第37期 17.1 平行四边形的性质 17.2 平行四边形的判定-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 (上接第3版) 报纸发行质量反馈电话 附加题⊙ 关注 0351-5271248 (上接4版参考答案) (以下试题供各地根据实际情况选用) 1.(8分)如图1，在平行四边形ABCD中， 平行四边形的折叠问题 22.(1)把P(4,t) 将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长 ⊙四川郭晋川 线上的点E处.若∠ACB=30°，AB=4,求 代入y= 三角形中位线定理在一个题设下，有两个 4x+6,得t= △ADE的周长. 结论：一 个是线段之间的位置关系，另一个是线 DE =BF =AB =3,FE =BD =BC =4. 9.所以P(4,9).把 段之间的数量关系.这个定理在证明、计算、作所以四边形BDEF的周张是：2(DE+FE)=14.故 图中都有广泛的应用，是三角形的重要性质之选B. A(16,0),P(4,9)代入 一.当三角形中有中点时，往往借助三角形中位 三、求面积 y=kx+b,得 线定理来解决相关问题， 例3如图3，在△ABC中， 一、求角度 AB=AC,M,N分别是AB,AC的中 r16x+b=0, 解得 例1如图1，在Rt△ABC 点，D,E为BC边上的点，连接ND, L4k+b=9. 中，∠A=30°，点D,E分别是直 ME.AB =13 cm,BC =10 cm, k=一 角边AC,BC的中点，连接DE, DE=5cm,则图中阴影部分的面 B 4'所以直线 2.(12分)如图2，已知AC=AE,BC=则∠CED的度数是(） 图1 积为 ( 图3 b=12. BE,∠AEB=∠CAD,CD⊥CE, A.70° B.60° C.30° D.20° A.25 cm2 B.35 cm2 (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； C.30 cm2 D.42 cm2 的函数表达式为y= 解：在Rt△ABC中，∠A=30°，所以∠B= (2)若AD=CD=3,AC=4,求CF的长. 解：如图3，连接MN,过点A作AG⊥BC于 90°-∠A=60°.因为D,E分别是AC,BC的中 4t+12. 3 点G,设ME与ND相交于点O.因为BC= 点，所以DE∥AB.所以∠CED=∠B=60°.故 10cm,M,N分别是AB,AC的中点，所以MN= 选B. (2)①令y=0,则 D 1 二、求周长 2BC=5cm因为AB=AC,AG⊥BC,所以BG y= 例2如图2，在△ABC 子x+6=0解得× 中，D,E,F分别是BC,AC,AB =2BC=5cm由勾股定理，得AG =-8.所以C(-8,0) 的中点.若AB=6,BC=8,则 √AB2-BG=12cm.所以图中阴影部分的面 因为点Q的横坐标为 四边形BDEF的周长是() 数理报社试题研究中心 A.28B.14 C.10 D.7 积为：Sa4w+Sa0w+Saoe=2×5×12三 m,所以M(m,- 4m+ (参考答案见39期) 解：因为D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，所30(cm2).故选C. 十“十“十十“十“十十“十 十“十十十“十十“十“十 十十十十十“十十十十 3 第36期1,2版参考答案 得m=1.所以A(1,2).把A(1,2)代入y=车，得k= 解3-21-=，得=之解 12),N(m,4m+6).所 -1= 一、 题号123456789101112 4 以MW=I- 答案D A D C A C C DD C BB 2.所以反比例函数的表达式为y=2 与得x=分检验当=时，(2+)2x-1）= 子m+12 二、13.-1；14.<；15.a<22且a≠-2； y =x+1, 0.所以原分式方程无解所以一元一次方程3-2(1-x) (2)解 (子m+6)1=1-子m 16.-6. x2得E=-2以B(-2,-1) y=-1. 三、7.()-4(2)=号 4红与分式方号计-1=不是相似方程 +61. 观察图象，得关于x的不等式x+1>上的解集是-2< (2)由题意，得两个方程有相同的整数解，所以mx ②当点N是MQ的 18原式=二因为x≠2且x≠3，所以x=4 +6=x+4m.化简，得(m-1)x=4m-6.当m-1= x<0或x>1. 中点时，则MQ=2WQ. 当x=4时，原式=2 (3)记)=x+1交y轴于点C,则c(0,1).所以0C0时，方程无解；当m-1≠0，即m≠1时，==6， m-1 19.每件商品的销售价格应定为22元 =1.所以5a0e=5ac+Sa=20C,(,-）=即x=4-m2因为，y均为整数，所以m-1=1或 所以-子m+12= 20.(1)点P的坐标为(0,7). (2)点P的坐标为(-6，-2) 多因为△40B的面积是△40P面积的一半，所以2或-1或-2.又因为m为正整数，所以m=2或3 2(子m+6).解得m= 21.(1)设村民每天采摘茶叶x吨，则志愿者服务队 每天采摘茶叶1.5x吨 21.(1)把y=2代入y=-7x,得x=-4.所以 0. Sa=3.所以7|0P·=3,即7|0PI×2=3. 根据题意，得子+4去=K解骑=08 解得10P1=3.所以点P的坐标为(-3,0)或(3,0). A(-4,2).