第43期 10.4 平移-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

4 素养·拓展 数理极 名师点睛： 一、对平移的概念 趔 ·借助平移设计图案 理解不准确 例1 下列现象 诊 ◎湖南刘建宇 中，属于平移的是 ) 移 利用图形的平移，可以设计出许多美丽的可以由一组基本图案平移得到，所以这个基本 ①投篮时篮球的 图案，通过图形的设计，可以提高同学们对平移图案可以为：“※◆”，“※◆※◆”， 的理解，同时能够增强同学门的抽象思维能力. “※◆※◆※◆”，而由“※◆※”平移后的图案 运动：②用打气筒打气 O 下面针对图形的平移设计举例分析说明. 与原图案不一致. [时，活塞的运动；③钟 摆的摆动：④汽车雨刷 例1下列各项中，不是由平移设计的是 故选D. 例3请通过平移如图1所示的图形，设计 的运动. 李 两种以上的图案 A.①② B.②③ 台 C.①②④ D.② B 错解：选A. 解：根据平移的定义：把一个图形整体沿某 图1 直线方向移动一定的距离，图形的这种移动 解：答案不惟一，如图2，图3所示 剖析：在同一平面 叫作平移，可知A,B,C选项的图案都是由平移 内，将一个图形上的所 有点都沿某个直线方 设计的，而D选项的图案不能由平移得到 故选D. 向移动一定的距离，图 例2图案“※◆※◆※◆必◆必◆※◆必◆” 形的这种移动叫作平移.①投篮时篮球的运 图 可以由一组基本图案反复平移（不重叠）得到， 动不是沿直线的移动，不属于平移；②用打气 这个基本图案不可能是 筒打气时，活塞的运动是沿直线的移动，属于 ( A.※◆ B.※◆※◆ 平移；③钟摆的摆动不是沿直线的移动，不属 C.※◆※◆※◆ D.※◆※ 于平移：④汽车雨刷的运动不是沿直线的移 解：因为“图案必◆※◆※◆※◆必◆必◆※◆” 图3 动，不属于平移. 正解：选D 第42期2版参考答案 略.因为AB∥DE,所以AB∥DE∥CM.又因为∠ABC 二、对平移的距离理解不透彻 10.2平行线的判定 =124°，∠CDE=72°，所以∠BCM=∠ABC=124°， 例2如图1，请将图中的“蘑菇”向右平移 10.2.1平行线及“三线八角” ∠DCM=180°-∠CDE=108°.所以∠BCD=∠BCM 基础训练1.C;2.C; -∠DCM=16° 6格 3.EF∥CD,如果两条直线和第三条直线平行，那 第42期3版参考答案 么这两条直线平行： 4.(1)DE,CB,AC,同位；(2)EBC,BE 一、 题号12345678 (3)DEC,ECB;(4)ABE,BEC;5.②③⑤. 答案BAAD D A D B 10.2.2平行线的判定 图1 图2 二、9.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 基础训练1.C；2.内错角相等，两直线平行； 错解：如图2所示 平行；10.64°；11.16°；12.30°或45°或120°. 3.②③⑤. 剖析：平移的距离是指任意两个对应点之 三、13.因为DG平分∠ADE,∠ADG=67°，所以 4.(I)因为AB⊥BC,EF⊥BC,所以∠ABC= ∠ADE=2∠ADG=134°.所以∠ADF=180°-∠ADE 间的距离，而不是两个图形之间的距离. ∠EFC=90.所以AB∥EF =46°.因为∠B=46°，所以∠ADF=∠B.所以BC∥ 正解：如图3所示 (2)图略.AB∥CD.理由：由(1)，得AB∥EF又因 EF 为CD∥EF,所以AB∥CD. 14.如图2，直线PQ即为 5.因为∠1=∠2，所以AB∥CD.因为∠3+∠4= 所求 18O°，所以CD∥EF.所以AB∥EF 15.(1)因为CD⊥AB 6.(1)如图1，∠EBC或 FE⊥AB,所以∠CDA= 图3 ∠E'BC即为所求， ∠FEA=90°.所以CD∥FE. 三、对平移的性质掌握不全面 (2)BE与AD不一定亚 所以∠ACD+∠EHC=180°. 行.①当所作的角在BC上方 2 例3下列说法中，不正确的是 ( 因为∠ACD+∠F=180°，所以∠EHC=∠F.所以AC 时，BE与AD平行.因为 A.图形平移前后，对应线段、对应角相等 ∥FG. ∠EBC=∠A,所以BE∥AD 图1 B.图形平移前后，连接对应点的线段平行 (2)由∠BCD:∠ACD=2:3,设∠BCD=2x, ②当所作的角在BC下方时，BE与AD不平行. (或在同一条直线上)且相等 ∠ACD=3x.因为AC∥FG,所以∠G=∠ACB= 能力提高7.因为∠ABC=∠ACB,∠1=∠2，所 C.图形平移过程中，对应线段一定平行 ∠BCD+∠ACD=5x.因为∠F=3∠G,所以∠F= 以∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，即∠EBD=∠FCB.又 15x.因为∠ACD+∠F=180°，所以3x+15.x=180°.解 D.图形不论平移到何处，它与原图形总是 因为∠EBD=∠D,所以∠FCB=∠D.所以CF∥DE. 得x=10°.所以∠BCD=20°. 完全相同的 10.3平行线的性质 16.因为BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD,所以 错解：选B 基础训练1.A;2.C;3.15° LABE=LABC,L2=LECD=7LBCD.又因为 剖析：平移只改变图形 4.