第40期 18.2 菱形-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： (上接第3版) 0351-5271268 题型空间 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 附加题⊙ (上接4版参考答案) (以下试题供各地根据实际情况选用) 动点问题求定解 (3)DF∥AB,DE 1.(8分)如图1，在四边形ABCD中，AB∥ CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB的中 。四川原妮妮 =2AB, 点，连结CE. 动点问题是以几何知识和图形为背景，渗∠BOD=90°，BD=10,所以E0=5.所以OA的 附加题1.(1)因 (1)求证：四边形AECD是菱形： 入运动变化观点的一类问题.解决动点问题，有最小值为：04=AE-E0=√万-5. 为四边形ABCD是平行 (2)若∠D=120°，CD=2,求△ABC的 利于发展同学们的思维，对提高同学们的解题 故填/75-5. 四边形，所以AE∥BC 面积 能力也大有益处.这类问题通过仔细观察图形， 例2如图2，点P,Q分 又CE∥BD,所以四边 分析、归纳与探究图形的变化规律，抓住图形运 形BCED是平行四边 别是菱形ABCD的边AD,BC 动变化中的不变量和变化规律求解.现将与菱 形.所以CE=BD.又 上的两个动点.若线段PQ长 形有关的动点问题列举如下，供同学们参考 CE=AC,所以AC= 例1如图1，已知平 的最大值为85，最小值为 BD.所以四边形ABCD 行四边形ABCD中，AB= 8,则菱形ABCD的边长为 是矩形. (2)四边形BCED BC,BC=10,∠BCD 的周长为16. 60°，两顶点B,D分别在平 A.46B.10C.12 D.16 2.(1)因为四边形 面直角坐标系的y轴、x轴 分析：连结AC,过，点A作AE⊥BC,交CB的 ABCD是矩形，所以∠A 的正半轴上滑动，连结OA, 延长线于点E,由题意可得当点P与点A重合， =∠ADC=∠B=∠C 则OA长的最小值是 点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=85, =90°，AB=CD. 分析：推断出OA的长最小时的情况，根据当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD与直线 由折叠的性质，得 “有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四BC之间的距离为8，由“平行线间的距离处处相 AB=PD,∠A=∠P= 边形ABCD是菱形，运用菱形的性质以及等边三等”得AE=8,由勾股定理可求解。 90°，∠B=∠PDF= 角形的性质可求出OA的长， 90° 解：连结AC,过点A作AE⊥BC,交CB的延 解：过点A作AE⊥BD于点E,连结OE,如图 所以PD=CD, 长线于点E,如图2.因为四边形ABCD是菱形， 1.当点A,0,E在一条直线上时，OA最短因为四 ∠PDF=∠ADC,∠P 2.(12分)如图2，在菱形ABCD中，AB= 所以AB=BC.因为线段PQ长的最大值为85， =∠C. 边形ABCD是平行四边形，AB=BC,所以四边形 2,∠BAD=120°，△AEF为等边三角形，点E,F分 最小值为8，所以AC=85,AE=8.根据勾股定 所以∠PDF ABCD是菱形.因为BC=10,∠BCD=60°，所以 别在菱形的边BC,CD上滑动，且E,F都不与B, ∠ADF= ∠ADC AB=AD=10,∠BAD=60°.所以△ABD是等边理，得CE=√AC2-AE=16.在Rt△AEB中， ∠ADF,即∠PDE= C,D重合 AB2=BE2+AE2,即BC2=(16-BC)2+64.解 ∠CDF (I)求证：不论E,F在BC,CD上如何滑 三角形所以BD=10,所以DE=28D=5根据 得BC=10 所以△PDE≌ 动，总有BE=CF; 勾股定理，得AE=√AD-DE=√.因为 故选B. △CDF(ASA). (2)当点E,F在BC,CD上滑动时，分别探 “十十十十十“十十十“十“十十 第39期2版参考答案 5.连结CE,图略. (2)过点E作EG 讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否 18.1矩形 (1)EF=1. ⊥BC于点G,图略. 发生变化？如果不变，求出这个定值：如果变 18.1.1矩形的性质 (2)因为∠BAC=45°，所以∠ACE=90°-∠BAC 所以∠EGF 化，求出最小值， 基础训练1.D;2.D:3.110. =45°.所以AE=CE.因为F为AC的中点，所以EF垂直 ∠EGB=90°. 4.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC, 平分AC.所以AM=CM.所以BC=CD=CM+DM= 所以四边形ABGE ∠B=90°.所以∠DAE=∠AEB.因为DF⊥AE,所以AM+DM 和四边形EGCD都是矩 ∠AFD=90°=∠B.又DA=AE,所以△DFA兰△ABE. 第39期3版参考答案 容 所以DF=AB. 题号12345678 所以AE=BG,DE (2)AD=8. 能力提高5√4⑧ 答案A C D CC D C B CG,EG CD =4. 在Rt△EGF中，由 6.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.所 二、9.35°； 10,45:1.6:2子 勾股定理，得FG= 以∠BAC=∠FCO.由对I顶角相等，得∠AOE=∠COF 又AE=CF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF 三、13.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC √EF2-EG=3. (2)AB=12 AD=8.因为AB=6,AC=10,所以AC2=AB2+BC2 由(1)得，△PDE 18.1.2矩形的判定 所以∠B=90°.所以平行四边形ABCD是矩形. ≌△CDF. 18.1.2.1矩形的判定 14.