第42期 10.2 平行线的判定 10.3 平行线的性质-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

素养·拓展 数理极 一、平行线的性质与折叠联合 名师点睛 例1如图1，在长方 形ABCD中，点E是AD上 强强联合来解题 一点，点F是BC上一点，将 长方形ABCD沿直线EF折 ⊙广东刘静姝 ∠BED=70°，则∠CBF的度数是 因为OT1AB 叠，点D的对应点为点D', 图1 解：因为AB∥CD, 所以∠BOT=90° 点C的对应点为点C'.若∠1=39°，则∠2的度 所以∠ABE=∠BED=70°（两直线平行， 因为∠D0T=60°， 数是 内错角相等). 所以∠BOD=∠BOT-∠DOT=30°. 解：因为∠DEF+∠AEF=180°，∠1= 因为BC平分∠ABD,BF平分∠DBE, 又因为∠EC0=30°， 39°， ∠ABD,∠DBF 1 所以∠ECO=∠BOD 所以∠DEF+∠D'EF=180°+39°= 所以∠CBD= 所以CE∥AB(同位角相等，两直线平行)： 219°. 四、平行线的性质与判定联合 航以∠DEF=∠DEF=7x2I9=109,59 例4如图4，直线1和 所以∠CBF=∠CBD -∠DBF= 12被直线，和l所截，∠1= 所以∠AEF=∠D'EF-∠1=70.5°. ∠2=130°，∠3=75°，则 因为AD∥BC,所以∠C'FE=∠CFE= (∠ABD-∠DBE)=3∠ABE=35 ∠4的度数是() 图4 ∠AEF=70.5(两直线平行，内错角相等). 故填35° A.75°B.105°C.115D.1309 所以∠2=180°-∠C'FE-∠CFE=39°. 三、平行线的判定与垂线联合 解：因为∠1=∠2， 故填39. 例3如图3，直线AB 所以1∥2（同位角相等，两直线平行）. 二、平行线的性质与角 CD相交于点O,OT⊥AB于 所以∠4+∠5=180（两直线平行，同旁 平分线联合 点0，CE交CD于点C,若 A 内角互补). 例2如图2，已知AB ∠EC0=30°，∠D0T=60°， 由对顶角相等，得∠5=∠3=75° ∥CD,BC平分∠ABD,点E 则CE∥AB吗？请说明理由. 图3 所以∠4=180°-∠5=105°. 在CD上，BF平分∠DBE.若 解：CE∥AB.理由如下： 故选B. 十十…+十十十十十十十十十m十+…十十十十十十十十十十+十十+十十十+十十十十十十十十十十十十十十+十十+十十十十+十十十十十十十 第41期2版参考答案 7.(1)因为0F⊥0E,所以∠E0F=90°.∠1).解得∠1=60°.由对顶角相等，得∠2= 10.1相交线 因为∠C0F=54°，所以∠D0E=180°-∠1=60°. 10.1.1对顶角 ∠E0F-∠C0F=36°.因为∠D0E= 14.如图，过点B作BP 基础训练1.C;2.A; ⊥MW,垂足为P,则点P就是 3.对顶角相等；4.38°. 2∠B0E,所以∠B05=宁∠D0E=18 所求抽水站的位置；连接 5.(1)∠B0D; (2)0B平分∠D0F.理由如下： AB,则线段BA即为自来水厂MP N (2)因为∠BOE:∠EOD=2:3且∠BOD 由(1)得，∠E0F=90°.所以LC0F+到村庄的最短距离.所以沿P一→B→A的路线铺 =∠B0E+∠EOD,∠BOD=80°，所以∠BOE ∠D0E=90°.又因为∠C0F=∠D0E,所以设水管，所用的水管最短.理由是：垂线段最短 =号∠B0D=32所以乙A0E:180°- ∠C0F=∠D0E=45°.因为∠D0E= 和两点之间，线段最短 2∠B0E,所以∠B0E=22.5°.所以∠D0B= 15.(1)0N⊥CD.理由如下： ∠B0E=148°. ∠D0E+∠B0E=67.5°.因为∠B0F= 因为OM1AB,所以∠AOM=90°.所以 6.由对顶角相等，得∠A0D=∠B0C=LE0F-LB0E=67.5°，所以∠D0B=∠1+∠A0C=90°又因为∠1=∠2，所以∠2 140°.因为OE平分LA0D,所以∠A0E=∠B0F.所以0B平分∠D0F. +∠A0C=90°，即∠C0N=90°.所以0N⊥ ∠D0E=)∠A0D=702.所以∠B0E=180 能力提高8.因为∠BOC:∠BOD=2:CD. -∠A0E=110°.因为OF平分∠B0E,所以 1,∠B0C+∠B0D=180,所以∠B0C=号×(2)因为0M上A,所以∠B0W=90e因 ∠E0F=分∠B0E=5.所以∠D0F=180=120,∠B0D=3×180°=60 为∠1=6∠B0C,所以∠1=5∠B01所以 所以∠A0D=∠B0C=120,∠A0C: ∠1=18°.所以∠B0D=180°-∠B0M-∠1 ∠D0E-∠E0F=15°. =72° 能力提高7.40或80. ∠B0D=60°. 16.(1)因为0C⊥0D,所以∠C0D=90° 8.(1)2;(2)6;(3)12 因为OE⊥CD,所以∠COE=∠DOE= 因为∠BOD=40°，所以∠BOC=∠COD- (4)当n条直线相交于一点时，可形成n(n90°， ∠B0D=50°.所以∠A0C=180°-∠BOC= 1)对对顶角. 当点E在钝角∠AOD内部时，∠AOE= 130°.