第44期 第10章 相交线、平行线与平移 复习与小结-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

17.(8分)如图16，AB∥CD,AB∥GE,∠B=110°，∠C= 19.（10分)如图18，点D,E分别在三角形ABC的边AB,AC上， 21.(14分)在利用平行线的性质解答角的问题时，有时需要添 100°，求∠BFC的度数. 连接DE,CD,点F在CD上，连接EF,其中∠EFC+∠BDC=180° 加辅助线来帮助解答.辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将 (1)试说明：∠ADE=∠DEF; 题目中的原有条件联系在一起 (2)若∠DEF=∠B,∠AED=2LCDE,试说明：∠ACD 【问题情境】 ∠BCD. 如图，AB∥CD,M,N分别为直线AB,CD上的点 【特例研究】 (1)如图20-①，E为AB,CD之间一点，连接ME,NE得到 ∠MEN.请说明：∠MEN=∠1+∠2. 【问题解决】 (2)如图20-②，E为AB,CD之间一点，锐角∠BME和钝角 ∠CNE的平分线MQ,NF所在的直线交于点F,AB与FN交于点G ①若∠BME=80°，∠CWE=140°，求∠E,∠F的度数； ②若NF∥ME,∠F=a,求∠E的度数（用含a的代数式表 示) (3)如图20-③，E,F均为AB,CD之间的点，∠E=65°，请直 数理报·初中 接写出∠AME+∠F+∠CNF的度数， 数理报· 初 18.(8分)如图17，直线AB,CD交于点O,射线OE将∠BOC分 数学·沪 成两个角，∠B0E=2∠C0E,0F⊥0E,∠C0F=70°，求∠A0D的 20.(12分)在三角形ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D. 数 学 度数 (1)在图19-①中，将三角形ABD沿BC方向平移，使点D移 至点C的位置，得到三角形A'B'D',且A'B′交AC于点E,试猜想 科七年级(M)综合测评卷 ∠B'EC与∠A'之间的关系，并说明理由； 20 (2)在图19-②中，将三角形ABD沿AC方向平移，使A'B经 过点D,得到三角形'B'D',试说明：M'D'平分∠B'A'C 科七年级()综合测评卷 (参考答案见《升级突破》15版) 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 数理括 2025年4月28日·星期= 初中数学 44期总第1188期 沪科 七年级(AH) 【上接2版参考答案) 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 思维天地 探求思路不用慌逆向思维来帮忙 产本周主讲 第10章相交线、平行线与平移 图3 ⊙安徽庞逸伟 学习目标：1.掌握对顶角、垂线、垂线段的 由平移的性质 “司马光砸缸”是我们熟悉的历史故事.当 例2如图2，∠BAG 概念及性质 知，PQ∥AE. 个小朋友掉进水缸里时，伙伴们首先想到的与∠AGD互补，且∠1= 2.理解平行线的判定和性质，并能够灵活运 所以DF∥PO 是怎样让“人离开水”，而司马光却开动脑筋，采∠2，问∠E与∠F相等吗？ 所以∠QDF= 180°-∠Q. 取“让水离开人”的方法，从而把水缸砸破，救出 请说明理由. 3.掌握平移的概念及其基本特征 认知重点：1.在具体情境中理解对顶角、 因为DF∥AE 了落水小朋友.司马光的这种想法就是逆向思 分析：第一步：通过 图2 垂直的二些性质，并能解决实际问题 ∠E=65°，所以 维方法.运用逆向思维，可顺利探寻平行线问题 观察图形发现∠E与∠F是内错角，要说明∠E 2.经历探索两直线平行的性质和判定的 ∠EDF=180° 中的解题思路， 与∠F相等，需要通过AE∥FG得到. 过程，并 能解决一些问题 ∠E=115° 例1如图1，已知 又因为∠Q= 第二步：要说明AE∥FG,需说明∠3=∠4， 2∠EDQ,即∠EDQ AB∥CD,∠B=∠D,那 第三步：要说明∠3=∠4，因为已知∠1 专题只 =0，所以 么∠E与∠DFE相等 ∠2，故需说明∠BAG=∠CGA即可 吗？请说明理由. 第四步：要说明∠BAG=∠CGA,只需说明 平行线 LQDF=∠EDF+ 分析：第一步：通 图1 AB∥CD.由已知∠BAG与∠AGD互补，易得AB ∠EDQ=1159 过观察图形发现∠E与∠DFE是内错角，要说 ∥CD,从而问题得以解决， 1.为响应国家新能源建设，某市公交站装 ∠0-180° 1 明∠E与∠DFE相等，需要通过AD∥BE得到. 通过上述四步，逆推即可说明∠E=∠F 上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光线 <0. 第二步：要说明AD∥BE,需先说明∠D= 解：∠E=∠F.理由如下： (平行光线)与水平线最大夹角为64°，如图1， 所以∠Q ∠DCE. 因为∠BAG与∠AGD互补，即∠BAG 十 电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂 130° 第三步：要说明∠D=∠DCE,由AB∥∠AGD=180°，所以AB∥CD(同旁内角互补， 3 直，此时电池板CD与水平线夹角为46°，要使 如图4，当点P CD,可得∠B=∠DCE.