第17章 平行四边形 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

第17章平行四边形 第17章整合拔尖 “答案与解析”见P31 知识体系构建 定义 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质定理 对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心 边：①对边平行：②对边相等（性质定理1） 角：①对角相等（性质定理2）：②邻角互补 对角线：对角线互相平分（性质定理3） 平行四边 平行线之间的距离 处处相等 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定） 判定方法 两组对边分别相等的四边形是平行四边形（判定定理1） 组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2） 对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（拓展） 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 三角形的中位线 S)高频考点突破 考点一 平行四边形的性质 变式]*如图，在□ABCD中，对角线AC、BD 典例1如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC, 相交于点O,□ABCD的周长是100cm,△AOB 交CD的延长线于点E,过点C作CF⊥BE,交 与△BOC的周长之和是122cm,且AC:BD= BE于点F. 2:1,求AC和BD的长 (1)求证：BF=EF. (2)若AB=8,DE=4,求□ABCD的周长， D (典例1图) 77 拔尖特训·数学（华师版）八年级下 考点三平行四边形的判定 考点三三角形的中位线 典例2（2025·平顶山郏县期末)如图，在四边 典例3如图，在△ABC中，中线BE、CD交于 形ABCD中，M、N是BD上两点，AM∥CN, 点O,F、G分别是OB、OC的中点.连结DF、 AN∥CM.若BM=DN,求证：四边形ABCD FG、EG、DE.试判断DF与EG的关系，并说 是平行四边形. 明理由. (典例2图) (典例3图) [变式]如图，在口ABCD中，过点A作AM⊥ BC于点M,交BD于点E,过点C作CN⊥AD 于点N,交BD于点F,连结AF、CE.求证：四 边形AECF是平行四边形. [变式]如图，在四边形ABCD中，P是对角线 BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD= BC,∠EPF=136°，则∠EFP= 78 第17章平行四边形 综合素能提升 1.如图，E为□ABCD的边BC上一点，连结6.如图，在□ABCD中，AB=15,BC=27, AC、AE,AB=BE,AE=EC.若∠B=72°， AE⊥BC于点E,且BE=9.点P从点B出 则∠ACD的度数为 发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向终 A.80°B.81° C.82 D.83 点C运动；点Q从点D出发，沿DA以每秒 2个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两 点同时出发，当点P停止时，点Q也随之 停止，连结PQ.设点P运动的时间为t秒 (t>0). (第1题) (第2题) 2.如图，等边三角形ABC的周长为 (1)AE的长是 12,P是等边三角形ABC内的任意 (2)用含t的代数式表示PE的长. 一点，过点P分别作PD、PE、PF (3)设△QPE的面积为S,求S关于t的函 且PD∥AC,PE∥AB,PF∥BC,则PD+ 数表达式 PE+PF的值为 () (4)当以E、D、P、Q为顶点的四边形是平行 A.12B.8 C.4 D.3 四边形时，求t的值， 3.如图，□ABCD的周长为8，对角线AC、BD交 于点M,延长AB到点E,使BE=BC,BN⊥ EC于点N,连结MN,则MN= B PE (第6题) B (第3题) (第4题) 4.