，回答问题： 屋四训练 个④④ 1.在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则∠B 第1 第2个第3个 第4个 的度数为 图2 A.40° B.509 C.60 D.70° (1)第2个图形中有 个三角形；第3 2.如图1，直线41,42分别 个图形中有■ 个三角形；第4个图形中有 与△ABC的两边AB,BC相 个三角形；·，猜测第7个图形中有 能刀提高 交，且1∥2.若∠B=35° 个三角形 ∠1=105°，则∠2的度数为 4.如图4，在△ABC中， (2)按上面的方法继续下去，写出第n个图形 ( ∠B=45°，∠C=30°，点D 中三角形的个数（用含n的代数式表示）. A.45° B.509 在边BC上.若△ACD是直 C.40° D.60° 角三角形，则∠BDA的度数 3.若一个三角形三个内角的度数之比为 为 1:2:3,则最大内角的度数是 4.如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C= 8.1.3三角形的三边关系 84°，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上 垦础训练 8.1.1.2三角形的中线、角平分线与高 点，且∠ADE=?∠B,求∠CDE的度数 1,如图是李老师去某 屋训练 地旅游拍摄的“山谷中的 XA727w 铁架桥”，铁架桥框架做成 1.下列画出△ABC的边AC上的高的图形正 了三角形的形状，该设计 确的是 是利用 A.垂线段最短 B.两点之间，线段最短 C.两点确定一条直线 能刀提高 D.三角形的稳定性 2.如图1，在直角△ABC中，BC边上依次有 2.有两根13cm,15cm的木棒，要想以这两 E,D,F三点，BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF⊥ 5.在一个三角形中，如果一个内角是另一个 根木棒做一个三角形，可以选用第三根木棒的长 BC,以AD为中线的三角形是】 ;以AE为 内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三 为 ( 角平分线的三角形是 :以AF为高线的三 角形”.例如，三个内角分别为25°，75°，80°的三 A.30 cm B.28 cm 角形有 个 角形是“三倍角三角形”。 C.11 cm D.2 cm (1)在△ABC中，∠A=20°，∠B=40°， 3.已知三角形三条边的长度为3，x,9,化简： △ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？ 1x-21+|x-131= (2)若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B= 4.已知等腰△ABC中，AB=20,BC=8,AC 30°，求△ABC中最大内角的度数. =2m-2,求m的值. 图1 3.如图2，已知△ABC中，点D,E分别是边 BC,AB的中点.若△ABC的面积等于8，则△BDE 的面积为 4.已知△ABC(如图3)，按下列要求画图： (1)△ABC的中线AD; (2)△ABD的角平分线DM; 数理报社试题研究中心 (3)△ACD的高线CV; (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 16.(16分)问题情景：如图11-①，有一块直 同步检测 (八) 角三角板PMN放置在△ABC上（点P在△ABC 内)，三角板PMN的两条直角边PM,PN恰好分别 TONGBUJIANCE 经过点B和点C.试问∠ABP与∠ACP是否存在 某种确定的数量关系？ 【检测范围：81】 (1)特殊探究：如图11-①，∠PBC+∠PCB 、精心选一选（每小题4分，共32分） 10.如图7，AD是△ABC的中线，AB=4,AC= 度，若∠A=50°，则∠ABP+∠ACP= 题号 1 2 3 4 5 6 3.若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 度； 答案 (2)类比探究：请类比(1)，探究如图11-① 11.若有理数m,n满足等式1m-4|+(n- 1.在△ABC中，若∠A=90°，∠B=55°，则 中∠ABP+∠ACP与∠A的关系； 8)2=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边 ∠C的度数为 ( (3)延伸探究：如图11-②，改变直角三角板 的长，则△ABC的周长是 A.35° B.40° C.45° D.50° PMW的位置，使点P在△ABC外，三角板PMN的 12.如图8，已知∠B= 2.如图1，△ABD的边BD上的高是（ 两条直角边PM,PN分别经过点B和点C,则(2)中 20°，∠C=35°，∠D=165°，则 A.线段AE B.