又由已知∠B=∠D,两直线平行) AB∥CD,需要将电池板CD逆时针旋转m度(O 在线段DA的延长线 所以∠D=∠DCE 所以∠BAG=∠CGA(两直线平行，内错角 <m<90),则m= 上时，过点D作DF 通过上述三步，逆推即可说明∠E=相等). A.24 B.20 C.44 D.10 ∥AE交AB于点F ∠DFE. 又因为∠1=∠2，所以∠BAG- ∠1 光线 解：∠E=∠DFE.理由如下： ∠CGA-∠2，即∠3=∠4 因为AB∥CD,所以∠B=∠DCE(两直线 所以AE∥FG(内错角相等，两直线平行) 平行，同位角相等) 所以∠E=∠F(两直线平行，内错角相等) 又因为∠B=∠D,所以∠D=∠DCE: 编者语：从以上两例可以看出，逆向思维在 所以AD∥BE(内错角相等，两直线平行). 数学中有着广泛的应用，同学们不妨在学习中 图1 图4 所以∠E=∠DFE(两直线平行，内错角相 多练习和尝试这种思维方法，一定会起到事半 2.如图2，AB与CD相交于点0，若∠A 由平移的性质 等) 功倍的效果 ∠B=30°，∠C=50°，则∠D= 知，P0∥AE. 人人人人人 所以DF 4.如图3，已知直线AB与CD相交于点O A.20° B.30° C.409 D.509 PQ. 专题 E0⊥AB,∠DOE=2∠BOD 3.如图3，下列结论： 所以∠QDF” = (1)求∠COE的度数； ①∠1和∠2是同旁内角； 180°-∠Q. 因为DF 相交线 (2)过点O在AB上方作射线OF,若∠COF ②∠3和∠4是对顶角： AE,∠E=65°，所以 1.下列四个图形中，∠1和∠2是对顶角的 =4∠BOF,求∠DOF的度数 ③∠2和∠5是内错角： ∠EDF'=180° ④L4和∠5是同位角，其 ∠E=115° 是 中正确的是（填序号）. 又因为∠Q= 2∠EDQ,即∠EDQ 4.尺规作图：如图4，在一个三角形支架上 0, 所以 要加一根横杆DE,使DE∥BC,请你用尺规作 A ∠ODF'=∠EDF 2.如图1，某污水处理厂要从A处把处理过 出DE的位置，不写作法，保留作图痕迹，并说明 -∠ED0=115° 的水引入排水渠PQ,为了节约用料，铺设垂直 理由 1 ∠Q=1809 于排水渠的管道AB.这种铺设方法蕴含的数学 ∠Q. 原理是 所以∠Q 130°. 综上所述，∠Q 的度数为130 130 (全文完) 3.如图2，直线AB,CD交于点O,C0⊥OE OF是∠AOD的平分线，OG是∠EOB的平分线： 若∠A0C=44°，则∠F0G的度数为 (下转第2版) 2 素养专练 A 数理极 (上接第1版) 7.如图7，长方形ABCD中，AD∥BC,E为边 2.如图2，将三角形ABC沿BC所在的直线平 5.如图5，AB∥CD,直线EF经过点C.已知BC上一点，将长方形沿AE折叠(AE为折痕)，使点移得到三角形DEF.如果AC与DE的交点G恰好 ∠DCE=60°，∠ACF=10°，求∠A的度数 B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于点G,过点：为AC的中点，DF=4,那么AG= G作HG⊥EG交AD于点H. (1)试说明：HG∥AE; (2)若∠CEG=20°，求∠DHG的度数. 图5 3.如图3，将∠AOB沿着直线MN平移到 ∠CPD处.若∠AOM=35°，∠DPW=40°，则 ∠AOB的度数是 4.如图4，在三角形 ABC中，AD⊥BC于点D, 6.如图6，CF平分∠ACM,∠1=72°，∠2= BC=6,AD=3,将三角形 36°，判断CM与DN是否平行，并说明理由. ABC沿射线BC向右平移2BDB D 个单位后得到三角形 A'B'C',连接A'C,则三角形A'B'C的面积为 专题食 5.如图5，方格纸中的每个小正方形的边长均 6 为1个单位长度，将方格纸中的小船先向右平移 平移 5个单位长度，再向上平移1个单位长度，请在图 中画出平移后的小船 1.2024年五一期间，信阳茶文化节火爆出圈 吸引了全国各地的大量游客前来打卡，图1是信阳 城市P形象之 茶妹，以下是经过平移得到 图5 数理报社试题研究中心 (参考答案见《升级突破》15版) 十十十十 十十十 十十十十十十十十十十 十十十十十十十十十十十十 第43期2版参考答案 置，所以CF=AD.因为CF+BC=BF,所以AD+ 得到三角形DEF,所以AC∥DF,AD∥BF 10.4平移 BC BF. 所以∠ACB=∠F,∠ACB=∠DAC 10.4.1平移现象 能力提高9.18， 所以∠F=∠DAC. 基础训练1.A;2.C. 10.4.3平移作图 又因为∠DAC=56°，所以∠F=56° 3.答案不惟一，如图1为平移4根火柴棒变成 基础训练1.C；2.A;3.2;4.3和5. (2)因为三角形ABC沿射线BC方向平移得到 三个相同的正方形；如图2为平移4根火柴棒变成 5.(1)连接AD,图略.平移的方向是点A到点三角形DEF,所以AD=CF 相同的四个正方形 D的方向，平移的距离是线段AD的长度. 设AD=xcm,则CF=xcm. (2)图略. 斑 6.(1)图略 因为5动n=子5，C:6om.所以 (2)三角形A'B'C的面积为8 子(x+6+)·AB=子×分x61B.解得年=4 第43期3版参考答案 网 所以AD的长为4cm 一、题号12345678 17.(1)由平移的性质知，DE∥D'E'.所以 能力提高4.540. 答案A C D CC B A D ∠CED=∠CPD'.由题意知，∠CED=60°.所以 10.4.2平移的性质 二、9.∠F,AB;10.10;11.230°；12.2或4. ∠CPD'=60°， 基础训练1.B;2.C;3.C;4.A; 三、13.图略. (2)由题意知，∠A=30°，∠CED=60°.