第39期 18.1 矩形-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大八年级第36~39期 数理极 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大八年级 第36~39期(2026年3月) 第36期1,2版 得关于x的不等式x+1>冬的解集是-2<x<0或x>1 题号123456789101112 (3)记y=x+1交y轴于点C,则C(0,1).所以0C=1. 答案DA D C A CC DD C BB 二、13.-1；14.<；15.a<22且a≠-2； 所以Se=Sac+S6x=20C·(x,-g)=子因为 16.-6. △AOB的面积是△AOP面积的一半，所以Saor=3.所以 三、17.(1)-4. (2)x=3 子10p1=3,即宁10P1x2=3解得10P1=3所以 18原式=子3因为x少2且x3,所以：=4当x= 点P的坐标为(-3,0)或(3,0) 第36期3,4版 4时，原式=2. 题号123456789101112 19.设y与x的函数表达式为y=kx+b.将(20,360)，(30， 20k+b=360 解得=-30， 答案BA C B DA DD A C B C 60)代人，得 30k+b=60. (b=960. 所以y与x的函 二、13.3； 14.2:15.1:5;16.-9. 数表达式为y=-30x+960(0<x≤32).根据题意，得-30x 三①3 (2)无解 +960=300.解得x=22. 18.设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元 答：每件商品的销售价格应定为22元. 20.(1)根据题意，得2m-4=0.解得m=2.所以3m+1 根据题意，得200.20 x=x+0.6×4.解得x=02. =7.所以点P的坐标为(0,7) 经检验，x=0.2是原分式方程的解，且符合题意 (2)根据题意，得3m+1=-2.解得m=-1.所以2m-4 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元 =-6.所以点P的坐标为(-6，-2). 19.(1)由图象，得该反比例函数过点(2,500)，在第一象 21.(1)设村民每天采摘茶叶x吨，则志愿者服务队每天采 限，所以k=2×500=1000.所以该反比例函数的表达式为p 摘茶叶1.5x吨. =1000(s>0). 根据题意得子+4 24-4 =15.解得x=0.8. S 经检验，x=0.8是原分式方程的解，且符合题意. (2)当p=800Pa时，800=190解得S=0.125.由 答：村民每天采摘茶叶0.8吨 图象可知，p随S的增大而减小.所以当p≤8000Pa时，S≥ 24 (2)原计划村民完成采摘需要的天数为：08=30，所需劳 0.125m2. 答：选用的木板面积至少要0.125m2. 务费为：2000×30=60000（元）. 24-4 志愿者服务队工作的天数为0,8+0.8X15=10,村民 20()一元-次方程3-2(1-)=4：与分式方号出 4 工作了15天，所以实际花费为：2000×15+500×10= -1=4一1不是“相似方程，理由如下： 35000(元). 解3-21-)=得x=分解经1“ 4 60000-35000=25000(元). 答：志愿者服务队加人后可帮助合作社节省25000元. 22.(1)将A(m,2)代入y=x+1,得m+1=2.解得m= 得x=子检验：当x=时，(2x+1)(2x-)=0.所以原 1.所以A(1,2).把A(1,2)代入y=,得k=2.所以反比例 分式方程无解.所以一元一次方程3-2(1-x)=4x与分式方 号：号1=4不是相似方程 4 函数的表达式为y=2 (2)由题意，得两个方程有相同的整数解，所以mx+6=x y=x+1, (2)解2“得任-2所以以-2，-1).观察图象， +4m.化简，得(m-1)x=4m-6.当m-1=0时，方程无解； y= x,y=-1. 当m-1≠0，即m≠1时=细单即=4乙因为 初中数学·华东师大八年级第36~39期 x,y均为整数，所以m-1=1或2或-1或-2.又因为m为正因为∠CDE=15°，所以∠BDC=∠BDE+∠CDE=30°.所以 整数，所以m=2或3. ∠ABD=∠BDC=30°.所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=45°. 21.(1)把y=2代人y=-2x,得x=-4所以A(-4, 17.2平行四边形的判定 17.2.1平行四边形的判定 2).把A(-4,2)代人y=左，得k=-8所以反比例函数的表 基础训练1.B;2.A;3.D;4.是 5.因为a2+b2+2+=2ac+2bd,所以(a-c)2+(b- 达式为y=是 d)2=0.所以a=c,b=d.所以四边形ABCD是平行四边形. 6.由对顶角相等，得∠AOE=∠COD.在△AOE和△COD (2)由题意，得B(4,-2).根据图象，得-子>上的解 中，因为∠EA0=∠DC0,A0=C0,∠AOE=∠COD,所以 集为x<-4或0<x<4. △AOE≌△COD(ASA).所以OE=OD.所以四边形AECD是平 (3)设平移后的直线2与x轴交于点D,连结AD,BD,图 行四边形 略.因为CD∥AB,所以S△ABD=S△AoD+S△mD=S△ABc=30, 7.因为CF∥AB,所以∠DAE=∠CFE,∠ADE=∠FCE. 即70D·(y-ya)=30.解得0D=15.所以D(15,0).设平 在△ADE和△CFE中，因为∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE, AE=FE,所以△ADE兰≌△CFE(AAS).