线段DE 的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结 ∠A的度数为」 C.线段AC D.线段BE °. B 论，并说明理由， 三、耐心解一解（共52分） ☒8 13.(10分)如图9，已知△ABC的周长为 24cm,AB=6cm,BC边上的中线AD=5cm, △ABD的周长为16cm,求AC的长 图1 图2 3.如图2，∠CBD是△ABC的外角，∠A= 38°，∠CBD=68°，则∠C的度数是 ( A.68°B.40°C.38° D.30° 4.如图3，AD为△ABC 的角平分线，DE∥AB交AC 于点E,若∠BAC=100°，则 ∠ADE= ( ）B A.40° B.50° 附加题⊙ C.60 D.1009 (以下试题供各地根据实际情况选用) 5.在△ABC中，∠A=∠C-∠B,则△ABC是 14.(12分)已知a,b,c是△ABC的三边长 1.(8分)如图1，D是△ABC内部一点，连结 (1)若a=4,b=6,且△ABC的周长是小于 A.锐角三角形 B.直角三角形 18的偶数，求c的长； AD,BD.GD,试比较AD+BD+CD与(AB+BC C.钝角三角形 D.无法确定 (2)化简：Ia+b-c|+1c-a-b1. +AC)的大小. 6.老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍 首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分 别为5cm,9cm,10.5cm,并且只能对10.5cm的 小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长 度为整数)，则同学们最多能拼出不同的三角形的 个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 7.如图4，在△ABC中，∠A=70°，∠C=40° BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且 ∠ADE=2∠BDE,则∠BDE的度数为( 2.(12分)在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC A.20° B.259 C.30 D.35° 15.(14分)如图10，在△ABC中，AD,AE分别于点D,点E是线段AC上的动点（不与，点D重合）， 是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分过点E作EF∥BC,交射线BD于点F,∠CEF的平 线，BF与AE交于点O.若∠ABC=40°，∠C= 分线所在直线与射线BD交于点G. 60°，求∠DAE,∠B0E的度数. (1)如图2，点E在线段AD上运动 ①若∠ABC=40°，∠C=70°，则∠BGE= 图4 5 8.小慧一笔画成了如图5所示的图形，若LA= ②若∠A=50°，则∠BGE= 60°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为( ③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说 A.180°B.240°C.270°D.3009 明理由. 二、细心填一填（每小题4分，共16分） (2)若点E在线段DC上运动，请写出∠BGE 9.如图6，学校门口设置的移动拒马都用钢管 与∠A之间的数量关系， 焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角 形的 （填“稳定性”或“不稳定性”) 数理报社试题研究中心 图6 图7 (参考答案见下期)初中数学·华东师大七年级第36~40期 数理橘 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大七年级 第36~40期(2026年3月) 根据题意，得80m+50(60-m)≤4020.解得m≤34. 第36期综合测评卷 答：最多可以购买34个雪圈儿. -题号123456789101112 21.(1)①③： 答案B BAADBACBD DB (+2m m, (2)解不等式组 2 得0<x≤3m+1. 二、13.3x+2<8;14.110；15.1;16.a≤0或a≥4. x-m≤2m+1, 三、17.数轴表示略.(1)x<2；(2)x≤4； 因为不等式组有4个整数解，即为1,2,3,4， 8≤ 所以4≤3m+1<5解得1≤m<手解方程7-3m 2 r4x-a<3,① =0,得x=6m-7. 18. 2t+5≥6.② 因为关于：的方程生7-3m-0是关于：的不等式组 解不等式①，得x<a+3 4 光+2m 2 >m, r6m-7>0, 的“关联方程”，所以 解不等式②，得x≥2. 