把4(-4,2)代入y=合，得6=-8所以反 当点M是NQ的中 经检验，x=0.8是原分式方程的解，且符合题意 第36期3,4版参考答案 比例函数的表达式为y=- 点时，则NQ=2MQ.所 答：村民每天采摘茶叶0.8吨 题号123456789101112 x (2)原计划村民完成采摘需要的天数为：：=30， 答案BACBDADDACBC (2)由题意，得8(4，-2).根据图象，得-宁> 以m+6=2(-子 2 二、13.3；14.2；15.1：5；16.-9. 的解集为x<-4或0<x<4. +12).解得m=8. 所需劳务费为：2000×30=60000（元）. 三、17.(1) (2)无解 (3)设平移后的直线l2与x轴交于点D,连结AD,BD, 志愿者服务队工作的天数为：0.8+0.8×1.5 24-4 -y 图略.因为CD∥AB,所以S△ABm=S△On+San=Sac= 不存在点Q是MW 18.这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元. 30,即)0D·(-y)=30.解得0D=15.所以D(15,0). 中点的情况 10,村民工作了15天，所以实际花费为：2000×15+500 ×10=35000(元). 19.(①)该反比例函数的表达式为P=10(s>0.设平移后的直线4的函数表达式为y=- S 2x+a把D(15 综上所述，m的值 60000-35000=25000(元). (2)选用的木板面积至少要0.125m2. 0)代人，得0=-弓×15+么解得6=克阴以平移后的 是0或8. 答：志愿者服务队加人后可帮助合作社节省 20.(1)一元一次方程3-2(1-x)=4x与分式方 25000元. (全文完) 经斗-1=不是相做方程理由如下： 4 直线的数表达式为)=一分+艺 22.(1)将A(m,2)代入y=x+1,得m+1=2.解 (参考答案见1,4版中缝) 数理格 2026年3月11日·星期三 初中数学 第 37期总第1181期 华东师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-206 品味方法 故选A. ★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 方法三、一组对边平行且相等的四边形是 P行四边形的判定来“ 平行四边形 例3如图4，在四边形 ABCD中，AC与BD交于点 39之 ◎湖南谢莹 O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足 方法一、两组对边分别平行的四边形是平 直线即为所求； 分别为点E,F,且BE=DF, 行四边形 乙：在直线l上取A,B两点（点B在，点A的右 ∠ABD=∠BDC.求证：四边形ABCD是平行四 例1如图1，在口ABCD 侧)，分别以点P为圆心，AB长为半径；再以点B 边形 中，AB=8,点E是AB上 为圆心，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q(,点 证明：因为∠ABD=∠BDC,所以AB∥ 点，AE=3,连结DE,过点C作 Q和，点A在直线PB的两侧)，PQ所在的直线即CD.所以∠BAE=∠DCR.因为BE⊥AC,DFL CF∥DE,交AB的延长线于 为所求. AC,所以∠AEB=∠CFD=90°.在△ABE和 点F,则BF的长为 对于以上两个方案，判断正确的是(） △CDF中，因为LBAE=∠DCF,∠AEB= A.5 B.4 C.3 D.2 A.甲、乙均正确 B.甲错误、乙正确 ∠CFD,BE= DF,所以△ABE≌ 解：因为四边形ABCD是平行四边形，AB= C.甲正确、乙错误 D.甲、乙均错误 △CDF(AAS).所以AB=CD.所以四边形 8,所以DC=AB=8,AB∥CD.因为AE=3,所 解：甲所画如图3-①所示，PA=PB,所以 ABCD是平行四边形. 以BE=AB-AE=5.因为CF∥DE,所以四边 ∠PAB=∠PBA.因为PQ平分∠CPB,所以 方法四、对角线互相平分的四边形是平行 形DEFC是平行四边形.所以EF=DC=8.所LCPQ=∠BPQ.所以∠CPB=∠PAB+ 四边形 以BF=EF-BE=3. ∠PBA=∠CPQ+∠BPQ.所以∠PBA= 例4如图5，已知在四 故选C. ∠BPQ.所以PQ∥直线L. 边形ABCD中，AD∥BC,点 方法二、两组对边分别相等的四边形是平 所以甲正确 E为CD边的中点，连结BE 行四边形 并延长，与AD的延长线交于 例2如图2，对于几何 P 点F,连结CF,BD.求证：四 作图“过直线1外一点P作这 边形DBCF为平行四边形 条直线的平行线”，甲、乙两 证明：因为AD∥BC,所以∠CBE= 位同学均设计出自己的尺规 图2 3 ∠DFE,∠BCE=∠FDE.因为E是CD的中点， 作图方案： 乙所画如图3-②所示，PA=BQ,PQ= 所以CE=DE.在△BEC和△FED中，因为 甲：在直线1上取点A,以点P为圆心，PA长 AB,所以四边形ABOP是平行四边形.所以PO∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE,CE=DE, 为半径画弧，交直线1于点B,然后延长AP作射 ∥直线： 所以△BEC≌△FED(AAS).所以BE=FE.