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC.所 所以PE=CF,DE 基础训练1.D;2.B; 以∠F=∠BCE.因为E是AB的中点，所以AE=EB.又 DF=CG CF+3. 3.答案不惟一，如DE=FG;4.13 ∠AEF=∠BEC,所以△AEF≌△BEC(AAS) 由折叠的性质，得 5.因为BE∥DF,所以∠DFC=∠AEB.所以18O (2)CF=8. AE PE. ∠DFC=180°-∠AEB,即∠DFA=∠BEC.又DF BE,AF=CE,所以△AFD≌△CEB.所以∠DAC= 1成M=手 在Rt△CDF中，由 ∠BCA,AD=CB.所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平 16.(1)因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线，所 勾股定理，得CD+CF 行四边形.又∠BAD=90°，所以四边形ABCD是矩形. 以AD⊥BC,LCAD=号∠BAC.所以LADC=90因 =DF2,即CF2+42= 能力提高6.4. (CF+3)2 为AN为△ABC外角∠CAM的平分线，所以∠CAN= 7.(1)因为AD∥BC,所以∠D+∠C=180°.因为 ∠A=∠D=90°，所以∠C=∠A=∠D=90°.所以四 7∠CAM所以∠DA5=∠CAD+∠CaN=90因为 解得cP=石 边形ABCD为矩形. 所以BC=2CF+3 CE⊥AN,所以∠AEC=90°.所以四边形ADCE为矩形 (2)DF=号 (2)四边形ABDE是平行四边形.证明如下：由(1) 6 18.1.2.2直角三角形斜边上的中线 知，四边形ADCE为矩形.所以AE=CD,AC=DE.又AB (全文完) 数理报社试题研究中心 基础训练1D,2.C,3.C:4号 =AC,BD=CD,所以AB=DE,AE=BD.所以四边形 (参考答案见下期) ABDE是平行四边形. (下转1,4版中缝) 数理报 2026年4月1日·星期三 初中数学 第40期总第1184期 华东师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-206 将两种特殊的四边形融合为一体考查平行 名师点睛 四边形及特殊平行四边形的性质与判定，这是 常见的一种题型.解决这类问题的关键在于熟 双形”共 练掌握和运用各种特殊四边形的性质与判定， 下面举例予以说明， 展风采 例1如图1，矩形EFGH 安徽王雁 的顶点E,G分别在菱形ABCD 因为BG=DE 因为CF=GC, 的边AD,BC上，J顶点F,H在菱 所以AE=BG. 所以DE=GC 形ABCD的对角线BD上. 又因为AE∥BG, 所以四边形CEDG是平行四边形. (1)求证：BG=DE: 因为四边形ABCD为矩形，G是对角线BD 图1 所以四边形ABGE是平行四边形 (2)若E为AD的中点，FH=2,求菱形ABCD 所以AB=EG 的中点， 的周长 因为四边形EFGH是矩形， 所以GB=GC=GD. 解：(1)因为四边形EFGH是矩形， 所以EG=FH=2.所以AB=2. 所以四边形CEDG是菱形 所以EH=FG,EH∥FG 所以菱形ABCD的周长为8. (2)因为四边形DCFE是菱形 所以∠GFH=∠EHF. 例2如图2，四边形A 所以CD=CF. 所以180°-∠GFH=180°-∠EHF,即 ABCD为矩形，G是对角线 因为CF=GC. ∠BFG=∠DHE. BD的中点.连结GC并延 所以GC=GD=CD=GB 因为四边形ABCD是菱形， 长至点F,使CF=GC,以 图2 所以△CDG是等边三角形. 所以AD∥BC. DC,CF为邻边作菱形DCFE,连结CE. 所以∠CGD=∠GCD=60° 所以∠GBF=∠EDH. (1)判断四边形CEDG的形状，并证明你的 所以180°-∠CGD=180°-∠GCD,即 所以△BGF≌△DEH(AAS). 结论； ∠BGC=∠FCD. 所以BG=DE: (2)连结DF,若BC=5,求DF的长 在△BGC和△FCD中，因为BG=FC, (2)连结EG,如图1. 解：(1)四边形CEDG是菱形.证明如下： ∠BGC=∠FCD,CG=DC 因为E为AD的中点， 因为四边形DCFE是菱形， 所以△BGC≌△FCD(SAS) 所以AE=ED. 所以CF=DE,CF∥DE 所以DF=BC=5. 重点精讲】 萎形性质的应用 太和殿窗棂 ◎山西 赵俊芳 4 一、菱形的四条边都相等 所以AC1BD,A0=2AC=12,B0 2.学校植物园沿路护栏的纹饰部分设计成 例1如图1，菱形 若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹 ABCD的对角线AC,BD相交 -BD =5. 饰长度就增加dcm,如图5，已知每个菱形图案 2 于点0.若AC=16,BD= 的边长为103cm,其中一个内角为60°.若d= 12,则菱形ABCD的周长是 根据勾股定理，得AB=A0+B0=13. 26,该纹饰要用231个菱形图案，则纹饰的长度1 因为S菱形m=AB·DH=)AC·BD, cm. A.10 B.40 C.80 D.100 所以DH=AC·BD_120 2AB 13 60r 解：因为四边形ABCD是菱形，AC=16,BD 故选C. =12, 图5 三、菱形的每一条对角线平分一组对角 所以AC1BD,OA= C=8,0D=1BD 例3如图3，在菱形 3.如图6，四边形 2 2 ABCD中，∠ACD=40°，则 ABCD为菱形，∠ABC= =6. 80°，延长BC到E,在 根据勾股定理，得AD=√02+0D2=10. ∠ABC= 解：因为四边形ABCD ∠DCE内作射线CM,使 图6 所以菱形ABCD的周长是40 得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM,垂足为F 故选B. 是菱形，∠ACD=40°， 二、菱形的对角线互相垂直 所以AB∥CD,∠BCD 若DF=5,则对角线BD的长为 图 例2如图2，在菱形 =2∠ACD=80°. 本周主讲 ABCD中，AC=24,BD=10 所以∠ABC=180°-∠BCD=100° 18.2菱形 DH⊥AB于点H,则DH的长 故填100. 