第41期 18.3 正方形-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话 (上接第3版) 0351-5271268 题型空间 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 附加题⊙ (以下试题供各地根据实际情况选用) 正方形题型 面面观 (上接4版参考答案) 1.(10分)如图1，在正方形ABCD和平行 16.(1)连结AC,图 ◎河南侯瑞欣 略.因为四边形ABCD是菱 四边形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P 正方形因其特殊的性质，考题形式多种多所以△BAE≌△ADF(SAS).所以BE=AF, 是线段DF的中点，连结PG,PC 形，所以AB=BC=CD 样，掌握每类题型的解题策略可以快速巧妙地解∠ABE=∠DAF.所以∠ABE+∠BAF=90°. AB∥CD.因为∠B=60°， (1)求证：四边形BEFG是矩形： 决问题现列举几例加以说明，供同学们参考. 所以BE⊥AF. 所以∠BCD=180-∠B (2)当PG与PC的夹角为 度时， 一、开放型 三、规律型 =120°，△ABC是等边三 四边形BEFG是正方形，请说明理由 例1如图1，四边形 例3如图3，四边形 角形.因为E是BC的中点， ABCD是平行四边形，AC与 OAA,B,是边长为1的正方 所以AE⊥BC.所以∠AE( BD相交于点O,AB=AD,添 形，以对角线04，为边作第 =90.因为∠AEF=60° 加一个条件 ,可使 B 二个正方形OA,A,B,连结 图1 所以∠FEC=∠AEC ABCD成为正方形 A42,得到△A4,42;再以对 4图3 LAEF=30°.所以∠CFE 解：添加条件∠BAD=90°证明如下： 角线OA,为边作第三个正方形OA,A,B3,连结 =180°-∠FEC-∠ECH 因为四边形ABCD是平行四边形，AB=A,A3,得到△A,A,A3,再以对角线OA3为边作第 =30°.所以∠FEC= AD,所以四边形ABCD是菱形.因为∠BAD=四个正方形0A,A,B,连结A2A4,得到△A2AA4, ∠CFE.所以EC=CF.因 90°，所以四边形ABCD是正方形.故填答案不惟…，设△A4,A2,△A142A3,△A2AA4,…的面积 ,如∠BAD=90 分别为S1,S2,53,…,如此下去，则S4的值为 为cE=号sC,所以CF 二、探究型 ( 之CD,即F是CD的中点 例2如图2，在正方形 A.2 B.22 ABCD的外侧，作两个等腰三角 (2)∠FEC的度数为 20 L形ADE和DCF.若EA=ED= C.2m+方 D.102 附加题1.(1)因为 FD=FC,试判断BE和AF的关 系，并给予证明. 解：因为四边形OA4,B,是边长为1的正方 E为AB的中点，所以AB= 形，所以∠0A4,=90°.所以04=12+12=2， 2AE=2BE.因为AB 解：BE=AF,BE⊥AF.证 2CD,所以CD=AE.因为 明如下： S=7×1×1=7因为四边形01,4B,是正 AE∥CD,所以四边形 2.(10分)如图2，在矩形ABCD中，AD= 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CD 方形，所以∠0A142=90°，0A1=A,A2·所以 AECD是平行四边形.因为 6,DC=7,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别 =AD,∠BAD=∠CDA=90°.在△EAD和 0A号=20A=4.因为四边形0A4B,是正方 AC平分∠DAB,所以 在矩形ABCD的边AB,CD,DA上，E,F,C在 △FDC中，因为EA=FD,AD=DC,ED=FC, ∠DAC=∠EAC.因为AB 条直线上，AH=2,DG=2. L所以△EAD≌△FDC(SSS).所以∠EAD= 形，所以0A:=4=2所以s。=子×2×1 ∥CD,所以∠DCA= (1)求证：四边形EFGH为正方形： ∠FDC.所以∠BAD+∠EAD=∠CDA+ ∠EAC.所以∠DAC= (2)求CF的长 ∠FDC,即∠BAE=∠ADF.在△BAE和△ADF =1,5=2×2×2=2根据规律可得S。= ∠DCA.所以AD=CD.所 中，因为EA=FD,∠BAE=∠ADF,AB=DA,2-2.所以S=2.故选B. 以四边形AECD是菱形. 第40期2版参考答案 ∠CFD.因为BA=BC,BD平分∠ABC,所以BD⊥AC,AD=CD (2)△ABC的面积为 18.2菱形 所以△AED≌△CFD(AAS).所以AE=CF.所以四边形AECF 18.2.1菱形的性质 是平行四边形.又因为BD⊥AC,所以四边形AECF是菱形. 基础训练1.D;2.20:3.70°：4.(2+2，√2) (2)BF=5. 2.(1)连结AC,图略 因为四边形ABCD为菱形， 5.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,AC⊥BD.因为 能力提高7.(1)因为点E与点F关于直线CD对称，所以 FD=ED,FG=EG,∠EDG=∠FDG.因为EG∥AF,所以 ∠BAD=120°，所以AB= DE⊥BD,所以DE∥AC.所以四边形ACDE是平行四边形. ∠EGD=∠FDG.所以∠EGD=∠EDG.所以ED=EG.所以 6.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC,∠ABP=∠CBP. BC,LBAC=60,即 FD=ED=FG=EG.所以四边形DEGF是菱形 又因为BP=BP,所以△ABP≌△CBP(SAS).所以PA=PC. ∠BAE+∠EAC=60°.所 (2)四边形DEGF的面积为20. 7.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD.所以∠ABD 以△ABC是等边三角形. 第40期3版参考答案 ∠ADB.因为AE=AB,所以AE=AD.所以∠E=∠ADE.所以 所以AB=AC.因为△AEH 2∠ADB+2∠ADE=180°.所以∠ADB+∠ADE=∠BDE= 题号12345678 是等边三角形，所以AE= 90.所以△BDE为直角三角形. 答案A CBABBC B AF,∠EAF=60°，即 8.