所以AD=FC.因为CD 1 移后的直线b的函数表达式为y=-2x+6把D(15,0)代 是△ABC的中线，所以AD=BD.所以BD=FC.所以四边形 DBFC是平行四边形. 入，得0=-子×15+6解得6=5所以平移后的直线6的 17.2.2三角形的中位线 基础训练1.B;2.D:3.C;4.4. 西数表达式为)=子+停 5.因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中点，所 22()把P(4,)代入y=子+6，得1=9所以P(4, 以PE=宁D,P=BC因为AD=BC,所以PE=PR所以 9)把A(16,0),P(4,9)代人y=x+6,得16r+6=0,解得 ∠PFE=∠PEF=18°. l4k+b=9. 第37期3版 [=-子所以直线，的函数表达式为y=- 题号12345678 4x+12. 答案DBC DB CA C lb=12. 3 二、9.60；10.答案不惟一，如AB=CD;11.6; (2)①令y=0,则y=主x+6=0解得x=-8.所以 12.(2,2)或(-2,10) 三、13.因为点D,E分别是AB,AC的中点，所以DE是△ABC 8,0因为点Q的横坐标为m,所以M(m,子m+12》 的中位线，AE=EC=5.所以DE=子8C=8,DE∥BC,所以 (m,子m+6).所以MN=1-子 m+12-(3 m+61=1-3n ∠EFC=∠FCB.因为CF是∠ACB的平分线，所以∠ECF= +61. ∠FCB.所以∠EFC=∠ECF.所以EF=EC=5.所以DF=DE ②当点N是MQ的中点时，期M0=2Q.所以-子m+12 -EF=3. 14.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AD= =2(子m+6).解得m=0, BC.所以∠AEB=∠DAE.因为AB=AE,所以∠B=∠AEB.所 以∠B=∠DAE.在△ABC和△EAD中，因为AB=EA,∠B= 当点M是Q的中点时，则0=2M0.所以子m+6= ∠DAE,BC=AD,所以△ABC≌△EAD(SAS). 3 15.(I)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD= 2(-子m+12).解得m=8. ∠EBD.因为ED∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以∠EBD= 不存在点Q是MN中点的情况 ∠EDB.所以BE=ED.因为BE=CF,所以ED=CF.又因为ED 综上所述，m的值是0或8. ∥FC,所以四边形EFCD是平行四边形. 第37期2版 (2)因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60°，所以 17.1平行四边形的性质 ∠ABD=分∠ABC=30因为∠ADB=10°，所以∠A=180° 基础训练1.A;2.C;3.C;4.1.5. -∠ABD-∠ADB=50°.因为四边形EFCD是平行四边形，所以 5.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,BC= EF∥AC.所以∠AEF=180°-∠A=130°. AD,∠ABC=∠ADC.因为△BCE和△CDF都是等边三角形，所 16.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,AB 以CD=DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF=6O°.所以AB=DF, ∥CD.因为CE=AB,所以CE=CD.所以∠CDE=∠CED= BE=AD,∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF,即∠ABE= ∠FDA.所以△ABE≌△FDA(SAS).所以AE=AF. (180P-∠DCE)=0°-分∠DCE所以LAED=LCDE= 6.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB=OD,AB∥ CD.因为OE⊥BD,所以BE=ED所以∠BDE=∠CBD=15. 0-DCE. 一2 初中数学·华东师大八年级第36~39期 (2)延长DA,FE交于点M,图略.因为四边形ABCD是平行称的性质，得∠BDC=∠P,∠PBC=∠DBC,PC=DC.所以 四边形，所以AD∥BC.所以∠M=∠EFB.因为E是AB的中 点，所以AE=BE.由对顶角相等，得∠AEM=∠BEF.在△AEM ∠CDE=180P-∠B0C=180°-∠P=0P-7∠L因为 和△BEF中，因为∠M=∠EFB,∠AEM=∠BEF,AE=BE,所 ∠PBC=2∠PCB=∠ACB,所以∠DBC=∠ACB.所以AC∥ 以△AEM≌△BEF(AAS).所以ME=EF,AM=BF.所以DM BE.因为BE=AC,所以四边形ABEC是平行四边形.所以∠E= =AD+AM=6=DF.所以∠DEF=90°. ∠A,AB=CE.因为AB=PC,所以DC=CE.所以∠CDE= 附加题1.因为四边形ABCD是平行四边形，AB=4,所以 ∠E,即90-子∠E=∠E解得∠E=60e CD=AB=4,AD∥BC.因为∠ACB=30°，所以∠DAC= ∠ACB=30°.根据折叠的性质，得AE=AD,CD=CE,∠ACD= 22.(1)因为AD⊥CM,BE⊥CM,所以AD∥BE,∠ADM= 90°.所以∠D=90°-∠DAC=60°.所以△ADE是等边三角形. ∠BEM=90°.因为点M是AB的中点，所以AM=BM.在△ADM 所以AD=AE=DE=2CD=8.