由平 5.35；6.42. 14.因为将三角形ABC沿BC方向平移2.5cm 移的性质知，∠C'E'D'=∠CED=60°，CE∥ 7.(1)图中所有平行的直线有：AE∥CF,AC 得到三角形DEF,所以AD=BE,AB=DE.所以阴C'E.所以∠BE'C'=∠A=30°.所以∠BE'D'= ∥DF,BC∥EF. 影部分的周长=AD+EC+DE+AC=BE+EC∠BE'C'+∠C'E'D'=90°，所以AB⊥E'D'. (2)图中与AD相等的线段有：线段CF和线段+AB+AC=AB+AC+BC=3+2+4=9(cm). 附加题(1)因为DE∥AB,所以∠BAE+ BE,其长度为2cm. 15.(1)该种红地毯的长是：2.6+5.8=∠E=180° (3)因为AE∥CF,∠ABC=65°，所以LBCF8.4(m). 又因为∠B=∠E,所以∠BAE+∠B=180° =∠ABC=65°.因为BC∥EF,所以∠EFC+(2)该种红地毯的面积是：8.4×2= 所以AE∥BC. ∠BCF=180.所以∠EFC=115°. 16.8(m2). (2)①25°； 8.(1)平移的方向是点A到点D的方向，平移(3)购买该种红地毯至少需要：16.8×30= ②如图3，当点P在线段AD上时，过点D作 的距离是线段AD的长度. 504(元). DF∥AE交AB于点F: (2)因为三角形ABC平移到三角形DEF的位 16.(1)因为三角形ABC沿射线BC方向平移 (下转1,4版中缝) A.26° B.23° C.22 D.21° 处来建汽车站，依据是 《相交线、平行线与平移》综合测评卷 5.如图5，直线AB是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕 迹，已知PA=2.7米，MC=2.6米，则小明跳远的成绩可能是 班级： 姓名： 学号： 满分：120分 A.2.7米 B.2.65米 题 号 总 分 C.2.6米 D.2.5米 10 得 分 12.如图11，AB和CD相交于点0，点E是DB延长线上一点，要 2 使AC∥DE,需再添加一个条件为（只填一个即可). 、精心选一选 题号 2 4 6 10 13.如图12，直线AB和CD相交于点O,OE⊥CD,∠EOF 142°，∠B0D:∠B0F=1:3,则∠A0C的度数为 得分 答案 图5 图6 14.图13-①是一打孔器的实物图，图13-②是使用打孔器的 6.如图6是一个由线段a,b,c,d组成的“鱼”形图案，若∠1= 侧面示意图，AD∥BC,使用打孔器时，AD,DE,DC分别移动到AD', 二、细心填一填 11 12. 45°，∠2=45°，∠3=140°，则∠4的度数为 ( D'E',D'C,此时D'E'∥BC,DD'平分∠ADC,若∠DD'E'=62°，则 A.35° B.40° C.45° D.50 ∠DCB= 得分 14 15. 7.如图7，下列条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③EF∥CD,且 ∠D=∠4；④∠3+∠5=180°，其中能推出AD∥BC的为( 数 数理报·初中数学·沪科七 A.①②③ B.①②④ 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，满分40分】 C.①③④ D.②③④ 1.2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”（如图 n 1),巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动 30n 1” 图14 的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素 学 HR8N2025 15.如图14，在两条笔直且平行的景观道AB,CD上分别放置P, 结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不解努力向更 图1 Q两盏激光灯，其中光线PB按顺时针方向以每秒5°的速度转动至 高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好 PA边便立即回转，并不断往返转动；光线QC按顺时针方向以每秒 图 图8 年 追求.下列选项中，能通过平移会徽得到的图形是 8.如图8，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修 3°的速度转动至QD边就停止转动，此时光线PB也停止转动.若光 级 线QC先转动4秒，光线PB才开始转动，当PB,∥QC,时，光线PB )综合测评卷 建同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化已知小路的 宽为2m,则绿化面积为 ( 转动的时间为秒. ARBIN 202 A.560m2 B.600m2 C.616m2 D.660m2 三、耐心解一解（本大题共6小题，满分60分） 综合测评卷 9.下列说法中，正确的是 ( 16.(8分)如图15，已知每个小正方形的边长都为1，三角形 2.如图2，下列说法错误的是 A.若a⊥b,b1c,则a⊥c ABC的顶点都在格点上（每个小正方形的顶，点叫作格点）. A.∠1和∠4是对灯顶角 B.∠3和∠6是内错角 B.在同一平面内，不相交的两条射线必平行 (1)过点A作BC所在直线的垂线段AD: C.∠2和∠5是同位角 D.∠4和∠6是同旁内角 C.