学习目标：掌握菱形的有关性质和 是 ( 牛刀小武 判定方法，并能运用这些知识进行相关的 A B.120 1.小强在参观土家民居建筑时，被其中的 证明和计算 C.120 菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角 认知重点：了解菱形和平行四边形 13 D.240 ·13 的菱形ABCD(如图4).若AC的长度为2，则菱 矩形之间的联系和区别 解：因为菱形ABCD,AC=24,BD=10 形ABCD的周长为 素养专练 人 数理叔 + 7.如图6，在菱形ABCD中，延长BA到点E,使1 跟踪训练 得AE=AB,连结DE.求证：△BDE为直角三角 形 gEnzonGXUNLIAN 18.2菱形 图3 18.2.1菱形的性质 4.如图3，点A,B的坐标分别为(0,2)，（2， 0),点C在y轴上，点D为平面内一点.若四边形 垦础训练 ACDB恰好构成一个菱形，请写出点D的坐标： 1.已知四边形ABCD是菱形，其中AB= 4cm,则四边形ABCD的周长是 ( 5.如图4，在四边形ABCD中，AB=AD,BC= A.5 cm B.8 cm DC.若AB∥CD,求证：四边形ABCD是菱形 C.12 cm D.16 cm 2.如图1，已知菱形ABCD的对角线AC=5, BD=8,则菱形ABCD的面积为 8.如图7，四边形ABCD是菱形，AC,BD交于 点O,DH⊥AB于点H (1)若对角线AC=8cm,BD=6cm,求DH 的长； (2)连结OH,已知OH= BD,求证：∠BOH 图1 =∠DAH. 3.如图2，在菱形ABCD中，AC与BD相交于 点O,AB的垂直平分线EF交AC于点F,连结DF. 若∠BAD=70°，则∠DF0的度数为 4.菱形OABC在平面直角 坐标系中的位置如图3所示 6.如图5，在△ABC中，BA=BC,BD平分 已知0A=2,∠A0C=45°，则 ∠ABC交AC于点D,点E在线段BD上，点F在BD 点B的坐标为 的延长线上，连结AE,CE,AF,CF,且AE∥CF 图？ 5.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 (1)求证：四边形AECF是菱形； 交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延 (2)若BF=BA,AD=4,DF=2,求BF的 长线于点E.求证：四边形ACDE是平行四边形 能刀提高 9.如图8，在菱形ABCD中，边AB =5,E,F分别在BC和AD上.若DF= 1,BE=3,且此时BF=DE,则BF的 长为 能刀提高 18.2.2菱形的判定 7.如图6，在四边形ABCD中，∠A=∠B= 堡础训练 90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且点 E与点F关于直线CD对称，过点E作EG∥AF交 1.如图1，以0为圆心，0A长 CD于点G,连结FG,DE, + 为半径画弧分别交OM,ON于A, (1)求证：四边形DEGF是菱形； 6.如图5，点P是菱形ABCD的对角线BD上 B两点，再分别以A,B为圆心，以 (2)若AB=10,AF=BC=8,求四边形 点，连结PC,PA.求证：PA=PC 0A长为半径画弧，两弧交于点C,0 DEGF的面积 图1 连结AC,BC,则四边形OACB 定是 ( A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.无法确定 2.要判断一个四边形是否为菱形，可行的测 量方案是 A.测量两组对边是否相等 B.测量对角线是否垂直 C.测量对角线是否互相平分 D.测量对角线交点到四条边的距离是否相 等 3.如图2，在口ABCD中，点E,F分别在边 AD,BC上，且DE=BF,则再添加一个条件 ,可判定四边形AFCE是菱形（只添加一 数理报社试题研究中心 个条件) (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 15.(14分)如图12，菱形ABCD的对角线AC, 同步检测 BD交于点O,点E在线段OB上，点F在线段OD 上，且DF=BE,连结AE,AF,CE,CF TONGBUJIANCE- (1)求证：四边形AECF是菱形： 【检测范围：18.2】 (2)若AC=4,BD=8,BE=3,试判断 △ADE的形状，并说明理由. 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 题号12345678 答案 1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是 图6 ( 10.如图7，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足 A.对角线互相垂直B.对边相等 为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形，应添加 C.对角相等 D.对角线相等 的条件是 (只需写出一个条件即可). 2.在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是 11.如图8，在菱形ABCD中，对角线AC,BD的 ( 长度分别为16和12，且交于点0，则△A0B的面积 A.BC B.BA C.BD D.CD 为 3.如图1，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC =6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线 段EF.若四边形ECDF为菱形时，a的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 网 网0 12.如图9，CD是△ABC的角平分线，过点D 分别作AC,BC的平行线，交BC于点E,交AC于点 F,连结EF.若∠ACB=60°，EF=4,则四边形 CEDF的周长是 图1 图2 三、耐心解一解（共52分） 4.如图2，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，BA 13.