∠C+∠D=180°. 的位置，不改变图形的形状 5.(1)GD∥CA.理由：因为EF∥CD,所以∠1+∠1=∠2，所以∠1=∠ECD.所以EF∥CD.又因为AB LACD=180°.因为∠1+∠2=180°，所以LACD=∥EF,所以AB∥CD.所以∠ABC+∠BCD=180°.所 和大小，即经过平移，对应 ∠2.所以GD∥CA. 线段相等，对应角相等.由 图4 (2)由(1)，得∠2=∠ACD=40°.因为DG平分 以∠ABE+∠2=7(LABC+∠BCD)=90°.因为AB 平移的性质可知，图形不论平移到何处，它与原 ∠CDB,所以∠BDG=∠2=40°.因为GD∥CA,所以∥EF,所以∠ABE=LBEF.所以∠BEF+∠1=90°， 图形总是重合的，需要注意的是对应线段不 ∠A=∠BDG=40° 即∠BEC=9O°.所以BE1CE. 定总平行，还可能在同一条直线上，如图4. 能力提高6.过点C在∠FCD内作CM∥DE,图 (下转1,4版中缝) 正解：选C 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话！ 数理极 2026年4月21日·星期二 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 43期总第1187期 沪科 0351-5271248 七年级(AH) 上接4版参考答案) 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 17.(1)因为AB CD.所以∠BNP=∠2. 品味方法 又因为∠1∠2，所以 ∠BWP=∠1.所以EE ∥NP. 平移作图方法点拨 产本周主讲 EFG内作FM AB 10.4平移 图略.因为AB∥CD,所 ⊙山西张家权 学习目标：1.通过具体实例认识平移，并 以AB∥FM∥CD.所 EFM <1 探索它的基本特征 一、平移作图的一般步骤 连接AB,BC1,CD1,DA1 HFM ∠FHG 2.认识并欣赏平移在自然界和现实生活 0 所以 ∠EFH 般来说，简单的平移作图有以下五个步骤： 四边形A,BC,D即为四边形ABCD平移后 中的应用」 EFM HFM 09 因为FH =分 (1)分析题目要求，找出平移的方向和距离； 的图形 认知重点：1理解平移的基本特征，能够 EFG,所以 ∠GFH (2)分析所作的图形，找出图形的关键点； 50°. 2.已知原图形和一对对应边，求作平移后 按照要求画出简单平面图形平移后的图形. /EFH ∠MFG ∠HFM (3)按平移的方向和距离平移各个关键点； GEH、 的图形 2.掌握平移的性质，并会利用其解决实际 60°.因为FM CD,所以 ∠FGD (4)连接所的咯个关键点，并标上相应字母； 当已知原图形和一对对应边，求作平移后 ∠MF =609 (5)得出结论： 附加题 的图形时，可根据这一对对应边上的两个端点 (1)∠AEC 二、平移作图的一般类型 确定平移的方向和距离，利用平移的性质“平移 作平移后的图形时，可直接根据平移方向和平 A 180°.理由如下 1.已知原图形和一对对应点，求作平移后 过点E在∠AEC 的图形 不改变图形的大小和形状”及“对应边平行且相移距离，分别找出能够确定图形形状的一些对 EM∥AB,图略.因为 CD 所以AB 'CD.所以∠AEM 当已知原图形和一对对应点，求作平移后 等”，分别找出能够确定图形形状的另一些对应应点，然后作出平移后的图形. 例3在如图5所示的方格纸中，每个小正 ∠A,∠MEC+∠C= 的图形时，可根据这一对对应点所确定的方向 点，进而作出平移后的图形 180°. 所以∠AEM 和距离，利用平移的性质“经过平移，对应点所 例2如图3，经过平移，三角形ABC的边 方形的边长都为1，三角形ABC的三个顶点都在 180°，即 AEC+∠C 连的线段平行（或在同一条直线上）且相等” AB移到了EF,作出平移后的图形 格点上，画出将三角形ABC沿直线AB的方向向 ∠A=180° 分别找出能够确定图形形状的另一些对应点 右平移2格得到的三角形A,B,C, EFC 内作FN 作出平移后的图形. 图各.大内为AB// 以AB∥FN∥CD.所 例1如图1，点A,是四边形ABCD的顶点 /NFC=180 1平移后的对应点，作出平移后的四边形 /A= 180° 解析：如图4，分别过点E,F作出与AC,BC 1809 所以 平行的射线EG,FG,两条射线相交于点G FC 三角形EFG即为三角形ABC平移后的图 图5 图6 (180° ∠EFN A)=360°-（∠NFC 形. 解析：本题只需分别作出点A,B,C沿直线 EFN 60 <A ,∠EFC+∠A 解析：如图2，过点B,C,D分别作线段BB, 3.已知原图形、平移方向和平移距离，求作AB的方向向右平移2格后的对应点A1,B,C, 360 -100°+24° CC,DD,使BB,∥CC,∥AA,CC,与DD1在同 平移后的图形 284 然后将其按原来的方式顺次连接，即可得到所 ②LEGC+ 条直线上，且BB1=CC1=DD1=AA1 当已知原图形、平移方向和平移距离，求 求作的三角形A,B,C.如图6所示 168°.理由如下 由①，得 ∠AE 一、用于求平移的距离 专题辅导 ∠DCF=360°-∠F 例1 如图1，三角形 ∠A.