所以△ADE的周长为：8×3= 和△BEM中，因为∠ADM=∠BEM,∠AMD=∠BME,AM=BM, 24. 所以△ADM≌△BEM(AAS).所以AD=BE.所以四边形ADBE 2.(1)因为AC=AE,BC=BE,所以AB⊥CE,∠AEC= 是平行四边形. ∠ACE,∠BEC=∠BCE.所以∠AEC+∠BEC=∠ACE+ (2)延长DO交BE于点F,图略.因为AD⊥CM,BE⊥CM, ∠BCE,即∠AEB=∠ACB.因为∠AEB=∠CAD,所以∠ACB 所以AD∥BE,∠BEM=90°.所以∠DAO=∠FBO,∠ODE+ =∠CAD.所以BC∥AD.因为CD⊥CE,所以AB∥CD.所以四 ∠OFE=∠DE0+∠FE0=90°.因为点O在DE的垂直平分 边形ABCD是平行四边形. 线上，所以DO=EO.所以∠ODE=∠DEO.所以∠OFE= (2)过点A作AG⊥CD于点G,图略.所以AG∥CF.又因为 ∠FEO.所以FO=EO.所以DO=FO.在△ADO和△BFO中， AB∥CD,AB⊥CE,所以CF=AG.根据勾股定理，得AC2-CG 因为∠DA0=∠FBO,∠AOD=∠BOF,D0=FO,所以 △AD0≌△BFO(AAS).所以AO=BO. =AD-DG,即4-(3-DG)2=3-DG.解得DG=3所 第39期2版 以CF=AG=√AD-DG=8@ 18.1矩形 31 18.1.1矩形的性质 第38期综合测评卷 基础训练1.D;2.D；3.110. 题号12345678910112 4.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,∠B= 答案B C B D CA DD BA C B 90°.所以∠DAE=∠AEB.因为DF⊥AE,所以∠AFD=90°= ∠B.又DA=AE,所以△DFA≌△ABE.所以DF=AB. =13.52;1420:15.41:16号或4， (2)因为AB=4,所以DF=4.因为四边形ABCD是矩形， 三、17.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C= 所以∠ADC=90°.因为∠FDC=30°，所以∠ADF=∠ADC- 70°，AD∥BC.因为AB=BE,所以∠BEA=∠A=70°.所以 ∠FDC=60°.所以∠DAF=90°-∠ADF=30°.所以AD= ∠EBC=∠BEA=70. 2DF=8. 18.因为AE⊥AD,CF⊥BC,所以∠E.AD=∠FCB=90°. 能力提高5.√48. 因为AD∥BC,所以∠ADE=∠CBF.在△AED和△CFB中，因 6.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.所以 为∠ADE=∠CBF,∠EAD=∠FCB,AE=CF,所以△AED≌ ∠BAC=∠FCO.由对顶角相等，得∠AOE=∠COF.又AE= △CFB(AAS).所以AD=CB.所以四边形ABCD是平行四边形. CF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF. 19.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C,AB= (2)连结OB,图略.因为△AOE≌△COF,所以OA=OC, CD,AD=BC.又因为∠ADE=∠CBF,所以△ADE≌ 即O为矩形ABCD对角线的交点.所以OA=OB.所以∠BAC △CBF(ASA).所以AE=CF.所以AB-AE=CD-CF,即BE= =∠ABO.因为BE=BF,OE=OF,所以BO⊥EF.在Rt△BEO DF. 中，∠BEF+∠ABO=90°.因为∠BEF=2∠BAC,所以 20.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC=AD, 2∠BAC+∠BAC=90°.所以∠BAC=30°.因为四边形ABCD ∠A=∠C.因为BC=FC,所以AD=FC.在△ABD和△CEF 是矩形，所以∠ABC=90°.因为BC=2,所以AC=2BC=4. 中，因为AD=FC,∠A=∠C,AB=CE,所以△ABD≌ 根据勾股定理，得AB=√AC-BC=√2. △CEF(SAS) 18.1.2矩形的判定 (2)四边形ABDF是平行四边形.理由如下： 18.1.2.1矩形的判定 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,AB∥CD. 基础训练1.D;2.B; 因为FC=2AB,所以FC=2CD.所以FD=CD=AB.所以四边 3.答案不惟一，如DE=FG:4.13. 形ABDF是平行四边形. 5.因为BE∥DF,所以∠DFC=∠AEB. 21.因为BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,所以∠PBC= 所以180°-∠DFC=180°-∠AEB,即∠DFA=∠BEC. 2∠ABC,LPCB=7∠ACB所以∠P=180°-∠PBC- 又DF=BE,AF=CE,所以△AFD≌△CEB. ∠PCB=180P-（LABC+∠ACB)=90°+？∠A根据轴对 所以∠DAC=∠BCA,AD=CB. 所以AD∥BC. 一3 初中数学·华东师大八年级第36~39期 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以AD⊥BC,∠CAD=之∠BAC 又∠BAD=90°，所以四边形ABCD是矩形 能力提高6.4. 所以∠ADC=90°. 7.(1)因为AD∥BC,以∠D+∠C=180°.因为∠A= 因为AN为△ABC外角∠CAM的平分线， ∠D=90°，所以∠C=∠A=∠D=90°.