6m-7≤3m+1. x-m≤2m+1 因为该不等式组无解，所以≤2解得a≤5 2x+y=1+2m,① 19.(1) 所以m的取值范国是子<m<专 4 lx+2y=2-m.② 6 ①+②，得3x+3y=3+m.所以x+y=31m 3 2.(1)根据题意，得-6=2， 解得=12， l3b-2a=6 b=10. 因为x+y>0,所以34m>0.解得m>-3 3 (2)设购买m台A型设备，则购买(10-m)台B型设备。 (2)因为(2m+1)x-2m<1,所以(2m+1)x<2m+1. 根据题意，得12m+10(10-m)≤105.解得m≤之 5 因为(2m+1)x-2m<1的解集为x>1,所以2m+1< 因为m为自然数，所以m可取值为0,1,2，对应的10-m的 0.解得m<-2 值分别为10,9,8. 又因为m>-3,所以-3<m<-2 所以共有3种购买方案： 方案1：购买10台B型设备： 所以整数m的值为-2，-1. 方案2：购买1台A型设备，9台B型设备； 20.(1)设每个雪圈儿需x元，每个雪地足球需y元. 方案3：购买2台A型设备，8台B型设备 2x+3y=310 根据题意，得 解得 x=80, (3)根据题意，得240m+200(10-m)≥2040. l5x+2y=500. y=50. 解得m≥1. 答：每个雪圈儿需80元，每个雪地足球需50元. 因为m≤子所以1≤m≤ 5 (2)设购买m个雪圈儿，则购买(60-m)个雪地足球. 初中数学·华东师大七年级第36~40期 因为m为自然数，所以m可取值为1,2 5x+8y=2400 x=160 根据题意，得 解得 当m=1时，所需费用为：12×1+10×9=102（万元）； 8x+5y=2280. =200 当m-2时，所需费用为：12×2+10×8=104（万元）. 答：该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B 因为102<104，所以最省钱的方案为：购买1台A型设备， 商品的销售单价是200元. 9台B型设备 (2)因为A商品购买a件，所以B商品购买(30-a)件 由题意，得250+160×0.75a+200×0.75(30-a)<160 第37期1,2版 ×0.8a+200×0.8(30-a). -、题号123456789101112 解得a<25.又因为0<a<30,所以0<a<25. 答案A DD B C B C BB A C D 答：当0<a<25时，使用无人机配送商品更合算。 二、13.-1；14.9；15.7,53；16.-1<m≤0. 第37期3,4版 三、17.(1)x=- 题号123456789101112 -4 答案BAACB BADCABB 18.数轴表示略.(1)x≥1；(2)-1<x≤4. 19.解方程3x+2(3a+1)=6x+a,得x=5a+2由题意， =3y=2-子4-41536：165 3 、「x=2, 得50+2≥0.解得a≥- 2 3 1y=-3 20.设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要 18.(1)①三，等式的基本性质1；②二，去括号后，等式右 x天 边括号里的第二项没有变号。 根据题章得名+(0+5=1 (2)去分母，得18x+3(x-1)=18-2(2x-1) 去括号，得18x+3x-3=18-4x+2. 解得x=4.经检验，符合题意 移项、合并同类项，得25x=23. 答：甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天 23 21.(1)根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为 系数化为1，得= x-2>0,「x-2<0, x-2>0, 19.设小轩要答对x道题，则答错或不答(25-x)道题. 或 解不等式组 得无解；解 Lx+3<0 x+3>0. x+3<0. 根据题意，得4x-(25-x)≥80.解得x≥21. 不等式组厂~2<0， 答：小轩至少要答对21道题， 得-3<x<2.所以原不等式的解集为 x+3>0, 3+5-5>2- 5 20.解不等式组 2 得2<x≤-2-a. 3<x<2 l3x-2a≥5x+4, 2)解方程组+)=3-m:得 =m+1,因为对 因为关于x的不等式组恰有4个整数解，即为3,4,5,6，所 lx-y=3m-1,y=2-2m. 以6≤-2-a<7.解得-9<a≤-8. 「x>0,.「x<0, >0,所以 或 21.(1)由题意，得5x+4×3=2×15. y>0y<0. 解得x=3.6. m+1>0, m+1<0, 所以 解得-1<m<1,或{ 解 (2)由题意，得5x+4y=2×15,即5x+4y=30. 2-2m>0, 2-2m<0. 此不等式组无解。 整理，得=6-寺 综上所述，m的取值范围是-1<m<1. 22.