因为0E平分∠A0C,所以∠A0E= (5)当101条直线相交于一点时，可形成 ∠A0D-∠D0E=30°； 10100对对顶角. 当点E在钝角LB0C内部时，∠A0E=2∠A0C=650 10.1.2垂直 ∠A0C+∠C0E=150°. (2)∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角， 基础训练1.C；2.B:3.C; 综上所述，∠A0E的度数为30°或150°. 理由如下： 4.30°；5.15° 第41期3版参考答案 若∠AOE=∠BOD,则∠BOD+∠BOC+ 6.(1)(2)图略： 一、 题号12345678 ∠C0E=180°.由(1)知，∠BOD+∠B0C= (3)OP: 答案DD B CC DBA 90°.所以∠C0E=90°.因为0E平分∠A0C,所 (4)PH<C0.理由如下： 二、9.对J顶角相等；10.42°； 以∠A0C=2∠C0E=180°，不符合题意.所以 由垂线段最短，得PH<P0,P0<C0.所 11.30°；12.135°或45. ∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角. 以PH<CO. 三、13.由题意，得180°-∠1=4(90°- (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2026年4月14日·星期二 初中数学 报纸发行质量反馈电话： 数理超 第 42期总第1186期 沪科 0351-5271248 七年级(AH) 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 17.(1)因为0D平 分∠BOE,所以∠EOD 专题铺导 ∠BOD.因为∠AOC 三线八角 产本周主讲 =∠BOD,所以∠EOD ”好识别 =∠AOC.所以∠FOE 10.2平行线的判定 =2∠A0C=2∠E0D. O江西 李欣瑶 学习目标：理解平行线的概念，探索并掌 因为OF⊥CD,所以 一、明确概念及特征 ∠1与∠2都是内错角 握平行线的判定方法 ∠F0D=90°.所以 1.同位角：两直线被第三条直线所截，无公 10.3平行线的性质 ∠FOE+∠EOD=90° 共顶点的两个角都在其中一条直线的同侧，并 即3∠E0D=90°.所以 学习目标：掌握平行线的性质 人2 ∠E0D=30°.所以 且分别在另两条直线的同一个方向上.所以其 图2 认知重点：灵活运用平行线的性质及判定 ∠DOB = ∠EOD 特征是“同旁同侧” 3.同旁内角的形象如字母“U”状.如图3中 解题，并能进行简单的推理说明，进一步培养 30° 2.内错角：两直线被第三条直线所截，无公 的∠1与∠2都是同旁内角， (2)由(1)得， 表达能力和推理能力」 共顶点的两个角都在两条直线之间，并且分别在 LAOC=∠EOD.因为 第三条直线的两侧.所以其特征是“内部两旁”。 2入 FO⊥CD,所以∠FOC 一、光线问题 =∠F0D=90°.又因 3.同旁内角：两直线被第三条直线所截，无 图3 例1如图1，在地球截 为∠FOC=∠AOF+ 公共顶点的两个角都在两条直线之间，并且都在 例 如图4，请判断∠1与∠3，∠2与∠4。 面图中，AB,CD分别表示赤 ∠AOC,∠FOD 第三条直线的同侧.所以其特征是“内部同旁” ∠5与∠6分别是什么位置关系的角 道和南回归线，冬至正午时， ∠FOE+∠EOD,所以 温馨提示：三种角均是从位置的角度加以 太阳光直射南回归线（太阳 ∠AOF=∠FOE. 定义和区分的，并且三种角分别是成对出现的 光线MD的延长线经过地心 附加题(1)由对 潘 O),此时，太阳光线与地面 十行线魅 I顶角相等，得∠AOD= 每一对角的顶点都不相同，且与角的大小无关 ∠B0C=75°.因为 二、形象感受三种角 水平线EF垂直，测得∠EDN 4 图5 =6634',则∠B0D的大小 ∠AON:∠NOD=2 1.同位角的形象如字母“F”状.如图1中的 解：(1)如图5-①，∠1与∠3可以看成直 所以∠AON= 为 生力 3, ∠1与∠2都是同位角 线DE,BC被直线EC所截形成的同位角； 25 ∠A0D=30° (2)如图5-②，∠2与∠4可以看成直线 (2)OB是∠COM DE,BC被直线BE所截形成的内错角； 的平分线理由如下： 1 (3)如图5-③，∠5与∠6可以看成直线 由(1)知， 当 2.内错角的形象如字母“Z”状.如图2中的 BE,DE被直线BD所截形成的同旁内角， ∠BOC =75°时， 解：因为OM1EF,所以∠EDM=90° ∠A0N=30°.所以 品味方法： 因为∠EDN=6634',所以∠NDM=909 ∠B0N=180°-∠AON ∠EDN=2326. =150°.因为0M平分 ∠BON,所以∠BOM= 判平行有方法 因为AB∥CD,所以∠BOD=∠NDM= 2326'(两直线平行，同位角相等) ∠B0N=75所以 安徽唐世杰 故填2326'. BOC=∠BOM,即 方法一：同位角相等，两直线平行 解：因为AB1 二、出行问题 OB是∠COM的平分 例1如图1，已知 AC,所以∠BAC= 例2某市为方便市民绿色出行，推出了 BE⊥MN于点B,DF⊥ 90°. 共享单车服务.图2-①是某共享单车放在水 (3)号LA0c MW于点D,∠1=∠2.