所 线AC,最后作∠CPB的平分线PQ,PQ所在的 所以乙正确 以四边形DBCF为平行四边形 名师点睛： 舍周生研 平行四边形牵手角平分线 17.1平行四边形的性质 17.2平行四边形的判定 学习目标：1.理解并掌握平行四边形的 ⊙贵州范凯 平行四边形具有丰富的性质，与平行四边 二、已知平行四边形一组邻角的平分线 概念和性质 形相关的考题也多种多样，其中与角平分线有 例2如图2，在口ABCD 2.理解并掌握判定平行四边形的方法 关的问题是近几年模拟命题的热点。下面选取中，∠ABC的平分线交AD于点 3.掌握三角形中位线定理的应用 几例加以说明，供同学们参考。 E,∠BCD的平分线交AD于点 认知重点：掌握平行四边形的判定定 一、已知平行四边形一个角的平分线 F若AB=3,AD=4,则EF的AF 图2 理与性质定理的综合应用」 例1如图1，在 长是 口ABCD中，∠ABC的平分 分析：根据平行四边形的性质和角平分线 线交AD于点E,且∠BEA 的性质得到DF=DC,AE=AB,进而可得解. =30°，则∠A的大小为 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD ∥CB,AB=DC=3.所以∠CBE=∠AEB,∠BCF 分析：根据平行四边形的性质证得△ABE =∠CFD.因为BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,所 ≌△CDF,可得BE=DF,进而可得结论 A.150°B.130°C.120°D.100° 以∠ABE=∠CBE,∠DCF=∠BCF.所以∠ABE 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 分析：由平行四边形的性质和平行线的性质 得出∠AEB=∠CBE,由角平分线的定义得出 =∠AEB,∠DFC=∠DCF所以AE=AB=3,DF ∠B=∠D,AD=BC,AB=CD,∠BAD= =DC=3.因为AD=4,所以AF=AD-DF=1. ∠ABE的度数，再由三角形内角和定理即可得解 ∠BCD.因为AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,所 所以EF=AE-AF=2. 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 故填2. 以∠EAB=∠BAD,∠FCD=∠BCD所以 AD∥BC.因为∠BEA=30°，所以∠CBE= 三、已知平行四边形一组对角的平分线 LBEA=30°.因为BE平分∠ABC,所以∠ABE ∠EAB=∠FCD.在△ABE和△CDF中，因为 例3如图3，点E,F分 =∠CBE=30°.所以∠A=180°-∠ABE-别在口ABCD的BC,AD边 ∠B=∠D,AB=CD,∠EAB=∠FCD,所以 ∠BEA=120° 上.若AE平分∠BAD,CF平 △ABE≌△CDF(ASA).所以BE=DF.所以AD 故选C. 分∠BCD,求证：AF=CE. -DF=BC-BE,即AF=CE: 素养专练 数理极 17.2平行四边形的判定 7.如图4，CD是△ABC的中线，E是CD上的 跟踪训练 17.2.1平行四边形的判定 .! 点，连结AE并延长至点F,使得EF=AE,连结 BF,CF.若CF∥AB,求证：四边形DBFC是平行 GEnzoNGXUNLIAN 垦础训练 四边形 17.1平行四边形的性质 1.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平 行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相 一垦恐训练 等就可以了，依据是：两条铁轨和夹在铁轨之间的 1.已知平行四边形ABCD有三边长为5,8,8， 两根枕木构成一个平行四边形，即可得到两条铁 则第四边长为 ( 轨平行.判定铁轨和枕木构成平行四边形的依据 A.5 B.7 是 ( ! C.2 D.10 A.平行线之间的距离处处相等 2.在口ABCD中，∠B=50°，则∠D的度数是 B. 组对边平行且相等的四边形是平行四 边形 A.65 B.55° C.两组对边分别相等的四边形是平行四边 C.50 D.40° 形 3.如图1，若口ABC0的顶点0，A,C的坐标分 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边 别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则点B的坐标是 形 ( 2.如图1是由4个全等的正三角形拼成的，则 A.(3,7) B.(5,3) 图中平行四边形有 17.2.2三角形的中位线 C.(7,3) D.(8,2) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 屋础训练 1.如图1，CD是△ABC的中线，E,F分别是 AC,DC的中点，EF=1,则BD的长为（) H A.1 B.2 C.3 图1 D.4 图1 图2 4.如图2，在口ABCD中，对角线AC,BD相交 3.如图2，在口ABCD中，点E,F分别在CD, 于点O,线段EF经过点O,AH⊥BC于点H.若AH BC的延长线上，AE∥BD,EF⊥BF,CF=万，EF =2,BC=3,则图中阴影部分的面积是 =3,则AB的长是 ( B.1 5.如图3，在口ABCD中，∠BCD=120°，分别 c D.2 图1 I 图2 以BC和CD为边作等边△BCE和等边△CDF,连 4.