(1)设A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是 因为x,y为正整数，所以=2， Ly=5. y元 (3)设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元. 初中数学·华东师大七年级第36~40期 由题意，得5a+8b=120. 三角形是△ABD,△ABC,在△ACD中，三个内角是∠C, 整理，得a=24-号6 ∠ADC,∠CAD; 3.钝角 [a =8 因为a,b为正整数，所以 a=16, 或 4.(1)3,5,7,13: Lb =5 b=10 (2)第n个图形中有(2n-1)个三角形 当a=16,b=5时，4a+5b=4×16+5×5=89; 8.1.1.2三角形的中线、角平分线与高 当a=8,b=10时，4a+5b=4×8+5×10=82. 基础训练1.B; 答：购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用为89元或82元 2.△ABC,△ABD,10;3.2. 22.(1)根据题意，得36-12×2=6. 4.(1)(2)(3)图略；(4)7. 解得b=10 5.(1)因为DE∥BC,∠2=40°，所以∠1=∠ACB, (2)设购买x台甲型设备，则购买(10-x)台乙型设备 ∠DCB=∠2=40°.因为CD是△ABC的角平分线，所以 根据题意，得12x+10(10-x)≤112. ∠ACB=2∠DCB=80°.所以∠1=80 解得x≤6. (2)因为∠3=40°=∠DCB,所以FH∥CD.因为FH⊥ 因为x为非负整数，所以x可取值为0,1,2,3,4,5,6. AB,所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高 所以共有7种购买方案： 8.1.2.1三角形的内角和 方案1：购买10台乙型设备； 基础训练1.C；2.C；3.90° 方案2：购买1台甲型设备，9台乙型设备； 4.因为∠BAC=60°，∠C=84°，AD是△ABC的角平分线，所 方案3：购买2台甲型设备，8台乙型设备； 方案4：购买3台甲型设备，7台乙型设备； 以∠B=10°-∠BMC-∠C=36,∠CAD=号LBAC= 方案5：购买4台甲型设备，6台乙型设备： 30°.所以∠ADC=180°-∠CAD-∠C=66°.因为∠ADE= 方案6：购买5台甲型设备，5台乙型设备； 1 ∠B=18°，所以∠CDE=∠ADC-∠ADE=48° 2 方案7：购买6台甲型设备，4台乙型设备 (3)根据题意，得240x+180(10-x)≥2100. 能力提高5.(1)△ABC是“三倍角三角形”.理由如下： 解得x≥5. 因为∠A=20°，∠B=40°，所以∠C=180°-∠A-∠B 又因为x≤6，且x为非负整数，所以x=5或6. =120°=3∠B.所以△ABC是“三倍角三角形” 所以满足条件的购买方案只有2种，即： (2)设△ABC的最大内角为x. ①购买5台甲型设备，5台乙型设备，所需资金为：12×5+ 当最大内角是∠B的3倍时，x=3∠B=90°，满足题意； 10×5=110(万元)； 1 当最大内角是∠A或∠C的3倍时，3+x+30°=180°， ②购买6台甲型设备，4台乙型设备，所需资金为：12×6+ 解得x=112.5°，满足题意： 10×4=112(万元). 1 因为110<112，所以最省钱的购买方案是购买5台甲型设 当∠B是∠A或∠C的3倍时，3×30°+30°+x=180°， 备，5台乙型设备 解得x=140°，满足题意。 所以△ABC中最大内角的度数为90°或112.5°或140 第38期2版 8.1.2.2三角形的外角和 8.1与三角形有关的边和角 基础训练1.C;2.70° 8.1.1.1认识三角形 3.(1)因为∠A=30°，∠ABC=70°， 基础训练1.C; 所以∠BCD=∠A+∠ABC=100. 2.以AD为边的三角形是△ABD,△ADC,以∠B为内角的 因为CE是∠BCD的平分线， 3 初中数学·华东师大七年级第36~40期 所以∠BCE=7LBCD=50 设AB与PC交于点D.因为∠P+∠ABP+∠BDP=∠A +∠ACP+∠ADC=180°，∠BDP=∠ADC,所以∠P+∠ABP (2)因为∠BCE=50°，∠ABC=70°， =∠A+LACP.因为∠P=90°，所以∠ACP-∠ABP=∠P 所以∠BEC=∠ABC-∠BCE=20° -∠A=90°-∠A. 因为DF∥CE,所以∠F=∠BEC=20°. 附加题1.在△ABD中，AD+BD>AB;在△BCD中，BD 能力提高4.120°或90°. +CD>BC:在△ACD中，AD+CD>AC.所以AD+BD+BD 8.1.3三角形的三边关系 +CD+AD+CD>AB+BC+AC所以AD+BD+CD>2(AB 基础训练1.D;2.C;3.11. 4.因为△ABC是等腰三角形，所以AC=20或8. +BC +AC). 因为20+8=28>20,8+8=16<20， 2.(1)①55；②65； 所以AC=20,即2m-2=20.