如图，AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8, S△DCE=6,则S四边形ABCD= 5.*如图，在□ABCD中，E、F是对角线BD上 的两点，BE=DF,点G、H分别在BA和DC 的延长线上，且AG=CH,连结GE、EH、 HF、FG、GH.求证：GH与BD互相平分. D H (第5题) 79.△BEM≌△DFN. .ME=NF. AB=CD,BM=DN, .AB-BM=CD-DN,即AM=CN」 在△AMF和△CNE中， (AM=CN, ∠MAF=∠NCE, AF-CE, .△AMF≌△CNE. .MF=NE」 又，ME=NF, ,四边形MENF是平行四边形 ,EF与MN互相平分 D (第5题) 第17章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)：四边形ABCD是平 行四边形， .AB∥CD. .∠ABE=∠E :BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE. .∠CBE=∠E. .BC=CE. CF⊥BE .BF=EF. (2)四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=8. .CE=CD+DE=8+4=12. 由(1)，得BC=CE=12. ,□ABCD的周长为2(AB十BC)= 2×(8十12)=40. [变式]，四边形ABCD是平行四 边形， .AD=BC,AB=CD,OB=OD. ,.AB+BC=100÷2=50(cm). .·△AOB与△BOC的周长之和是 122cm, .OA+OB-AB+OB+OC+BC= 122cm, 即AC+BD=122-50=72(cm). 又AC:BD=2:1, DE是△ABC的中位线. .'AC=48 cm,BD=24 cm. .DE∥BC,DE= 方法归纳 整体思想在平行四边形相关 F、G分别是OB、OC的中点， 周长计算中的应用 FG//BC FG=BC. 平行四边形的周长等于两 ,.DE∥FG且DE=FG 邻边长之和的2倍.本题结合此 .四边形DEGF是平行四边形 性质，可得AB+BC=50cm, ∴.DF LEG 将AB+BC当作一个整体与 [变式]22解析：：P是BD的中 △AOB与△BOC的周长之和 相结合，即可简化运算。 点，E是AB的中点PE=2AD, P是BD的中点，F是CD的中点， 典例2连结AC交BD于点O. :AMCN,AN∥CM, PF-AD=BC PE- .四边形AMCN是平行四边形. PF.,∠EPF=136°，，.∠EFP= .OM=ON,OA=OC. 2×(180°-∠EPF)=2 BM=DN, [综合素能提升] .OM+BM=ON+DN,即 1.B解析：，四边形ABCD是平行 OB=OD. 四边形，.AB∥CD..∠BCD= 又，OA=OC, 180°-∠B=180°-72°=108° .四边形ABCD是平行四边形. :AB=BE,.∠AEB=∠EAB= [变式]：四边形ABCD是平行四 (180°-72°)÷2=54°.AE=EC, 边形， .AD∥BC,AB∥CD,AB=CD, .∠ACE=∠EAC= 2∠AEB= ∠ABC=∠ADC. 27°.∴.∠ACD=∠BCD-∠ACE= .∠ABD=∠CDB. 108°-27°=81. AM⊥BC,CN⊥AD, 2.C解析：如图，延长FP交AB于 .∠AMB=∠CND=90° 点G,延长EP交AC于点H. :∠BAM=90°-∠ABC,∠DCN= ·PD∥AC,PE∥AB,PF∥BC, 90°-∠ADC, .四边形ADPH、四边形PEBG均 .∠BAM=∠DCN. 为平行四边形..PE=BG,PH= 在△ABE和△CDF中， AD.又：△ABC是等边三角形， ∠ABE=∠CDF, ∴易得△DGP和△HPF也是等边 RAB=CD. 三角形.∴.PF=PH=AD,PD= ∠BAE=∠DCF, DG..PD+PE+PF=DG+BG+ .△ABE≌△CDF AD=AB.:等边三角形ABC的周 .AE=CF,∠AEB=∠CFD 长为12，.易得AB=4..PD十 .180°-∠AEB=180°-∠CFD, PE-+PF=4. 即∠AEF=∠CFE .AE∥CF. 又：AE=CF, .