试 因为∠1=309 平地面上的实物图，其示意图如图2-②所示， DOM是定值.设 说明：AB∥CD. ∠B=60°， AB,CD都与地面I平行，AM与CB平行.已知 AON=2x,则∠NOD 解：因为BE⊥MW, 所以∠1+∠BAC+∠B=180°，即∠BAD ∠BCD=58°，∠MAC=72°，则∠BAC的度数 =3x.所以∠AOD= DF⊥MN,所以∠MBE=90°，∠MDF=90°，即 +∠B=180°. 为 ∠AON+∠D0N=5x. ∠ABM+∠1=90°，∠CDM+∠2=90°. 所以AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行) 所以∠A0C=180° 又因为∠1=∠2，所以∠ABM=∠CDM. 方法四：如果两条直线和第三条直线平行】 ∠A0D=180°-5x.因 所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)· 那么这两条直线平行 为OM1ON,所以 方法二：内错角相等，两直线平行 ∠M0W=90.所以 例4如图4，已知∠DAF 例2如图2，已知∠E ∠DOM=∠MOW =∠AFE,∠EFB=∠FBC,则 图2 =∠1，∠3=∠2.试说明： 解：因为AM∥CB,所以∠ACB=∠MAC ∠N0D=90°-3x.所 32 AD与BC平行吗？为什么？ AB∥CE 以号LA0C-∠D0M 解：AD∥BC.理由如下： =72°（两直线平行，内错角相等）. 解：由对顶角相等，得 因为∠DAF=∠AFE, 因为AB∥1，CD∥L,所以AB∥CD(如果 180 ∠1=∠2. -5x) 所以AD∥EF(内错角相 两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线 又因为∠E=∠1，∠3 平行) (90°-3x)=18° ∠2，所以∠3=∠E 等，两直线平行) 所以∠BAC+∠ACD=180°（两直线平 (全文完) 所以AB∥CE(内错角相等，两直线平行). 因为∠EFB=∠FBC T 行，同旁内角互补) 方法三：同旁内角互补，两直线平行 所以EF∥BC(内错角相等，两直线平行). 又因为∠BCD=58°，所以∠BAC=180° 例3如图3，已知∠1=30°，∠B=60° 所以AD∥BC(如果两条直线和第三条直 ∠ACB-∠BCD=50° AB1AC,试说明：AD∥BC. 线平行，那么这两条直线平行) 故填50°. 素养专练 A 数理极 合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直 10.3平行线的性质 跟踪训练 线这样画的依据是 3.如图3，在下列给出 堡础训练 GEnzoNGXUNLIAN 的条件中，可以说明AB∥ 1.如图1，直线a,b被直线c所截，且a∥b.若 10.2平行线的判定 CD的是 (填序 ∠1=45°，则∠2的度数为 ( 10.2.1平行线及“三线八角” 号) 图3 A.45° B.115 ①∠1=∠2：②∠1=∠3；③∠2=∠4： C.125° D.1359 屋础训练 ④∠DAB+∠ABC=180°；⑤∠BAD+∠ADC= 1.如图1，过点A画直线l的平行线，能画 180° 4.如图4，已知AB⊥BC于点B,EF⊥BC于点F A.两条以上 B.2条 (1)试说明：AB∥EF; C.1条 D.0条 (2)过点C作CD∥EF交直线BE于点D,试 判断AB与CD的位置关系，并说明理由. 图1 2.如图2，AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于 点E,F,EG平分∠BEF,若LEFG=50°，则 ∠EGF的大小为 () A.50° B.60° 图1 图2 C.65° D.75 2.如图2，下列说法错误的是 4 3.一副直角三角板按如图3所示放置，点A在 A.∠1与∠2是同旁内角 DE上，若BC∥DE,则∠ACF的度数为 B.∠1与∠4是内错角 C.∠2与∠5是内错角 D.∠3与∠5是同位角 5.如图5，已知∠1=∠2，∠3+∠4=1809 3.如图3，AB∥CD,过点E画EF∥AB,则EF 试说明：AB∥EF. 网4 与CD的位置关系是 一，理由是 图3 4.如图4，AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,则 ∠C和LD的数量关系是」 5.如图5，已知EF∥CD,∠1+∠2=180° (1)判断GD与CA的位置关系，并说明理由； (2)若DG平分∠CDB,∠ACD=40°，求∠A 的度数 图3 4.如图4. 6.如图6，∠DAC是一个锐角，以点B为顶点， (1)∠AED和∠ACB是 被 射线BC为一边，利用尺规作∠EBC,使得∠EBC 所截得的角： =∠A (2)∠DEB和∠ 是DE,BC被 (1)用尺规作出∠EBC(不写作法，保留作图 所截得的内错角： 痕迹)； (3)∠ 和∠ 是DE,BC被AC所 (2)BE与AD一定平行吗？简要说明理由. 截得的同旁内角； (4)∠ 和∠ 是AB,AC被BE所 截得的内错角 5.如图5，直线AC和FD相 G 交于点B,下列说法：①LGBD B 图6 和∠HCE是同位角：②∠ABD 能刀提高 和∠ACH是同位角；③∠FBC 6.