在四边形ABCD中，∠A=∠C=60°，∠B i 2.如图2，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC 结AE,AF.求证：AE=AF =∠D=120°，则四边形ABCD 平行四的中点.若∠B=40°，则∠BDE的度数是 边形（填“是”或“不是”） 5.已知四边形ABCD的四条边顺次为a,b,c, A.50° B.40°C.150°D.140° d,且a2+b2+c2+=2ac+2bd.求证：四边形 3.如图3，在△ABC中，AB=BC=10,BD平 ABCD是平行四边形 分∠ABC交AC于点D,点F在BC上，且BF=4, 连结AF,点E是AF的中点，连结DE,则DE的长 是 () B.2 C.3 D.4 图4 4.如图4，在四边形ABCD中，∠ADC=140° E,F分别是AB,AD的中点，且∠AFE=50°.若 BC=10,CD=6,则EF= 6.如图4，在口ABCD中，AC,BD交于点0，过 6.如图3，在四边形ABCD中，AC与BD相交 5.如图5，在四边形ABCD中，点P是对角线 点O作OE⊥BD交BC于点E,连结DE.若∠CDE 于点O,且AO=CO,点E在BD上，满足∠EA0= BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点.若AD= =∠CBD=15°，求∠ABC的度数. ∠DCO.求证：四边形AECD是平行四边形 BC,∠PEF=18°，求∠PFE的度数 数理报社试题研究中心 + (参考答案见39期) 数理极 素养测评 5 14.(12分)如图13，在口ABCD中，E为BC边 同步检 上一点，且AB=AE.求证：△ABC≌△EAD, TONGBUJIANCE 【检测范围：17.1~17.2】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 8.如图7，四边形ABCD中，AD∥BC,BC=3, 图13 题号 1 2 345 67 8 AB=5,AD=6.若点M是线段BD的中点，则CM 的长是 ) 答案 A.2 B.2 1.如图1，直线a∥b,则直线a,b之间的距离 是 C.S D.3 A.线段AB B.线段AB的长度 C.线段CD D.线段CD的长度 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 9.如图6，A,B两点被一座山隔开，M,V分别 是AC,BC的中点，测量MN的长度为30m,那么AB 的长度为 m. 图1 2.如图2，点D,E,F分别为△ABC三边的中 15.(14分)如图14，已知BD是△ABC的角平 点，若△DEF的周长为5，则△ABC的周长为 分线，点E,F分别在边AB,BC上，且BE=CF,ED 网8 ( 10.如图9，四边形ABCD的对角线相交于点∥BC. A.12 B.10 O,∠ABD=∠CDB,请添加一个条件 ,使 (1)求证：四边形EFCD是平行四边形： C.5 D.2.5 四边形ABCD是平行四边形（只填一种情况即 (2)若∠ABC=60°，∠ADB=100°，求 3.如图3，E为□ABCD外一 可) ∠AEF的度数. 点，且EB⊥BC,ED⊥CD.若∠E 11.如图10，在口ABCD中，∠ABC的平分线 =65°，则∠A的度数为() BE与AD交于点E,F为CD的中点，且EF平分 A.65° B.1009 ∠BED.若AB=4,DE=1,则BE= C.115° D.135° 1小 4.已知四边形ABCD中∠A, 图3 B ∠B,∠C,∠D的度数之比，能判定四边形ABCD是 D 平行四边形的是 ( ) A.1:2:3:4 B.1:2:2:1 0 图10 图11 C.2:2:3:4 D.2:3:2:3 12.如图11，直线1与x轴、y轴分别交于点 5.如图4，口ABCD纸片中，∠A=120°，AB= A(3,0),B(0,6),已知C(-1,4),D(-3,4).若点 4,BC=5,剪掉两个角后，得到图形AEFCGH.已知 ∠EFC=∠AHG=120°，且EF=1,HG=2,则这 :P是直线l上的动点，点Q是y轴上的动点，要使以 个图形的周长为 P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形，且线段 A.12 B.15 C.16 CD为平行四边形的一边，则满足条件的点P的坐 D.18 标为 16.(16分)如图15，平行四边形ABCD中，点 三、耐心解一解（共52分） E是AB边上一点，CE=AB,DF⊥BC,交CE于点 13.(10分)如图12，在△ABC中，点D,E分别 G,连结DE,EF 是AB,AC的中点，连结DE,∠ACB的平分线交DE 图4 于点F,若AC=10,BC=16,求DF的长 (I)求证：∠AED=90-2∠DCE: 6.某街区街道如图5所示，其中CE垂直平分 (2)若点E是AB边的中点，AD=4,BF=2, AF,BD∥CF,BC∥DF.从B站到E站有两条公交 DF=6,求LDEF的度数. 线路；线路1是B→D→A→E,线路2是B→C→ F→E,则两条线路的长度关系为 ( 图12 A.线路1较短 B.线路2较短 C.两条线路长度相等 D.两条线路长度无法确定 7.如图6，在平行四边形ABCD中，对角线AC BD相交于O,过点O作OE1AC交AD于点E.