(1)Dn=24am 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD:11.24 ∠CAF+∠EAC=60°.所 12.16. (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OB=OD,∠DAH= 以∠BAE=∠CAF.在 三、13.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,∠ABD= 2∠0AB.因为OH=BD,所以0H=OB.所以∠OHB= ∠CBD.因为EF∥BC,所以四边形BCFE是平行四边形，∠EMB= △ABE和△ACF中，因为 ∠CBD.所以BE=CF,∠ABD=∠EMB.所以BE=EM.所以CF= AC,∠BAE ∠OBH.所以∠BOH=180°-2∠OBH.因为∠OAB=90°- EM. ∠CAF,AE=AF,所以 ∠OBH,所以∠DAH=180°-2∠OBH.所以∠BOH=∠DAH. 14.因为∠BAF=∠DAE,所以∠BAF-∠EAF=∠DAE- △ABE≌△ACF(SAS).所 能力提高9.7 ∠EAF,即∠BAE=∠DAF.因为四边形ABCD是平行四边形， 18.2.2菱形的判定 以BE=CF 所以∠B=∠D.因为BE=DF,所以△ABE≌△ADF(AAS) 基础训练1.B;2.D;3.答案不惟一，如AE=AF; (2)四边形AECF的 所以AB=AD.所以四边形ABCD是菱形， 4.(2,8)或(2，-) 15.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,0B= 面积不变，为3；△CEF的 5.在△ABC和△ADC中，因为AB=AD,AC=AC,BC=OD,AC⊥BD.因为DF=BE,所以OB-BE=OD-DF,即OE 周长发生变化，最小值为2 DC,所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC.因为AB=OF.所以四边形AECF是平行四边形.又因为AC⊥EF,所以 + ∥CD,所以∠BAC=∠DCA.所以∠DCA=∠DAC.所以AD=四边形AECF是菱形. CD.所以AB=CB=CD=AD.所以四边形ABCD是菱形. (2)△ADE是直角三角形.理由略. (全文完) 数理报社试题研究中心 (参考答案见43期) 6.(I)因为AE∥CF,所以∠EAD=∠FCD,∠AED= (下转1,4版中缝) 数理极 2026年4月8日·星期三 初中数学 第 41期总第1185期 华东师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-206 正方形既是矩形，又是菱形.判定一个四边 品味方法 形为正方形，通常有两种途径：先证明它是矩 形，再证明它是菱形；先证明它是菱形，再证明 它是矩形.现举例说明两种证明思路 判定正方形两招式 招式一、矩形+一组邻边相等=正方形 ©重庆熊知龙 例1如图1，已知四A 所以ED=EF. 即OE=0F 边形ABCD是正方形，AB 所以矩形DEFG是正方形 所以四边形AECF是菱形 =2,点E为对角线AC (2)因为四边形ABCD和四边形DEFG都 因为0E=OA,所以EF=20E=2OA=AC 上一动点，连结DE,过点 是正方形，所以AD=CD=AB=√2，DE=DG, 所以菱形AECF是正方形. E作EF⊥DE,交射线BC 图1 ∠ADC=∠EDG=90° 总结：证明一个四边形是正方形，当已知条 于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连结 所以∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC, 件涉及到垂直时，通常先证明它是矩形，再证明 CG. 即∠ADE=∠CDG 矩形的邻边相等或对角线垂直；当已知条件中 (1)求证：矩形DEFG是正方形； 在△ADE和△CDG中，因为AD=CD, 涉及到边相等时，通常先证明它是菱形，再证明 (2)求证：CE+CG=2. ∠ADE=∠CDG,DE=DG,所以△ADE≌ 菱形的对角线相等或有一个内角是直角.这是 证明：(1)过点E分别作EM⊥BC于点M,△CDG(SAS), 证明一个四边形是正方形的四种思路，在具体 EN⊥CD于点N,如图1. 所以AE=CG 的证明中，应根据题目的已知条件灵活选择。 所以∠EMF=∠END=∠ENC=90 所以CE+CG=CE+AE= AC 因为点E是正方形ABCD对角线上的点， √AD2+CD=2. 本周主讲 所以∠ACB=∠ACD,∠BCD=90°. 招式二、菱形+对角线相等=正方形 18.3正方形 所以EM=EN,∠MEN=360°-∠EMF- 例2如图2，在 学习目标：1.掌握正方形的有关性质和 ∠ENC-∠BCD=90 菱形ABCD中，对角线 判定方法，并能运用这些知识进行相关的证 因为四边形DEFG是矩形， AC,BD相交于点0，点 ●明和计算 所以∠DEF=90°. E,F在对角线BD 上， 2.能运用轴对称的性质解决有关正方 所以∠MEN-∠FEN=∠DEF-∠FEN, 且BE=DF,OE=OA 形的问题， 即∠MEF=∠DEN. 求证：四边形AECF是正方形 认知重点：了解正方形与平行四边 在△DEN和△FEM中，因为∠END= 证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC1 形、矩形、菱形的联系和区别， ∠EMF,EN=EM,∠DEN=∠FEM,所以BD,OA=OC,OB=OD. △DEN≌△FEM(ASA)」 因为BE=DF,所以OB-BE=OD-DF 专题辅导了 所以四边形GECF是矩形 所以EF=CG. 轴过称的性质来支招 所以EF=AG 因为小敏共走了3100m,所以小聪行走的 ⊙四川李娟 路程为：BA+AD+DE+EF=BA+AD+GE+ AG=3100+1500=4600(m). 在解决有关正方形的问题中，常常结合轴 例2如图2为某城市部 对称的性质来解题，下面列举几例加以说明，供分街道示意图，四边形ABCD 故选B. 同学们参考 为正方形，点G在对角线BD 二、运用轴对称的性质解题 一、运用正方形关于对角线对称解题 上，GE⊥CD,GF⊥BC,AD= 例3如图3，在正方形 例1如图1，F是正方形 1500m,小敏行走的路线为B ABCD中，AB=1,点E是BC边 ABCD对角线BD上一点，连结 →A→G→E,小聪行走的路 图2 上一动点（点E不与B,C重 AF,CF,并延长CF交AD于点 线为B→A→D→E→F,若小敏行走的路程为合)，连结AE,作点B关于直线 E.