在如图6所示的螳螂示意图中，AB∥DE, 和∠ACE是内错角；④∠FBC 图5 能刀提高 ∠ABC=124°，∠CDE=72°，求∠BCD的度数. 和∠HCE是内错角；⑤∠GBC和∠BCE是同旁内 角，其中正确的是 (填序号) 7.如图7，E,F分别是线段AC,AB上一点，点 D在BC的延长线上，连接BE,CF,DE.若∠1= 10.2.2平行线的判定 ∠2，∠ABC=∠ACB,∠EBD=∠D,试说明：CF 屋础训练 ∥DE. 1.如图1，已知∠2=90°，为保证两条铁轨平 行，添加的下列条件中，正确的是 A.∠1=909 B.∠3=90° 图7 C.∠4=90 D.∠5=909 铁轨 铁轨☐ 枕木 枕木 图1 图2 数理报社试题研究中心 2.如图2，将两个完全相同的三角尺的斜边重 (参考答案见下期)】 数理极 素养·测评 15.(10分)如图14，CD⊥AB,垂足为点D 同步达标检测题〈十一) FE⊥AB,垂足为点E,∠ACD+∠F=180°， (1)试说明：AC∥FG; (2)若∠F=3∠G,∠BCD:∠ACD=2:3 ■ TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 求∠BCD的度数. 【检测范围：10.2~10.3】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） :论：①AB∥CD:②AC⊥BC:③CD平分∠BCG; 题号12 3 4 5 6 8 ④∠1=∠3，其中正确的有 A.4个 B.3个 答案 C.2个 D.1个 1.如图1，一条公路的两侧铺设了AB,CD两条 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 平行管道，并有纵向管道AC连通.若∠1=120 9.如图8，小明在纸上画 则∠2的度数是 了两条平行线a,b,又画了 A.50° B.609 C.70° D.80° 条直线c,与a相交于点P,小 明觉得直线c一定和b相交 图8 小明作出这个判断的依据是 16.(12分)如图15，已知AB∥EF,∠1= 10.如图9，把装有水的水槽放在水平桌面上， ∠2，BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD,试说明： 水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射 BE⊥CE. 入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这 图1 图2 种现象在物理上称为光的折射.若∠ABE=45° 2.如图2所示的风筝纸骨架中，与∠1构成同 ∠CBD=19°，则∠BDH的度数为 位角的是 ( A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 3.如图3，将一张长方形纸对折两次，产生的 折痕与折痕之间的位置关系是 图9 图10 11.如图10，已知∠ABD=∠EFD,∠FEC与 图3 ∠ECD互补，当∠FEC=150°，∠ABC=46°时， A.平行 B.垂直 ∠BCE的度数为 17.(14分)如图16，已知AB∥CD,∠1= C.平行或垂直 D.无法确定 12.将一副三角尺按如图 ∠2. 4.如图4，已知∠BAE=∠D,∠1=34°，则11所示的方式叠放在一起（其 (1)试说明：EF∥NP; ∠2= ( )中∠A=60°，∠D=30°，∠E (2)若FH平分∠EFG,交CD于点H,交NP于 A.1469 B.24 C.56° D.34° =∠B=45),若固定三角形 点0，∠1=40°，∠FHG=10°，求∠FGD的度数， ACD,改变三角形BCE的位置 4_N (其中点C的位置始终不变)， -B 图11 且∠ACE<135°，点E在直线AC的上方.当三角 0 形ACD的一边与三角形BCE的某一边平行时，则 P G D ∠ACE的度数为 图16 图4 三、耐心解一解（共52分） 5.将文具套尺中的量角器和三角板按照如图 13.(8分)如图12，已知∠B=46°，EF交AB 5所式摆放，其中∠A=30°，三角板的直角顶点C:于点D,DG平分∠ADE,∠ADG=7°，试说明：BC 与量角器的中心重合，DE为量角器的直径.下列∥EF. 条件中，不能判定AB∥DE的是 A.∠ACD=30 B.∠BCE=60° C.∠B+∠BCD=180 D.∠BCE+∠BCD=180 图12 6.如图6，将长方形ABCD 沿EF折叠后，EM与BF交于 附加题⊙ 点G,若∠EFG=50°，则 (以下试题供各地根据实际情况选用) ∠BGE的度数为 己知AB∥CD A.100° B.110° (1)如图1，请探索∠A,∠E,∠C三个角之间 C.120° D.130° 图6 14.(8分)如图13，已知三角形ABC,点P在三 的数量关系，并说明理由 7.某500米短道速滑运动员在一次速滑训练角形ABC内，利用尺规在BC上找一点Q,使得直线 (2)已知∠A=24 中，经过两次拐弯后的速滑方向与原来的方向相PQ∥AC(不写作法，保留作图痕迹). ①如图2，若∠F=100°，求∠C+∠E的度数； 反，则两次拐弯的角度可能是 ②如图3，若∠AEF和∠DCF的平分线交于点 A.