(10分)如图10，在菱形ABCD中，E为AB =BE,则∠BAE= ( )边上一点，过点E作EF∥BC,交BD于点M,交CD A.70°B.40° C.75° D.30° 于点F,求证：CF=EM. 5.如图3，在平面直角坐标系中， 16.(16分)在菱形ABCD中，∠B=60°，点E 菱形ABCD的顶点D在x轴上.边BC B 在边BC上，点F在边CD上. 在y轴上.若点A的坐标为(12,13)，则 D (1)如图13，若E是BC的中点，∠AEF=60°， 点C的坐标是 A.(0,-8) B.(0,-5) 图3 图10 求证：F是CD的中点； (2)如图14，若∠EAF=60°，∠BAE=20°， C.(-5,0) D.(0,-6) 6.下列是4位同学所画的菱形，依据所标数 求∠FEC的度数 据，不一定为菱形的是 2 、2 5010 0 2V308 01202 2、 A B D 图14 7.如图4，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，BE ⊥AB,DF⊥CD,垂足分别为B,D.若AB=9cm, 则EF的长是 ( 14.(12分)如图11，点E,F分别在口ABCD的 A.2 cm B.6 cm 边BC,CD上，BE=DF,∠BAF=∠DAE.求证：四 D.95 边形ABCD是菱形 C.3.3 cm 图11 图4 图5 8.如图5，菱形ABCD的对角线相交于点O,AC =12,BD=16,点P为边BC上一点，且P不与B, C重合.过P作PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F, 连结EF,则EF的最小值为 () A.4B.4.8C.5 D.6 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 9.如图6，四边形ABCD是菱形，∠ACD 30°，则∠BAD= (下转第4版)初中数学·华东师大八年级第40~44期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大八年级 第40~44期(2026年4月) 第40期2版 6.(I)因为AE∥CF,所以∠EAD=∠FCD,∠AED= 18.2菱形 ∠CFD.因为BA=BC,BD平分∠ABC,所以BD⊥AC,AD= 18.2.1菱形的性质 CD.所以△AED≌△CFD(AAS).所以AE=CF.所以四边形 基础训练1.D;2.20;3.70°；4.(2+2，√2) AECF是平行四边形.又因为BD⊥AC,所以四边形AECF是菱 5.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,AC⊥BD.因 形 为DE⊥BD,所以DE∥AC.所以四边形ACDE是平行四边形. (2)因为四边形AECF是菱形，所以DE=DF=2.在 6.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC,∠ABP= Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2,即42+(2+ ∠CBP.又因为BP=BP,所以△ABP≌△CBP(SAS).所以PA BE)2=(4+BE)2.解得BE=1.所以BF=5. PC. 能力提高7.(1)因为点E与点F关于直线CD对称，所 以FD=ED,FG=EG,∠EDG=∠FDG.因为EG∥AF,所以 7.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD.所以∠ABD =∠ADB.因为AE=AB,所以AE=AD.所以∠E=∠ADE.所 ∠EGD=∠FDG.所以∠EGD=∠EDG.所以ED=EG.所以 FD=ED=FG=EG.所以四边形DEGF是菱形. 以2∠ADB+2∠ADE=180°.所以∠ADB+∠ADE=∠BDE (2)连结FC,EC,图略.因为∠A=∠B=90°，所以∠A+ =90°.所以△BDE为直角三角形. ∠B=180°.所以AF∥CB.因为AF=BC=8,所以四边形ABCF 8.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD,OA= 是平行四边形.所以CF=AB=1O.根据轴对称的性质，得CE= 宁4C=4cm,0B=BD=3m根据勾股定理，得AB CF=10.根据勾股定理，得BE=√CE-BC=6.所以AE= 1 √OA+OB=5cm因为S形m=2AC·BD=AB·DH, AB-BE=4.在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+AD2= DE,即4+(8-DF)2=DF.解得DF=5.所以S四边形EcF=DF 所以DH=4C:BD=2 2AB 5 cm. ·AE=20. (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OB=OD,∠DAH= 第40期3版 2∠0AB.因为OH=2BD,所以0H=0B所以∠0HB= 题号12345678 答案ACBABBCB ∠OBH.所以∠B0H=180°-2∠OBH.因为∠OAB=90°- 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD;11.24: ∠OBH,所以∠DAH=180°-2∠OBH.所以∠BOH=∠DAH. 12.16. 能力提高9.√17 三、13.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,∠ABD= 18.2.2菱形的判定 ∠CBD.因为EF∥BC,所以四边形BCFE是平行四边形， 基础训练1.B;2.D;3.答案不惟一，如AE=AF; ∠EMB=∠CBD.所以BE=CF,∠ABD=∠EMB.所以BE= 4.(2,√8)或(2，-8) EM.所以CF=EM. 5.在△ABC和△ADC中，因为AB=AD,AC=AC,BC= 14.因为∠BAF=∠DAE,所以∠BAF-∠EAF=∠DAE DC,所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC.因为 -∠EAF,即∠BAE=∠DAF.