若 AE=2,DE=1,AB=5,则AC2的值为( A.8 C.32 D.18 图6 (下转第4版)初中数学·华东师大八年级第36~39期 数理极 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大八年级 第36~39期(2026年3月) 第36期1,2版 得关于x的不等式x+1>冬的解集是-2<x<0或x>1 题号123456789101112 (3)记y=x+1交y轴于点C,则C(0,1).所以0C=1. 答案DA D C A CC DD C BB 二、13.-1；14.<；15.a<22且a≠-2； 所以Se=Sac+S6x=20C·(x,-g)=子因为 16.-6. △AOB的面积是△AOP面积的一半，所以Saor=3.所以 三、17.(1)-4. (2)x=3 子10p1=3,即宁10P1x2=3解得10P1=3所以 18原式=子3因为x少2且x3,所以：=4当x= 点P的坐标为(-3,0)或(3,0) 第36期3,4版 4时，原式=2. 题号123456789101112 19.设y与x的函数表达式为y=kx+b.将(20,360)，(30， 20k+b=360 解得=-30， 答案BA C B DA DD A C B C 60)代人，得 30k+b=60. (b=960. 所以y与x的函 二、13.3； 14.2:15.1:5;16.-9. 数表达式为y=-30x+960(0<x≤32).根据题意，得-30x 三①3 (2)无解 +960=300.解得x=22. 18.设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元 答：每件商品的销售价格应定为22元. 20.(1)根据题意，得2m-4=0.解得m=2.所以3m+1 根据题意，得200.20 x=x+0.6×4.解得x=02. =7.所以点P的坐标为(0,7) 经检验，x=0.2是原分式方程的解，且符合题意 (2)根据题意，得3m+1=-2.解得m=-1.所以2m-4 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元 =-6.所以点P的坐标为(-6，-2). 19.(1)由图象，得该反比例函数过点(2,500)，在第一象 21.(1)设村民每天采摘茶叶x吨，则志愿者服务队每天采 限，所以k=2×500=1000.所以该反比例函数的表达式为p 摘茶叶1.5x吨. =1000(s>0). 根据题意得子+4 24-4 =15.解得x=0.8. S 经检验，x=0.8是原分式方程的解，且符合题意. (2)当p=800Pa时，800=190解得S=0.125.由 答：村民每天采摘茶叶0.8吨 图象可知，p随S的增大而减小.所以当p≤8000Pa时，S≥ 24 (2)原计划村民完成采摘需要的天数为：08=30，所需劳 0.125m2. 答：选用的木板面积至少要0.125m2. 务费为：2000×30=60000（元）. 24-4 志愿者服务队工作的天数为0,8+0.8X15=10,村民 20()一元-次方程3-2(1-)=4：与分式方号出 4 工作了15天，所以实际花费为：2000×15+500×10= -1=4一1不是“相似方程，理由如下： 35000(元). 解3-21-)=得x=分解经1“ 4 60000-35000=25000(元). 答：志愿者服务队加人后可帮助合作社节省25000元. 22.(1)将A(m,2)代入y=x+1,得m+1=2.解得m= 得x=子检验：当x=时，(2x+1)(2x-)=0.所以原 1.所以A(1,2).把A(1,2)代入y=,得k=2.所以反比例 分式方程无解.所以一元一次方程3-2(1-x)=4x与分式方 号：号1=4不是相似方程 4 函数的表达式为y=2 (2)由题意，得两个方程有相同的整数解，所以mx+6=x y=x+1, (2)解2“得任-2所以以-2，-1).观察图象， +4m.化简，得(m-1)x=4m-6.当m-1=0时，方程无解； y= x,y=-1. 当m-1≠0，即m≠1时=细单即=4乙因为 初中数学·华东师大八年级第36~39期 x,y均为整数，所以m-1=1或2或-1或-2.又因为m为正因为∠CDE=15°，所以∠BDC=∠BDE+∠CDE=30°.所以 整数，所以m=2或3. ∠ABD=∠BDC=30°.所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=45°. 21.(1)把y=2代人y=-2x,得x=-4所以A(-4, 17.2平行四边形的判定 17.2.1平行四边形的判定 2).把A(-4,2)代人y=左，得k=-8所以反比例函数的表 基础训练1.B;2.A;3.D;4.是 5.因为a2+b2+2+=2ac+2bd,所以(a-c)2+(b- 达式为y=是 d)2=0.所以a=c,b=d.所以四边形ABCD是平行四边形. 6.由对顶角相等，得∠AOE=∠COD.在△AOE和△COD (2)由题意，得B(4,-2).根据图象，得-子>上的解 中，因为∠EA0=∠DC0,A0=C0,∠AOE=∠COD,所以 集为x<-4或0<x<4. △AOE≌△COD(ASA).所以OE=OD.所以四边形AECD是平 (3)设平移后的直线2与x轴交于点D,连结AD,BD,图 行四边形 略.因为CD∥AB,所以S△ABD=S△AoD+S△mD=S△ABc=30, 7.因为CF∥AB,所以∠DAE=∠CFE,∠ADE=∠FCE. 