18.3 第1课时 正方形的性质-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

第18章矩形、蔑形与正方形 18.3 正方形 (1)正方形对边 ,四条边 第1课时 正方形的性质 (2)正方形四个内角是 知 识 梳 理 (3)正方形对角线互相 1.正方形的定义： ,并且每条对角线平分 (1)有一个角是 的菱形叫正方形 (4)正方形是 图形，又是 (2)有一组 相等的矩形叫正方形 . 它有 条对称轴，它的对称中 2.正方形的性质： 心是 【例2】 如图，四边形ABCD是正方形， 典 例 精 析 △EBC是等边三角形， 考点① 正方形的性质 (1)求证：△ABE≌△DCE; (2)求∠AED的度数. 【例1】如图，在正方形ABCD中，E是 AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF =BE. (1)求证：CE=CF; (2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则 GE=BE+GD成立吗？为什么？ 规律与方法：正方形的四条边相等，四个 内角为直角与等边三角形的结合较常见，还 有正方形的对角线相等且互相垂直平分的性 质也常用到. ·127· 措南针·八年纸下册·数学(HS) 【变式训练1】如图，四边形ABCD是正 的度数是 方形，BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G. A.62.5° (1)求证：AE-CF; B.45 (2)若∠ABE-55°，求∠EGC的大小 C.32.5° D.22.5 演 练 【基础过关】 1.正方形的边长为2cm,则正方形的对角线长为 A.√2cm B.√6cm C.22cm D.4/2 cm 2.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点， 把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF 的位置.若四边形AECF的面积为20，DE= 2,则AE的长为 () A.4 B.2√5 C.6 D.26 考点2正方形的对称性 【例3】如图，在正方形ABCD中，∠DAF =25°，AF交对角线BD于E,求∠BEC的 度数 第2题图 第3题图 3.如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x 轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为中 心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应 点D'的坐标是 () 规律与方法：正方形是轴对称图形，它有 A.(2,10) B.(-2,0) 4条对称轴，对角线所在直线是它的对称轴， C.(2,10)或(-2,0)D.(10,2)或(-2,0) 对角线与边的夹角为45°. 4.(攀枝花中考)如图，已知正方形ABCD的边 【变式训练2】如图，四边形ABCD是正 长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥ 方形，延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE AD于点F,PE⊥AB于点E,连接PC,当 ·128· 第18章矩形、蔑形与正方形 PE:PF=1:2时，则PC= (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由. A.√3 B.2 C.√5 D 第4题图 第5题图 5.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系 中，O是坐标原点，点E的坐标为(2,3)，则点 F的坐标为 6.(枣庄中考)如图，E,F是正方形ABCD的对 角线AC上的两点，AC=8,AE=CF=2,则四 边形BEDF的周长是 7.(绍兴中考)如图，在正方形ABCD中，G是对 【能力提升】 角线BD上的一点（与点B,D不重合），GEI 8.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方 CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连接EF, 形，若两个小正方形的面积分别为S,S2,则 AG,并延长AG交EF于点H. S+S2的值为 () (1)求证：∠DAG=∠EGH; A.16 B.17 C.18 D.19 第8题图 第9题图 9.(张家界中考)如图，正方形ABCD的边长为 1,将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度 到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上， 则阴影部分的面积是 ·129· 措南针·八年纸下册·数学(HS) 核心素养 10.