两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等 (2)过点A作BC所在直线的平行线AE; D.两条平行线被第三条直线所截，一对内 (3)平移三角形ABC,使点A平移到点F,点B平移到点G,点C 错角的角平分线互相平行 平移到点H,画出平移后的三角形FGH. 10.将一副直角三角板按如图9所示摆放、 ∠GEF=60°，∠MNP=45°，AB∥CD,则下列 结论不正确的是 ☒d 3.如图3，直线AB与CD相交于点0，射线OE在∠B0C的内部， A.GE∥MP B.∠EFW=150° 且OE⊥CD于点0，若∠B0D=40°，则∠A0E的度数为() C.∠BEF=609 D.∠AEG=∠PMN A.130° B.140° C.40° D.50 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 4.如图4，AB∥CD,点E在CD上，连接BC,BE,若BC平分 11.如图10，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市， ∠ABE,∠BED=46°，则∠ABC的度数为 () 现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，应在公路上选点C初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期 \textcircled B 答案详解 2025~2026学年初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期(2026年4月) 所以 $$\angle A O D = \angle B O C = 1 2 0 ^ { \circ } ， \angle A O C = \angle B O D = 6 0 ^ { \circ } ，$$ 第41期2版 因为 OE⊥CD， ，所以 $$\angle C O E = \angle D O E = 9 0 ^ { \circ }$$ 10.1相交线 当点 E 在钝角 ∠AOD 内部时， ，∠AOE=∠AOD-∠DOE 10.1.1对顶角 $$= 3 0 ^ { \circ } ；$$ 基础训练 1.C；2.A； 当点E在钝角 ∠BOC 内部时， ∠AOE=∠AOC+∠COE= 3.对顶角相等； $$4 . 3 8 ^ { \circ } .$$ $$1 5 0 ^ { \circ } .$$ 5.(1)∠BOD； 综上所述， ∠AOE 的度数为 $$3 0 ^ { \circ }$$ 或 $$1 5 0 ^ { \circ } .$$ (2)因为 ∠BOE：∠EOD=2：3 且 ∠BOD=∠BOE+ 第41期3版 $$\angle E O D ， \angle B O D = 8 0 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle B O E = \frac { 2 } { 5 } \angle B O D = 3 2 ^ { \circ } .$$ 一、 $$\angle A O E = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B O E = 1 4 8 ^ { \circ } .$$ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 6. .由对顶角相等，得 $$\angle A O D = \angle B O C = 1 4 0 ^ { \circ } .$$ .因为OE平 答案 D D B C C D B A 分 ∠AOD， 所以 $$\angle A O E = \angle D O E = \frac { 1 } { 2 } \angle A O D = 7 0 ^ { \circ } .$$ ，所以 二、9.对顶角相等； $$1 0 . 4 2 ^ { \circ } ；$$ $$1 1 . 3 0 ^ { \circ } ；$$ $$1 2 . 1 3 5 ^ { \circ }$$ 或 $$4 5 ^ { \circ }$$ 三、13.由题意，得 $$1 8 0 ^ { \circ } - \angle 1 = 4 \left( 9 0 ^ { \circ } - \angle 1 \right)$$ .解得 ∠1= $$\angle B O E = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A O E = 1 1 0 ^ { \circ } .$$ .因为 OF 平分 ∠BOE， ，所以 $$6 0 ^ { \circ } .$$ .由对顶角相等，得 $$\angle 2 = \angle 1 = 6 0 ^ { \circ } .$$ $$\angle E O F = \frac { 1 } { 2 } \angle B O E = 5 5 ^ { \circ } .$$ .所以 ∠DOF=∠DOE-∠EOF= 14.如图，过点 B 作 BP⊥MN， 垂足为 $$1 5 ^ { \circ } .$$ P，则点P就是所求抽水站的位置；连接 B AB，则线段BA即为自来水厂到村庄的最 能力提高7.40或80. 短距离.所以沿 P→B→A 的路线铺设水 M P N 8.