第一次向左拐52°，第二次向右拐52° G,请写出∠EGC与∠F的数量关系，并说明理由. B.第一次向左拐48°，第二次向左拐48° B A- -B C.第一次向左拐73°，第二次 向右拐107° D.第一次向左拐32°，第二次 向左拐148° 图13 图2 图3 8.如图7，BC平分∠ABD,∠1 数理报社试题研究中心 =∠2，∠4+∠2=90°，下列结 (参考答案见下期)初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期 发理橘 答案详解 2025.2026学年 初中数学·沪科七年级(AH) 第41~44期(2026年4月) 所以∠A0D=∠B0C=120°，∠AOC=∠B0D=60° 第41期2版 因为OE⊥CD,所以∠C0E=∠D0E=90 10.1相交线 当点E在钝角∠AOD内部时，∠AOE=∠AOD-∠DOE 10.1.1对顶角 =30°； 基础训练1.C;2.A; 当点E在钝角∠BOC内部时，∠AOE=∠AOC+∠COE= 3.对顶角相等；4.38 150°. 5.(1)∠B0D: 综上所述，∠A0E的度数为30°或150° (2)因为∠B0E:∠E0D=2:3且∠BOD=∠B0E+ ∠B0D,∠B0D=80,所以∠B0E=号∠B0D=32所以 第41期3版 题号 23 45678 ∠A0E=180°-∠B0E=148°. 6.由对顶角相等，得∠A0D=∠B0C=140°.因为0E平 答案 D D BC CD B A 分∠A0D,所以∠A0E=∠D0E=∠A0D=70,所以 二、9.对顶角相等；10.42°；11.30°；12.135°或45° 三、13.由题意，得180°-∠1=4(90°-∠1).解得∠1= ∠B0E=180°-∠AOE=110°.因为OF平分∠BOE,所以 60°.由对顶角相等，得∠2=∠1=60°. ∠EOF=7∠B0E=55所以∠D0F=LD0E-LE0F= 14.如图，过点B作BP⊥MN,垂足为 15 P,则点P就是所求抽水站的位置；连接 B 能力提高7.40或80. AB,则线段BA即为自来水厂到村庄的最 8.(1)2;(2)6；(3)12 短距离.所以沿P→B→A的路线铺设水MP (4)当n条直线相交于一点时，可形成n(n-1)对对顶角. 管，所用的水管最短.理由是：垂线段最短和两点之间，线段最 (5)当101条直线相交于一点时，可形成10100对对顶角. 短 10.1.2垂直 15.(1)ON⊥CD.理由如下： 基础训练1.C;2.B;3.C; 因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°.所以∠1+∠AOC= 4.30°；5.15°. 90°.又因为∠1=∠2，所以∠2+∠A0C=90°，即∠C0N= 6.(1)(2)图略； 90.所以ON⊥CD. (3)OP: (2)因为OM⊥AB,所以∠B0M=90°.因为∠1= (4)PH<C0.理由如下： ∠B0C,所以∠1=写∠B0M所以∠1=18所以∠B0D 6 由垂线段最短，得PH<PO,PO<CO.所以PH<CO. 7.(1)因为OF⊥0E,所以∠E0F=90°.因为∠C0F= =180°-∠B0M-∠1=72. 54°，所以∠D0E=180°-∠E0F-∠C0F=36°.因为∠D0E 16.(1)因为OC⊥OD,所以∠C0D=90°.因为∠B0D= 40°，所以∠B0C=∠C0D-∠B0D=50°.所以∠A0C=1809 =2∠80E,所以L80E=号∠D0E=18 ∠B0C=130°.因为0E平分∠A0C,所以∠A0E= (2)OB平分∠D0F.理由如下： 2∠A0C=650 1 由(1)得，∠E0F=90°.所以∠C0F+∠D0E=90°.又因 为∠C0F=∠D0E,所以∠C0F=∠D0E=45°.因为∠D0E (2)∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角.理由如下： =2∠B0E,所以∠B0E=22.5°.所以∠D0B=∠D0E+ 若∠AOE=∠B0D,则∠B0D+∠B0C+∠COE=180 ∠B0E=67.5°.因为∠B0F=∠E0F-∠B0E=67.5°，所以 由(1)知，∠B0D+∠B0C=90°.所以∠C0E=90°.因为OE ∠DOB=∠BOF.所以OB平分∠DOF. 平分∠A0C,所以∠A0C=2∠C0E=180°，不符合题意.所以 能力提高8.因为∠BOC:∠B0D=2:1,∠B0C+ ∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角， ∠B0D=1802,所以∠B0C=号×180°=120°，∠B0D=号 1 17.(1)因为OD平分∠B0E,所以∠EOD=∠BOD.因为 ∠AOC=∠BOD,所以∠EOD=∠AOC.所以∠FOE= ×180°=60° 2∠A0C=2∠E0D.因为0F⊥CD,所以∠F0D=90°.所以 初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期 ∠F0E+∠EOD=90°，即3∠EOD=90°.所以∠E0D=30° 5.(1)GD∥CA.