因为四边形ABCD是平行四边 AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA.所以∠DCA=∠DAC.所以 形，所以∠B=∠D.因为BE=DF,所以△ABE≌ AD=CD.所以AB=CB=CD=AD.所以四边形ABCD是菱 △ADF(AAS).所以AB=AD.所以四边形ABCD是菱形. 形. 15.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,OB= 初中数学·华东师大八年级第40~44期 OD,AC⊥BD.因为DF=BE,所以OB-BE=OD-DF,即OE60°.所以∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中，因为AB= =OF.所以四边形AECF是平行四边形.又因为AC⊥EF,所以 AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF,所以△ABE≌△ACF(SAS).所 四边形AECF是菱形. 以BE=CF (2)△ADE是直角三角形.理由如下： (2)四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化. 因为AC=4,BD=8,所以OA=2,OB=OD=4.因为BE 由(I),得△ABE≌△ACF.所以S AARE=S△AC·所以 =3,所以OE=OB-BE=1,DE=BD-BE=5.因为AC⊥ S四边形AECF=S△AEc+S△ACF=S△AEc+S△ABE=SAARC,即四边形 BD,所以∠AOE=∠AOD=90°.根据勾股定理，得AE2=OA2 AECF的面积不变.因为△CEF的周长为：CE+CF+EF=CE +0E=5,AD2=0A2+0D2=20.所以AE2+AD2=DE.所 +BE+EF=BC+EF=BC+AE,所以△CEF的周长发生变 以△ADE是直角三角形. 化.过点A作AG上BC于点G,图略.当点E滑动到点G时， 16.(1)连结AC,图略.因为四边形ABCD是菱形，所以AB =BC=CD,AB∥CD.因为∠B=60°，所以∠BCD=180°- △CBF的周长最小此时BG=2BC=1.根据勾股定理，得AG ∠B=120°，△ABC是等边三角形.因为E是BC的中点，所以 日AC-BC=E.所以saw=Sa=号6C·AG- AE⊥BC.所以∠AEC=90°.因为∠AEF=60°，所以∠FEC= ∠AEC-∠AEF=30°.所以∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF 子×2×万=5，△CBP的周长的最小值为：8C+AG=2+5, =30.所以∠FEC=LCFE.所以EC=CR因为CE=BC, 第41期2版 18.3正方形 所以CF= CD,即F是CD的中点 18.3.1正方形的性质 (2)连结AC,图略.因为△ABC是等边三角形，所以AB= 基础训练1.C;2.C；3.115. AC,∠BAC=∠ACB=60°.所以∠ACF=∠BCD-∠ACB= 4.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=BC=CD, 60°=∠B.因为∠EAF=60°，所以∠BAC-∠EAC=∠EAF- ∠B=∠D=90°.因为AE=AF,所以AB-AE=AD-AF,即 ∠EAC,即∠BAE=∠CAF所以△ABE≌△ACF(ASA).所以 BE=DF.在△BCE和△DCF中，因为BE=DF,∠B=∠D, AE=AF.所以△AEF是等边三角形.所以∠AEF=60°.因为 BC=DC,所以△BCE≌△DCF(SAS).所以CE=CF.因为点 ∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE,所以∠FEC=∠BAE=20°. M是EF的中点，所以CM⊥EF 附加题1.(1)因为E为AB的中点，所以AB=2AE= 5.因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以AD=CD 2BE.因为AB=2CD,所以CD=AE.因为AE∥CD,所以四边 =1,∠D=90°，AD∥BC.所以∠DAE=∠F.因为AE平分 形AECD是平行四边形.因为AC平分∠DAB,所以∠DAC= ∠CAD,所以∠CAE=∠DAE.所以∠CAE=∠F.根据勾股定 ∠EAC.因为AB∥CD,所以∠DCA=∠EAC.所以∠DAC= 理，得CF=AC=√AD2+CD=2 ∠DCA.所以AD=CD.所以四边形AECD是菱形. 能力提高6.√2 (2)因为四边形AECD是菱形，∠D=120°，CD=2,所以 7.连结BF,图略.根据题意，得∠EAF=90°，∠AFE= AB=4,CE=AE=2,∠AEC=∠D=120°.所以CE=BE, ∠AEF=45°，AF=AE=4.根据勾股定理，得EF2=AF2+AE ∠CEB=180°-∠AEC=60°.所以∠ACE=∠CAE=30°， =32.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,∠DAB= △CEB是等边三角形.所以BC=2,∠ECB=60°.所以∠ACB 90°.所以∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF,即∠EAD= =∠ACE+∠ECB=90°.根据勾股定理，得AC= ∠FAB.在△ADE和△ABF中，因为AD=AB,∠EAD= √AB-BC=厄.所以Sx=子4C·BC=厄. ∠FAB,AE=AF,所以△ADE≌△ABF(SAS).所以DE=BF 2.(1)连结AC,图略.因为四边形ABCD为菱形，∠BAD= =2,∠AED=∠AFB=45°.所以∠BFE=∠AFB+∠AFE= 120°，所以AB=BC,∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°. 90°.根据勾股定理，得BE=√EF2+BF2=6. 所以△ABC是等边三角形.所以AB=AC.因为△AEF是等边 18.3.2正方形的判定 三角形，所以AE=AF,∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC= 基础训练1.A;2.D;3.