解得m=11. ③LBG=90:-∠1理由如下： 第38期3版 因为BD平分LABC,所以LDBC=号∠ABC 题号12345678 因为EF∥BC 答案AC DBBCBB 所以∠F=∠DBC=7∠ABC,∠CEF=LC 二、9.稳定性；10.9；11.20；12.110. 因为EG平分∠CEF, 三、13.因为AB=6cm,AD=5cm,△ABD的周长为 16cm,所以BD=16-AB-AD=5cm.因为AD是BC边上的 所以∠FEG=∠CBF=之LC 中线，所以BC=2BD=10cm.因为△ABC的周长为24cm,所 所以∠BGE=∠PEG+∠F=7∠C+?∠ABC 以AC=24-AB-BC=8cm. 14.(1)因为a=4,b=6,所以2<c<10.因为△ABC的 (∠C+∠ABC)=7(180-∠A)=90-号∠A 周长是小于18的偶数，所以c是大于2且小于8的偶数.所以c (2)设EG交BC于点H. 的长是4或6. 因为BD平分∠ABC,所以∠GBH=号∠ABC=(180 (2)根据题意，得a+b>c.所以1a+b-cl+lc-a-b1= a+b-c-(c-a-b)=a+b-c-c+a+b=2a+26-2c. -∠A-∠C)=90-∠A-3∠c 15.因为∠ABC=40°，∠C=60°，所以∠BAC=180°- 因为EF∥BC, ∠ABC-∠C=80°.因为AE是△ABC的角平分线，所以∠BAE 所以∠CEF=180°-∠C,∠FEH=∠GHC. =∠BAG=402因为AD是△ABC的高，所以∠ADB=90P 因为EH平分∠CEF, 所以∠BAD=90°-∠ABD=50°.所以∠DAE=∠BAD- 所以∠FEH=LCBF=(180°-∠G)=90- ∠BAE=10°.因为BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40°，所以 2C=LGHC. ∠AB0=子∠ABC=20所以∠B0E=∠AB0+∠BA0= 所以∠BGE=∠ChC-∠CBH=90°-LC-(90°- 60° 344-340=744 1 16.(1)90,40. (2)由(1)知∠PBC+∠PCB=90.所以∠ABP+∠ACP 第39期2版 =(∠ABC-∠PBC)+(∠ACB-∠PCB)=(∠ABC+ ∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A. 8.2多边形的内角和与外角和 (3)(2)中的结论不成立.结论：∠ACP-∠ABP=90°- 8.2.1多边形 ∠A.理由如下： 基础训练1.C；2.C; 初中数学·华东师大七年级第36~40期 3.三角形或四边形或五边形 4.(1)3,12: (2)因为△ABC边界上的格点数是8，SaBc=2×3×4 1 =6,正方形DEFG内的格点数是4，SE方形DBF=3×3=9, 第39期3版 m=1, r3m+8n-1=6, 所以 解得 4m+12n-1=9. n=2 一、 题号12345678 答案BA BCA D CC (3)18. 二9.8；10.50°；11.(n-1)；12.70° 8.2.2多边形的内角和 三、13.(1)1260°； 基础训练1.B；2.C；3.30° 4.因为AB∥CD,所以∠C+∠B=180° (2)根据题意，得(n-2)×180°=360°+72 因为五边形ABCDE的内角和为：(5-2)×180°=540°. 解得n=14. 所以∠E=540°-（∠A+∠D+∠C+∠B)=540°- 14.(1)六边形ABCDEF的内角和为：(6-2)×180°= (150°+160°+180)=50. 720° 5.(1)60: (2)因为六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+ (2)因为CE∥AD,∠D=140°， ∠3+∠4+∠5=470°， 所以∠DCE=180°-∠D=40°， 所以∠GBC+∠C+∠CDG=720°-470°=250°. 因为CE平分∠BCD, 又因为四边形BCDG的内角和为360°， 所以∠BCD=2∠DCE=80° 所以∠G=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG)=110°. 所以∠B=(4-2)×180°-∠A-∠BCD-∠D=40° 15.设这个多边形的边数是m 8.2.3多边形的外角和 根据题意，得1280°-180°<(m-2)×180°<1280° 基础训练1.B;2.D;3.210° 解得8g<m<9) 9 4.因为∠ABE是四边形ABCD的外角， 因为m是正整数，所以m=9. 所以∠ABE+∠ABC=180°. 所以他重复加的那个角的度数是：1280°-(9-2)×180° 因为∠ABE=∠D,所以∠ABC+∠D=180° =20° 又因为四边形的内角和等于360°， 16.