18.2 第2课时 菱形的判定-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

第2课时 菱形的判定 知 识 梳 理 1.菱形既是 图形，又是 图形 2.菱形的判定方法： (1)有一组 相等的平行四边形是 菱形； (2)对角线 的平行四边形是 菱形； (3) 都相等的四边形是菱形； (4)每一条 平分一组对角的四 边形是菱形 典 例 精析 考点1) 邻边相等的平行四边形是菱形 【例1】如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的对角线OB,AC相交于点D,且BE∥ AC,AE∥OB, (1)求证：四边形AEBD是菱形； 12 第18章矩形、菱形与正方形 (2)如果OA=3,OC=2,求出经过点E的 反比例函数解析式. 【变式训练1】（张家界中考）如图，已知点 A,D,C,B在同一条直线上，且AD=BC,AE= BF,CE=DF. (1)求证：AE∥BF; (2)若DF=FC时，求证：四边形DECF是 菱形. 23· 措南针·八年强下册·数学(HS) 考 点2)对角线互相垂直的平行四边形是 菱形 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC, ∠DAC是△ABC的一个外角·AM平分 ∠DAC,AC的垂直平分线，与AM交于点F,与 BC边交于点E,连接AE、CF.判断四边形 AECF的形状并加以证明. D 【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，E, F分别是BC,AD边上的点，且AE=CF (1)求证：△ABE≌△CDF; 1 (2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形 吗？请说明理由. 考点3四边相等的四边形是菱形 【例3】（沈阳中考）如图，在△ABC中， AB=AC,AD是BC边上的中线，点E在DA的 延长线上，连接BE,过点C作CF∥BE交AD 的延长线于点F,连接BF,CE.求证：四边形 BECF是菱形. 规律与方法：要证明一个四边形是菱形，一 般是先证这个四边形是平行四边形，再证它是菱 形；也可以直接用四边相等来证明它是菱形， 【变式训练3】小华为班级设计一个班徽， 图中有一个菱形，为了检验小华所画的菱形是否 正确，请你以带有刻度的三角尺为工具，帮小华 设计一个检验方案： 24· 课后演练 【基础过关】 1.下列说法正确的是 ( A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C.对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四 边形是菱形 D.两条邻边相等，且有一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形 2.已知四边形的四边依次是a,b,c,d,且a2+b +c2+d形=ab+bc+cd+ad,则这个四边形是 一定是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于 点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边 形CODE的周长 () A.4 B.6 C.8 D.10 第3题图 第4题图 4.如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF 在直线1上滑动，可以添加一个条件，使四边 形CBFE为菱形，下列选项中错误的是 A.BD-AE B.CB=BF C.BE⊥CF D.BA平分∠CBF 5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交 AB于E,DF∥AB交AC于F.且AD交EF 于O,则∠AOF=度. 12 第18章矩形、菱形与正方形 第5题图 第6题图 6.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分 ∠DAB,AB=3,则平行四边形ABCD的周 长为 7.如图，在矩形ABCD中， E、F、G、H分别是四条边 的中点，HF=2,EG=4, 则四边形EFGH的面积为 8.(湘西州中考)如图，四边形ABCD是平行四 边形，BM∥DN,且分别交对角线AC于点 M,N,连接MD,BN. (1)求证：∠DMN=∠BNM; (2)若∠BAC=∠DAC.求证：四边形BMDN 是菱形 25· 指南针·八年纸下册·数学(HS》 【能力提升】 9.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC 的中线，过点C作CE⊥BD于点E,过点A作 BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF 的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.若 AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为 A.15 B.20 C.12 D.10 10.