第18章 矩形、菱形与正方形 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

第18章矩形、菱形与正方形 第18章整合拔尖 ●“答案与解析”见P42 壁知识体系构建 定义：有一个角为直角的平行四边形 矩形 共性：它具有平行四边形的所有性质 性质 特性：①四个角都是直角 ②对角线相等 平行四边形+一个直角 判定 三个角是直角 平行四边形+对角线相等 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半： 一个三角形一边上的中线等于该边的一半， 、菱形与正方形 应用，那么这个三角形是一个直角三角形 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形 共性：它具有平行四边形的所有性质 性质 特性：①四条边都相等 ②对角线互相垂直 平行四边形+一组邻边相等 判定 四条边都相等 平行四边形+对角线互相垂直 正方形 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形 四条边都相等 性质 四个角都是直角 对角线相等且互相垂直平分 平行四边形+一组邻边相等+一个直角 判定 菱形+一个直角 矩形+一组邻边相等 91高频考点突破 考点一 矩形的性质 变式](2025·长春期末)如图，在矩形ABCD 典例1（2025·南阳新野期 D 中，AB=6,点E在AD上，DE=2.若EC平分 末)如图，O是矩形ABCD对 ∠BED,则BC的长为 角线的交点，AE平分∠BAD, ∠AOD=120°，∠AEO (典例1图) 95 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 考点二矩形的判定 考点四菱形的判定 典例2（2025·北京)如图，在△ABC中，D、E 典例4如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 分别为AB、AC的中点，DF⊥BC,垂足为F,点 CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC,分别与BC、 G在DE的延长线上，DG=FC. CD交于点E、F,EH⊥AB于点H,连结FH. (1)求证：四边形DFCG是矩形 求证：四边形CFHE是菱形. (2)若∠B=45°，DF=3,DG=5,求BC和AC 的长 D (典例4图) (典例2图) [变式]下列平行四边形中，根据图中所标出的 数据，不能判定是菱形的为 ( ) [变式]如图，将边长为2个单位长度的等边三 1201 角形ABC沿边BC向右平移1个单位长度后得 609 C 到△DEF,连结AE、CD,则四边形AECD为 考点五正方形 典例5如图，正方形ABCD的边长为1，E为 对角线AC上一点，连结DE,过点E作EF1 DE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩 B E 形DEFG,连结CG,下列结论不正确的是() 考点三●菱形的性质 A.矩形DEFG是正方形 典例3如图，菱形ABCD的 B.∠CEF=∠ADE 对角线AC、BD相交于点O, C.CG平分∠DCH 过点B作BF⊥AD于点F,连 B D.CE+CG=√2 (典例5图) 结OF,若CD=5,AC=8,则 (典例3图) [变式]如图，在正方形ABCD的内部作等边三 OF的长为 角形CDE,连结AE并延长，与对角线BD相交 [变式]如图，在菱形ABCD中，EF是AB的垂 于点F,则∠AFB的度数为 直平分线，∠FBC=84°，则∠ACB= 96 第18章矩形、菱形与正方形 综合素能提升 1.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点4.如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥ O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交 DN,且分别交对角线AC于点M、N,连结 AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F, MD、BN. 则OE十EF的值为 ( ) (1)求证：∠DMN=∠BNM. A.8 B.32 5 C. 24 D 12 (2)若∠BAC=∠DAC.求证：四边形 5 5 BMDN是菱形. D E (第1题) (第2题) (第4题) 2.