若∠AFC=140°，则∠DEC 3100m,则小聪行走的路程为 )AE的对称点F,则线段CF的 的度数为 ()B A.3100m B.4600m 最小值为 A.80° B.759 C.3000m D.3600m 解：连结AC,AF,如图3. C.70° D.65 解：连结GC,如图2. 因为四边形ABCD为正方形，AB=1, 解：因为四边形ABCD是正方形， 因为四边形ABCD为正方形， 所以BC=1,∠ABC=90°. 所以∠ADF=方LADC=45 所以∠BCD=90°，∠EDG=45° 根据勾股定理，得AC=√AB+BC2= 因为GE⊥DC, 2 因为正方形ABCD关于对角线BD对称， 所以∠GED=∠GEC=90°. 所以∠BFC=分∠AFC=70 所以∠DGE=90°-∠EDG=45°. 因为点B,F关于直线AE对称， 所以AF=AB=1. 所以DE=GE 由对顶角相等，得∠DFE=∠BFC=70°， 因为正方形ABCD关于对角线BD对称 当点F在AC上时，CF最小 所以∠DEC=180°-∠DFE-∠EDF=65° 所以AG=CG. 所以线段CF的最小值为：AC-AF=√2-1. 故选D. 因为GF⊥BC,所以∠GFC=90° 故填2-1. 2 素养专练 数理极 5.如图4，已知四边形ABCD是矩形，点E在 跟踪训练 能刀提高 对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C,D不 6.如图5，在Rt△ABC中， 重合)，BE⊥EF,且∠ABE+∠CEF=45°.求证 gEnzonGXUNLIAN ∠C=90°，BC=1,AC=2,点 四边形ABCD是正方形. 18.3正方形 D为AC边上一个动点（不与 18.3.1正方形的性质 A,C重合)，以BD为边在BD 的上方作正方形BDEF.当AE 垦恐训练 ⊥AC时，BD的长为 图5 1.下列说法正确的是 7.如图6，等腰Rt△AEE A.菱形的四个内角都是直角 的斜边EF过正方形ABCD的顶点D.若AE=4 B.矩形的对角线互相垂直 DE=2,求BE的长. C.正方形的每一条对角线平分一组对角 D.平行四边形是轴对称图形 2.如图1，正方形OABC的顶点0，B在数轴上 对应的数分别是0,4，则顶点A,C之间的距离是 ( ) A.1 B.2 + C.4 D.无法确定 .! 6.如图5，在四边形ABCD中，AB=BC,对角 线BD平分∠ABC,P是BD上一点，过点P分别作 PM∥CD交AD于点M,PN∥AD交CD于点N. (0 B (1)求证：∠ADB=∠CDB; 18.3.2正方形的判定 (2)连结MN.当MN与PD满足什么条件时， 垦础训练 四边形MPND是正方形？ 图1 图2 3.如图2，在平行四边形ABCD与正方形 1.下列说法正确的是 AEFG中，点E在BC上.若∠BAE=38°，∠CEF =13°，则∠C= A.正方形既是矩形，又是菱形 B.有一个内角是直角的四边形是矩形 4.如图3，在正方形ABCD中，E,F分别为AB, C.两条对角线互相垂直平分的四边形是正 AD上的点，且AE=AF,点M是EF的中点，连结 CM,CF,CE.求证：CM⊥EF 方形 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 2.如图1，点E,F,P,Q分别是正方形ABCD 的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE,则下 列结论不一定正确的是 A.∠AFP=∠BPO 图 B.EF∥QP C.四边形EFPQ是正方形 7.如图6，四边形ABCD是平行四边形，连结 D.四边形POEF的面积是四边形ABCD面积 对角线AC,过点D作DE∥AC与BC的延长线交 的一半 于点E,连结AE交DC于点F (1)求证：BC=CE; (2)连结BF.若∠DAF=∠FBE,且AD= 2CF,求证：四边形ABCD是正方形 图1 图2 5.如图4，在边长为1的正方形ABCD中， 3.李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾（如 ∠CAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于 图2)，非常想买，但她拿起来看时感觉丝巾不太 点F,求CF的长 方.商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起 一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐.李燕还 有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验.李 燕终于买下这块丝巾，则这块丝巾】 是正 图4 方形（填“一定”或“不一定”） 4.如图3，矩形ABCD的边AB=√2，对角线 AC与BD相交于点O,OA=1.求证：四边形ABCD 是正方形 数理报社试题研究中心 (参考答案见43期) 数理极 素养测评 5 14.（12分)如图12，在矩形ABCD中，点E,F 同步检 测 分别在边AB,BC上，AF1DE,且AF=DE,AF与 DE相交于点G.求证：矩形ABCD为正方形 TONGBUJIANCE 【检测范围：18.3】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 8.如图6，点E为正方形ABCD外一点，且ED 题号1 2 345 67 8 =CD,连结AE,交BD于点F.若∠CDE=42°，则 ∠BFC的度数为 答案 图12 A.72° B.71°C.70°D.69° 1.下列说法中，是正方形具有而矩形不具有 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 的性质是 ( 9.如图7，点E在正方形ABCD的边CD上.若 A.两组对边分别平行B.对角线互相垂直 △ABE的面积为3，则线段BC的长为 C.四个角都为直角 D.对角线互相平分 D 2.若正方形的对角线长为2cm,则这个正方 形的面积为 A.4 cm2 B.2 cm2 C.cm2 D./8 cm2 图7 图8 3.如图1，点P是正方形ABCD内位于对角线 10.如图8，平行四边形ABCD的对角线互相垂 AC下方的一点，∠1=∠2，则∠P的度数为 直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件 15.