所以四边形ABCD为 所以∠CN=宁∠CMM 矩形 所以∠DAE=∠CAD+∠CAN=90. (2)根据折叠的性质，得∠BGE=∠A=90°，BG=AB= 因为CE⊥AW, 6,AE=GE.所以∠EGF=180°-∠BGE=90°.因为E是AD 所以∠AEC=90°， 的中点，所以AE=DE.所以DE=GE.又EF=EF,所以 所以四边形ADCE为矩形， Rt△DEF≌Rt△GEF(HL).所以DF=GF.所以BF=BG+GF =6+DF.因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=6.在 (2)四边形ABDE是平行四边形.证明如下： Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC2+CF2=BF2,即82+(6- 由(1)知，四边形ADCE为矩形 所以AE=CD,AC=DE DF2=(6+DF解得DF=号 又AB=AC,BD=CD, 18.1.2.2直角三角形斜边上的中线 所以AB=DE,AE=BD 基础训练1.D;2.C:3.C:4.3 所以四边形ABDE是平行四边形. 5.连结CE,图略. (3)DF∥AB,0F=7AB (I)因为CD=CB,E为BD的中点，所以CE⊥BD. 附加题1.(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠AEC=90°. 所以AE∥BC. 因为F为AC的中点，所以EF=AC=1. 又CE∥BD, 所以四边形BCED是平行四边形. (2)因为∠BAC=45°，所以∠ACE=90°-∠BAC=45°. 所以CE=BD. 所以AE=CE.因为F为AC的中点，所以EF垂直平分AC.所以 又CE=AC, AM=CM.所以BC=CD=CM+DM=AM+DM. 所以AC=BD. 第39期3版 所以四边形ABCD是矩形， 题号 1 2 34567 8 (2)因为四边形ABCD是矩形， 答案ACD CC DCB 所以∠BAD=90°，BC=AD=3. 根据勾股定理，得BD=√AB+AD=5, 二9.35：1045：1.6；12.7 所以四边形BCED的周长为：2(BC+BD)=16. 三、13.因为四边形ABCD是平行四边形， 2.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠ADC= 所以BC=AD=8. ∠B=∠C=90°，AB=CD. 因为AB=6,AC=10, 由折叠的性质，得AB=PD,∠A=∠P=90°，∠B= 所以AC=AB2+BC2 ∠PDF=90° 所以∠B=90°. 所以PD=CD,∠PDF=∠ADC,∠P=∠C. 所以平行四边形ABCD是矩形. 所以∠PDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF,即∠PDE= 14.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC.所以∠F ∠CDE. =∠BCE.因为E是AB的中点，所以AE=EB.又∠AEF= 所以△PDE≌△CDF(ASA). ∠BEC,所以△AEF≌△BEC(AAS). (2)过点E作EG⊥BC于点G,图略. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°.又∠F= 所以∠EGF=∠EGB=90°. 30°，所以CF=2CD=8. 所以四边形ABGE和四边形EGCD都是矩形. 15.因为矩形ABCD兰矩形AEFG, 所以AE=BG,DE=CG,EG=CD=4. 所以AB=AE=1,∠DAB=∠FEA=90°，AD=BC=2. 在Rt△EGF中，由勾股定理，得FG=√EF2-EG=3. 所以∠ABE=∠AEB,∠ABE+∠ADB=90°，∠AEB+ 由(I)得，△PDE≌△CDF. ∠DEF=180°-∠FEA=90°. 所以PE=CF,DE=DF=CG=CF+3. 所以∠DEF=∠ADB. 由折叠的性质，得AE=PE. 所以EH=DH. 在Rt△CDF中，由勾股定理，得CD2+CF2=DFP,即CF2 在Rt△AEH中，根据勾股定理，得EH+AE2=A,即(2 +42=(CF+3)2 -AH)2+12=A 解得A1=子 解得CF=名 所以BC=2CP+3=1 16.（1)因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线， 31 44 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 (上接第3版) 太思维天地 报纸发行质量反馈电话 附加题⊙ 0351-5271248 灵活应用 (上接4版参考答案) (以下试题供各地根据实际情况选用)》 直角三角形斜边上的中线 21.因为BP平分 1.(8分)如图1，四边形ABCD是平行四边 ∠ABC,CP平分∠ACB 形，CE∥BD交AD的延长线于点E,CE=AC 所以∠PBC (1)求证：四边形ABCD是矩形； ©山东张波 (2)若AB=4,AD=3,求四边形BCED的 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 思路分析：由于AB= 3LAC,∠PCB 周长 半”这一定理揭示了直角三角形斜边上的中线 DE,而DE等于R△ADE 2∠ACB.所以∠P= 与斜边的数量关系，它是研究线段倍分问题的 基础.对于与直角三角形有关或条件中隐含着斜边DE上的中线长，故添加 180°-∠PBC-∠PCB= 图2 直角三角形的证明问题，若能联想到直角三角Rt△ADE中DE边上的中线AM,如图2.于是AM 180°- 形斜边上的中线，通过添加斜边上的中线这条 =AB,从而∠AMB=∠ABM.