不一定 初中数学·华东师大八年级第40~44期 4.因为四边形ABCD是矩形，OA=1,所以OB=1.因为=45°，AD=BC.在△ADE和△CBF中，因为AD=CB,∠DAE AB=2,所以OA2+OB=AB.所以∠AOB=90°.所以AC⊥ =∠BCF,AE=CF,所以△ADE≌△CBF(SAS). BD.所以四边形ABCD是正方形 (2)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD,OA=OB 5.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°.因为BE =0C=OD.因为AE=CF,所以OE=OA-AE=OC-CF= ⊥EF,所以∠BEF=90°.因为∠ABE+∠CEF=45°，所以 OF所以四边形BEDF为菱形. ∠CEB+∠CBE=∠BEF-∠CEF+∠ABC-∠ABE=I8O° 16.(1)因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，所以AB -(∠CEF+∠ABE)=135°.所以∠BCE=180°-（∠CEB+ =BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°，GC=CE= ∠CBE)=45°.所以∠BAC=90°-∠BCE=45°.所以AB= EF=FG,∠E=∠CGF=90°.所以∠ADH=180°-∠ADC= BC.所以四边形ABCD是正方形. 90°，∠HGF=180°-∠CGF=90°.因为DH=CE=BK,所以 6.(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD.在 HG=KE=AB.所以△ADH≌△ABK≌△KEF≌ △ABD和△CBD中，因为AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD= △HGF(SAS).所以AH=AK=KF=HF,∠DAH=∠BAK.所 BD,所以△ABD≌△CBD(SAS).所以∠ADB=∠CDB. 以四边形AKFH是菱形，∠KAH=∠DAH+∠KAD=∠BAK+ (2)因为PM∥CD,PWN∥AD,所以四边形MPND是平行 ∠KAD=∠BAD=90°.所以四边形AKFH是正方形， 四边形，∠MPD=∠NDP.所以∠MPD=∠MDP.所以PM= (2)连结AE,图略.因为四边形AKFH的面积为10，所以 DM.所以四边形MPWD是菱形.所以当MN=PD时，四边形 KF2=10.因为CE=1,所以BK=EF=1.根据勾股定理，得 MPND是正方形. KE=KF-EF=3.所以AB=KE=3,BE=BK+KE= 7.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AD 4.所以点A,E之间的距离为：AE=√AB2+BE=5. =BC.因为AC∥DE,所以四边形ACED是平行四边形.所以 附加题1.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC AD=CE.所以BC=CE =90°.所以∠EBG=180°-∠ABC=90°.所以平行四边形 (2)因为四边形ACED是平行四边形，所以CD=2CF.因 BEFG是矩形. 为AD=2CF,所以AD=CD.所以四边形ABCD是菱形.因为 (2)90.理由如下： AD∥EC,所以∠DAF=∠FEB.因为∠DAF=∠FBE,所以 延长GP交DC于点H,图略.因为正方形ABCD和平行四边 ∠FBE=∠FEB.所以FB=FE.因为BC=CE,所以FC⊥BE. 形BEFG,所以AB∥DC,BE∥GF,DC=BC.所以DC∥GF 所以∠BCF=90°.所以四边形ABCD是正方形. 所以∠HDP=∠GFP,∠DHP=∠FGP.因为P是线段DF的 第41期3版 中点，所以DP=FP.在△DHP和△FGP中，因为∠DHP= 题号1234567 8 ∠FGP,∠HIDP=∠GFP,DP=FP,所以△DHP≌ 答案BBA DBBDD △FGP(AAS).所以HP=GP,DH=FG.当∠CPG=90°时， 二9.√6；10.答案不惟一，如AC=BD:11.万； PG⊥PC.所以CH=CG.所以DC-CH=BC-CG,即DH= BG.所以BG=FG.所以平行四边形BEFG是菱形.由(1)知四 12.6. 边形BEFG是矩形.所以四边形BEFG是正方形 三、13.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABD=∠ADB 2.(1)因为四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，所 =45°，因为BE=BD,所以∠BDE=∠E= 以∠D=∠A=90°，HG=HIE.在Rt△AHE和Rt△DGH中，因 ∠EBD)=67.5°.所以∠EDA=∠BDE-∠ADB=22.5° 为EH=HG,AH=DG,所以Rt△AHE≌Rt△DGH(HL).所以 14.因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠DAB= ∠AEH=∠DHG.因为∠AHE+∠AEH=90°，所以∠AHE+ ∠BAF+∠DAF=90°.因为AF⊥DE,所以∠AGD=90°.所以 ∠DHG=90°.所以∠EHG=90°.所以四边形EFGH为正方 ∠ADE+∠DAF=90°.所以∠BAF=∠ADE.在△ABF和 形 △DAE中，因为∠B=∠EAD,∠BAF=∠ADE,AF=DE,所以 (2)因为AD=6,DC=7,DG=AH=2,所以DH=AD- △ABF≌△DAE(AAS).所以AB=DA.所以四边形ABCD是正 AH=4,CG=DC-DG=5.由勾股定理，得HG2=DG2+D 方形 =20.因为四边形EFGH是正方形，所以FG2=20,∠EFG= 15.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAE=∠BCF:90°.所以∠CFG=180°-∠EFG=90°.由勾股定理，得CF= —3 初中数学·华东师大八年级第40~44期 CC2 -FC2=5. 