理由：因为EF∥CD,所以∠1+∠ACD= 所以∠D0B=∠E0D=30°. 180°.因为∠1+∠2=180°，所以∠ACD=∠2.所以GD∥ (2)由(1)得，∠AOC=∠E0D.因为F01CD,所以 CA. ∠F0C=∠FOD=90°.又因为∠FOC=∠AOF+∠A0C, (2)由(1)，得∠2=∠ACD=40°.因为DG平分∠CDB, ∠FOD=∠FOE+∠EOD,所以∠AOF=∠FOE. 所以∠BDG=∠2=40°.因为GD∥CA,所以∠A=∠BDG= 附加题(1)由对顶角相等，得∠AOD=∠B0C=75, 40° ]为∠A0N:∠N0D=2:3,所以∠A0N=号∠A0D=309 能力提高6.过点C在∠FCD内作CM∥DE,图略.因为 AB∥DE,所以AB∥DE∥CM.又因为∠ABC=124°，∠CDE (2)OB是∠COM的平分线.理由如下： =72°，所以∠BCM=∠ABC=124°，∠DCM=180°-∠CDE 由(1)知，当∠B0C=75°时，∠AOW=30°.所以∠B0W =108°.所以∠BCD=∠BCM-∠DCM=16°. =180°-∠AON=150°.因为0M平分∠B0N,所以∠B0M= 2∠B0N=75,所以∠B0C=∠B0M,即0B是∠C0M的平 第42期3版 分线 题号 1 2 34 5 678 (3)子LA0C-LD0M是定值设LA0N=2x,则L0D 答案 BA AD DA DB =3x.所以∠A0D=∠AON+∠D0N=5x.所以∠A0C= 二、9.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行： 180°-∠A0D=180°-5x.因为0M⊥0N,所以∠M0N=90° 10.64°；11.16°；12.30°或45°或120° 三、13.因为DG平分∠ADE,∠ADG=67°，所以∠ADE= 所以∠D0N=∠W0N-∠N0D=90-3x所以号∠A0C- 2∠ADG=134°.所以∠ADF=180°-∠ADE=46°.因为∠B =46°，所以∠ADF=∠B.所以BC∥EF ∠DOM= 3(180°-5x)-(90°-3x)=180 14.如图2，直线PQ即为所求. 第42期2版 15.(1)因为CD⊥AB,FE⊥AB 所以∠CDA=∠FEA=90°.所以CD 10.2平行线的判定 ∥FE.所以∠ACD+∠EHC=180°. 10.2.1平行线及“三线八角” 因为∠ACD+∠F=180°，所以 基础训练1.C；2.C; ∠EHC=∠F.所以AG∥FG 图2 3.EF∥CD,如果两条直线和第三条直线平行，那么这两 (2)由∠BCD:∠ACD=2:3,设∠BCD=2x,∠ACD= 条直线平行； 3x.因为AC∥FG,所以∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x. 4.(1)DE,CB,AC,同位；(2)EBC,BE；(3)DEC,ECB; 因为∠F=3∠G,所以∠F=15x.因为∠ACD+∠F=180°， (4)ABE,BEC;5.②③⑤. 所以3x+15x=180°.解得x=10.所以∠BCD=20°. 10.2.2平行线的判定 16.因为BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD,所以∠ABE= 基础训练1.C；2内错角相等，两直线平行； 3.②③⑤. 7∠ABC,∠2=∠BCD=7∠BCD.又因为∠1=∠2，所以 4.(1)因为AB⊥BC,EF⊥BC,所以∠ABC=∠EFC= ∠1=∠ECD.所以EF∥CD.又因为AB∥EF,所以AB∥CD, 90°.所以AB∥EF (2)图略.AB∥CD.理由：由(1)，得AB∥EF.又因为CD 所以LABC+∠BCD=180所以∠ABE+∠2=(LABC ∥EF,所以AB∥CD. +∠BCD)=90°.因为AB∥EF,所以∠ABE=∠BEF.所以 5.因为∠1=∠2，所以AB∥CD.因为∠3+∠4=180°， ∠BEF+∠1=90°，即∠BEC=90°.所以BE⊥CE. 所以CD∥EF.所以AB∥EF 17.(1)因为AB∥CD,所以∠BNP=∠2.又因为∠1= 6.(1)如图1，∠EBC或∠E'BC ∠2，所以∠BNP=∠1.所以EF∥NP. 即为所求 (2)过点F在∠EFG内作FM∥AB,图略.因为AB∥CD, (2)BE与AD不一定平行.①当 所以AB∥FM∥CD.所以∠EFM=∠1=40°，∠HFM= 所作的角在BC上方时，BE与AD平 ∠FHG=10°.所以∠EFH=∠EFM+∠HFM=50°.因为FH 行.因为∠EBC=∠A,所以BE∥ 图1 平分∠EFG,所以∠GFH=∠EFH=50°所以∠MFG= AD.②当所作的角在BC下方时，BE与AD不平行. ∠HFM+∠GFH=60°.因为FM∥CD,所以∠FGD=∠MFG 能力提高7.因为∠ABC=∠ACB,∠1=∠2，所以 =60° ∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，即∠EBD=∠FCB.又因为 附加题 ∠EBD=∠D,所以∠FCB=∠D.所以CF∥DE. (1)∠AEC+∠C-∠A=180°.理由如下： 10.3平行线的性质 过点E在∠AEC内作EM∥AB,图略.