(1)∠ACD=∠A+∠B; 所以∠A+∠C=360°-（∠ABC+∠D)=180° (2)因为∠A+∠B+∠BCD+∠D=360°， 5.设这个正多边形的一个外角的度数为x. 所以∠BCD=360°-∠A-∠B-∠D. 根据题意，得x+弓=180.解得x=72. 因为∠DCE是四边形ABCD的外角， 所以∠DCE=180°-∠BCD=180°-(360°-∠A-∠B 所以这个正多边形的边数为：360°÷72°=5. ∠D)=∠A+∠B+∠D-180°. 8.3用正多边形铺设地面 (3)y-x=180(n-3). 基础训练1.C;2.C; 附加题1.延长AG,CD交于点H,图略 3.六；4.60° 因为∠A=∠B=∠C=∠CDE=∠AGF=90°， 5.(1)根据题意，得60x+90y=360. 所以∠H=(4-2)×180°-∠A-∠B-∠C=90°， 化简，得2x+3y=12. ∠EDH=180°-∠CDE=90°，∠FGH=180°-∠AGF=90°. 因为x,y均为正整数，所以x=3,y=2 所以∠F=(5-2)×180°-∠EDH-∠E-∠FGH-∠H (2)如图（答案不惟一）. =130°≠140°.所以这个零件不合格. 5 初中数学·华东师大七年级第36~40期 2.(1)正确； 、 ∠EDA=∠EAD=2x+54°.在△AED中，∠EDA+∠EAD+ (2)设应加内角的度数为x,所加外角的度数为y ∠E=2x+54°+2x+54°+5x=180°.解得x=8.所以∠E 根据题意，得(n-2)×180°=2020°-y+x. =5x=40° 因为-180°<x-y<180°， 22.【初步思考】(1)60； 所以2020°-180°<(n-2)×180°<2020°+180° (2)因为∠A=∠DPC,∠DPC+∠DPE=180°，所以∠A 解得12号<n<14号 +∠DPE=180°.所以∠ADP+∠AEP=360°-（∠A+ 9 ∠DPE)=180°.又因为∠CEB+∠AEP=180°，所以∠ADP 因为n是正整数，所以n=13或14. =∠CEB 所以嘉嘉求的是十三边形或十四边形的内角和。 【综合运用】 第40期综合测评卷 因为∠A=∠B=∠DPC=a,所以∠ADC+∠BCD= 360°-∠A-∠B=360°-2a,∠PDC+∠PCD=180°- -、题号123456789101112 ∠DPC=180°-a.所以∠ADP+∠BCP=(∠ADC-∠PDC) 答案D ABBABD BBC BB +(∠BCD-∠PCD)=(∠ADC+∠BCD)-(∠PDC+ 二、13.稳定；14.6；15.25°；16.5. ∠PCD)=180°-a.因为DE,CF分别平分∠ADP,∠BCP,所 三、17.因为∠B=60°，∠ANC=80°，所以∠BAW= ∠ANC-∠B=20°.因为AN是△ABC的角平分线，所以 以∠PDE=LADP,∠PCF=7LBCP所以LPDE+ ∠BAC=2∠BAN=40°.所以∠C=180°-∠B-∠BAC= ∠PGP=LADP+∠BCP=(LADP+∠BCP)=90 80° 2a所以LCDE+LDCF=(LPDC+∠PDE)+(∠PCD 1 18.因为(a-3)2+1b-21=0, 所以a-3=0,b-2=0.解得a=3,b=2. +∠PCF)=(∠PDE+∠PCF)+(∠PDC+∠PCD)=270° 因为c为方程1c-41=2的解， 3 2a. 所以c-4=±2.解得c=6或2. 当0°<《<60°时，如图1. 因为a,b,c为△ABC的三边长，a+b<6,所以c=2. 所以△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为：2+2+3=7. 19.因为BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40 两部分，AC>AB,所以BD=CD=2BC,AC+CD=60,AB+ BD=40.因为AC=2BC,所以AC=4CD.所以CD=12.所以 AC=48,AB=28. 所以∠CQD=180°-∠QDC-∠QCD=180°-(180°- 20.设这个多边形的边数是n. ∠CDE)-(180°-∠DCF)=∠CDE+∠DCF-180°=90°- 根据题意，得1180°-180°<(n-2)×180°<1180° 3 2 解得7)<n<8 当x=60°时，DE与CF平行，不符合题意； 因为n是正整数，所以n=8. 当60°<a<180°时，如图2. 所以他重复加的那个角的度数是：1180°-(8-2)×180° =100° 21.(1)因为∠EAD=∠EDA,所以∠EAC+∠CAD=∠B +∠BAD.因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAD.所以 图2 ∠EAC=∠B.因为∠B=54°，所以∠EAC=54° 3 (2)设∠CAD=2x,则∠E=5x.因为∠B=54°，所以 所以∠CQD=180°-∠QDC-∠QCD= 2a-90 6