(14分)如图13，在正方形ABCD中，对角 是 (只需添加一个即可) 线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两 A.1359 B.1509 11.如图9，小明用四根长度相同的木条制作点，且AE=CF,连结DE,DF,BE,BF C.160° D.无法确定 了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成 (1)求证：△ADE≌△CBF: 图9-①的菱形，测得∠A=120°，接着将该活动 (2)判断四边形BEDF的形状， 学具调成图9-②的正方形，测得正方形的对角线 D AC=√4cm,则图9-①中对角线AC的长为 cm 图1 图2 4.如图2，AC=√2cm,小红作了如下操作：分 图13 别以点A,C为圆心，1cm的长为半径作弧，两弧分 别相交于点B,D,依次连结A,B,C,D,则四边形 AE 图9 图10 ABCD的形状是 12.如图10，在矩形ABCD中，线段EF在AB边 A.平行四边形 B.菱形 上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH, C.矩形 D.正方形 连结AH,CG.若AB=9,AD=6,EF=4,则AH+ 5.如图3，正方形ABCD的对角线AC,BD交于 CG的最小值为 点0，E,F分别为A0,AD的中点，连结OF,则 ∠AFE的度数是 三、耐心解一解（共52分） ) A.30° B.45° 13.(10分)如图11，正方形ABCD中，在BA的 延长线上取一点E,使BE=BD,连结DE,求 C.50° D.60 ∠EDA的度数 16.(16分)如图14，已知四边形ABCD和 CEFG都是正方形，点K在BC上，延长CD到点H, 使DH=BK=CE,连结AK,KF,HF,AH (1)求证：四边形AKFH是正方形： (2)若四边形AKFH的面积为10，CE=1,求 图3 网A 6.如图4,0为正方形ABCD对角线AC的中 点A,E之间的距离. 网1 点，△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE2的值 为 ( 2 B.6 C.8 D.12 7.如图5，用四块同样大小的正方形纸片，围 出一个菱形ABCD,一个小孩顺次在这四块纸片上 轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个 小孩走的路线所围成的图形是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 图5 图6 (下转第4版)初中数学·华东师大八年级第40~44期 发汊橘 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大八年级 第40~44期(2026年4月)》 第40期2版 6.(1)因为AE∥CF,所以∠EAD=∠FCD,∠AED= 18.2菱形 ∠CFD.因为BA=BC,BD平分∠ABC,所以BD⊥AC,AD= 18.2.1菱形的性质 CD.所以△AED≌△CFD(AAS).所以AE=CF.所以四边形 基础训练1，D;2.20;3.70°；4.（√2+2,2） AECF是平行四边形.又因为BD⊥AC,所以四边形AECF是菱 5.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,AC⊥BD.因 形 为DE⊥BD,所以DE∥AC.所以四边形ACDE是平行四边形. (2)因为四边形AECF是菱形，所以DE=DF=2.在 6.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC,∠ABP= Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2,即42+(2+ ∠CBP.又因为BP=BP,所以△ABP≌△CBP(SAS).所以PA BE)2=(4+BE)2.解得BE=1.所以BF=5. 能力提高7.(1)因为点E与点F关于直线CD对称，所 =PC. 以FD=ED,FG=EG,∠EDG=∠FDG.因为EG∥AF,所以 7.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD.所以∠ABD =∠ADB.因为AE=AB,所以AE=AD.所以∠E=∠ADE.所 ∠EGD=∠FDG.所以∠EGD=∠EDG.所以ED=EG.所以 FD=ED=FG=EG.所以四边形DEGF是菱形 以2∠ADB+2∠ADE=180°.所以∠ADB+∠ADE=∠BDE (2)连结FC,EC,图略.因为∠A=∠B=90°，所以∠A+ =90°.所以△BDE为直角三角形 ∠B=180°.所以AF∥CB.因为AF=BC=8,所以四边形ABCF 8.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD,OA= 是平行四边形.所以CF=AB=10.根据轴对称的性质，得CE= 24C=4cm,0B=D=3cm根据勾股定理，得AB= CF=10.根据勾股定理，得BE=√CE-BC=.所以AE= √OA2+OB2=5cm.因为S菱形ABcD= 2AC·BD=AB·DH, AB-BE=4.在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+AD2= DE,即4+(8-DF)2=DF.解得DF=5.所以Sg边形DEG=DF 所以DH=AC,BD-24 2AB ·AE=20. (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OB=OD,∠DAH= 第40期3版 2∠0MB因为OH=号BD,所以0M=0B所以∠0HB= 题号12345678 答案ACBABBCB ∠OBH.所以∠BOH=180°-2∠OBH.因为∠OAB=90°- 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD;11.24; ∠OBH,所以∠DAH=180°-2∠OBH.所以∠BOH=∠DAH. 12.16. 能力提高9.√17. 三、13.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,∠ABD= 18.2.2菱形的判定 ∠CBD.