0B=0D=分B0,AC=BD.所以0A=0B=0C=0D在 第42期综合测评卷 △BE0和△CEO中，因为BE=CE,OE=OE,OB=OC,所以 -题号123456789101112 △BEO≌△CEO(SSS). 答案BBB CDB ADCDAB (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=∠CDA= 二、13.20；14.70°；15.BD=AC且BD⊥AC: 90°，AB=DC.在Rt△BAE和Rt△CDE中，因为BE=CE,AB= 16.4.8. DC,所以Rt△BAE≌Rt△CDE(HL).所以∠AEB=∠DEC,AE 三、17.因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°，CD= =DE.因为OA=OD,所以∠OEA=∠OED=90°，∠DA0= AB=4,AD∥BC.所以∠AEB=∠CBE.因为BE平分∠ABC, ∠AD0.所以AB∥OE∥DC.所以S△HED=S△Eo,S△DE0= 所以∠ABE=∠CBE.所以∠ABE=∠AEB.所以AE=AB= S△CEO-所以S△AED-S△EFO=S△BEo-S△EPm,即S△AEF=S△BFD, 4.因为AD=7,所以ED=AD-AE=3.根据勾股定理，得EC S△DEn-S△EH0=S△cED-S△EHo,即S△EH=S△cHo-在△AEF和 =√ED2+CD2=5. △DEH中，因为∠EAF=∠EDH,AE=DE,∠AEF=∠DEH, 18.因为AD∥BC,所以∠ADO=∠CBO,∠DAO= 所以△AEF≌△DEH(ASA).所以S△AF=S△DER因为DG∥ ∠BC0.因为BD垂直平分AC,所以OA=OC,AD=CD,AB= AC,所以∠G=∠AFE,∠GDE=∠FAE.在△AEF和△DEG 中，因为∠AFE=∠G,∠FAE=∠GDE,AE=DE,所以△AEF CB.在△ADO和△CBO中，因为∠ADO=∠CBO,∠DAO= ∠BC0,OA=OC,所以△ADO≌△CBO(AAS).所以AD=CB. ≌△DEG(AAS).所以SAAEF=SaEc·所以△DEH,△CHO, △DEG,△BFO的面积都与△AEF的面积相等. 所以AD=CD=AB=CB.所以四边形ABCD是菱形 19.连结GE,图略.因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥ 第43期2版参考答案 19.1数据的集中趋势 CD.所以∠CGE=∠AEG.因为四边形EFGH为菱形，所以GF 19.1.1平均数的意义 ∥HE.所以∠HEG=∠FGE.所以∠AEG-∠HEG=∠CGE- ∠FGE,即∠HEA=∠CGF. 基础训练 1C;2.1;3.10m+23m 33 20.(1)过点G作GD⊥AB于点D,图略.因为GE⊥BC,GF LAC,所以∠CEG=∠CFG=90°.因为∠C=90°，所以四边 4.这20户家庭的月平均用水量是：20×(4×2+5×3+ 形GECF是矩形.因为∠BAC,∠ABC的平分线交于点G,所以 6×7+8×5+9×2+11×1)=6.7(吨). EG=DG=FG.所以四边形GECF是正方形 能力提高5.D. (2)连结CG,图略.因为AC=4,BC=3,∠ACB=90°，由 19.1.2加权平均数 基础训练1.C;2.29;3.87分 勾股定理，得AB=√AC2+BC2=5.因为SAAc=SABG+ 4.（1)班长的综合成绩为：24+26+28=26（分）， sa+Sac所以×3×4=子×5EG+7×4BG+2× 3 3EG.解得EG=1.所以四边形GECF的面积为：EG=1. 团支部书记的综合成绩为：26+24+26=（分）， 3 21.(1)1. 学习委员的综合成绩为：8+2？+24=号（分）， 3 (2)因为四边形ABCD是菱形，所以AC=2OA,BD= 2OB,AB=BC.因为∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形. 因为}>26>华，所以应该选学习委员为优秀学生于 所以AB=2OA.根据勾股定理，得OB=AB2-OA= B0A所以菱形ABCD的“接近度”为：m=2501=V5, (2)班长的成绩为： 24×3+26×3+28×4 20A 3+3+4 (3)因为菱形ABCD的“接近度”是2，所以BD=2AC.所 262(分)，团支部书记的成绩为.26×3+24×3+26×4。 3+3+4 以OB=2OA.因为菱形ABCD的边长为5，所以OA2+OB2= 25.4(分)，学习委员的成绩为：28×3+27×3+24×4 50A2=25.解得0A=√5.所以BD=45. 3+3+4 26.1(分)，因为26.2>26.1>25.4，所以班长应当选为优秀 22.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OC= 学生干部. 4 初中数学·华东师大八年级第40~44期 19.1.3中位数和众数 励，有利于调动工人的积极性 基础训练1.B;2.C;3.A;4.81；5.14分. 综上所述，当月生产目标定为180个时，有利于调动大多 6.(1)5.5,4: 数工人的积极性 16.(1)一班C等级的学生有：25-6-12-5=2（名）.补 (2)这100名学生平均每人植树：00×(4×30+5×20+ 图略 6×25+8×15+10×10)=5.9(棵). 1 (2)一班的平均数为：a 19.1.4平均数、中位数和众数的选用 25×(6×100+12×85+2× 基础训练1.(1)表中依次填1,1,2,3,4,5,3,1，年平均 75+5×60)=82.8(分)； 收入为1.6： -班的中位数为：b=85(分)： (2)1.2,1.3;(3)众数 二班的众数为：c=100(分). 2.(1)这15名工人该天加工零件的平均数为： (3)①从平均数、众数方面来比较，二班的成绩更好 18×1+16×1+10×2+8×6+7×3+6×2=9(件). ②一班B级以上（包括B级）的同学有：6+12=18（名）； 15 二班B级以上（包括B级）的同学有：25×(44%+4%)= (2)这15名工人该天加工零件的中位数是8件，众数是8 12(名). 件。 因为18>12，所以从B级以上（包括B级）的人数方面来 (3)不会.