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. (1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形 吗？请说明理由； (2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD. 试证明：AB2+CD=AD+BC2; (3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正 方形ABDE,连接CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长 图1 图2 图3 ·130·指南针·八年多 ∴.AB//DE, F为BC的中点，∴.BC=2CF=2BF, AB=DE, .'CD=2CE,BC=CD,..CE=CF, ∠B=∠EDC, 又.∠ECM=∠FCM,CM=CM, 又AB=AC, .△CEM≌△CFM,.∴.ME=MF, ∴.AC=DE,∠B=∠ACB, 四边形ABCD是菱形， ∴.∠EDC=∠ACD, .AB//CD,∴.∠2=∠G 又.DC=CD, 又：∠DFC=∠GFB,CF=BF, ∴.△ADC≌△ECD(SAS) .△DCF≌△GBF,.DF=GF, (2),四边形ABDE是平行四边形， ∠2=∠G,∠1=∠2， ∴.BD//AE,BD=AE,∴.AE//CD, ∴.∠1=∠G,∴.AM=MG, 又BD=CD,.AE=CD, .MG-GF+MF,DF=GF,ME=ME. 四边形ADCE是平行四边形， .'.AM=DFME. 已证AC=DE,.四边形ADCE是矩形. 【变式训练2】(1)：四边形ABCD是菱形，AB=2, 【变式训练3】对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形ABCD的周长=2X4=8; 课后演练 (2).四边形ABCD是菱形， 1.B2.B3.B4.235.32 AC=2,AB=2,..AC BD,AO=1, 12 6.(1)略(2)SE=457.168. .BO=WVAB2-AO=√/22-12=√3， 核心素养 ∴.BD=23. 9.(1)略 (2)t=8(s) 【例3】作高BE,·四边形ABCD是菱形， ∴.OB=OD=5,OA=OC=12,BD⊥AC 18.2 菱形 在直角三角形COD中，由勾股定理得CD=13, 第1课时 菱形的性质 :菱形的面积=号ACXBD-=DCXBE, 知识梳理 1.相等 …BE=120 131 2.(1)相等(2)相等互补 【变式训练3】5 (3)垂直平分一组对角 课后演练 (4)轴对称中心对称 1.C2.D3.D4.C5.46.127.(-5,4)8.2/2 3.底×高两对角线乘积的一半 9.(1)略(2)/AEF=60° 典例精析 【例1】(1)：△ABC与△CDE都是等边三角形， 10.C1.y3 2 .∠ACB=∠DEC=60°，.DE∥CF, 核心素养 ∠A=∠ECD=60°，.AB∥CD, 12.(1)略(2)√6 EF∥AB,∴.四边形EFCD为平行四边形， CD=DE,□EFCD为菱形 第2课时 菱形的判定 (2)连接DF交CE于O. 知识梳理 四边形EFCD为菱形 1.中心对称轴对称 2.(1)邻边(2)互相垂直(3)四条边(4)对角线 ∴.OD=OF,CO⊥DF, CD=4,.C0=2, 典例精析 【例1】(1)证明：.'BE∥AC,AE∥OB, 由勾股定理得DO=23,则DF=4W3. .四边形AEBD是平行四边形， 【变式训练1】证明：，AC平分∠BAD, 四边形OABC是矩形， ∴∠BAC=∠D4C ·AD∥BC,∴.∠BCA=∠DAC, ∴DA=号AC,DB=2OB, ∴∠BAC=∠BCA,.BA=BC, AC=OB,AB=OC=2, .AB=AD,.'.AD=BC, .DA=DB,.四边形AEBD是菱形； .四边形ABCD是平行四边形， (2)连接DE,交AB于F,如图所示： .'AB=AD, 四边形AEBD是菱形， ∴.四边形ABCD是菱形 .AB与DE互相垂直平分， 【例2】(1)：四边形ABCD是菱形 ..BC=CD,∠1=∠DCA=∠ACB 0A=3,0C=2,EF=DF=20A=2 ∠1=∠2，.∠2=∠DCA, ..DM=CM,又ME⊥CD,CE=1， AF=AB=1,3+号=号， ..CD=2CE=2,.BC=CD=2. ∴点E坐标为：（号，1）， (2)证明：如图，延长AB和DF相交于点G G 设经过点E的反比例函数解析式为：y=色 把点E号，1)代人得：=号， ÷经过点E的反比例函数解析式为：少=是 【变式训练1】略 下册·数学参考答案(HS) 【例2】证明：，AB=AC,∴.∠B=∠ACB, ∴.△ECG≌△FCG(SAS) :AM平分∠CAD,∴.