因为EF∥BC,所以四边形BCFE是平行四边形， 基础训练L.B；2.D；3.答案不惟一，如AE=AF; ∠EMB=∠CBD.所以BE=CF,∠ABD=∠EMB.所以BE= 4.(2,w8)或(2，-√8) EM.所以CF=EM. 5.在△ABC和△ADC中，因为AB=AD,AC=AC,BC= 14.因为∠BAF=∠DAE,所以∠BAF-∠EAF=∠DAE DC,所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC.因为 -∠EAF,即∠BAE=∠DAF.因为四边形ABCD是平行四边 AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA.所以∠DCA=∠DAC.所以 形，所以∠B=∠D.因为BE=DF,所以△ABE≌ AD=CD.所以AB=CB=CD=AD.所以四边形ABCD是菱 △ADF(AAS).所以AB=AD.所以四边形ABCD是菱形 形 15.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,OB= 初中数学·华东师大八年级第40~44期 OD,AC⊥BD.因为DF=BE,所以OB-BE=OD-DF,即OE60°.所以∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中，因为AB= =OF,所以四边形AECF是平行四边形.又因为AC⊥EF,所以 AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF,所以△ABE≌△ACF(SAS).所 四边形AECF是菱形， 以BE=CF. (2)△ADE是直角三角形.理由如下： (2)四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化 因为AC=4,BD=8,所以OA=2,OB=OD=4.因为BE 由(I),得△ABE≌△ACF.所以S△ABE=S△ACF:所以 =3,所以OE=OB-BE=1,DE=BD-BE=5.因为AC⊥ S四边形ABCF=S△ABc+S△ACP=S△AEc+S△A6E=S△A6C,即四边形 BD,所以∠AOE=∠AOD=90°，根据勾股定理，得AE2=OA AECF的面积不变.因为△CEF的周长为：CE+CF+EF=CE +0E2=5,AD2=0A2+0D2=20.所以AE2+AD2=DE2.所 +BE+EF=BC+EF=BC+AE,所以△CEF的周长发生变 以△ADE是直角三角形， 化.过点A作AG⊥BC于点G,图略.当点E滑动到点G时， 16.(1)连结AC,图略.因为四边形ABCD是菱形，所以AB =BC=CD,AB∥CD.因为∠B=60°，所以∠BCD=180°- △CBF的周长最小此时BG=2BC=1.根据勾股定理，得AG ∠B=120°，△ABC是等边三角形.因为E是BC的中点，所以 =VAB-BG=5.所以Ssa=SAx=26G·AG= AE⊥BC.所以∠AEC=90°.因为∠AEF=60°，所以∠FEC= ∠AEC-∠AEF=30°.所以∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF ×2×5=3,△CEF的周长的最小值为：BC+AG=2+5. 2 =30,所以∠FEC=LCFE所以EC=CR因为CE=BC, 第41期2版 18.3正方形 所以CF=2CD,即F是CD的中点 18.3.1正方形的性质 (2)连结AC,图略.因为△ABC是等边三角形，所以AB= 基础训练1.C;2.C；3.115. AC,∠BAC=∠ACB=6O°.所以∠ACF=∠BCD-∠ACB= 4.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=BC=CD, 60°=∠B.因为∠EAF=60°，所以∠BAC-∠EAC=∠EAF-i ∠B=∠D=90°.因为AE=AF,所以AB-AE=AD-AF,即 ∠EAC,即∠BAE=∠CAF.所以△ABE≌△ACF(ASA).所以：BE=DF.在△BCE和△DCF中，因为BE=DF,∠B=∠D, AE=AF.所以△AEF是等边三角形.所以∠AEF=60°.因为 BC=DC,所以△BCE≌△DCF(SAS).所以CE=CF.因为点 ∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE,所以∠FEC=∠BAE=20°. M是EF的中点，所以CM⊥EF. 附加题1.(1)因为E为AB的中点，所以AB=2AE= 5.因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以AD=CD 2BE.因为AB=2CD,所以CD=AE.因为AE∥CD,所以四边 =1,∠D=90°，AD∥BC.所以∠DAE=∠F.因为AE平分 形AECD是平行四边形.因为AC平分∠DAB,所以∠DAC= ∠CAD,所以∠CAE=∠DAE.所以∠CAE=∠F.根据勾股定 ∠EAC.因为AB∥CD,所以∠DCA=∠EAC.所以∠DAC= 理，得CF=AC=V√AD2+CD2=√2 ∠DCA.所以AD=CD.所以四边形AECD是菱形. 能力提高6.√2. (2)因为四边形AECD是菱形，∠D=120°，CD=2,所以 7.连结BF,图略.根据题意，得∠EAF=90°，∠AFE= AB=4,CE=AE=2,∠AEC=∠D=120°.所以CE=BE, ∠AEF=45°，AF=AE=4.根据勾股定理，得EF2=AF2+AE2 ∠CEB=180°-∠AEC=60°.所以∠ACE=∠CAE=30°， =32.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,∠DAB= △CEB是等边三角形.所以BC=2,∠ECB=60°.所以∠ACB 90°.所以∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF,即∠EAD= =∠ACE+∠ECB=90°.根据勾股定理，得AC= ∠FAB.在△ADE和△ABF中，因为AD=AB,∠EAD= VAB-Bc=VD.所以Se=24C·BC=D. ∠FAB,AE=AF,所以△ADE≌△ABF(SAS).所以DE=BF 2.(1)连结AC,图略.因为四边形ABCD为菱形，∠BAD= =2,∠AED=∠AFB-=45°.