理由如下： 比较，一班的成绩更好. 9件是平均数，但表中数据显示，每日能完成9件的只有4 附加题1.(1)15,15. 人，还有11人不能达到此定额，将每名工人的日加工零件任务 (2)15,5.5 数定为9件不利于调动多数工人的生产积极性， (3)用“平均数”这个数据指标不能较好反映人群年龄特 第43期3版参考答案 征的是乙群游客.理由如下： 题号12345678 乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，平均 答案CDBADAC B 数高于大部分成员的年龄 二9.23.5；10.5；11.2.8；12.19或20. 2.(1)C等级的同学有5人，成绩分别为：77,73,72,79,78. 三、13.(1)16,17. 所以3月份体育测试成绩为C等级的同学的平均成绩为：了× (2)这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是：10 (77+73+72+79+78)=75.8(分). ×(0+7+9+12+15+17×3+20+26)=14(次) (2)由表中数据可知，30名同学中，A等级的有10人，B等 14.(1)该员工本年度平时表现的平均成绩为：4×(106 1 级的有11人，C等级的有5人，D等级的有4人.所以强化训练 +102+114+110)=108(分). 后谈班同学平均成绩所提高的分数为：0×(0.9×10+5×1山 (2)该员工本年度的综合考评成绩为：108×10%+110× +10×5+15×4)=5.8(分). 20%+107×70%=107.7(分). 第44期2版 15.(1)这10名工人该月生产零件的平均个数为：。× 19.2数据的离散程度 基础训练1.B;2.5;3.乙. (600+480+220×3+180×4+120)=258(个). (2)因为共有10名工人，所以中位数为：(220+180)÷2 4.(1)=子(90+85+95+90)=90（分），2=子(98 =200(个)，众数为180个. +82+88+92)=90(分). 从平均数看，当月生产目标定为258个时，有2名工人获得 (2)0=子×[(90-90)2+(85-90)°+(95-90)2+ 奖励，不利于调动工人的积极性； 从中位数看，当月生产目标定为200个时，有5名工人获得 (90-90)]-空d2=子×[(98-90)2+(82-90)2+(8 奖励，不利于调动工人的积极性； -90)2+(92-90)2]=34.因为甲的方差小于乙的方差，所以 从众数看，当月生产目标定为180个时，有9名工人获得奖： 选择甲参加比赛更合适， 5 初中数学·华东师大八年级第40~44期 19.3借助箱线图描述数据的分布 81+85=8.3(分)，中位数为：88十88=88（分），上四 2 2 基础训练1.C:2.B: 3.四分位数如下表： 分位数为：91十93=9.2（分）. 2 最小值、四分位数和最大值 20.(1)乙. 班级 最小值 下四分位数中位数上四分位数最大值 (2)8.8,9. 八(1)班 166 167 168 170 171 (3)此人是乙，理由如下：把乙中的其中任意一个数改为 八(2)班 164 165.5 169 170 171 其他数，这组数据的中位数和众数都不变，均为8. 作箱线图如图所示： 21.(1)①8,8,1.56. 身高lem ②八年级竞赛成绩的众数为7分，方差为1.88，九年级竞 172 171 赛成绩的众数为8分，方差为1.56，所以九年级竞赛成绩的众 170 169 数较大，又因为两个年级竞赛成绩的平均数相同，九年级竞赛 168 167 成绩波动小，所以应该给九年级颁奖 166 165 (2)八年级的获奖率为：(10+7+11)÷50=56%：九年 164 163 八(1)班 八(2)班 级的获奖率为：(14+13+6)÷50=66% 基于四分位数和箱线图，可以发现八(1)班身高的中位数 因为66%>56%，所以九年级的获奖率高， 22.（1)144.乙车间抽取的10名员工中4月份工资为5千 与八(2)班的相差不大，但八(1)班身高的波动明显比八(2) 元的有：10-5-2-1=2（名）.补图略 班的要小，故八(1)班选取的礼仪队队员的身高比八(2)班要 (2)由扇形统计图，得甲车间员工工资为4千元、5千元、6 整齐 千元、7千元、8千元的员工分别有1名、2名4名、2名、1名. 4.(1)两组学生坐位体前屈结果的最小值相等，A组学生 坐位体前屈结果的四分位数、最大值都高于B组，B组学生坐 所以甲车间员工的平均工资为：0×(4×1+5×2+6× 位体前屈结果的波动相对较小。 4+7×2+8×1)=6(千元)， (2)B组有可能是普通学生组. 方差为：0×[(4-6)2+2×(5-6)2+4×(6-6)2+ (3)不一定 2×(7-6)2+(8-6)2]=1.2. 第44期3,4版 因为1.2<7.6， 题号123456789101112 所以甲车间员工的工资收入比较稳定， 答案B BBD CAD CBBBA (3)原来甲车间员工工资的中位数为：66=6（千元）. 2 二1324：14丙；15.4：16号或4或号 因为甲车间员工工资低于6千元的有3名，不低于6千元 三、17.(1)从小到大排列此数据为：5,6,7,7,8,8,8，数据 的有7名，新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数，所 8出现了三次，最多，为众数，7处在第4位，为中位数.所以该同 以n的最小值为：7-3=4. 学所得分数的众数与中位数分别为8分、7分 所以当这4名员工工资低于6千元，且是较高工资时，这4 (2)该同学所得分数的平均数为：7(5+6+7×2+8×3) 名员工的工资和取得最大值， 所以这4名员工的工资分别为4千元4千元、5千元、5千 =7(分) 元 18.甲的平均成绩为：87×6+0×4=88.2（分），乙的平 6+4 所以这4名员工的工资和的最大值为：4+4+5+5= 均成绩为.91×6+82×4=87.4（分）. 18(千元). 6+4 因为88.2>87.4，所以甲将被录取 19.将这12个数据由小到大排序为：7.5,7.8,8.1,8.5， 8.6,8.8,8.8,9.0,9.1,9.3,9.5,9.6,所以下四分位数为： —6—