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、 AB、CA上，且DE∥CA,DF∥BA.下列四 种说法： ①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是 矩形； ③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF 是菱形； ④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形 AEDF是菱形 其中，正确的有 .(只填写序号) 第10题图 第11题图 11.已知矩形ABCD,AB=3cm,AD-4cm,过对 角线BD的中点O作BD的垂直平分线 EF,分别交AD、BC于点E、F,连接BE DF,则四边形BEDF的周长为 ·126 核心素养 12.如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线 BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交 AD于点F. (1)求证：△BDF是等腰三角形； (2)如图2，过点D作DG∥BE,交BC于点 G,连接FG交BD于点O, ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB=6,AD=8,求FG的长 图1 图2指南针·八年多 ∴.AB//DE, F为BC的中点，∴.BC=2CF=2BF, AB=DE, .'CD=2CE,BC=CD,..CE=CF, ∠B=∠EDC, 又.∠ECM=∠FCM,CM=CM, 又AB=AC, .△CEM≌△CFM,.∴.ME=MF, ∴.AC=DE,∠B=∠ACB, 四边形ABCD是菱形， ∴.∠EDC=∠ACD, .AB//CD,∴.∠2=∠G 又.DC=CD, 又：∠DFC=∠GFB,CF=BF, ∴.△ADC≌△ECD(SAS) .△DCF≌△GBF,.DF=GF, (2),四边形ABDE是平行四边形， ∠2=∠G,∠1=∠2， ∴.BD//AE,BD=AE,∴.AE//CD, ∴.∠1=∠G,∴.AM=MG, 又BD=CD,.AE=CD, .MG-GF+MF,DF=GF,ME=ME. 四边形ADCE是平行四边形， .'.AM=DFME. 已证AC=DE,.四边形ADCE是矩形. 【变式训练2】(1)：四边形ABCD是菱形，AB=2, 【变式训练3】对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形ABCD的周长=2X4=8; 课后演练 (2).四边形ABCD是菱形， 1.B2.B3.B4.235.32 AC=2,AB=2,..AC BD,AO=1, 12 6.(1)略(2)SE=457.168. .BO=WVAB2-AO=√/22-12=√3， 核心素养 ∴.BD=23. 9.(1)略 (2)t=8(s) 【例3】作高BE,·四边形ABCD是菱形， ∴.OB=OD=5,OA=OC=12,BD⊥AC 18.2 菱形 在直角三角形COD中，由勾股定理得CD=13, 第1课时 菱形的性质 :菱形的面积=号ACXBD-=DCXBE, 知识梳理 1.相等 …BE=120 131 2.(1)相等(2)相等互补 【变式训练3】5 (3)垂直平分一组对角 课后演练 (4)轴对称中心对称 1.C2.D3.D4.C5.46.127.(-5,4)8.2/2 3.底×高两对角线乘积的一半 9.(1)略(2)/AEF=60° 典例精析 【例1】(1)：△ABC与△CDE都是等边三角形， 10.C1.y3 2 .∠ACB=∠DEC=60°，.DE∥CF, 核心素养 ∠A=∠ECD=60°，.AB∥CD, 12.(1)略(2)√6 EF∥AB,∴.四边形EFCD为平行四边形， CD=DE,□EFCD为菱形 第2课时 菱形的判定 (2)连接DF交CE于O. 知识梳理 四边形EFCD为菱形 1.中心对称轴对称 2.(1)邻边(2)互相垂直(3)四条边(4)对角线 ∴.OD=OF,CO⊥DF, CD=4,.C0=2, 典例精析 【例1】(1)证明：.'BE∥AC,AE∥OB, 由勾股定理得DO=23,则DF=4W3. .四边形AEBD是平行四边形， 【变式训练1】证明：，AC平分∠BAD, 四边形OABC是矩形， ∴∠BAC=∠D4C ·AD∥BC,∴.∠BCA=∠DAC, ∴DA=号AC,DB=2OB, ∴∠BAC=∠BCA,.BA=BC, AC=OB,AB=OC=2, .AB=AD,.'.AD=BC, .DA=DB,.四边形AEBD是菱形； .四边形ABCD是平行四边形， (2)连接DE,交AB于F,如图所示： .'AB=AD, 四边形AEBD是菱形， ∴.四边形ABCD是菱形 .AB与DE互相垂直平分， 【例2】(1)：四边形ABCD是菱形 ..BC=CD,∠1=∠DCA=∠ACB 0A=3,0C=2,EF=DF=20A=2 ∠1=∠2，.∠2=∠DCA, ..DM=CM,又ME⊥CD,CE=1， AF=AB=1,3+号=号， ..CD=2CE=2,.BC=CD=2. ∴点E坐标为：（号，1）， (2)证明：如图，延长AB和DF相交于点G G 设经过点E的反比例函数解析式为：y=色 把点E号，1)代人得：=号， ÷经过点E的反比例函数解析式为：少=是 【变式训练1】略 下册·数学参考答案(HS) 【例2】证明：，AB=AC,∴.