所以∠BFE=∠AFB+∠AFE= 120°，所以AB=BC,∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°. 90°.根据勾股定理，得BE=√EF2+BF2=6. 所以△ABC是等边三角形.所以AB=AC.因为△AEF是等边 18.3.2正方形的判定 三角形，所以AE=AF,∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC= 基础训练1，A;2.D;3.不一定 初中数学·华东师大八年级第40~44期 4.因为四边形ABCD是矩形，OA=1,所以OB=1.因为=45°，AD=BC.在△ADE和△CBF中，因为AD=CB,∠DAE AB=√2，所以OA2+OB=AB2.所以∠AOB=90°.所以AC⊥ =∠BCF,AE=CF,所以△ADE≌△CBF(SAS). BD.所以四边形ABCD是正方形 (2)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD,OA=OB 5.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°.因为BE =OC=OD.因为AE=CF,所以OE=OA-AE=OC-CF= ⊥EF,所以∠BEF=90°.因为∠ABE+∠CEF=45°，所以 OF.所以四边形BEDF为菱形. ∠CEB+∠CBE=∠BEF-∠CEF+∠ABC-∠ABE=18O° 16.(1)因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，所以AB -(∠CEF+∠ABE)=135°.所以∠BCE=180°-（∠CEB+ =BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°，GC=CE= ∠CBE)=45°.所以∠BAC=90°-∠BCE=45°，所以AB= EF=FG,∠E=∠CGF=90°.所以∠ADH=180°-∠ADC= BC.所以四边形ABCD是正方形. 90°，∠HGF=180°-∠CGF=90°，因为DH=CE=BK,所以 6.(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD.在 HG=KE=AB.所以△ADH≌△ABK≌△KEF≌ △ABD和△CBD中，因为AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD= △HGF(SAS).所以AH=AK=KF=HF,∠DAH=∠BAK.所 BD,所以△ABD≌△CBD(SAS).所以∠ADB=∠CDB. 以四边形AKFH是菱形，∠KAH=∠DAH+∠KAD=∠BAK+ (2)因为PM∥CD,PN∥AD,所以四边形MPND是平行 ∠KAD=∠BAD=90°.所以四边形AKFH是正方形. 四边形，∠MPD=∠NDP.所以∠MPD=∠MDP.所以PM= (2)连结AE,图略.因为四边形AKFH的面积为10，所以 DM.所以四边形MPND是菱形.所以当MN=PD时，四边形 KF2=10.因为CE=1,所以BK=EF=1.根据勾股定理，得 MPND是正方形 KE=√KF2-EF产=3.所以AB=KE=3,BE=BK+KE= 7.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AD 4.所以点A,E之间的距离为：AE=√AB2+BE2=5. =BC.因为AC∥DE,所以四边形ACED是平行四边形.所以 附加题1.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC AD=CE.所以BC=CE. =90°，所以∠EBG=180°-∠ABC=90°，所以平行四边形 (2)因为四边形ACED是平行四边形，所以CD=2CF.因 BEFG是矩形 为AD=2CF,所以AD=CD.所以四边形ABCD是菱形.因为 (2)90.理由如下： AD∥EC,所以∠DAF=∠FEB.因为∠DAF=∠FBE,所以 延长GP交DC于点H,图略.因为正方形ABCD和平行四边 ∠FBE=∠FEB.所以FB=FE.因为BC=CE,所以FC⊥BE. 形BEFG,所以AB∥DC,BE∥GF,DC=BC.所以DC∥GF 所以∠BCF=90°.所以四边形ABCD是正方形 所以∠HDP=∠GFP,∠DHP=∠FGP.因为P是线段DF的 第41期3版 中点，所以DP=FP.在△DHP和△FGP中，因为∠DHP= 题号12345678 ∠FGP,∠HDP=∠GFP,DP=FP,所以△DHP≌ 答案BBADBBDD △FGP(AAS).所以HP=GP,DH=FG.当∠CPG=90°时， 二、9.6；10.答案不惟一，如AC=BD；11.√7； PG⊥PC.所以CH=CG.所以DC-CH=BC-CG,即DH= BG.所以BG=FG.所以平行四边形BEFG是菱形.由(1)知四 12.√61. 边形BEFG是矩形.所以四边形BEFG是正方形. 三、13.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABD=∠ADB 2.(1)因为四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，所 =45,因为BE=BD,所以∠BDE=∠E=之(I80- 以∠D=∠A=90°，HG=HE.在Rt△AHE和Rt△DGH中，因 ∠EBD)=67.5°.所以∠EDA=∠BDE-∠ADB=22.5° 为EH=HG,AH=DG,所以Rt△AHE兰Rt△DGH(HL).所以 14.因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠DAB= ∠AEH=∠DHG.因为∠AHE+∠AEH=90°，所以∠AHE+ ∠BAF+∠DAF=90°.因为AF⊥DE,所以∠AGD=90.所以 ∠DHG=90°.所以∠EHG=90°.所以四边形EFGH为正方 ∠ADE+∠DAF=90°.所以∠BAF=∠ADE.在△ABF和 形 △DAE中，因为∠B=∠EAD,∠BAF=∠ADE,AF=DE,所以 (2)因为AD=6,DC=7,DG=AH=2,所以DH=AD- △ABF≌△DAE(AAS).所以AB=DA.所以四边形ABCD是正 AH=4,CG=DC-DG=5.由勾股定理，得HG=DG+Df 方形 =20.