(1)2； (2)6； (3)12. (4)当 n 条直线相交于一点时，可形成 n(n-1) 对对顶角 管，所用的水管最短.理由是：垂线段最短和两点之间，线段最 (5)当101条直线相交于一点时，可形成 10100对对顶角 短. 10.1.2垂直 15.(1)ON⊥CD. .理由如下： 基础训练 1.C；2.B；3.C； 因为 OM⊥AB， ，所以 $$\angle A O M = 9 0 ^ { \circ } .$$ .所以 ∠1+∠AOC= $$4 . 3 0 ^ { \circ } ； 5 . 1 5 ^ { \circ } .$$ $$9 0 ^ { \circ } .$$ .又因为 ∠1=∠2， ，所以 $$\angle 2 + \angle A O C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，即 ∠CON= 6.(1)(2)图略； $$9 0 ^ { \circ } .$$ .所以 ON⊥CD. (3)OP； (2) )因为 OM⊥AB， ，所以 $$\angle B O M = 9 0 ^ { \circ } .$$ 因为 ∠1= (4)PH<CO. .理由如下 $$\frac { 1 } { 6 } \angle B O C ，$$ ，所以 $$\angle 1 = \frac { 1 } { 5 } \angle B O M .$$ 所以 $$\angle 1 = 1 8 ^ { \circ } .$$ .所以 ∠BOD 由垂线段最短，得 PH<PO，PO<CO. 所以 PH<CO. 7.(1)因为 OF⊥OE， ，所以 $$\angle E O F = 9 0 ^ { \circ } .$$ 因为 ∠COF= $$= 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B O M - \angle 1 = 7 2 ^ { \circ } .$$ 16.(1) 因为 OC⊥OD， ，所以 $$\angle C O D = 9 0 ^ { \circ } .$$ .因为 ∠BOD= $$5 4 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle D O E = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle E O F - \angle C O F = 3 6 ^ { \circ } .$$ .因为 ∠DOE $$4 0 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle B O C = \angle C O D - \angle B O D = 5 0 ^ { \circ } .$$ 所以 $$\angle A O C = 1 8 0 ^ { \circ }$$ =2∠BOE， ，所以 $$\angle B O E = \frac { 1 } { 2 } \angle D O E = 1 8 ^ { \circ } .$$ $$- \angle B O C = 1 3 0 ^ { \circ } .$$ .因为OE平分 ∠AOC， ，所以 ∠AOE= ( (2)OB 平分 ∠DOF. 理由如下： $$\frac { 1 } { 2 } \angle A O C = 6 5 ^ { \circ } .$$ 由(1)得， $$\angle E O F = 9 0 ^ { \circ } .$$ 所以 $$\angle C O F + \angle D O E = 9 0 ^ { \circ } .$$ 又因 为 ∠COF=∠DOE， ，所以 $$\angle C O F = \angle D O E = 4 5 ^ { \circ } .$$ .因为 ∠DOE (2)∠AOE 与 ∠BOD 不可能成为对顶角.理由如下： =2∠BOE， ，所以 $$\angle B O E = 2 2 . 5 ^ { \circ } .$$ 所以 ∠DOB=∠DOE+ 若 ∠AOE=∠BOD， ，则 $$\angle B O D + \angle B O C + \angle C O E = 1 8 0 ^ { \circ }$$ $$\angle B O E = 6 7 . 5 ^ { \circ } .$$ .因为 $$\angle B O F = \angle E O F - \angle B O E = 6 7 . 5 ^ { \circ } ，$$ ，所以 由(1)知， $$\angle B O D + \angle B O C = 9 0 ^ { \circ } .$$ .所以 $$\angle C O E = 9 0 ^ { \circ } .$$ .因为 OE ∠DOB=∠BOF. OB 平分 ∠DOF. 平分 ∠AOC， ，所以 $$\angle A O C = 2 \angle C O E = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ ，不符合题意.所以 能力提高 8.因为 ∠BOC：∠BOD=2：1，∠BOC+ ∠AOE 与 ∠BOD 不可能成为对顶角. 17.(1) 因为 O DD平分 ∠BOE， ，所以 ∠EOD=∠BOD. .