又∠AMB= 辅助线，可以理清角与角或线段与线段之间的2∠D,而∠D=∠DBC,所以LABM=2LDBC. LACB)=90°+7∠A 1 关系，从而把题设与结论结合起来，使问题得以 根据轴对称的性质，得 所以∠ABC=3∠DBC.所以∠DBC= 4 圆满地解决 ∠BDC=∠P,∠PBC= 例1如图1，AB,CD交于 2.(12分)如图2，将矩形纸片ABCD折叠，点E,4D=AE,CB=CE,F,G, 3ZABC ∠DBC,PC=DC.所以 ∠CDE=18O°-∠BDC 使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为H分别是DE,BE,AC的中点. 例3如图3，AD是△ABC =180°-∠P=90°- EF. 证：FH=GH. 的高线，且BD=2AC,E是AC LA因为∠PBC (1)求证：△PDE≌△CDF; 思路分析：连结AF,GC,如 2∠PCB=∠ACB,所以 (2)若CD=4,EF=5,求BC的长 图1.因为AD=AE,F是DE的中点，所以AF⊥ 的中点，连结BE,取BE的中点B ∠DBC=∠ACB.所以 DF.由于H是AC的中点，于是得到FH是F,连结DF.求证：DF⊥BE. 图3 AC∥BE.因为BE=AC, R△AFC斜边AC上的中线，所以FH=2AC.同△ABC的高线，E是AC的中点，得到DE是 思路分析：连结DE,如图3.因为AD是 所以四边形ABEC是平 行四边形所以∠E= ∠A,AB=CE.因为AB= 理得到CH=AC.所以FH=GH Rt△ADC斜边AC上的中线.根据“直角三角形 PC,所以DC=CE所以 斜边上的中线等于斜边的一半”，得DE= 例2如图2，已知AC1BC于点C,AD∥ ∠CDE=∠E,即90°- 图2 BC,BD和AC交于点E,AB=2DB求证：21C.由于BD=4C,得DE=Bn.又F是B脉 之∠E=∠E解得∠E 数理报社试题研究中心 的中点，根据等腰三角形的“三线合一”，得DF =60° (参考答案见下期) 22.(1)因为AD⊥ ++上BE 十+。十+十十■十十十十十十十十十十 CM,BE⊥CM,所以AD 第37期2版参考答案 二、9.60；10.答案不惟一，如AB=CD;11.6; CE,所以AB∥CD.所以四边形ABCD是平行四边形. ∥BE,∠ADM=∠BEM 17.1平行四边形的性质 12.(2,2)或(-2,10). (2)过点A作AG⊥CD于点G,图略.所以AG∥CF =90°.因为，点M是AB的 基础训练1.A;2.C;3.C;4.1.5. 三、13.DF的长为3. 又因为AB∥CD,AB⊥CE,所以CF=AG.根据勾股定理 中点，所以AM=BM.在 5.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD 14.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,得AC2-CG=AD2-DG,即42-(3-DG)2=32-DG2 △ADM和△BEM中，因 BC=AD,∠ABC=∠ADC.因为△BCE和△CDF都是等 AD=BC.所以∠AEB=∠DAE.因为AB=AE,所以∠B 为∠ADM=∠BEM 边三角形，所以CD=DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF= =∠AEB.所以∠B=∠DAE.在△ABC和△EAD中，因 6O°.所以AB=DF,BE=AD,∠ABC+∠EBC=∠ADC ∠AMD=∠BME,AM= +∠CDF,即∠ABE=∠FDA.所以△ABE≌ 为AB=EA,∠B=∠DAE,BC=AD,所以△ABC兰 第38期综合测评卷参考答案 BM,所以△ADM≌ △FDA(SAS).所以AE=AF △EAD(SAS). 题号12345678910112 △BEM(AAS).所以AD 6.∠ABC=45. 15.(1)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBL =BE.所以四边形 =∠EBD.因为ED∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以 答案BCBDCADDBA CB 17.2平行四边形的判定 ADBE是平行四边形. 17.2.1平行四边形的判定 ∠EBD=∠EDB.所以BE=ED.因为BE=CF,所以ED =13.52;14.20;15.41；16.号或4. (2)延长DO交BE 基础训练1.B;2.A;3.D;4.是 =CF.又因为ED∥FC,所以四边形EFCD是平行四边 于点F,图略.因为AD 5.因为a2+b+c+f=2ac+2bd,所以(a-c)2+ 形 三、17.∠EBC=70° ⊥CM,BE⊥CM,所以 (b-d)2=0.所以a=c,b=d.所以四边形ABCD是平 (2)∠AEF=130°， 18.因为AE⊥AD,CF⊥BC,所以∠EAD=∠FCB= AD∥BE,∠BEM= 行四边形. 16.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB= 90°.因为AD∥BC,所以∠ADE=∠CBF.在△AED和 90°.所以∠DA0= 6.由对顶角相等，得∠AOE=∠COD.在△AOE和 △COD中，因为∠EA0=∠DC0,A0=C0,∠AOE= CD,AB∥CD.因为CE=AB,所以CE=CD.所以∠CDE△CFB中，因为LADE=∠CBF,∠EAD=∠FCB,AE= ∠FBO,∠ODE ∠C0D,所以△A0E≌△c0D(ASA).所以0E=0D所=∠CED=之(180°-∠CE)=0°-3∠DGE.所以 CF,所以△AED≌△CFB(AAS).所以AD=CB.