因为∠AEF和 ∠DcF的平分线交 ABC沿BC方向平移得到三 G,所以LAEG=∠GEi 平移的性质体验馆 角形DEF,若BC=5,EC= =2∠AEF,LDCG ○安徽闫学霖 2,则平移的距离是（ ∠GCF=∠DC过 因为∠2=130°，所以∠1= 180 /2= +DF +AD AB+BC -AD=9 A.1 B.2 点E在∠AEG内作EH 50° 3+3=15(cm) AB, 寸点G在 LEGC C.3 D.4 故选D 寸作GQ∥AB,图略，则 故选B GQ∥AB∥EH∥CD 分析：根据平移的性质：经过平移，对应，点 /EGO=∠HEG 所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等， 三、用于求周长 四、用于求面积 DCG.ZA 例3如图3，将周 找对应点，对应点间的距离就是平移的距离 例4如图4，三角形 ∠AEH.所以∠EGQ /HEG= ∠AEG 长为9cm的三角形ABC AEH=∠AEG- ∠A 解：因为点B平移后的对应点是点E,所以 ABC的边BC长为4cm.将三 所以∠EGC=∠EGQ 沿BC边向右平移3cm, 线段BE就是平移的距离.因为BC=5,EC=2, 角形ABC向上平移2cm得 ∠QGC=.∠AEG-∠A 所以BE=BC-EC=3. 得到三角形DEF,连接 到三角形A'B'C',且BB LDCG = 2(LAEF 4D,则四边形ABFD的周长为 BC,则阴影部分的面积为 ∠DCF)-∠A= 故选C. A.17 cm B.15 cm (360°-∠F+∠A) 二、用于求角度 cm2. 2 C.13 cm D.12 cm ∠A=180°- ∠F 例2如图2，将线段 分析：根据平移的性质得出阴影部分的面 分析：根据平移的性质可得AD=CF= CD平移至C'D',若∠2 积等于四边形BB'C'C的面积解答即可 ∠A=180°- 3cm,DF=AC,然后根据三角形和四边形的周 130°，则∠1等于 长公式计算即可 解：因为三角形ABC向上平移2cm得到三 120=16-R A.130 B.90° 解：因为三角形ABC的周长为9cm 角形A'B'C, ∠EGC+ C.65° D.509 所以AB+BC+AC=9cm 所以BB'=2cm 168° (全文完) 分析：根据平移的性质可得到CD∥C'D', 因为三角形ABC沿BC边向右平移3cm得 因为BC=4cm,BB'⊥BC 然后根据平行线的性质计算即可. 到三角形DEF, 所以阴影部分的面积等于四边形BB'C'C 解：由平移的性质可知CD∥CD' 所以AD=CF=3cm,DF=AC. 的面积=BC·BB'=4×2=8(cm2) 所以∠1+∠2=180° 所以四边形ABFD的周长=AB+BC+CF 故填8. 素养专练 数理极 10.4.3平移作图 n 跟踪训练 垦础训练 GENZONGXUNLIAN 1.下列平移作图错误的是 10.4平移 图 4.如图2，三角形ABC中，∠ABC=90°，沿 10.4.1平移现象 BC所在的直线向右平移得到三角形DEF,下列结 垦础训练 论不一定成立的是 1 A.EC CF B.∠DEF=909 1.下列运动中，属于平移的是 C.AC DF D.AC∥DF 2.在6×6的方格中，将图1-①中的图形W A.飞机在地面上沿直线滑行 B.在游乐场里荡秋千 5.如图3，将三角形纸板ABC沿直线AB向右 平移后的位置如图1-②所示，则图形N的平移 方法中，正确的是 C.推开教室的 平移，使点A到达点B的位置，得到三角形BDE, 若∠CAB=40°，∠ABC=105°，则∠CBE的度数 D.风筝在空中随风飘动 为 度 2.如图1是运动员在冰面上表演 的图案，下列四个选项中，能由原图 通过平移得到的是 交i及心 ② 图1 A 图3 ☒4 A.向下平移2格 B.向上平移2格 6.如图4，将三角形ABC沿着点B到C的方向 C.向上平移1格 D.向下平移1格 3.如图2，是由12根火柴棒拼成的一个“井 平移到三角形DEF的位置，AB=9,D0=4,平移 3.如图2，最小正方形的边长为1，将字母“V” 字形，请你想一想，能否只平移其中的4根火柴 距离为6，则阴影部分的面积为 向左平移 格（两个“V”无重叠）后与平 棒，使平移后的图形中有三个相同的正方形（同一 7.如图5，将三角形ABC沿射线AB的方向移 移前的图形可以组成字母“W”. 根火柴棒只能移动一次，且火柴棒没有剩余)？请 动2cm到三角形DEF的位置， 你再想一想，能否只平移其中的4根火柴棒，使平 (1)写出图中所有平行的直线； 移后的图形中有四个相同的正方形（同一根火柴 (2)写出图中与AD相等的线段，并直接写出 棒只能移动一次，且火柴棒没有剩余)？请作出能 其长度； 按要求平移的图形 (3)若∠ABC=65°，求∠EFC的度数 图2 图3 4.如图3，是由六个大小相同的等边三角形 拼成的图形，能由标号为1的三角形平移得到的 是标号为 的三角形（填写序号即可） 5.如图4，经过平移，三角形ABC的顶点A移 到了点D. (1)指出平移的方向和平移的距离； (2)画出平移后的三角形DEF 能刀提高 4.如图3，学校课外生物 小组的试验园地的形状是长 (AB)34米、宽20米的长方 形，为便于管理，要在中间开 8.如图6，在四边形ABCD中，AD∥BC,且AD 图4 辟一横两纵共三条等宽的小 图3 <BC,三角形ABC平移到三角形DEF的位置： 道，已知小道的宽为2米，则种植面积为 (1)指出平移的方向和平移的距离； 平方米 (2)试说明：AD+BC=BF. 10.4.2平移的性质 6.