因为 $$\angle B O D = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ 所以 $$\angle B O C = \frac { 2 } { 3 } \times 1 8 0 ^ { \circ } = 1 2 0 ^ { \circ } ， \angle B O D = \frac { 1 } { 3 }$$ ∠AOC=∠BOD， ，所以 ∠EOD=∠AOC. .所以 ∠FOE= $$\times 1 8 0 ^ { \circ } = 6 0 ^ { \circ } .$$ 2∠AOC=2∠EOD. .因为 OF⊥CD， ，所以 $$\angle F O D = 9 0 ^ { \circ }$$ .所以 -1 1- 初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期 ∠F0E+∠EOD=90°，即3∠EOD=90°.所以∠E0D=30° 5.(1)GD∥CA.理由：因为EF∥CD,所以∠1+∠ACD= 所以∠D0B=∠E0D=30°. 180°.因为∠1+∠2=180°，所以∠ACD=∠2.所以GD∥ (2)由(1)得，∠AOC=∠E0D.因为F01CD,所以 CA. ∠F0C=∠FOD=90°.又因为∠FOC=∠AOF+∠A0C, (2)由(1)，得∠2=∠ACD=40°.因为DG平分∠CDB, ∠FOD=∠FOE+∠EOD,所以∠AOF=∠FOE. 所以∠BDG=∠2=40°.因为GD∥CA,所以∠A=∠BDG= 附加题(1)由对顶角相等，得∠AOD=∠B0C=75, 40° ]为∠A0N:∠N0D=2:3,所以∠A0N=号∠A0D=309 能力提高6.过点C在∠FCD内作CM∥DE,图略.因为 AB∥DE,所以AB∥DE∥CM.又因为∠ABC=124°，∠CDE (2)OB是∠COM的平分线.理由如下： =72°，所以∠BCM=∠ABC=124°，∠DCM=180°-∠CDE 由(1)知，当∠B0C=75°时，∠AOW=30°.所以∠B0W =108°.所以∠BCD=∠BCM-∠DCM=16°. =180°-∠AON=150°.因为0M平分∠B0N,所以∠B0M= 2∠B0N=75,所以∠B0C=∠B0M,即0B是∠C0M的平 第42期3版 分线 题号 1 2 34 5 678 (3)子LA0C-LD0M是定值设LA0N=2x,则L0D 答案 BA AD DA DB =3x.所以∠A0D=∠AON+∠D0N=5x.所以∠A0C= 二、9.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行： 180°-∠A0D=180°-5x.因为0M⊥0N,所以∠M0N=90° 10.64°；11.16°；12.30°或45°或120° 三、13.因为DG平分∠ADE,∠ADG=67°，所以∠ADE= 所以∠D0N=∠W0N-∠N0D=90-3x所以号∠A0C- 2∠ADG=134°.所以∠ADF=180°-∠ADE=46°.因为∠B =46°，所以∠ADF=∠B.所以BC∥EF ∠DOM= 3(180°-5x)-(90°-3x)=180 14.如图2，直线PQ即为所求. 第42期2版 15.(1)因为CD⊥AB,FE⊥AB 所以∠CDA=∠FEA=90°.所以CD 10.2平行线的判定 ∥FE.所以∠ACD+∠EHC=180°. 10.2.1平行线及“三线八角” 因为∠ACD+∠F=180°，所以 基础训练1.C；2.C; ∠EHC=∠F.所以AG∥FG 图2 3.EF∥CD,如果两条直线和第三条直线平行，那么这两 (2)由∠BCD:∠ACD=2:3,设∠BCD=2x,∠ACD= 条直线平行； 3x.因为AC∥FG,所以∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x. 4.(1)DE,CB,AC,同位；(2)EBC,BE；(3)DEC,ECB; 因为∠F=3∠G,所以∠F=15x.因为∠ACD+∠F=180°， (4)ABE,BEC;5.②③⑤. 所以3x+15x=180°.解得x=10.所以∠BCD=20°. 10.2.2平行线的判定 16.因为BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD,所以∠ABE= 基础训练1.C；2内错角相等，两直线平行； 3.②③⑤. 7∠ABC,∠2=∠BCD=7∠BCD.又因为∠1=∠2，所以 4.(1)因为AB⊥BC,EF⊥BC,所以∠ABC=∠EFC= ∠1=∠ECD.所以EF∥CD.又因为AB∥EF,所以AB∥CD, 90°.所以AB∥EF (2)图略.AB∥CD.理由：由(1)，得AB∥EF.又因为CD 所以LABC+∠BCD=180所以∠ABE+∠2=(LABC ∥EF,所以AB∥CD. +∠BCD)=90°.因为AB∥EF,所以∠ABE=∠BEF.所以 5.因为∠1=∠2，所以AB∥CD.因为∠3+∠4=180°， ∠BEF+∠1=90°，即∠BEC=90°.所以BE⊥CE. 所以CD∥EF.所以AB∥EF 17.(1)因为AB∥CD,所以∠BNP=∠2.又因为∠1= 6.(1)如图1，∠EBC或∠E'BC ∠2，所以∠BNP=∠1.所以EF∥NP. 即为所求 (2)过点F在∠EFG内作FM∥AB,图略.因为AB∥CD, (2)BE与AD不一定平行.①当 所以AB∥FM∥CD.所以∠EFM=∠1=40°，∠HFM= 所作的角在BC上方时，BE与AD平 ∠FHG=10°.所以∠EFH=∠EFM+∠HFM=50°.因为FH 行.因为∠EBC=∠A,所以BE∥ 图1 平分∠EFG,所以∠GFH=∠EFH=50°所以∠MFG= AD.