如图，四边形ABCD为菱形 ∠ABC=80°，延长BC到点E,在 ∠DCE内作射线CM,使得 ∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM,垂足为 F.若DF=6,则BD的长为 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC 上，以AD、AE为腰作等腰三角形ADE,且 ∠ABC=∠ADE,连结CE,过点E作EF∥ 5.如图，在正方形ABCD中，G是对角 BC,交CA的延长线于点F,连结BF. 线BD上一点（不与点B、D重合） (1)求证：∠ABC=∠ECA. GE⊥CD,GF⊥BC,垂足分别为E (2)若AF=AB,求证：四边形FBDE是 F,连结EF、AG,并延长AG交EF于点H. 矩形 (1)求证：∠DAG=∠EGH. (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由， D (第3题) (第5题) 97.△ADE≌△BDF,.AE=BF,设 经过ts,由题意，可得AE=tcm, CF=2t cm,.'.BF=BC-CF=(5- 5 2t)cm.t=5-2t.心t=3 4.(1)AE=EG且AE⊥EG 理由：：四边形ABCD是正方形， ∴.AD=BA,∠DAF=∠ABE=90. 在△ADF和△BAE中， (AD-BA, ∠DAF=∠ABE, AF-BE, .△ADF≌△BAE .DF=AE,∠ADF=∠BAE :∠ADF+∠AFD=90°， .∠BAE+∠AFD=90. .AE⊥DF :四边形EFDG是平行四边形， .DF=EG,DF∥EG: .AE=EG,AE⊥EG (2)存在」 :四边形ABCD是正方形， .∠A=∠B=90°，AB=BC= AD=6. E为BC的中点 :B=子BC=8 若四边形EFDG为菱形，则EF=DF .EF=DF2 在Rt△BEF中，由勾股定理，得 EF2=BE2+BF2; 在Rt△ADF中，由勾股定理，得 DF2=AF2+AD2」 .BE2+BF2=AF2十AD2,即32+ (6-AF)2=AF2+62. ·AF=3 :当AP=是时，四边形EFDG为 菱形。 第18章整合拔尖 [高频考点突破] 典例130°解析：：四边形ABCD 是矩形，∴.AD∥BC,∠ABC= ∠BAD=90°，AC=BD,OB=号BD OA=OC=2AC.·∠AEB= ∠EAD,OB=OA=OC..∠OBC= ∠OCB..∠BOC=∠AOD=120°， .∠OBC=30°.AE平分∠BAD, ∠BAE=∠EAD=45. ∴.∠AEB=∠EAD=∠BAE=45. ∴.AB=BE..∠AOD=120°， .∠AOB=60°.OA=OB, .△OAB是等边三角形..AB= OA=OB..OB=BE..∠BOE ∠BE0=，(180°-∠0BC)=75 .∠AEO=∠OEB-∠AEB= 75°-45°=30° [变式]10解析：，EC平分 ∠BED,.∠BEC=∠CED.四边 形ABCD是矩形，.∠A=90°，AD∥ BC,AD=BC.∴.∠DEC=∠BCE .∠BEC=∠BCE.∴BE=BC. ,在Rt△ABE中，BE=AB2+ AE,.BC2=62十(BC-2)2,解得 BC=10. 典例2(1)，D、E分别为AB、AC 的中点， .DE是△ABC的中位线. .DE∥BC. DG=FC, .四边形DFCG是平行四边形， 又DF⊥BC, ∴.∠DFC=90 ,四边形DFCG是矩形. (2):DF⊥BC, .∠DFB=90 :∠B=45°， ,△BDF是等腰直角三角形. .BF=DF=3. .DG=FC=5, .BC=BF+FC=3+5=8. 由(1)可知，DE是△ABC的中位线 四边形DFCG是矩形， ·DE=2BC=4,CG=DF=3, 42 ∠G=90°」 ∴.EG=DG-DE=5-4=1. ∴.CE=√CG+EG=√32+1下= √10. E为AC的中点， ,∴.AC=2CE=2√10. [变式]矩形解析：边长为2个 单位长度的等边三角形ABC沿边 BC向右平移1个单位长度后得到 △DEF,.AD=BE=1,AD∥BC. .CE=2-1=1=AD..四边形 AECD是平行四边形.：△ABC是 等边三角形，BE=EC=1,.AE⊥ BC..∠AEC=90°..四边形 AECD为矩形. 典例33解析：四边形ABCD 是菱形，ACLBD,OC=2AC= 4,OD =OB.CD =5,.OD= √CD-CO=3.:BF⊥AD, OD=OB,∴0F=2BD=0D=3. [变式]24°解析：：四边形 ABCD是菱形，.AD∥BC,AB= 1 BC,∠DAC=2∠DAB.∠ACB= ∠DAC,∠DAB十∠ABC=180° :EF是AB的垂直平分线， .FA=BF.