∠B=∠ACB, ∴.△ECG≌△FCG(SAS) :AM平分∠CAD,∴.∠CAD=2∠CAM, ..GE=GF...GE=DF+GD=BE+GD. :∠CAD是△ABC的外角，∴.∠CAD=∠B十∠ACB, 【例2】(1)证明略 ∴.∠CAD=2∠ACB, (2)BA=BE,/ABE=30°， .∠CAM=∠ACB,.AF∥CE. .EF垂直平分AC, ÷∠BAE=2180-30)=75, .OA=OC,∠AOF=∠COE=90°， ∠BAD=90°，∴.∠EAD=90°-75°=15， ∴.AOF≌△COE,∴.AF=CE, 同理可得∠ADE=15°， 在四边形AECF中，AF∥CE,AF=CE, ∴.∠AED=180°-15°-15°=150°. ∴.四边形AECF是平行四边形 【变式训练1】(1)证明略 又.EF I AC,.四边形AECF是菱形. (2)BEBF,.∠FBE=90°， 【变式训练2】(1)证明：四边形ABCD是矩形， 又BE=BF,∴.∠BEF=∠EFB=45° ./B=∠D=90°，AB=CD, 四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°， AD=BC,AD∥BC, 又：∠ABE=55°，∠EBG=90°-55°=35°， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ∴.∠EG℃=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80° (AE-CF 【例3】在正方形ABCD中，∠ADB=45°， AB-CD ∠DAF=25, ∴.Rt△ABE≌Rt△CDF(HL); .∠AEB=∠ADB+∠DAF=7O°， (2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由略 ,△ABE与△CBE关于BD轴对称， 【例3】证明：：AB=AC,AD是BC边上的中线， ∴.∠BEC=∠AEB=70°. .AD垂直平分BC, 【变式训练2】D ∴.EB=EC,FB=FC, 课后演练 CF∥BE, 1.C2.D3.C4C5.(-1,5)6.85 .∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD, 7.略8.B9√2-1 .DB=CD. 核心素养 .△EBD≌△FCD(AAS), 10.略 ∴.BE=FC, 第2课时 正方形的判定 ∴.EB=BF=FC=EC 知识梳理 .四边形EBFC是菱形 1.中心对称轴对称 【变式训练3】用刻度尺测量四边是否相等即可 2.(1)有一个角是直角(2)有一组邻边相等 课后演练 (3)相等且互相垂直 1.B2.C3.C4.A5.906.127.4 典例精析 8.略9.B10.①②③④11.12.5cm 【例1】证明：四边形ABCD是矩形， 核心素养 ∴./DAB=∠ABC=90°. 12.(1)证明：根据折叠，∠DBC=∠DBE, 又：AF、BE分别是∠BAD、∠ABC的平分线， 又AD∥BC,∴.∠DBC=∠ADB, ∠DBE=∠ADB,DF=BF, :∠1=号∠DAB=45,∠3=2∠ABC=45S ∴.△BDF是等腰三角形；(2)①略 (2FG=9 ∴./1+∠3=90°， ∴./AEB=90°，.∠HIEF=90° 18.3 正方形 同理可证，∠F=∠H=90°， ∴四边形EFGH是矩形. 第1课时正方形的性质 又：∠1=∠3=45°，.AE=BE 知识梳理 又，∠2=∠4，AD=BC, 1.(1)直角 (2)邻边 ∴.Rt△AFD≌Rt△BHC,.∴.AF=BH. 2.(1)平行相等(2)直角 又AE=BE,.EF=EH (3)垂直平分相等一组对角 .矩形EFGH是正方形. (4)轴对称中心对称图形4对角线的交点 【变式训练1】提示：(1)当AD平分∠BAC时， 典例精析 四边形AEDF是菱形.证明略： 【例1】(1)证明：在正方形ABCD中， (2)当/A=90时，四边形AEDF是正方形 BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF, 【例2】设正方形ABCD的边长为1， .△CBE≌△CDF(SAS). 则DM=CN=BP=AQ=1, ∴.CE=CF ∴.DN=CP=BQ=AM=2. (2)解：GE=BE+GD成立 又，∠MDN=∠NCP=∠PBQ=∠QAM=90 理由是：由(I)得：△CBE≌△CDF, ∴.△NMD≌△MQA≌△QPB≌△PNC, ∴∠BCE=∠DCF, ∴.MN=NP=PQ=QM. ∴.∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD, .四边形MNPQ是菱形，△QAM≌△MDN, 即∠ECF=∠BCD=90°， .∠AMQ=∠MND, 又∠GCE=45°，∴.∠GCF=∠GCE=45°. 又，∠MND+∠DMN=90, CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC, ∴.∠QMN=∠AMQ+∠NMD 182