所以四边 ∠OFE=∠DEO+ 形ABCD是平行四边形 以四边形AECD是平行四边形 ∠FE0=90°.因为点0 7.因为CF∥AB,所以∠DAE=∠CFE,∠ADE=∠AED=∠CDE=90-3∠DCE 19.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C, 在DE的垂直平分线上， ∠FCE.在△ADE和△CFE中，因为∠ADE=∠FCE, AB=CD,AD=BC.又因为∠ADE=∠CBF,所以△ADE≌ 所以D0=EO.所以 (2)延长DA,FE交于点M,图略.因为四边形ABCD ∠DAE=∠CFE,AE=FE,所以△ADE≌△CFE(AAS). △CBF(ASA).所以AE=CF.所以AB-AE=CD-CF, ∠ODE=∠DEO.所以 所以AD=FC.因为CD是△ABC的中线，所以AD=BD. 是平行四边形，所以AD∥BC.所以∠M=∠EFB.因为E 即BE=DF, ∠OFE=∠FEO.所以 所以BD=FC.所以四边形DBFC是平行四边形 是AB的中点，所以AE=BE.由对T顶角相等，得∠AEM= 20.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC F0=EO.所以DO= 17.2.2三角形的中位线 ∠BEF.在△AEM和△BEF中，因为∠M=∠EFB, =AD,∠A=∠C.因为BC=FC,所以AD=FC.在 FO.在△ADO和△BFO 基础训练1.B:2.D:3.C:4.4. ∠AEM=∠BEF,AE=BE,所以△AEM≌ △ABD和△CEF中，因为AD=FC,∠A=∠C,AB= 中，因为∠DAO= 5.因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中△BEF(AAS).所以ME=EF,AM=BF.所以DM=AD+ ∠FBO,∠AOD 点，所以PE=)AD,PF=号BC.因为AD=BC,所以PEAM=6=DE.所以∠DEF=90. CE,所以△ABD≌△CEF(SAS). (2)四边形ABDF是平行四边形理由如下： ∠BOF,D0=FO,所以 附加题1.△ADE的周长为24. =PF.所以∠PFE=∠PEF=18° △AD0≌△BFO(AAS). 2.(1)因为AC=AE,BC=BE,所以AB⊥CE, 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,AB 第37期3版参考答案 ∠AEC=LACE,LBEC=∠BCE.所以∠AEC+∠BEC∥CD.因为FC=2AB,所以FC=2CD.所以FD=CD= 所以AO=BO. 一、 题号12345678 =∠ACE+LBCE,即∠AEB=∠ACB.因为∠AEB=AB.所以四边形ABDF是平行四边形， (全文完) 答案DB CDBCAC ∠CAD,所以∠ACB=∠CAD.所以BC∥AD.因为CD⊥ (下转1,4版中缝) 数评极 2026年3月25日·星期三 初中数学 39期总第1183期 华东师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707心F) 邮发代号：21-206 品味方溢 舍通生研 判定矩形把握三主线 18.1矩形 学习目标：理解并掌握矩形的有关性质 和判定方法，并能综合运用这些知识解决矩 ⊙广西蔡奇莉 主线一、有一个角是直角的平行四边形是 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所 形的有关计算问题和简单的证明题」 矩形 以AB∥CD,AD=BC.所以∠BAE=∠CFE, 认知重点：了解矩形和平行四边形的联 例1如图1，在四边形 ∠ABE=∠FCE.因为E为BC的中点，所以EB 系和区别，掌握矩形的判定定理一 ABCD中，∠A=∠C=90° =EC.在△ABE和△FCE中，因为∠BAE= 与性质定理的综合应用.包●3 4B=CD,求证：四边形 ∠CFE,∠ABE=∠FCE,EB=EC,所以△ABE ABCD是矩形. 兰△FCE(AAS).所以AB=CF.所以四边形 解：连结PC,如图4.因为PE 证明：连结BD,如图1. 图1 ABFC是平行四边形.因为AD=AF,所以BC= ⊥BC,PF⊥CA,所以∠PEC= 在Rt△ABD和Rt△CDB中，因为BD=DB,AB AF.所以四边形ABFC是矩形， ∠PFC=90°.因为∠ACB=90 =CD,所以Rt△ABD兰Rt△CDB(HL).所以 主线三、有三个角是直角的四边形是矩形 所以四边形ECFP是矩形.所以 AD=CB.所以四边形ABCD是平行四边形.因 EF=PC.所以当CP⊥AB时，PC 例3如图3，在直角三角形 为∠A=90°，所以四边形ABCD是矩形. 的长最小，EF的长也最小因为 ABC中，AC=3,BC=4,P为斜边 主线二、对角线相等的平行四边形是矩形 AC=3,BC=4,所以AB= AB上一动点，PE⊥BC于点E,PE 例2如图2，在 ⊥CA于点F,则线段EF长的最小 V3+F=5.因为2AC·BC=21B.PC,所 口ABCD中，E为BC的中 值为 点，连结AE并延长交DC的 以PC=4CAC=号所以线段EF长的最小 AB 延长线于点F,连结BF B.2 AC.若AD=AF,求证：四边 图2 值为号 形ABFC是矩形 .2 D 3 故选C. 人人人 名师点睛 所以OA=OB. 因为AE垂直平分OB, 形影不离的 伙伴 所以AB=OA. 所以OA=AB=OB=1. 所以BD=20B=2. @四川 宋耀维 由勾股定理，得AD=BD2-AB2=5. 矩形是特殊的平行四边形，在有关矩形的 C.7 cm D.5 cm 故填5 求值问题中，涉及到众多知识点，下面选取几例 分析：根据矩形的性质得出∠ABC=90°， 四、矩形和全等三角形 加以说明，供同学们参考。 