∠DAB=∠FBA. ∴.∠DAB+∠ABF+∠FBC= 2∠DAB+84°=180°.∴.∠DAB= 48°..∠ACB=∠DAC=24. 典例4.·AE平分∠BAC, .∠CAE=∠HAE. EH⊥AB于点H,∠ACB=90°， .∠AHE=∠ACE=90°. 又.AE=AE, ,.△ACE≌△AHE ∴.EC=EH,AC=AH. :AC=AH,∠CAF=∠HAF, AF-AF, ∴.△AFC≌△AFH. ∴.FC=FH. CD⊥AB,∠ACB=90°， .∠DAF+∠AFD=∠CAE十 ∠AEC=90°. 又：∠DAF=∠CAE,∠AFD= ∠CFE, .∠CFE=∠CEF .CF=CE. .EC=EH=HF=FC. .四边形CFHE是菱形. [变式]C解析：根据等腰三角形 的判定定理可得，平行四边形的一组 邻边相等，即可判定该平行四边形是 菱形，故A不符合题意：根据三角形 内角和定理可得，平行四边形的对角 线互相垂直，即可判定该平行四边形 是菱形，故B不符合题意；一组邻角 互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意；根据平行四边形的邻 角互补，对角线平分一个120°的角，可 得平行四边形的一组邻边相等，即可 判定该平行四边形是菱形，故D不符 合题意. 典例5B解析：如图，作EK⊥BC 于点K,EL⊥CD于点L,则 ∠EKC=∠ELC=∠ELD=90°. :四边形ABCD是正方形，.AB= CB=AD=CD,∠B=∠ADC=90°， ∠BCA=∠DCA=∠DAC=45 ∠EKC=∠ELC=∠KCL=90° .四边形EKCL是矩形 .∠KEL=90°.四边形DEFG是 矩形，∴.∠FED=90°=∠KEL. ,易得∠FEK=∠DEL.∴.△FEK≌ △DEL..DE=FE.矩形DEFG 是正方形.故A正确.在正方形 DEFG中，GD=ED,∠EDG=90° ∠ADC,∴.易得∠CDG=∠ADE CD=AD,∴.△CDG≌△ADE .CG=AE.∴CE+CG=CE+ AE=AC..∠B=90°，AB=CB= 1,.AC=√AB2+CB2=N2, .CE十CG=√2.故D正确. .·△CDG≌△ADE,∴∠DAE= ∠DCG=45°..∴.∠GCH=90° 45°=45°=∠DCG.∴.CG平分 ∠DCH.故C正确..∠ADC= .∠ADB=∠CDB.又∠ADC= ∠ELC=90°，∴.AD∥EL. 80°，∴.∠HDC=40°.在△CDH和 .∠ADE=∠DEL..∠FEK= ∠CHD=∠CFD, ∠DEL,∴.∠ADE=∠FEK≠ △CDF 中， ∠HDC=∠FDC, ∠CEF.∴.∠CEF≠∠ADE.故B不 DC=DC. 正确。 ∴.△CDH≌△CDF..DH=DF= 6..BD=2DH=12, D E B K FC B E (典例5图) (第2题) [变式]120°解析：在正方形 3.(1)AB=AC, ABCD中，AD=CD,∠ADC= .∠ABC=∠ACB. ∠BAD=90°，∠ABD=45°.在等边 .∠BAC=180°-2∠ABC. 三角形CDE中，ED=CD,∠EDC= 同理，可得∠DAE=180°-2∠ADE 60°，.AD=ED,∠ADE=90° ,·∠ABC=∠ADE, 1 60°=30.·.∠DAE=2X(180°- .∠BAC=∠DAE. ..∠BAC-∠DAC=∠DAE 30°)=75°.∴.∠BAF=90°-75°= ∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 15°..∠AFB=180°-15°-45°= :以AD、AE为腰作等腰三角 120°. 形ADE, [综合素能提升] .AD-AE. 1.C解析：四边形ABCD是矩 在△ABD和△ACE中， 形，.∠ABC=90°，OA=OC= (AB=AC, OB OD.AB =6,BC =8, X∠BAD=∠CAE, .S矩形AwD=48,AC=√AB2十BC= AD-AE, 10.0A=0D=号AC=5.对角 .△ABD≌△ACE ..∠ABC=∠ECA. 线AC、BD交于点O,.易得 (2)由(1)，得∠ABC=∠ECA, S△AoD=12.:OE⊥AC,EF⊥BD, ∠ABC=∠ACB,△ABD≌△ACE, S△A0D=S△A0E十SAD0E,∴.12= .∠ECF=∠ACB,BD=CE, A·0E+20DER.12= 1 .EF∥BC, ∴.∠EFC=∠ACB 2×30E+专×5EF,即OE+ .∠EFC=∠ECF. .EF=CE. .BD=EF. 2.12解析：如图，连结AC交BD于 又·BD∥EF, 点H,四边形ABCD为菱形， ,四边形FBDE是平行四边形 ∴.