如图5，三角形ABC的顶点都在方格纸的 屋础训练 格点上，将三角形ABC先向左平移2格，再向上平 移3格，其中每个格子的边长均为1个单位长度， 1.下列图形中，一个图形不能通过平移得到 (1)请在图中画出平移后的三角形A'B'C; 另一个图形的是 (2)求三角形A'B'C'的面积 0 2.把三角形ABC沿BC方向平移，得到三角 形A'B'C',随着平移距离的不断增大，三角形 A'B'C'的面积变化情况是 能刀提高 A.增大 B.减小 C.不变 D.不确定 9.如图7，将长为5，宽为 3.如图1，三角形ABC沿着BC所在的直线向 3的长方形ABCD先向右平 右平移2个单位得到三角形DEF,其中BF=8,则 移2个单位长度，再向下平移 EC的长为 1个单位长度，得到长方形 数理报社试题研究中心 A.2 B.3 C.4 D.6 A'B'CD',则阴影部分图形的面积和为 (参考答案见下期)】 数理极 素养·测评 3 16.(12分)如图15，在直角三角形ABC中， 同步达标检测题（十二） ∠ABC=90°，将三角形ABC沿射线BC方向平移 得到三角形DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F (1)若∠DAC=56°，求∠F的度数， TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 【检测范围：10.4】 (2)若BC=6em,当Sn=子、w 时，求AD的长 一、精心选一选（每小题4分，共32分） ③AG=CG; 题号12345678 ④若四边形ABFD的周长为24，则三角形 ABC沿BC方向平移的距离为n=6. 答案 其中，结论正确的个数为 1.如图1，甲、乙是两张画有图形的透明胶片 A.0 B.1 C.2 D.3 把其中一张向右平移到另一张上，形成的图形是 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 9.如图8，三角形DEF经过平移可以得到三角 形ABC,则∠C的对应角是 ED的对应边 49因☑☑ 是 图1 A B 2.下列运动属于平移的是 17.(14分)如图16，直线1上摆放着两块大小 A.冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 相同的直角三角板，它们中较大锐角的度数为 B.足球在草地上滚动 图8 图9 60°，将三角板ECD沿直线1向左平移到三角形 C.笔直的传送带上物体的移动 10.如图9，将三角形AB0沿着射线AD的方向E'C'D'的位置，使点E落在AB上的点E'处，点P D.随风飘动的树叶在空中的运动 平移10cm得到三角形DCE,连接OE,则OE= 为AC与ED'的交点 3.如图2，将三角形ABC沿BC方向平移1cm cm. (1)求∠CPD'的度数； 得到对应的三角形A'B'C'.若B'C=2cm,则BC 11.如图10，直线a与∠A0B的一边射线OA (2)试说明：AB1E'D' 的长是 ( :相交，∠1=130°，向下平移直线α得到直线b,与 A.7cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm ∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3= 图2 图3 4.如图3，若四个完全相同的小直角三角形按 图10 图11 如图方式全部放置在大直角三角形ABC的内部， 12.如图11，在三角形ABC中，BC=8cm,将 这四个小三角形的斜边刚好相接在斜边BC上，AB 1 三角形ABC以每秒3cm的速度沿BC所在直线向 +AC=21,BC=15,则这四个小直角三角形的直 右平移得到三角形DEF,设平移时间为t秒，若要 角边之和为 ( 使AD=3CE成立，则t的值为 附加题⊙ A.6 B.15 C.21 D.36 三、耐心解一解（共52分） 5.如图4，将三角形ABC沿AB方向平移得到 13.(6分)如图12，在方格纸中，将三角形 (以下试题供各地根据实际情况选用) 三角形BDE.若∠1=55°，∠2=35°，则∠ADE的 ABC向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形 如图1，AB,BC被直线AC所截，点D是线段AC 度数为 A'B'C',请在方格纸中画出三角形A'B'C 上的点，过点D作DE∥AB,连接AE,∠B=∠E. A.70° B.80° C.90° D.100° (1)试说明：AE∥BC: (2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段 12 PQ,连接DQ.若∠E=65°. ①如图2，当DE1DQ时，则∠Q的度数是 图12 图4 图 ②在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，求 14.(8分)如图13，AB=3cm,BC=4cm,AC 6.如图5，将三角形ABC沿BC方向平移4个 ∠Q的度数 =2cm,将三角形ABC沿BC方向平移2.5cm得 单位长度得到三角形DEF若CE=1,三角形ABC到三角形DEF,连接AD,求阴影部分的周长. 的面积为6，则梯形ACED的面积为 A.5 B.10 C.15 D.20 7.