BD=AC,OB=OD,根据勾股定理求出AC的 例4如图4，EF过矩 一、矩形和坐标 长，进而求出OD的长 形ABCD对角线的交点O, 例1如图1，在矩形 解：因为四边形ABCD是矩形， 且分别交AB,CD于点E,F OABC中，点B的坐标是(1 所以∠ABC=90°，BD=AC,OB=OD 若矩形ABCD的面积是12， 3),则A,C两点间的距离是 因为AB=6cm,BC=8cm, 那么阴影部分的面积是 由勾股定理，得AC=√AB2+BC 分析：根据矩形的性质和“ASA”可判定 A.4 B.13 10cm. △A0E≌△C0F,从而得到SAH0E=S△oF,进一 C.0 D.2 所以BD=10cm 分析：根据矩形的性质即可求出答案. 所以0D=2BD=5cm 步得到Sa多=Sm=子ee 解：连结AC,0B,如图1， 解：因为四边形ABCD是矩形， 因为点B的坐标是(1,3) 故选D. 三、矩形和线段的垂直平分线 所以AB∥CD,OA=OC. 所以0B=√2+32=√0. 例3如图3，在矩形 所以∠EAO=∠FCO. 因为四边形OABC是矩形， ABCD中，AB=1,对角线 由对顶角相等，得∠AOE=∠COF. 所以AC=0B=10. AC,BD相交于点O,AE垂 在△AOE和△C0F中，因为∠EA0= 故选C. 直平分OB于点E,则AD ∠FC0,0A=OC,∠A0E=∠C0F, 二、矩形和勾股定理 的长为 所以△AOE兰△COF(ASA). 例2如图2，在矩形 分析：由矩形的性质和线段的垂直平分线 所以S AAOE=S△c0r ABCD中，对角线AC,BD相交 的性质证出OA=AB=OB=1,得出BD=2OB 所以S阴影=S△BE0+S△GOr=S△E0+S△A0E 于点O.若AB=6cm,BC= =2,由勾股定理即可求出AD的长。 1 8cm,则0D的长是( 图 解：因为四边形ABCD是矩形， =SA0s=45笼形cn=3. A.10 cm B.6 cm 所以OB=OD,OA=OC,AC=BD 故填3. 2 素养专练 数理极 18.1.2矩形的判定 18.1.2.2直角三角形斜边上的中线 跟踪训练 18.1.2.1矩形的判定 堡础训练 】 gEnzoNGXUNLIAN 垦础训练 1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 18.1矩形 1.工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要是斜边AB上的中线，若CD=4,则AB的长为 18.1.1矩形的性质 测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它 ( 们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.这 A.2 B.4 屋础训练 样做的依据是 ) C.6 D.8 1.如图1，点O为矩形ABCD对角线AC与BD A.两组对边分别相等的四边形是矩形 的交点，若AC=6,则BD的长为 ( B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 A.1 B.2 C.3 D.6 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 2.如图1，直角三角形ABC 的面积为4，点D是斜边AB的中 图1 图2 点，过点D作DE⊥AC于点E, 2.如图2，在矩形ABCD中，点E为BA延长线 网1 图2 DF⊥BC于点F,则四边形 上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径 2.如图2，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于 DECF的面积为 () 的圆弧过AD与CE的交点G,连结BG.若AB=4, 点0，E为AB的中点，连结OE,若∠ACD=30°， A.1 B.2 C.2.5 D.3 CE=10,则AG= () 则∠AOE= ( 3.如图2，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的 A.2 B.2.5 A.30° B.40° C.509 D.60° 中点，点F,G在边BC上，且DG=EF.只需添加一 C.3 D.3.5 3.“美丽乡村”建设使我市 个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件 3.如图3，△ABC中，AB=AC=12,BC=8, 农村住宅旧貌变新颜，如图3所 可以是 (写出一个即可) AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点， 示为一农村民居侧面截图，屋坡 连结DE,则△CDE的周长是 () AF,AG分别架在墙体的点B,C A.20 B.12 处，且AB=AC,侧面四边形 网3 C.16 D.13 BDEC为矩形.若测得∠FBD=55°，则∠A= 图2 3 4.如图4，在矩形ABCD中，点E在BC边上， 4.如图3，在△ABC中，AB=AC,点0是BC AE=AD,DF⊥AE,垂足为F 的中点，CE∥OA,AE∥BC,连结0E,若0A=5, (1)求证：DF=AB; BC=24,则OE的长为 (2)若∠FDC=30°，且AB=4,求AD的长 5.如图4，E,F是四边形ABCD的对角线AC 4.如图4，O是矩形ABCD的对角线BD的中 上的两点，且AF=CE,BE=DF,BE∥DF.若 ∠BAD=90°，求证：四边形ABCD是矩形. 点，E是AB边的中点若AB=12,0E=),则线 段OC的长为 5.