因为AB∥CD,所以 基础训练1.A；2.C;3.15; AB∥EM∥CD.所以∠AEM=∠A,∠MEC+∠C=180°.所 4.∠C+∠D=180°. 以∠AEM+∠MEC+∠C=∠A+180°，即∠AEC+∠C-∠A 2 初中数学·沪科七年级(AH) 第41~44期 =180° 5.(1)连接AD,图略.平移的方向是点A到点D的方向，平 (2)①过点F在∠EFC内作FN∥AB,图略.因为AB∥ 移的距离是线段AD的长度 CD,所以AB∥FN∥CD.所以∠C+∠NFC=180°.所以∠C (2)图略. =180°-∠NFC.由(1)，得∠E+∠EFN-∠A=180°.所以 6.(1)图略. ∠E=180°-∠EFN+∠A.所以∠C+∠E=180°-∠NFC (2)三角形A'B'C的面积为8. +(180°-∠EFN+∠A)=360°-（∠NFC+∠EFN)+∠A 第43期3版 =360°-∠EFC+∠A=360°-100°+24°=284°. ②∠ECC+分∠F=168,理由如下： 题号 1 2345678 由①，得∠AEF+∠DCF=360°-∠F+∠A.因为∠AEF 答案A C D C CB A D 和LDCF的平分线交于点G,所以LAEG=LGEF= 二、9.∠F,AB;10.10;11.230°；12.2或4 号∠ABP,∠nCG=∠cCF=∠CR过点E在∠ABG内作 三、13.图略 14.因为将三角形ABC沿BC方向平移2.5cm得到三角形 EH∥AB,过点G在∠EGC内作GQ∥AB,图略，则GQ∥AB∥ DEF,所以AD=BE,AB=DE.所以阴影部分的周长=AD+ EH∥CD.所以∠EGQ=∠HEG,∠QGC=∠DCG,∠A= EC+DE +AC BE EC+AB +AC AB +AC BC =3+ ∠AEH.所以∠EGQ=∠HEG=∠AEG-∠AEH=∠AEG- 2+4=9(cm). ∠A.所以LEGC=∠EGQ+∠QGC=∠AEG-∠A+∠DCG= 15.(1)该种红地毯的长是：2.6+5.8=8.4(m) 2(LAEF+∠DCF)-∠A=2(360P-∠F+∠A)-∠A (2)该种红地毯的面积是：8.4×2=16.8(m2). (3)购买该种红地毯至少需要：16.8×30=504（元）. 180-7∠F-7∠A=180-74F-12=168- 2 ∠F 16.(1)因为三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形 即∠EGG+7∠F=168 DEF,所以AC∥DF,AD∥BF 所以∠ACB=∠F,∠ACB=∠DAC 所以LF=∠DAC 第43期2版 又因为∠DAC=56°，所以∠F=56° 10.4平移 (2)因为三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形 10.4.1平移现象 DEF,所以AD=CF. 基础训练1.A;2.C. 设AD=xcm,则CF=xcm. 3.答案不惟一，如图1为平移4根火柴棒变成三个相同的正 因为Sa8m=子5e,BC=6m,所以号(+6+ 方形；如图2为平移4根火柴棒变成相同的四个正方形 ·AB=子×分×64B解得x=4所以0的长为4m 17.(1)由平移的性质知，DE∥D'E.所以∠CED= ∠CPD.由题意知，∠CED=60°.所以∠CPD'=60°. (2)由题意知，∠A=30°，∠CED=60°.由平移的性质 知，∠C'ED'=∠CED=60°，CE∥C'E.所以∠BE'C'=∠A 能力提高4.540. =30°.所以∠BED'=∠BEC'+∠CED'=90°，所以AB⊥ 10.4.2平移的性质 E'D'. 基础训练1.B;2.C；3.C;4.A; 附加题(1)因为DE∥AB,所以∠BAE+∠E=180° 5.35:6.42. 又因为∠B=∠E,所以∠BAE+∠B=180°， 7.(1)图中所有平行的直线有：AE∥CF,AC∥DF,BC∥ 所以AE∥BC. EF. (2)①25： (2)图中与AD相等的线段有：线段CF和线段BE,其长度 ②如图3，当点P在线段AD上时，过点D作DF∥AE交AB 为2cm. 于点F (3)因为AE∥CF,∠ABC=65°，所以∠BCF=∠ABC= 由平移的性质知，PQ∥AE. 65°.因为BC∥EF,所以∠EFC+∠BCF=180.所以∠EFC 所以DF∥PQ =115 所以∠QDF=180°-∠Q. 8.(1)平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线 因为DF∥AE,∠E=65°，所以∠EDF=180°-∠E= 段AD的长度， 115 (2)因为三角形ABC平移到三角形DEF的位置，所以CF 又因为∠Q=2LED0,即LBDQ=2∠Q,所以∠QDF =AD.因为CF+BC=BF,所以AD+BC=BF 能力提高9.18. =∠BDF+∠BD0=15+LQ=180°-∠Q 10.4.3平移作图 基础训练1.C;2.A;3.2;4.3和5. 所以∠0=130 3 初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期 5.图略。 第44期3,4版 一、题号1 234 5 678910 图3 图4 二、11.