如图6，在长为am,宽为bm的长方形草地 发 上有两条小路L,和，，每条小路的左边线向右平移 网12 1m就是它的右边线，弯路l的占地面积为S1m, 弯路l2的占地面积为S2m,则S1与S2的大小关系 是 ( A.S=S, B.S<S2 C.S>S2 D.不能确定 15.(12分)某宾馆重新装修后，准备在大厅的 主楼梯上铺设某种红地毯，已知这种红地毯的售 价为30元/m2,主楼梯的宽为2m,其侧面如图14 所示 1)求该种红地毯的长； (2)求该种红地毯的面积； 图6 (3)求购买该种红地毯至少需要多少元钱 8.如图7，在三角形ABC中，将周长为12的三 角形ABC沿直线BC向右平移n个单位长度得到三 2.6 角形DEF,连接AD,G是AC,DE的交点.给出下列 结论： 5.8m ①AC∥DF,AC=DF: 图14 数理报社试题研究中心 ②若BA⊥AC,则DE⊥AC: (参考答案见下期)初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期 发理橘 答案详解 2025.2026学年 初中数学·沪科七年级(AH) 第41~44期(2026年4月) 所以∠A0D=∠B0C=120°，∠AOC=∠B0D=60° 第41期2版 因为OE⊥CD,所以∠C0E=∠D0E=90 10.1相交线 当点E在钝角∠AOD内部时，∠AOE=∠AOD-∠DOE 10.1.1对顶角 =30°； 基础训练1.C;2.A; 当点E在钝角∠BOC内部时，∠AOE=∠AOC+∠COE= 3.对顶角相等；4.38 150°. 5.(1)∠B0D: 综上所述，∠A0E的度数为30°或150° (2)因为∠B0E:∠E0D=2:3且∠BOD=∠B0E+ ∠B0D,∠B0D=80,所以∠B0E=号∠B0D=32所以 第41期3版 题号 23 45678 ∠A0E=180°-∠B0E=148°. 6.由对顶角相等，得∠A0D=∠B0C=140°.因为0E平 答案 D D BC CD B A 分∠A0D,所以∠A0E=∠D0E=∠A0D=70,所以 二、9.对顶角相等；10.42°；11.30°；12.135°或45° 三、13.由题意，得180°-∠1=4(90°-∠1).解得∠1= ∠B0E=180°-∠AOE=110°.因为OF平分∠BOE,所以 60°.由对顶角相等，得∠2=∠1=60°. ∠EOF=7∠B0E=55所以∠D0F=LD0E-LE0F= 14.如图，过点B作BP⊥MN,垂足为 15 P,则点P就是所求抽水站的位置；连接 B 能力提高7.40或80. AB,则线段BA即为自来水厂到村庄的最 8.(1)2;(2)6；(3)12 短距离.所以沿P→B→A的路线铺设水MP (4)当n条直线相交于一点时，可形成n(n-1)对对顶角. 管，所用的水管最短.理由是：垂线段最短和两点之间，线段最 (5)当101条直线相交于一点时，可形成10100对对顶角. 短 10.1.2垂直 15.(1)ON⊥CD.理由如下： 基础训练1.C;2.B;3.C; 因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°.所以∠1+∠AOC= 4.30°；5.15°. 90°.又因为∠1=∠2，所以∠2+∠A0C=90°，即∠C0N= 6.(1)(2)图略； 90.所以ON⊥CD. (3)OP: (2)因为OM⊥AB,所以∠B0M=90°.因为∠1= (4)PH<C0.理由如下： ∠B0C,所以∠1=写∠B0M所以∠1=18所以∠B0D 6 由垂线段最短，得PH<PO,PO<CO.所以PH<CO. 7.(1)因为OF⊥0E,所以∠E0F=90°.因为∠C0F= =180°-∠B0M-∠1=72. 54°，所以∠D0E=180°-∠E0F-∠C0F=36°.因为∠D0E 16.(1)因为OC⊥OD,所以∠C0D=90°.因为∠B0D= 40°，所以∠B0C=∠C0D-∠B0D=50°.所以∠A0C=1809 =2∠80E,所以L80E=号∠D0E=18 ∠B0C=130°.因为0E平分∠A0C,所以∠A0E= (2)OB平分∠D0F.理由如下： 2∠A0C=650 1 由(1)得，∠E0F=90°.所以∠C0F+∠D0E=90°.又因 为∠C0F=∠D0E,所以∠C0F=∠D0E=45°.因为∠D0E (2)∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角.理由如下： =2∠B0E,所以∠B0E=22.5°.所以∠D0B=∠D0E+ 若∠AOE=∠B0D,则∠B0D+∠B0C+∠COE=180 ∠B0E=67.5°.因为∠B0F=∠E0F-∠B0E=67.5°，所以 由(1)知，∠B0D+∠B0C=90°.所以∠C0E=90°.因为OE ∠DOB=∠BOF.所以OB平分∠DOF. 平分∠A0C,所以∠A0C=2∠C0E=180°，不符合题意.所以 能力提高8.因为∠BOC:∠B0D=2:1,∠B0C+ ∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角， ∠B0D=1802,所以∠B0C=号×180°=120°，∠B0D=号 1 17.(1)因为OD平分∠B0E,所以∠EOD=∠BOD.因为 ∠AOC=∠BOD,所以∠EOD=∠AOC.