即70D·(y-ya)=30.解得0D=15.所以D(15,0).设平 在△ADE和△CFE中，因为∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE, AE=FE,所以△ADE兰≌△CFE(AAS).所以AD=FC.因为CD 1 移后的直线b的函数表达式为y=-2x+6把D(15,0)代 是△ABC的中线，所以AD=BD.所以BD=FC.所以四边形 DBFC是平行四边形. 入，得0=-子×15+6解得6=5所以平移后的直线6的 17.2.2三角形的中位线 基础训练1.B;2.D:3.C;4.4. 西数表达式为)=子+停 5.因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中点，所 22()把P(4,)代入y=子+6，得1=9所以P(4, 以PE=宁D,P=BC因为AD=BC,所以PE=PR所以 9)把A(16,0),P(4,9)代人y=x+6,得16r+6=0,解得 ∠PFE=∠PEF=18°. l4k+b=9. 第37期3版 [=-子所以直线，的函数表达式为y=- 题号12345678 4x+12. 答案DBC DB CA C lb=12. 3 二、9.60；10.答案不惟一，如AB=CD;11.6; (2)①令y=0,则y=主x+6=0解得x=-8.所以 12.(2,2)或(-2,10) 三、13.因为点D,E分别是AB,AC的中点，所以DE是△ABC 8,0因为点Q的横坐标为m,所以M(m,子m+12》 的中位线，AE=EC=5.所以DE=子8C=8,DE∥BC,所以 (m,子m+6).所以MN=1-子 m+12-(3 m+61=1-3n ∠EFC=∠FCB.因为CF是∠ACB的平分线，所以∠ECF= +61. ∠FCB.所以∠EFC=∠ECF.所以EF=EC=5.所以DF=DE ②当点N是MQ的中点时，期M0=2Q.所以-子m+12 -EF=3. 14.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AD= =2(子m+6).解得m=0, BC.所以∠AEB=∠DAE.因为AB=AE,所以∠B=∠AEB.所 以∠B=∠DAE.在△ABC和△EAD中，因为AB=EA,∠B= 当点M是Q的中点时，则0=2M0.所以子m+6= ∠DAE,BC=AD,所以△ABC≌△EAD(SAS). 3 15.(I)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD= 2(-子m+12).解得m=8. ∠EBD.因为ED∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以∠EBD= 不存在点Q是MN中点的情况 ∠EDB.所以BE=ED.因为BE=CF,所以ED=CF.又因为ED 综上所述，m的值是0或8. ∥FC,所以四边形EFCD是平行四边形. 第37期2版 (2)因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60°，所以 17.1平行四边形的性质 ∠ABD=分∠ABC=30因为∠ADB=10°，所以∠A=180° 基础训练1.A;2.C;3.C;4.1.5. -∠ABD-∠ADB=50°.因为四边形EFCD是平行四边形，所以 5.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,BC= EF∥AC.所以∠AEF=180°-∠A=130°. AD,∠ABC=∠ADC.因为△BCE和△CDF都是等边三角形，所 16.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,AB 以CD=DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF=6O°.所以AB=DF, ∥CD.因为CE=AB,所以CE=CD.所以∠CDE=∠CED= BE=AD,∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF,即∠ABE= ∠FDA.所以△ABE≌△FDA(SAS).所以AE=AF. (180P-∠DCE)=0°-分∠DCE所以LAED=LCDE= 6.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB=OD,AB∥ CD.因为OE⊥BD,所以BE=ED所以∠BDE=∠CBD=15. 0-DCE. 一2 初中数学·华东师大八年级第36~39期 (2)延长DA,FE交于点M,图略.因为四边形ABCD是平行称的性质，得∠BDC=∠P,∠PBC=∠DBC,PC=DC.所以 四边形，所以AD∥BC.所以∠M=∠EFB.因为E是AB的中 点，所以AE=BE.由对顶角相等，得∠AEM=∠BEF.在△AEM ∠CDE=180P-∠B0C=180°-∠P=0P-7∠L因为 和△BEF中，因为∠M=∠EFB,∠AEM=∠BEF,AE=BE,所 ∠PBC=2∠PCB=∠ACB,所以∠DBC=∠ACB.所以AC∥ 以△AEM≌△BEF(AAS).所以ME=EF,AM=BF.所以DM BE.因为BE=AC,所以四边形ABEC是平行四边形.所以∠E= =AD+AM=6=DF.所以∠DEF=90°. ∠A,AB=CE.