∠ADC=∠ABC=80°，BC=CD, .AF=AB, AD∥BC,∠DHC=90°..∠DCE= .∠AFB=∠ABF. ∠ADC=80°.∠ECM=30°， .·∠AFB+∠ABF+∠ABC+ ∴.∠DCF=50°.：DF⊥CM, ∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB, ∴.∠CFD=90°..∠CDF=40°. .∠ABF十∠ABC=90°，即 ,AD∥BC,.∠ADB=∠DBC. ∠CBF=90° :BC=CD,∴.∠CBD=∠CDB. .四边形FBDE是矩形 43 4.(1)如图，连结BD,交AC于点O. ·四边形ABCD是平行四边形， .OB=OD. .BM∥DN, ..∠MBO=∠NDO 又.∠BOM=∠DON, .△BOM≌△DON. ∴.BM=DN. ,.四边形BMDN为平行四边形 .BN∥DM. ,'.∠DMN=∠BNM. (2),四边形ABCD是平行四边形， .BC∥AD. .∠BCA=∠DAC .·∠BAC=∠DAC, .∠BAC=∠BCA. .AB=BC. .四边形ABCD是菱形 ,.AC⊥BD,即MNBD. ,四边形BMDV是菱形. A C (第4题) 5.(1).四边形ABCD为正方形， .∠ADC=90° GE⊥CD, .∠GEC=90°=∠ADC. .AD∥GE. .∠DAG=∠EGH. (2)AH⊥EF. 理由：如图，连结GC交EF于点O. 四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠BCD=90 BD为正方形ABCD的对角线， .∠ADG=∠CDG. 在△ADG和△CDG中， AD=CD, ∠ADG=∠CDG, DG-DG, .△ADG≌△CDG. .∠DAG=∠DCG. .GE⊥CD,GF⊥BC,∠BCD=90°， .四边形FCEG为矩形 ∴.易得OE=OC. ∴.∠OEC=∠OCE. .∠DAG=∠OEC. 由(1)，知∠DAG=∠EGH. .∠EGH=∠OEC ∴.∠EGH+∠GEH=∠OEC+ ∠GEH=∠GEC=90°」 .∠GHE=90° .AH⊥EF A B (第5题) 第19章数据的分析 19.1数据的集中趋势 第1课时平均数的意义 1.B2.432864288576240 480 3.(1)星期三花的零用钱最少，是 1元 (2)星期一和星期五花的零用钱是一 样的，都是6元；星期六和星期日花的 零用钱是一样的，都是10元. (3)这一周平均每天花的零用钱是 (6+4+1+5+6+10+10)÷7= 6(元). 4.C解析：设教室里的学生有x名 由题意，得140x十170=145(x十1)， 解得x=5.∴.教室里的学生有5名。 39×(5十1)-35×5=59（千克）， ∴.老师的体重是59千克。 5.10解析：由题意，得第3次检测 得到的氨氮含量是1.5×6-(1.6十 2.0+1.5+1.4+1.5)=1.0(mg/L). 6.(1)由题意，得×(94+94+ 94十b)=93.75, .b=93. (2)a分是最低分 理由：根据(1)可推断，94分是最高 分，已知去掉一个最高分和一个最 低分， 44 .a分是最低分 (3)平均数容易受极端值的影响，去 掉一个最高分和一个最低分可以减少 平均数受极端值的影响。 第2课时加权平均数 1.C2.D3.88分4.10 82.5分 5.(1)乙的平均成绩为(73十80+ 82+83)÷4=79.5(分). .80.25>79.5, ∴应选择甲 (2)甲的平均成绩为(85×2十78× 1+85×3+73×4)÷(2+1+3+4)= 79.5(分)，乙的平均成绩为(73×2十 80×1+82×3+83×4)÷(2+1+3+ 4)=80.4(分) .79.5<80.4, .应选择乙. 6.B解析：小文的总成绩为70× 10%+80×40%十88×50%= 83(分).，小明要在总成绩上超过小 文，.80×10%十75×40%十50%· x>83,解得x>90.∴.他的普通话成 绩应超过90分 7.6.8解析：售价应定为每千克 (6×8+7×10+8×3)÷(8十10+3)≈ 6.8(元). 易错警示 计算加权平均数时 漏掉权而致错 本题中由于甲、乙、丙三种糖 果的售价不同，且这三种糖果的质 量也不相同，故应把6元的权重看 为8,7元的权重看为10,8元的权 重看为3.如果忽略权的差异，那么 易错将售价定为(6十7十8)÷3 7(元). 8.(1)5×(77+73+72+79+ 78)=75.8(分)， .三月份体育测试成绩为C等级的 同学的平均成绩为75.8分. (2)由题中数据可知，30名同学中，