所以∠FOE= ×180°=60° 2∠A0C=2∠E0D.因为0F⊥CD,所以∠F0D=90°.所以 初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期 ∠F0E+∠EOD=90°，即3∠EOD=90°.所以∠E0D=30° 5.(1)GD∥CA.理由：因为EF∥CD,所以∠1+∠ACD= 所以∠D0B=∠E0D=30°. 180°.因为∠1+∠2=180°，所以∠ACD=∠2.所以GD∥ (2)由(1)得，∠AOC=∠E0D.因为F01CD,所以 CA. ∠F0C=∠FOD=90°.又因为∠FOC=∠AOF+∠A0C, (2)由(1)，得∠2=∠ACD=40°.因为DG平分∠CDB, ∠FOD=∠FOE+∠EOD,所以∠AOF=∠FOE. 所以∠BDG=∠2=40°.因为GD∥CA,所以∠A=∠BDG= 附加题(1)由对顶角相等，得∠AOD=∠B0C=75, 40° ]为∠A0N:∠N0D=2:3,所以∠A0N=号∠A0D=309 能力提高6.过点C在∠FCD内作CM∥DE,图略.因为 AB∥DE,所以AB∥DE∥CM.又因为∠ABC=124°，∠CDE (2)OB是∠COM的平分线.理由如下： =72°，所以∠BCM=∠ABC=124°，∠DCM=180°-∠CDE 由(1)知，当∠B0C=75°时，∠AOW=30°.所以∠B0W =108°.所以∠BCD=∠BCM-∠DCM=16°. =180°-∠AON=150°.因为0M平分∠B0N,所以∠B0M= 2∠B0N=75,所以∠B0C=∠B0M,即0B是∠C0M的平 第42期3版 分线 题号 1 2 34 5 678 (3)子LA0C-LD0M是定值设LA0N=2x,则L0D 答案 BA AD DA DB =3x.所以∠A0D=∠AON+∠D0N=5x.所以∠A0C= 二、9.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行： 180°-∠A0D=180°-5x.因为0M⊥0N,所以∠M0N=90° 10.64°；11.16°；12.30°或45°或120° 三、13.因为DG平分∠ADE,∠ADG=67°，所以∠ADE= 所以∠D0N=∠W0N-∠N0D=90-3x所以号∠A0C- 2∠ADG=134°.所以∠ADF=180°-∠ADE=46°.因为∠B =46°，所以∠ADF=∠B.所以BC∥EF ∠DOM= 3(180°-5x)-(90°-3x)=180 14.如图2，直线PQ即为所求. 第42期2版 15.(1)因为CD⊥AB,FE⊥AB 所以∠CDA=∠FEA=90°.所以CD 10.2平行线的判定 ∥FE.所以∠ACD+∠EHC=180°. 10.2.1平行线及“三线八角” 因为∠ACD+∠F=180°，所以 基础训练1.C；2.C; ∠EHC=∠F.所以AG∥FG 图2 3.EF∥CD,如果两条直线和第三条直线平行，那么这两 (2)由∠BCD:∠ACD=2:3,设∠BCD=2x,∠ACD= 条直线平行； 3x.因为AC∥FG,所以∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x. 4.(1)DE,CB,AC,同位；(2)EBC,BE；(3)DEC,ECB; 因为∠F=3∠G,所以∠F=15x.因为∠ACD+∠F=180°， (4)ABE,BEC;5.②③⑤. 所以3x+15x=180°.解得x=10.所以∠BCD=20°. 10.2.2平行线的判定 16.因为BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD,所以∠ABE= 基础训练1.C；2内错角相等，两直线平行； 3.②③⑤. 7∠ABC,∠2=∠BCD=7∠BCD.又因为∠1=∠2，所以 4.(1)因为AB⊥BC,EF⊥BC,所以∠ABC=∠EFC= ∠1=∠ECD.所以EF∥CD.又因为AB∥EF,所以AB∥CD, 90°.所以AB∥EF (2)图略.AB∥CD.理由：由(1)，得AB∥EF.又因为CD 所以LABC+∠BCD=180所以∠ABE+∠2=(LABC ∥EF,所以AB∥CD. +∠BCD)=90°.因为AB∥EF,所以∠ABE=∠BEF.所以 5.因为∠1=∠2，所以AB∥CD.因为∠3+∠4=180°， ∠BEF+∠1=90°，即∠BEC=90°.所以BE⊥CE. 所以CD∥EF.所以AB∥EF 17.(1)因为AB∥CD,所以∠BNP=∠2.又因为∠1= 6.(1)如图1，∠EBC或∠E'BC ∠2，所以∠BNP=∠1.所以EF∥NP. 即为所求 (2)过点F在∠EFG内作FM∥AB,图略.因为AB∥CD, (2)BE与AD不一定平行.①当 所以AB∥FM∥CD.所以∠EFM=∠1=40°，∠HFM= 所作的角在BC上方时，BE与AD平 ∠FHG=10°.所以∠EFH=∠EFM+∠HFM=50°.因为FH 行.因为∠EBC=∠A,所以BE∥ 图1 平分∠EFG,所以∠GFH=∠EFH=50°所以∠MFG= AD.②当所作的角在BC下方时，BE与AD不平行. ∠HFM+∠GFH=60°.因为FM∥CD,所以∠FGD=∠MFG 能力提高7.因为∠ABC=∠ACB,∠1=∠2，所以 =60° ∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，即∠EBD=∠FCB.