因为四边形EFGH是正方形，所以FG2=20,∠EFG= 15.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAE=∠BCF:90°.所以∠CFG=180°-∠EFG=90°.由勾股定理，得CF= 一3 初中数学·华东师大八年级第40~44期 √CG-FG=√5. 0B=0D=2BD,AC=BD所以0A=0B=0C=0D在 第42期综合测评卷 △BE0和△CE0中，因为BE=CE,OE=OE,OB=OC,所以 -、题号123456789101112 △BEO≌△CEO(SSS). 答案BBBCDBA D C D AB (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=∠CDA= 二、13.20；14.70°；15.BD-AC且BD⊥AC; 90°，AB=DC.在Rt△BAE和Rt△CDE中，因为BE=CE,AB= 16.4.8. DC,所以Rt△BAE≌Rt△CDE(HL).所以∠AEB=∠DEC,AE 三、17.因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°，CD= =DE.因为OA=OD,所以∠OEA=∠OED=90°，∠DA0= AB=4,AD∥BC.所以∠AEB=∠CBE.因为BE平分∠ABC, ∠AD0.所以AB∥OE∥DC.所以S△ABo=S△E,S△Dso= 所以∠ABE=∠CBE.所以∠ABE=∠AEB.所以AE=AB= SACEO·所以S△ABE0-S△EF0=SABB0-SAEo,即SAAEF=SABFO, 4.因为AD=7,所以ED=AD-AE=3.根据勾股定理，得EC SABo-SARHO=SACEO-SABo,即SADER=SAcHO:在△AEF和 =√ED2+CD2=5. △DEH中，因为∠EAF=∠EDH,AE=DE,∠AEF=∠DEH, 18.因为AD∥BC,所以∠AD0=∠CB0,∠DAO= 所以△AEF≌△DEH(ASA).所以SAAEF=S△DEH因为DG∥ ∠BC0.因为BD垂直平分AC,所以OA=OC,AD=CD,AB= AC,所以∠G=LAFE,∠GDE=∠FAE.在△AEF和△DEG 中，因为∠AFE=∠G,∠FAE=∠GDE,AE=DE,所以△AEF CB.在△ADO和△CB0中，因为∠AD0=∠CB0,∠DAO= ∠BCO,OA=OC,所以△ADO≌△CBO(AAS).所以AD=CB. ≌△DEG(AAS).所以SAAEF=S△DsG·所以△DEH,△CHO, △DEG,△BFO的面积都与△AEF的面积相等。 所以AD=CD=AB=CB.所以四边形ABCD是菱形 第43期2版参考答案 19.连结GE,图略.因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥ 19.1数据的集中趋势 CD.所以∠CGE=∠AEG.因为四边形EFGH为菱形，所以GF 19.1.1平均数的意义 ∥HE.所以∠HEG=∠FGE.所以∠AEG-∠HEG=∠CGE- ∠FGE,即∠HEA=∠CGF 基础训练 1.C;2.1;3.10m+23n 33 20.(1)过点G作GD⊥AB于点D,图略.因为GE⊥BC,GF 1 4.这20户家庭的月平均用水量是：20×(4×2+5×3+ ⊥AC,所以∠CEG=∠CFG=90°.因为∠C=90°，所以四边 形GECF是矩形.因为∠BAC,∠ABC的平分线交于点G,所以 6×7+8×5+9×2+11×1)=6.7(吨). EG=DG=FG.所以四边形GECF是正方形 能力提高5.D, (2)连结CG,图略.因为AC=4,BC=3,∠ACB=90°，由 19.1.2加权平均数 基础训练1.C;2.29；3.87分 勾股定理，得AB=√AC2+BC2=5.因为SABc=SABG+ 4.(1)班长的综合成绩为.24+26+28=26（分）， Sm+Sm,5所以宁x3x4=3×5BG+分x46+分 3 3EG.解得EG=1.所以四边形GECF的面积为：EG=1. 团支部书记的综合成绩为26+4+26。（分）， 3 21.(1)1. 学习委员的综合成绩为：28++24-9（分 3 (2)因为四边形ABCD是菱形，所以AC=2OA,BD= 2OB,AB=BC.因为∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形 因为}>26>华，所以应该选学习委员为优秀学生干 所以AB=2OA.根据勾股定理，得OB=√AB2-OA2= 部 30A.所以菱形ABCD的“接近度”为：m=2304=V5 (2)班长的成绩为： 24×3+26×3+28×4= n 20A 3+3+4 (3)因为菱形ABCD的“接近度”是2，所以BD=2AC.所 26.2(分)，团支部书记的成绩为.26×3+24×3+26×4。 3+3+4 以OB=20OA.因为菱形ABCD的边长为5，所以OA+OB2= 25.4(分)，学习委员的成绩为：28×3+27×3+24×4_ 50A2=25.解得0A=√5.所以BD=45 3+3+4 26.1(分)，因为26.2>26.1>25.4，所以班长应当选为优秀 22.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OC= AC. 学生干部 初中数学·华东师大八年级第40~44期 19.1.3中位数和众数 励，有利于调动工人的积极性， 基础训练1.B;2.C；3.A;4.81;5.14分 综上所述，当月生产目标定为180个时，有利于调动大多 6.(1)5.5,4; 数工人的积极性 1 16.(1)一班C等级的学生有：25-6-12-5=2（名）.补 (2)这100名学生平均每人植树：100×(4×30+5×20+ 图略 6×25+8×15+10×10)=5.9(棵) 1 19.1.4平均数、中位数和众数的选用 (2)一班的平均数为：a=25×(6×100+12×85+2× 基础训练1.(1)表中依次填1,1,2,3,4,5,3,1，年平均 75+5×60)=82.8(分)； 收入为1.6； 班的中位数为：b=85(分)； (2)1.2,1.3;(3)众数 二班的众数为：c=100(分). 2.(1)这15名工人该天加工零件的平均数为： (3)①从平均数、众数方面来比较，二班的成绩更好 18×1+16×1+10×2+8×6+7×3+6×2=9(件). ②一班B级以上（包括B级）的同学有：6+12=18（名）： 公 二班B级以上（包括B级）的同学有：25×(44%+4%)= (2)这15名工人该天加工零件的中位数是8件，众数是8 12(名) 件 因为18>12，所以从B级以上（包括B级）的人数方面来 (3)不会.