如图5，在△ABC中，∠BAC=45°，点D在 图 AB上，CD=CB,点E为BD的中点，F为AC的中 点，连结EF交CD于点M,连结AM. (1)若AC=2,求EF的长； (2)求线段AM,DM,BC之间的数量关系 能刀提高 能刀提高 5.如图5，在矩形ABCD 6.如图5，在矩形ABCD D 中，AB=4,AD=8,点E在边 中，E,F分别是AB,AD上的动 BC上，若EA平分∠BED,则 点，P是线段EF的中点，PG⊥ EC = 图5 BC,PH⊥CD,G,H为垂足，连 6.如图6，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB, 结GH.若AB=4,AD=3,EF CD上的点，AE=CF,连结EF,BF,EF与对角线 =2,则GH的最小值是 AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC. 7.如图6，四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=三 (1)求证：0E=0F; ∠D=90°，点E是AD的中点，连结BE,将△ABE (2)若BC=2,求AB的长 沿BE折叠后得到△GBE,且点G在四边形ABCD 内部，延长BG交DC于点F,连结EF (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AB=6,BC=8,求DF的长 图6 图6 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 14.(12分)如图14，在矩形ABCD中，E为AB 同步检测 的中点，连结CE并延长，交DA的延长线于点F. (1)求证：△AEF兰△BEC: TONGBUJIANCE (2)若CD=4,∠F=30°，求CF的长 【检测范围：18.1】 D 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 题号12345 678 答案 图14 1.如图1，两条公路AC,BC互相垂直，公路AB B 图7 图8 的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为 8.如图8，在矩形ABCD中，点E为CD边的中 10km,则M,C两点间的距离为 ( ）点，连结AE,过点E作EF⊥AE交BC于点F,连结 A.5 km B.10 km AF.若∠BAF=a,则∠EFC的度数是( ) C.√50km D.√/75km A.a B.45°+号 C45-号 D.90°-x 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 9.如图9，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于 15.(14分)如图15，矩形ABCD兰矩形 图1 图2 点0，∠A0B=70°，则∠ACB的大小为 AEFG,点E在BD上，EF与AD相交于点H,连结 2.两个矩形的位置如图2所示，若∠1 AF.若AB=1,BC=2,求AH的长 120°，则∠2= A.30 B.75° C.60° D.150° 3.如图3，四边形ABCD的对角线互相平分，要 图9 图10 使它成为矩形，那么需要添加的条件是() 10.如图10，在△ABC中，AB=AC,点D在BC 15 A.AB BC B.AC⊥BD 边上，DF∥AB,DE∥AC,则当∠B= C.∠BAD=∠BCD D.AC BD 时，四边形AEDF是矩形 11.如图11，矩形ABCD的对角线相交于点0， 过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,若AB=3, BC=4,则图中阴影部分的面积为 图3 4.如图4，将四根木条用钉子钉成一个矩形框 架ABCD,然后向左扭动框架，观察所得四边形的 变化，下面判断错误的是 ( 图11 A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 图12 16.(16分)如图16，在△ABC中，AB=AC, 12.如图12，△ABC中，AB=AC,AD为BC上 B.对角线BD的长度减小 AD是△ABC的角平分线，AN是△ABC外角 的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F,交CA C.四边形ABCD的面积不变 ∠CAM的平分线，CE⊥AN,垂足为点E. 的延长线于点G.已知EF=2,EG=3,则AD的长 D.四边形ABCD的周长不变 (1)求证：四边形ADCE为矩形； 为 5.如图5，在△ABC中，AB=AC,BE⊥AC,D (2)连结DE,交AC于点F,请判断四边形 三、耐心解一解（共44分） 是AB的中点，DE=BE,则∠C的度数是( 4BDE的形状，并证明； 13.(10分)如图13，在□ABCD中，AB=6,AC A.65° B.70° (3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出 =10,AD=8.求证：四边形ABCD是矩形 C.75 D.80° 你的结论. 图13 图16 图5 图6 6.如图6，A,B为5×5的正方形网格中的格 点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此 图中以A,B为顶点的格点矩形共可以画出( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图7，∠A0B=90°，0C平分∠A0B,PE ⊥OA于点E,PF⊥OC于点F,PG⊥OB于点G, 则E+0c的值是 OF ( A.1 B.2 C.2 D.5 (下转第4版)