又因为 附加题 ∠EBD=∠D,所以∠FCB=∠D.所以CF∥DE. (1)∠AEC+∠C-∠A=180°.理由如下： 10.3平行线的性质 过点E在∠AEC内作EM∥AB,图略.因为AB∥CD,所以 基础训练1.A；2.C;3.15; AB∥EM∥CD.所以∠AEM=∠A,∠MEC+∠C=180°.所 4.∠C+∠D=180°. 以∠AEM+∠MEC+∠C=∠A+180°，即∠AEC+∠C-∠A 2 初中数学·沪科七年级(AH) 第41~44期 =180° 5.(1)连接AD,图略.平移的方向是点A到点D的方向，平 (2)①过点F在∠EFC内作FN∥AB,图略.因为AB∥ 移的距离是线段AD的长度 CD,所以AB∥FN∥CD.所以∠C+∠NFC=180°.所以∠C (2)图略. =180°-∠NFC.由(1)，得∠E+∠EFN-∠A=180°.所以 6.(1)图略. ∠E=180°-∠EFN+∠A.所以∠C+∠E=180°-∠NFC (2)三角形A'B'C的面积为8. +(180°-∠EFN+∠A)=360°-（∠NFC+∠EFN)+∠A 第43期3版 =360°-∠EFC+∠A=360°-100°+24°=284°. ②∠ECC+分∠F=168,理由如下： 题号 1 2345678 由①，得∠AEF+∠DCF=360°-∠F+∠A.因为∠AEF 答案A C D C CB A D 和LDCF的平分线交于点G,所以LAEG=LGEF= 二、9.∠F,AB;10.10;11.230°；12.2或4 号∠ABP,∠nCG=∠cCF=∠CR过点E在∠ABG内作 三、13.图略 14.因为将三角形ABC沿BC方向平移2.5cm得到三角形 EH∥AB,过点G在∠EGC内作GQ∥AB,图略，则GQ∥AB∥ DEF,所以AD=BE,AB=DE.所以阴影部分的周长=AD+ EH∥CD.所以∠EGQ=∠HEG,∠QGC=∠DCG,∠A= EC+DE +AC BE EC+AB +AC AB +AC BC =3+ ∠AEH.所以∠EGQ=∠HEG=∠AEG-∠AEH=∠AEG- 2+4=9(cm). ∠A.所以LEGC=∠EGQ+∠QGC=∠AEG-∠A+∠DCG= 15.(1)该种红地毯的长是：2.6+5.8=8.4(m) 2(LAEF+∠DCF)-∠A=2(360P-∠F+∠A)-∠A (2)该种红地毯的面积是：8.4×2=16.8(m2). (3)购买该种红地毯至少需要：16.8×30=504（元）. 180-7∠F-7∠A=180-74F-12=168- 2 ∠F 16.(1)因为三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形 即∠EGG+7∠F=168 DEF,所以AC∥DF,AD∥BF 所以∠ACB=∠F,∠ACB=∠DAC 所以LF=∠DAC 第43期2版 又因为∠DAC=56°，所以∠F=56° 10.4平移 (2)因为三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形 10.4.1平移现象 DEF,所以AD=CF. 基础训练1.A;2.C. 设AD=xcm,则CF=xcm. 3.答案不惟一，如图1为平移4根火柴棒变成三个相同的正 因为Sa8m=子5e,BC=6m,所以号(+6+ 方形；如图2为平移4根火柴棒变成相同的四个正方形 ·AB=子×分×64B解得x=4所以0的长为4m 17.(1)由平移的性质知，DE∥D'E.所以∠CED= ∠CPD.由题意知，∠CED=60°.所以∠CPD'=60°. (2)由题意知，∠A=30°，∠CED=60°.由平移的性质 知，∠C'ED'=∠CED=60°，CE∥C'E.所以∠BE'C'=∠A 能力提高4.540. =30°.所以∠BED'=∠BEC'+∠CED'=90°，所以AB⊥ 10.4.2平移的性质 E'D'. 基础训练1.B;2.C；3.C;4.A; 附加题(1)因为DE∥AB,所以∠BAE+∠E=180° 5.35:6.42. 又因为∠B=∠E,所以∠BAE+∠B=180°， 7.(1)图中所有平行的直线有：AE∥CF,AC∥DF,BC∥ 所以AE∥BC. EF. (2)①25： (2)图中与AD相等的线段有：线段CF和线段BE,其长度 ②如图3，当点P在线段AD上时，过点D作DF∥AE交AB 为2cm. 于点F (3)因为AE∥CF,∠ABC=65°，所以∠BCF=∠ABC= 由平移的性质知，PQ∥AE. 65°.因为BC∥EF,所以∠EFC+∠BCF=180.所以∠EFC 所以DF∥PQ =115 所以∠QDF=180°-∠Q. 8.(1)平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线 因为DF∥AE,∠E=65°，所以∠EDF=180°-∠E= 段AD的长度， 115 (2)因为三角形ABC平移到三角形DEF的位置，所以CF 又因为∠Q=2LED0,即LBDQ=2∠Q,所以∠QDF =AD.因为CF+BC=BF,所以AD+BC=BF 能力提高9.18. =∠BDF+∠BD0=15+LQ=180°-∠Q 10.4.3平移作图 基础训练1.C;2.A;3.2;4.3和5. 所以∠0=130 3 初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期 5.