∠CAD=2∠CAM, ..GE=GF...GE=DF+GD=BE+GD. :∠CAD是△ABC的外角，∴.∠CAD=∠B十∠ACB, 【例2】(1)证明略 ∴.∠CAD=2∠ACB, (2)BA=BE,/ABE=30°， .∠CAM=∠ACB,.AF∥CE. .EF垂直平分AC, ÷∠BAE=2180-30)=75, .OA=OC,∠AOF=∠COE=90°， ∠BAD=90°，∴.∠EAD=90°-75°=15， ∴.AOF≌△COE,∴.AF=CE, 同理可得∠ADE=15°， 在四边形AECF中，AF∥CE,AF=CE, ∴.∠AED=180°-15°-15°=150°. ∴.四边形AECF是平行四边形 【变式训练1】(1)证明略 又.EF I AC,.四边形AECF是菱形. (2)BEBF,.∠FBE=90°， 【变式训练2】(1)证明：四边形ABCD是矩形， 又BE=BF,∴.∠BEF=∠EFB=45° ./B=∠D=90°，AB=CD, 四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°， AD=BC,AD∥BC, 又：∠ABE=55°，∠EBG=90°-55°=35°， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ∴.∠EG℃=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80° (AE-CF 【例3】在正方形ABCD中，∠ADB=45°， AB-CD ∠DAF=25, ∴.Rt△ABE≌Rt△CDF(HL); .∠AEB=∠ADB+∠DAF=7O°， (2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由略 ,△ABE与△CBE关于BD轴对称， 【例3】证明：：AB=AC,AD是BC边上的中线， ∴.∠BEC=∠AEB=70°. .AD垂直平分BC, 【变式训练2】D ∴.EB=EC,FB=FC, 课后演练 CF∥BE, 1.C2.D3.C4C5.(-1,5)6.85 .∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD, 7.略8.B9√2-1 .DB=CD. 核心素养 .△EBD≌△FCD(AAS), 10.略 ∴.BE=FC, 第2课时 正方形的判定 ∴.EB=BF=FC=EC 知识梳理 .四边形EBFC是菱形 1.中心对称轴对称 【变式训练3】用刻度尺测量四边是否相等即可 2.(1)有一个角是直角(2)有一组邻边相等 课后演练 (3)相等且互相垂直 1.B2.C3.C4.A5.906.127.4 典例精析 8.略9.B10.①②③④11.12.5cm 【例1】证明：四边形ABCD是矩形， 核心素养 ∴./DAB=∠ABC=90°. 12.(1)证明：根据折叠，∠DBC=∠DBE, 又：AF、BE分别是∠BAD、∠ABC的平分线， 又AD∥BC,∴.∠DBC=∠ADB, ∠DBE=∠ADB,DF=BF, :∠1=号∠DAB=45,∠3=2∠ABC=45S ∴.△BDF是等腰三角形；(2)①略 (2FG=9 ∴./1+∠3=90°， ∴./AEB=90°，.∠HIEF=90° 18.3 正方形 同理可证，∠F=∠H=90°， ∴四边形EFGH是矩形. 第1课时正方形的性质 又：∠1=∠3=45°，.AE=BE 知识梳理 又，∠2=∠4，AD=BC, 1.(1)直角 (2)邻边 ∴.Rt△AFD≌Rt△BHC,.∴.AF=BH. 2.(1)平行相等(2)直角 又AE=BE,.EF=EH (3)垂直平分相等一组对角 .矩形EFGH是正方形. (4)轴对称中心对称图形4对角线的交点 【变式训练1】提示：(1)当AD平分∠BAC时， 典例精析 四边形AEDF是菱形.证明略： 【例1】(1)证明：在正方形ABCD中， (2)当/A=90时，四边形AEDF是正方形 BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF, 【例2】设正方形ABCD的边长为1， .△CBE≌△CDF(SAS). 则DM=CN=BP=AQ=1, ∴.CE=CF ∴.DN=CP=BQ=AM=2. (2)解：GE=BE+GD成立 又，∠MDN=∠NCP=∠PBQ=∠QAM=90 理由是：由(I)得：△CBE≌△CDF, ∴.△NMD≌△MQA≌△QPB≌△PNC, ∴∠BCE=∠DCF, ∴.MN=NP=PQ=QM. ∴.∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD, .四边形MNPQ是菱形，△QAM≌△MDN, 即∠ECF=∠BCD=90°， .∠AMQ=∠MND, 又∠GCE=45°，∴.∠GCF=∠GCE=45°. 又，∠MND+∠DMN=90, CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC, ∴.∠QMN=∠AMQ+∠NMD 182