②当所作的角在BC下方时，BE与AD不平行. ∠HFM+∠GFH=60°.因为FM∥CD,所以∠FGD=∠MFG 能力提高7.因为∠ABC=∠ACB,∠1=∠2，所以 =60° ∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，即∠EBD=∠FCB.又因为 附加题 ∠EBD=∠D,所以∠FCB=∠D.所以CF∥DE. (1)∠AEC+∠C-∠A=180°.理由如下： 10.3平行线的性质 过点E在∠AEC内作EM∥AB,图略.因为AB∥CD,所以 基础训练1.A；2.C;3.15; AB∥EM∥CD.所以∠AEM=∠A,∠MEC+∠C=180°.所 4.∠C+∠D=180°. 以∠AEM+∠MEC+∠C=∠A+180°，即∠AEC+∠C-∠A 2 初中数学·沪科七年级(AH) 第41~44期 =180° 5.(1)连接AD,图略.平移的方向是点A到点D的方向，平 (2)①过点F在∠EFC内作FN∥AB,图略.因为AB∥ 移的距离是线段AD的长度 CD,所以AB∥FN∥CD.所以∠C+∠NFC=180°.所以∠C (2)图略. =180°-∠NFC.由(1)，得∠E+∠EFN-∠A=180°.所以 6.(1)图略. ∠E=180°-∠EFN+∠A.所以∠C+∠E=180°-∠NFC (2)三角形A'B'C的面积为8. +(180°-∠EFN+∠A)=360°-（∠NFC+∠EFN)+∠A 第43期3版 =360°-∠EFC+∠A=360°-100°+24°=284°. ②∠ECC+分∠F=168,理由如下： 题号 1 2345678 由①，得∠AEF+∠DCF=360°-∠F+∠A.因为∠AEF 答案A C D C CB A D 和LDCF的平分线交于点G,所以LAEG=LGEF= 二、9.∠F,AB;10.10;11.230°；12.2或4 号∠ABP,∠nCG=∠cCF=∠CR过点E在∠ABG内作 三、13.图略 14.因为将三角形ABC沿BC方向平移2.5cm得到三角形 EH∥AB,过点G在∠EGC内作GQ∥AB,图略，则GQ∥AB∥ DEF,所以AD=BE,AB=DE.所以阴影部分的周长=AD+ EH∥CD.所以∠EGQ=∠HEG,∠QGC=∠DCG,∠A= EC+DE +AC BE EC+AB +AC AB +AC BC =3+ ∠AEH.所以∠EGQ=∠HEG=∠AEG-∠AEH=∠AEG- 2+4=9(cm). ∠A.所以LEGC=∠EGQ+∠QGC=∠AEG-∠A+∠DCG= 15.(1)该种红地毯的长是：2.6+5.8=8.4(m) 2(LAEF+∠DCF)-∠A=2(360P-∠F+∠A)-∠A (2)该种红地毯的面积是：8.4×2=16.8(m2). (3)购买该种红地毯至少需要：16.8×30=504（元）. 180-7∠F-7∠A=180-74F-12=168- 2 ∠F 16.(1)因为三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形 即∠EGG+7∠F=168 DEF,所以AC∥DF,AD∥BF 所以∠ACB=∠F,∠ACB=∠DAC 所以LF=∠DAC 第43期2版 又因为∠DAC=56°，所以∠F=56° 10.4平移 (2)因为三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形 10.4.1平移现象 DEF,所以AD=CF. 基础训练1.A;2.C. 设AD=xcm,则CF=xcm. 3.答案不惟一，如图1为平移4根火柴棒变成三个相同的正 因为Sa8m=子5e,BC=6m,所以号(+6+ 方形；如图2为平移4根火柴棒变成相同的四个正方形 ·AB=子×分×64B解得x=4所以0的长为4m 17.(1)由平移的性质知，DE∥D'E.所以∠CED= ∠CPD.由题意知，∠CED=60°.所以∠CPD'=60°. (2)由题意知，∠A=30°，∠CED=60°.由平移的性质 知，∠C'ED'=∠CED=60°，CE∥C'E.所以∠BE'C'=∠A 能力提高4.540. =30°.所以∠BED'=∠BEC'+∠CED'=90°，所以AB⊥ 10.4.2平移的性质 E'D'. 基础训练1.B;2.C；3.C;4.A; 附加题(1)因为DE∥AB,所以∠BAE+∠E=180° 5.35:6.42. 又因为∠B=∠E,所以∠BAE+∠B=180°， 7.(1)图中所有平行的直线有：AE∥CF,AC∥DF,BC∥ 所以AE∥BC. EF. (2)①25： (2)图中与AD相等的线段有：线段CF和线段BE,其长度 ②如图3，当点P在线段AD上时，过点D作DF∥AE交AB 为2cm. 于点F (3)因为AE∥CF,∠ABC=65°，所以∠BCF=∠ABC= 由平移的性质知，PQ∥AE. 65°.因为BC∥EF,所以∠EFC+∠BCF=180.所以∠EFC 所以DF∥PQ =115 所以∠QDF=180°-∠Q. 8.(1)平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线 因为DF∥AE,∠E=65°，所以∠EDF=180°-∠E= 段AD的长度， 115 (2)因为三角形ABC平移到三角形DEF的位置，所以CF 又因为∠Q=2LED0,即LBDQ=2∠Q,所以∠QDF =AD.因为CF+BC=BF,所以AD+BC=BF 能力提高9.18. =∠BDF+∠BD0=15+LQ=180°-∠Q 10.4.3平移作图 基础训练1.C;2.A;3.2;4.3和5. 