图略。 第44期3,4版 一、题号1 234 5 678910 图3 图4 二、11.垂线段最短；12.答案不惟一，如∠C=∠D; 如图4，当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF∥ 13.26°；14.56°；15.6或43.5. AE交AB于点F' 三、16图略. 由平移的性质知，PQ∥AE. 17.∠BFC=30 所以DF'∥PQ 18.∠A0D=60 所以∠QDF'=180°-∠Q, 因为DF'∥AE,∠E=65°，所以∠EDF=180°-∠E= 19.(1)因为∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC= 115 180°，所以∠EFC=∠ADC.所以EF∥AB.所以∠ADE= ∠DEF 又因为∠0=2∠BD0,即∠BD0=号∠Q,所以∠QDF (2)因为∠ADE=∠DEF,∠DEF=∠B,所以∠ADE= =∠EDF-∠BD0=15-7∠Q=180-L0 ∠B.所以DE∥BC.所以∠AED=∠ACB,∠CDE=∠BCD.又 因为∠AED=2∠CDE,所以∠ACB=2∠BCD.所以∠ACD= 所以∠Q=130 ∠ACB-∠BCD=2∠BCD-∠BCD=∠BCD,即∠ACD= 综上所述，∠0的度数为9或130 ∠BCD 20.(1)∠B'EC=2∠A'.理由如下： 第44期2版 因为三角形A'B'D'是由三角形ABD平移得到的，所以 专题一相交线 ∠A'=∠BAD,A'B'∥AB.所以∠B'EC=∠BAC.因为AD平 1.D;2.垂线段最短；3.135°. 分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD.所以∠B'EC=2∠A'. 4.(1)因为E0⊥AB,所以∠B0E=90°.因为∠D0E= (2)因为三角形A'B'D'是由三角形ABD平移得到的，所以 2∠B0D,所以3∠B0D=90°.所以∠B0D=30°，∠D0E= ∠B'A'D'=∠BAD,A'B∥AB.所以∠BA'C=∠BAC.由(1) 60°.所以∠C0E=180°-∠D0E=120°. 得∠BAC=2∠BAD.所以∠BA'C=2∠B'A'D.所以A'D'平 (2)因为∠B0D=30°，所以∠C0B=∠C0F+∠B0F= 分∠B'A'C. 180°-∠B0D=150°.因为∠C0F=4∠B0F,所以5∠B0F= 2L.(1)过点E在∠MEN内作EF∥AB,图略.所以∠MEF 150°.所以∠B0F=30°.所以∠D0F=∠B0D+∠B0F= =∠1.因为AB∥CD,EF∥AB,所以EF∥CD.所以∠NEF= 60°. ∠2.因为∠MEN=∠MEF+∠NEF,所以∠MEN=∠1+ 专题二平行线 ∠2. 1.B:2.D:3.①③. (2)①因为∠CNE=140°，所以∠END=180°-∠CWE 4.过点D作∠EDC=∠C,点E在点D的右边，且在线段 =40°.因为AB∥CD,∠BME=80°，同理：∠MEN=∠BME+ BA的延长线上，图略.理由：因为∠EDC=∠C,所以DE∥ ∠END=120°. BC(内错角相等，两直线平行). 5.因为∠DCE=60°，∠ACF=10°，所以∠ACD=180°- 因为锐角∠BME和钝角∠CVE的平分线所在的直线交于 ∠DCE-∠ACF=110°.因为AB∥CD,所以∠A=180°- 点F,所以∠FNC=分LcNE=70,∠Bw0=∠BME ∠ACD=70°. 40°.过点F在FN右侧作FP∥AB,图略.所以FP∥AB∥CD. 6.CM∥DN.理由如下： 所以∠PFM=∠BMQ=40°，∠PFN=∠FNC=70.所以 因为CF平分∠ACM,∠1=72°，所以∠ACM=2∠1= ∠MFN=∠PFN-∠PFM=30°. 144°.所以∠BCM=180°-∠ACM=36°.又因为∠2=36°， ②因为FN∥ME,所以∠EMQ=∠NFQ=a,∠BGN= 所以∠2=∠BCM.所以CM∥DN. 7.(1)由折叠知∠AEB=∠AEF.因为EG平分∠CEF,所 ∠BME.因为MQ,NF分别平分∠BME,∠CWE,所以∠BGN= 以∠FEG=∠CEG.因为∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG= ∠BME=2∠EMQ=2a,∠CWE=2∠CNG.因为AB∥CD,所 180°，所以∠AEG=∠AEF+∠FEG=90°.因为HG⊥EG,所 以∠CNG=∠BGN=2a.所以∠CWE=4a.同理：∠E= 以∠HGE=90°，所以∠AEG+∠HGE=180°.所以HG∥AE. ∠BME+∠EWD=2a+(180°-4a)=180°-2a. (2)因为∠CEG=20°，∠AEG=90°，所以∠AEB=70°. (3)过点F在∠EFN内作FS∥CD.所以∠CWF+∠SFN 因为AD∥BC,所以∠DAE=∠AEB=70°.因为HG∥AE,所 =180°，因为AB∥CD,所以AB∥FS.同理：∠E=∠AME+ 以∠DHG=∠DAE=70°. ∠EFS.因为∠EFN=∠EFS+∠SFN,所以∠AME+∠EFN+ 专题三平移 ∠CNF=∠AME+∠EFS+∠SFN+∠CNF=∠E+∠SFN 1.D;2.2;3.105°；4.6 +∠CWF=65°+180°=245°. 4