四边形AECF是平行四边形. B E 典例3 DF LEG. (第2题) 理由：，BE、CD都是△ABC的中线，3.2解析：：四边形ABCD是平行 31 四边形，周长为8，·AM=MC, AB+BC=4..'BE=BC,..ABEC 是等腰三角形.：BN⊥EC, .EN=NC.又.AM=MC, ,.MN是△AEC的中位线..MN= 号AE=2(AB+BE)-名(AB十 BC)=2. 4.20解析：如图，作AHBC于点 H,DG⊥CE于点G.:AD∥BC, .AH=DG.又AB∥CD,.四边 形ABCD是平行四边形..BC= AD=5.BE=8,.CE=BE- BC=3.SAOCE6, 1×3× DG=6..DG=4.AH=4. ·S四边影AcD=BCXAH=20. A D B HC GE (第4题) 5.:四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD. .∠GBE=∠HDF. 又.AG=CH, ∴.AB+AG=CD+CH,即BG= DH. 又BE=DF, .△GBE≌△HDF .GE=HF,∠GEB=∠HFD. .∠GEF=∠HFE .GE∥HF ·四边形GEHF是平行四边形， .GH与EF互相平分 又BE=DF, .GH与BD互相平分. 方法归纳 求证“互相平分”问题的方法 解决有关“互相平分”的问题 时，要联想平行四边形的对角线互 相平分的性质，设法构造平行四边 形，这样做省去了分别说明平分的 麻烦，比较简便 6.(1)12. (2).BE=9,BC=27, .当点P运动到点E时，t= 9 =3, 当点P运动到点C时，t 219. 3 ①当0<t≤3时， PE=BE-BP=9-3t. ②当3<t≤9时， PE=BP-BE=3t-9. f9-3t(0<t3), .PE= 3t-9(3t9). (3)由题意，点P与点E不重合. 当0<t<3时， S=2PE·AE= 2(9-3t). 12=-18t+54; 当3<t≤9时， S=2PE·AE=2(31-9)·12 18t-54, ,S关于t的函数表达式为 1-18t十54(0t<3), S= 118t-54(3t9). (4)由题意，点P与点E不重合. ①当四边形PEDQ为平行四边形 时，0<t<3,PE=DQ, g-3t=2,解得t=5 9 ②当四边形EPDQ为平行四边形 时，3<t≤9，EP=DQ, .3t-9=2t,解得t=9. 综上所述，当：的值为号或9时，以 E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四 边形 第18章矩形、菱形 与正方形 18.1矩形 第1课时矩形的性质 1.D2.C3.2 4.△ACE是等腰三角形 理由：四边形ABCD是矩形， .AC=BD,CD∥AB. 又.CE∥BD, ∴.四边形DCEB是平行四边形 32 .BD=CE ∴.AC=CE. .△ACE是等腰三角形 5.D 6.D解析：：四边形ABCD是矩 形，.∠DCB=90°，OC=OB. ∠DCE=4∠BCE,∴.∠DCE= 号×90=7g.·∠BCE=18 :CE⊥BD,.∠BEC=90 .∴.∠OBC=90°-∠BCE=90° 18°=72°.OC=OB,.∠OCB= ∠OBC=72°..∠ACE=∠OCB- ∠BCE=72°-18°=54°. 7.D解析：，四边形ABCD是矩 形，.AD∥BC,BC=AD=8,∠A= 90°.E为AD的中点，∴.AE= 号AD=4.:在R△ABE中，BE /AB2+AE2=√/32+4=5..EF 是∠BED的平分线，.∠BEF= ∠DEF..AD∥BC,∴.∠BFE= ∠DEF..∠BFE=∠BEF. .BF=BE =5..FC=BC- BF=3. 8.V5解析：，四边形ABCD是矩 形，.OB=OD=OA=OC, ∠BAD=90°.AE垂直平分OB, .AB=OA..'OA=AB=OB=1. :BD 20B =2...AD √BD-AB2=√5. 9.4.2解析：如图.四边形 ABCD是矩形，∴.CD∥AB,∠A= 90°..∠1=∠E.:∠BDC的平分 线交AB的延长线于点E,∴，∠1= ∠2.∴.∠2=∠E..BE=BD. AE=10,..BD=BE=10-AB. 在Rt△ABD中，AD=4,BD=10 AB,则由勾股定理知，AB2=BD2 AD2=(10-AB)2-4..AB=4.2. D B (第9题)