所以∠0=130 3 初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期 5.图略。 第44期3,4版 一、题号1 234 5 678910 图3 图4 二、11.垂线段最短；12.答案不惟一，如∠C=∠D; 如图4，当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF∥ 13.26°；14.56°；15.6或43.5. AE交AB于点F' 三、16图略. 由平移的性质知，PQ∥AE. 17.∠BFC=30 所以DF'∥PQ 18.∠A0D=60 所以∠QDF'=180°-∠Q, 因为DF'∥AE,∠E=65°，所以∠EDF=180°-∠E= 19.(1)因为∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC= 115 180°，所以∠EFC=∠ADC.所以EF∥AB.所以∠ADE= ∠DEF 又因为∠0=2∠BD0,即∠BD0=号∠Q,所以∠QDF (2)因为∠ADE=∠DEF,∠DEF=∠B,所以∠ADE= =∠EDF-∠BD0=15-7∠Q=180-L0 ∠B.所以DE∥BC.所以∠AED=∠ACB,∠CDE=∠BCD.又 因为∠AED=2∠CDE,所以∠ACB=2∠BCD.所以∠ACD= 所以∠Q=130 ∠ACB-∠BCD=2∠BCD-∠BCD=∠BCD,即∠ACD= 综上所述，∠0的度数为9或130 ∠BCD 20.(1)∠B'EC=2∠A'.理由如下： 第44期2版 因为三角形A'B'D'是由三角形ABD平移得到的，所以 专题一相交线 ∠A'=∠BAD,A'B'∥AB.所以∠B'EC=∠BAC.因为AD平 1.D;2.垂线段最短；3.135°. 分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD.所以∠B'EC=2∠A'. 4.(1)因为E0⊥AB,所以∠B0E=90°.因为∠D0E= (2)因为三角形A'B'D'是由三角形ABD平移得到的，所以 2∠B0D,所以3∠B0D=90°.所以∠B0D=30°，∠D0E= ∠B'A'D'=∠BAD,A'B∥AB.所以∠BA'C=∠BAC.由(1) 60°.所以∠C0E=180°-∠D0E=120°. 得∠BAC=2∠BAD.所以∠BA'C=2∠B'A'D.所以A'D'平 (2)因为∠B0D=30°，所以∠C0B=∠C0F+∠B0F= 分∠B'A'C. 180°-∠B0D=150°.因为∠C0F=4∠B0F,所以5∠B0F= 2L.(1)过点E在∠MEN内作EF∥AB,图略.所以∠MEF 150°.所以∠B0F=30°.所以∠D0F=∠B0D+∠B0F= =∠1.因为AB∥CD,EF∥AB,所以EF∥CD.所以∠NEF= 60°. ∠2.因为∠MEN=∠MEF+∠NEF,所以∠MEN=∠1+ 专题二平行线 ∠2. 1.B:2.D:3.①③. (2)①因为∠CNE=140°，所以∠END=180°-∠CWE 4.过点D作∠EDC=∠C,点E在点D的右边，且在线段 =40°.因为AB∥CD,∠BME=80°，同理：∠MEN=∠BME+ BA的延长线上，图略.理由：因为∠EDC=∠C,所以DE∥ ∠END=120°. BC(内错角相等，两直线平行). 5.因为∠DCE=60°，∠ACF=10°，所以∠ACD=180°- 因为锐角∠BME和钝角∠CVE的平分线所在的直线交于 ∠DCE-∠ACF=110°.因为AB∥CD,所以∠A=180°- 点F,所以∠FNC=分LcNE=70,∠Bw0=∠BME ∠ACD=70°. 40°.过点F在FN右侧作FP∥AB,图略.所以FP∥AB∥CD. 6.CM∥DN.理由如下： 所以∠PFM=∠BMQ=40°，∠PFN=∠FNC=70.所以 因为CF平分∠ACM,∠1=72°，所以∠ACM=2∠1= ∠MFN=∠PFN-∠PFM=30°. 144°.所以∠BCM=180°-∠ACM=36°.又因为∠2=36°， ②因为FN∥ME,所以∠EMQ=∠NFQ=a,∠BGN= 所以∠2=∠BCM.所以CM∥DN. 7.(1)由折叠知∠AEB=∠AEF.因为EG平分∠CEF,所 ∠BME.因为MQ,NF分别平分∠BME,∠CWE,所以∠BGN= 以∠FEG=∠CEG.因为∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG= ∠BME=2∠EMQ=2a,∠CWE=2∠CNG.因为AB∥CD,所 180°，所以∠AEG=∠AEF+∠FEG=90°.因为HG⊥EG,所 以∠CNG=∠BGN=2a.所以∠CWE=4a.同理：∠E= 以∠HGE=90°，所以∠AEG+∠HGE=180°.所以HG∥AE. ∠BME+∠EWD=2a+(180°-4a)=180°-2a. (2)因为∠CEG=20°，∠AEG=90°，所以∠AEB=70°. (3)过点F在∠EFN内作FS∥CD.所以∠CWF+∠SFN 因为AD∥BC,所以∠DAE=∠AEB=70°.因为HG∥AE,所 =180°，因为AB∥CD,所以AB∥FS.同理：∠E=∠AME+ 以∠DHG=∠DAE=70°. ∠EFS.因为∠EFN=∠EFS+∠SFN,所以∠AME+∠EFN+ 专题三平移 ∠CNF=∠AME+∠EFS+∠SFN+∠CNF=∠E+∠SFN 1.D;2.2;3.105°；4.6 +∠CWF=65°+180°=245°. 4