因为AB=PC,所以DC=CE.所以∠CDE= 附加题1.因为四边形ABCD是平行四边形，AB=4,所以 ∠E,即90-子∠E=∠E解得∠E=60e CD=AB=4,AD∥BC.因为∠ACB=30°，所以∠DAC= ∠ACB=30°.根据折叠的性质，得AE=AD,CD=CE,∠ACD= 22.(1)因为AD⊥CM,BE⊥CM,所以AD∥BE,∠ADM= 90°.所以∠D=90°-∠DAC=60°.所以△ADE是等边三角形. ∠BEM=90°.因为点M是AB的中点，所以AM=BM.在△ADM 所以AD=AE=DE=2CD=8.所以△ADE的周长为：8×3= 和△BEM中，因为∠ADM=∠BEM,∠AMD=∠BME,AM=BM, 24. 所以△ADM≌△BEM(AAS).所以AD=BE.所以四边形ADBE 2.(1)因为AC=AE,BC=BE,所以AB⊥CE,∠AEC= 是平行四边形. ∠ACE,∠BEC=∠BCE.所以∠AEC+∠BEC=∠ACE+ (2)延长DO交BE于点F,图略.因为AD⊥CM,BE⊥CM, ∠BCE,即∠AEB=∠ACB.因为∠AEB=∠CAD,所以∠ACB 所以AD∥BE,∠BEM=90°.所以∠DAO=∠FBO,∠ODE+ =∠CAD.所以BC∥AD.因为CD⊥CE,所以AB∥CD.所以四 ∠OFE=∠DE0+∠FE0=90°.因为点O在DE的垂直平分 边形ABCD是平行四边形. 线上，所以DO=EO.所以∠ODE=∠DEO.所以∠OFE= (2)过点A作AG⊥CD于点G,图略.所以AG∥CF.又因为 ∠FEO.所以FO=EO.所以DO=FO.在△ADO和△BFO中， AB∥CD,AB⊥CE,所以CF=AG.根据勾股定理，得AC2-CG 因为∠DA0=∠FBO,∠AOD=∠BOF,D0=FO,所以 △AD0≌△BFO(AAS).所以AO=BO. =AD-DG,即4-(3-DG)2=3-DG.解得DG=3所 第39期2版 以CF=AG=√AD-DG=8@ 18.1矩形 31 18.1.1矩形的性质 第38期综合测评卷 基础训练1.D;2.D；3.110. 题号12345678910112 4.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,∠B= 答案B C B D CA DD BA C B 90°.所以∠DAE=∠AEB.因为DF⊥AE,所以∠AFD=90°= ∠B.又DA=AE,所以△DFA≌△ABE.所以DF=AB. =13.52;1420:15.41:16号或4， (2)因为AB=4,所以DF=4.因为四边形ABCD是矩形， 三、17.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C= 所以∠ADC=90°.因为∠FDC=30°，所以∠ADF=∠ADC- 70°，AD∥BC.因为AB=BE,所以∠BEA=∠A=70°.所以 ∠FDC=60°.所以∠DAF=90°-∠ADF=30°.所以AD= ∠EBC=∠BEA=70. 2DF=8. 18.因为AE⊥AD,CF⊥BC,所以∠E.AD=∠FCB=90°. 能力提高5.√48. 因为AD∥BC,所以∠ADE=∠CBF.在△AED和△CFB中，因 6.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.所以 为∠ADE=∠CBF,∠EAD=∠FCB,AE=CF,所以△AED≌ ∠BAC=∠FCO.由对顶角相等，得∠AOE=∠COF.又AE= △CFB(AAS).所以AD=CB.所以四边形ABCD是平行四边形. CF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF. 19.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C,AB= (2)连结OB,图略.因为△AOE≌△COF,所以OA=OC, CD,AD=BC.又因为∠ADE=∠CBF,所以△ADE≌ 即O为矩形ABCD对角线的交点.所以OA=OB.所以∠BAC △CBF(ASA).所以AE=CF.所以AB-AE=CD-CF,即BE= =∠ABO.因为BE=BF,OE=OF,所以BO⊥EF.在Rt△BEO DF. 中，∠BEF+∠ABO=90°.因为∠BEF=2∠BAC,所以 20.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC=AD, 2∠BAC+∠BAC=90°.所以∠BAC=30°.因为四边形ABCD ∠A=∠C.因为BC=FC,所以AD=FC.在△ABD和△CEF 是矩形，所以∠ABC=90°.因为BC=2,所以AC=2BC=4. 中，因为AD=FC,∠A=∠C,AB=CE,所以△ABD≌ 根据勾股定理，得AB=√AC-BC=√2. △CEF(SAS) 18.1.2矩形的判定 (2)四边形ABDF是平行四边形.理由如下： 18.1.2.1矩形的判定 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,AB∥CD. 基础训练1.D;2.B; 因为FC=2AB,所以FC=2CD.所以FD=CD=AB.所以四边 3.答案不惟一，如DE=FG:4.13. 形ABDF是平行四边形. 5.因为BE∥DF,所以∠DFC=∠AEB. 21.