垂线段最短；12.答案不惟一，如∠C=∠D; 如图4，当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF∥ 13.26°；14.56°；15.6或43.5. AE交AB于点F' 三、16图略. 由平移的性质知，PQ∥AE. 17.∠BFC=30 所以DF'∥PQ 18.∠A0D=60 所以∠QDF'=180°-∠Q, 因为DF'∥AE,∠E=65°，所以∠EDF=180°-∠E= 19.(1)因为∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC= 115 180°，所以∠EFC=∠ADC.所以EF∥AB.所以∠ADE= ∠DEF 又因为∠0=2∠BD0,即∠BD0=号∠Q,所以∠QDF (2)因为∠ADE=∠DEF,∠DEF=∠B,所以∠ADE= =∠EDF-∠BD0=15-7∠Q=180-L0 ∠B.所以DE∥BC.所以∠AED=∠ACB,∠CDE=∠BCD.又 因为∠AED=2∠CDE,所以∠ACB=2∠BCD.所以∠ACD= 所以∠Q=130 ∠ACB-∠BCD=2∠BCD-∠BCD=∠BCD,即∠ACD= 综上所述，∠0的度数为9或130 ∠BCD 20.(1)∠B'EC=2∠A'.理由如下： 第44期2版 因为三角形A'B'D'是由三角形ABD平移得到的，所以 专题一相交线 ∠A'=∠BAD,A'B'∥AB.所以∠B'EC=∠BAC.因为AD平 1.D;2.垂线段最短；3.135°. 分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD.所以∠B'EC=2∠A'. 4.(1)因为E0⊥AB,所以∠B0E=90°.因为∠D0E= (2)因为三角形A'B'D'是由三角形ABD平移得到的，所以 2∠B0D,所以3∠B0D=90°.所以∠B0D=30°，∠D0E= ∠B'A'D'=∠BAD,A'B∥AB.所以∠BA'C=∠BAC.由(1) 60°.所以∠C0E=180°-∠D0E=120°. 得∠BAC=2∠BAD.所以∠BA'C=2∠B'A'D.所以A'D'平 (2)因为∠B0D=30°，所以∠C0B=∠C0F+∠B0F= 分∠B'A'C. 180°-∠B0D=150°.因为∠C0F=4∠B0F,所以5∠B0F= 2L.(1)过点E在∠MEN内作EF∥AB,图略.所以∠MEF 150°.所以∠B0F=30°.所以∠D0F=∠B0D+∠B0F= =∠1.因为AB∥CD,EF∥AB,所以EF∥CD.所以∠NEF= 60°. ∠2.因为∠MEN=∠MEF+∠NEF,所以∠MEN=∠1+ 专题二平行线 ∠2. 1.B:2.D:3.①③. (2)①因为∠CNE=140°，所以∠END=180°-∠CWE 4.过点D作∠EDC=∠C,点E在点D的右边，且在线段 =40°.因为AB∥CD,∠BME=80°，同理：∠MEN=∠BME+ BA的延长线上，图略.理由：因为∠EDC=∠C,所以DE∥ ∠END=120°. BC(内错角相等，两直线平行). 5.因为∠DCE=60°，∠ACF=10°，所以∠ACD=180°- 因为锐角∠BME和钝角∠CVE的平分线所在的直线交于 ∠DCE-∠ACF=110°.因为AB∥CD,所以∠A=180°- 点F,所以∠FNC=分LcNE=70,∠Bw0=∠BME ∠ACD=70°. 40°.过点F在FN右侧作FP∥AB,图略.所以FP∥AB∥CD. 6.CM∥DN.理由如下： 所以∠PFM=∠BMQ=40°，∠PFN=∠FNC=70.所以 因为CF平分∠ACM,∠1=72°，所以∠ACM=2∠1= ∠MFN=∠PFN-∠PFM=30°. 144°.所以∠BCM=180°-∠ACM=36°.又因为∠2=36°， ②因为FN∥ME,所以∠EMQ=∠NFQ=a,∠BGN= 所以∠2=∠BCM.所以CM∥DN. 7.(1)由折叠知∠AEB=∠AEF.因为EG平分∠CEF,所 ∠BME.因为MQ,NF分别平分∠BME,∠CWE,所以∠BGN= 以∠FEG=∠CEG.因为∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG= ∠BME=2∠EMQ=2a,∠CWE=2∠CNG.因为AB∥CD,所 180°，所以∠AEG=∠AEF+∠FEG=90°.因为HG⊥EG,所 以∠CNG=∠BGN=2a.所以∠CWE=4a.同理：∠E= 以∠HGE=90°，所以∠AEG+∠HGE=180°.所以HG∥AE. ∠BME+∠EWD=2a+(180°-4a)=180°-2a. (2)因为∠CEG=20°，∠AEG=90°，所以∠AEB=70°. (3)过点F在∠EFN内作FS∥CD.所以∠CWF+∠SFN 因为AD∥BC,所以∠DAE=∠AEB=70°.因为HG∥AE,所 =180°，因为AB∥CD,所以AB∥FS.同理：∠E=∠AME+ 以∠DHG=∠DAE=70°. ∠EFS.因为∠EFN=∠EFS+∠SFN,所以∠AME+∠EFN+ 专题三平移 ∠CNF=∠AME+∠EFS+∠SFN+∠CNF=∠E+∠SFN 1.D;2.2;3.105°；4.6 +∠CWF=65°+180°=245°. 4