理由如下： 比较，一班的成绩更好 9件是平均数，但表中数据显示，每日能完成9件的只有4 附加题1.(1)15,15. 人，还有11人不能达到此定额，将每名工人的日加工零件任务 (2)15,5.5 数定为9件不利于调动多数工人的生产积极性 (3)用“平均数”这个数据指标不能较好反映人群年龄特 第43期3版参考答案 征的是乙群游客，理由如下： 题号12345678 乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，平均 答案CD BADACB 数高于大部分成员的年龄， 二、9.23.5；10.5；11.2.8；12.19或20. 2.(1)C等级的同学有5人，成绩分别为：77,73,72,79,78. 三、13.(1)16,17 所以3月份体有测试成绩为C等级的同学的平均成绩为：了× (2)这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是：10 (77+73+72+79+78)=75.8(分) ×(0+7+9+12+15+17×3+20+26)=14(次) (2)由表中数据可知，30名同学中，A等级的有10人，B等 级的有11人，C等级的有5人，D等级的有4人.所以强化训练 14.(1)该员工本年度平时表现的平均成绩为：4×(106 后该班同学平均成绩所提高的分数为：30 1 ×(0.9×10+5×11 +102+114+110)=108(分). (2)该员工本年度的综合考评成绩为：108×10%+110× +10×5+15×4)=5.8(分) 20%+107×70%=107.7(分). 第44期2版 15.()这10名工人该月生产零件的平均个数为：0× 19.2数据的离散程度 基础训练1.B;2.5;3.乙. (600+480+220×3+180×4+120)=258(个). (2)因为共有10名工人，所以中位数为：(220+180)÷2 4(1)即=(90+85+95+90)=90（分），2=4(98 =200(个)，众数为180个， +82+88+92)=90(分). 从平均数看，当月生产目标定为258个时，有2名工人获得 (2)0=4×[(90-90)2+(85-90)y2+(95-90)2+ 奖励，不利于调动工人的积极性； 从中位数看，当月生产目标定为200个时，有5名工人获得 (90-90)]-27d2=}×[(98-90)+(82-90)2+(8 奖励，不利于调动工人的积极性； -90)2+(92-90)2]=34.因为甲的方差小于乙的方差，所以 从众数看，当月生产目标定为180个时，有9名工人获得奖：选择甲参加比赛更合适 5 初中数学·华东师大八年级第40~44期 19.3借助箱线图描述数据的分布 81+85=8.3(分)，中位数为：8888=88（分），上四 2 2 基础训练1.C；2.B; 3.四分位数如下表： 分位数为91十93=9.2（分）. 2 最小值、四分位数和最大值 20.(1)乙 班级 最小值下四分位数中位数上四分位数最大值 (2)8.8,9. 八(1)班 166 167 168 170 171 (3)此人是乙，理由如下：把乙中的其中任意一个数改为 八(2)班164 165.5 169 170 171 其他数，这组数据的中位数和众数都不变，均为8 作箱线图如图所示： 21.(1)①8,8,1.56. 身高/cm ②八年级竞赛成绩的众数为7分，方差为1.88，九年级竞 172 171 赛成绩的众数为8分，方差为1.56，所以九年级竞赛成绩的众 170 169 数较大，又因为两个年级竞赛成绩的平均数相同，九年级竞赛 168 167 成绩波动小，所以应该给九年级颁奖。 166 165 (2)八年级的获奖率为：(10+7+11)÷50=56%；九年 164 163 级的获奖率为：(14+13+6)÷50=66% 八(1)班 八(2)班 基于四分位数和箱线图，可以发现八(1)班身高的中位数 因为66%>56%，所以九年级的获奖率高， 22.(1)144.乙车间抽取的10名员工中4月份工资为5千 与八(2)班的相差不大，但八(1)班身高的波动明显比八(2) 班的要小，故八(1)班选取的礼仪队队员的身高比八(2)班要 元的有：10-5-2-1=2（名）.补图略 (2)由扇形统计图，得甲车间员工工资为4千元、5千元、6 整齐 千元、7千元、8千元的员工分别有1名、2名，4名2名、1名 4.(1)两组学生坐位体前屈结果的最小值相等，A组学生 坐位体前屈结果的四分位数、最大值都高于B组，B组学生坐 所以甲车间员工的平均工资为：0×(4×1+5×2+6× 位体前屈结果的波动相对较小 4+7×2+8×1)=6(千元)， (2)B组有可能是普通学生组 (3)不一定 方差为：0×[(4-6)2+2×(5-62+4×(6-6)2+ 2×(7-6)2+(8-6)2]=1.2 第44期3,4版 因为1.2<7.6， 、 题号123456789101112 所以甲车间员工的工资收入比较稳定 答案BBBD CADCBBBA (3)原来甲车间员工工资的中位数为：6十6=6（千元）. 二13.24；14丙；15.4；169或4或2 2 因为甲车间员工工资低于6千元的有3名，不低于6千元 三、17.(1)从小到大排列此数据为：5,6,7,7,8,8,8，数据 的有7名，新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数，所 8出现了三次，最多，为众数，7处在第4位，为中位数.所以该同 以n的最小值为：7-3=4. 学所得分数的众数与中位数分别为8分、7分 所以当这4名员工工资低于6千元，且是较高工资时，这4 (2)该同学所得分数的平均数为：7(5+6+7×2+8×3) 名员工的工资和取得最大值 所以这4名员工的工资分别为4千元、4千元、5千元、5千 =7(分). 元 18.甲的平均成绩为.87×6+90×4=88.2（分），乙的平 6+4 所以这4名员工的工资和的最大值为：4+4+5+5= 均成绩为91×6+82×4=87.4（分）. 18(千元) 6+4 因为88.2>87.4，所以甲将被录取 19.将这12个数据由小到大排序为：7.5,7.8,8.1,8.5， 8.6,8.8,8.8,9.0,9.1,9.3,9.5,9.6,所以下四分位数为： -6