因为BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,所以∠PBC= 所以180°-∠DFC=180°-∠AEB,即∠DFA=∠BEC. 2∠ABC,LPCB=7∠ACB所以∠P=180°-∠PBC- 又DF=BE,AF=CE,所以△AFD≌△CEB. ∠PCB=180P-（LABC+∠ACB)=90°+？∠A根据轴对 所以∠DAC=∠BCA,AD=CB. 所以AD∥BC. 一3 初中数学·华东师大八年级第36~39期 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以AD⊥BC,∠CAD=之∠BAC 又∠BAD=90°，所以四边形ABCD是矩形 能力提高6.4. 所以∠ADC=90°. 7.(1)因为AD∥BC,以∠D+∠C=180°.因为∠A= 因为AN为△ABC外角∠CAM的平分线， ∠D=90°，所以∠C=∠A=∠D=90°.所以四边形ABCD为 所以∠CN=宁∠CMM 矩形 所以∠DAE=∠CAD+∠CAN=90. (2)根据折叠的性质，得∠BGE=∠A=90°，BG=AB= 因为CE⊥AW, 6,AE=GE.所以∠EGF=180°-∠BGE=90°.因为E是AD 所以∠AEC=90°， 的中点，所以AE=DE.所以DE=GE.又EF=EF,所以 所以四边形ADCE为矩形， Rt△DEF≌Rt△GEF(HL).所以DF=GF.所以BF=BG+GF =6+DF.因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=6.在 (2)四边形ABDE是平行四边形.证明如下： Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC2+CF2=BF2,即82+(6- 由(1)知，四边形ADCE为矩形 所以AE=CD,AC=DE DF2=(6+DF解得DF=号 又AB=AC,BD=CD, 18.1.2.2直角三角形斜边上的中线 所以AB=DE,AE=BD 基础训练1.D;2.C:3.C:4.3 所以四边形ABDE是平行四边形. 5.连结CE,图略. (3)DF∥AB,0F=7AB (I)因为CD=CB,E为BD的中点，所以CE⊥BD. 附加题1.(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠AEC=90°. 所以AE∥BC. 因为F为AC的中点，所以EF=AC=1. 又CE∥BD, 所以四边形BCED是平行四边形. (2)因为∠BAC=45°，所以∠ACE=90°-∠BAC=45°. 所以CE=BD. 所以AE=CE.因为F为AC的中点，所以EF垂直平分AC.所以 又CE=AC, AM=CM.所以BC=CD=CM+DM=AM+DM. 所以AC=BD. 第39期3版 所以四边形ABCD是矩形， 题号 1 2 34567 8 (2)因为四边形ABCD是矩形， 答案ACD CC DCB 所以∠BAD=90°，BC=AD=3. 根据勾股定理，得BD=√AB+AD=5, 二9.35：1045：1.6；12.7 所以四边形BCED的周长为：2(BC+BD)=16. 三、13.因为四边形ABCD是平行四边形， 2.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠ADC= 所以BC=AD=8. ∠B=∠C=90°，AB=CD. 因为AB=6,AC=10, 由折叠的性质，得AB=PD,∠A=∠P=90°，∠B= 所以AC=AB2+BC2 ∠PDF=90° 所以∠B=90°. 所以PD=CD,∠PDF=∠ADC,∠P=∠C. 所以平行四边形ABCD是矩形. 所以∠PDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF,即∠PDE= 14.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC.所以∠F ∠CDE. =∠BCE.因为E是AB的中点，所以AE=EB.又∠AEF= 所以△PDE≌△CDF(ASA). ∠BEC,所以△AEF≌△BEC(AAS). (2)过点E作EG⊥BC于点G,图略. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°.又∠F= 所以∠EGF=∠EGB=90°. 30°，所以CF=2CD=8. 所以四边形ABGE和四边形EGCD都是矩形. 15.因为矩形ABCD兰矩形AEFG, 所以AE=BG,DE=CG,EG=CD=4. 所以AB=AE=1,∠DAB=∠FEA=90°，AD=BC=2. 在Rt△EGF中，由勾股定理，得FG=√EF2-EG=3. 所以∠ABE=∠AEB,∠ABE+∠ADB=90°，∠AEB+ 由(I)得，△PDE≌△CDF. ∠DEF=180°-∠FEA=90°. 所以PE=CF,DE=DF=CG=CF+3. 所以∠DEF=∠ADB. 由折叠的性质，得AE=PE. 所以EH=DH. 在Rt△CDF中，由勾股定理，得CD2+CF2=DFP,即CF2 在Rt△AEH中，根据勾股定理，得EH+AE2=A,即(2 +42=(CF+3)2 -AH)2+12=A 解得A1=子 解得CF=名 所以BC=2CP+3=1 16.（1)因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线， 31 4