10.3平行线的性质导学案2024-2025学年 沪科版数学七年级下册

10.3平行线的性质 平行线的判定方法： 同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？ 平行线的性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简记为，两直线平行，同位角相等。 ∵a//b（已知） ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 平行线的性质2 两条平行线第三条直线所截，内错角相等. 简记为，两直线平行，内错角相等. ∵a//b（已知） ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简记为，两直线平行，同旁内角互补。 ∵a//b（已知） ∴∠4+∠5=（两直线平行，同旁内角互补） 1、如图是小明探索直线平行的条件时所学的学具，木条a、b、c在同一平面内。经测量∠1=，要使木条a//b,则∠2的大小应为（ ） A、 B、 C、 D、 答案：D 2、如图，AB//CD，点E在AB上，EC平分∠AED，∠C=，则∠BED= 。 答案： 3、如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，∠1=∠2=，求∠BGF的度数。 将该题补充完整： 解：∵∠2+∠EFD=（ 平角 ） ∴∠EFD= ∠2 = ∵FG平分∠EFD（已知） ∴∠3= ∠EFD= ∵∠1=∠2=（已知） ∴AB//CD（ 同位角相等，两直线平行 ） ∴∠BGF+∠3=（ 内错角相等 ） ∴∠BGF= 4、如图，已知∠1=，CD//AB，那么∠A的度数为 A、 B、 C、 D、 答案：D 5、如图，已知AB//CD，∠1=∠，则∠2= 。 答案： 6、如图，直线a//b，∠1=，∠3=，∠2的度数为 。 答案： 7、如图，AB//EF，∠C=，则α、β、γ的关系为（ ） A、α+β-γ= B、β=α+γ C、γ+β+α= D、β+γ-α= 答案：A 8、如图所示，已知AB//CD，E在AB上，点G在CD上，∠EFG=，如果∠AEF=α,∠CGF=β，那么β= 。 答案:-α 9、如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，且DE//BC，∠B=48°. (1)试求∠ADE的度数； (2)如果∠DEF=48°，那么EF与AB平行吗？ 解：(1)因为 DE//BC, 所以∠ADE=∠B=48 °. (2)EF与AB平行. 由(1)得，∠ADE=48 ° ， 又因为∠DEF=48 ° ， 所以∠DEF=∠ADE. 所以EF//AB. 10、看图填空： (1)DE//BC，可以得到∠ADE=∠ ，依据是 ； (2)DE//BC，可以得到∠DFB=∠ ，依据是 ； (3)DE//BC，可以得到∠C+ =180°，依据是 ； (4)DF//AC，可以得到∠AED=∠ ，依据是 ； (5)DF//AC，可以得到∠C=∠ ，依据是 。 答案： (1)∠B，两直线平行，同位角相等； (2)∠EDF，两直线平行，内错角相等； (3)∠DEC，两直线平行，同旁内角互补； (4)∠EDF，两直线平行，内错角相等； (5)∠DFB，两直线平行，同位角相等. 11、如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=71° ，试求∠D的度数。 答案： ∵AD//BC， ∴∠D+∠C=180°. ∴∠D=180°-∠C=180°-71°=109°。 12、如图，直线a∥b，∠1=108°，则∠2的度数是( ) A.72° B.82° C.92° D.108° 答案：A　 13、如图，把一块含有45°角的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是( ) A.15° B.20° C.25° D.30° 答案：C 14、如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由。 (1)如果AB∥EF，那么∠2=　　　　， 理由是　　　　　　　； （2）如果AB∥DC，那么∠3　　　　　， 理由 是　　　　　　　； （3）如果AF∥BE，那么∠1+∠2=　　　　，理由是　　　　　　； （4）如果AF∥BE，∠4=120°，那么∠5=　　　　，理由是　　　　　.  答案：(1)∠5　两直线平行，内错角相等　(2)∠1　两平线平行，同位角相等　(3)180°　两直线平行，同旁内角互补　(4)120°　两直线平行，同位角相等 15、如图，∠B+∠DAB=180°，AC平分∠DAB，若∠C=50°，求∠B的度数。 答案：因为∠B+∠DAB=180°,所以AD∥BC,所以∠C=∠DAC=50°. 因为AC平分∠DAB,所以∠DAB=2∠DAC=100°. 因为∠B+∠DAB=180°,所以∠B=80°. 16、如图，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠C=40°，则∠D的度数为( ) A.90° B.100° C.110° D.120° 答案：B　 17、如图，a∥b∥c，则与∠1互补的角有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案：D　 18、如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于( ) A.122° B.151° C.116° D.97° 答案：B　 19、如图，直线a∥b，∠1=45°，∠2=65°，则∠3=( ) A.110° B.100° C.130° D.120° 答案：A 20、如图，直线a、b被c、d所截，且c⊥a，c⊥b，∠1=70°，求∠3的大小. 解:因为c⊥a,c⊥b, 所以∠4=∠5=90°,所以a∥b. 因为∠1=70°,所以∠1=∠2=70°, 所以∠3=∠2=70°. 21、光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2=103°，则∠3∠4=　　　　.  答案：77° 22、如图，AD交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，∠F=∠H，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°. 试说明:(1)AD∥EF. (2)AD是∠BAC的平分线. 解:(1)因为∠BDA+∠CEG=180°,∠BDA+∠CDA=180°,所以∠CEG=∠CDA, 所以AD∥EF(同位角相等,两直线平行). (2)因为∠EDH=∠C,所以DH∥AC,所以∠H=∠EGC. 因为∠F=∠H,所以∠F=∠EGC. 因为AD∥EF,所以∠BAD=∠F,∠CAD=∠EGC, 所以∠BAD=∠CAD,所以AD平分∠BAC. 练习： 1、如图，直线∥，直线与，相交，若∠1=60°，则∠2=(　　) A.30°　 B.60°　 C.120°　 D.150° 答案：C　因为直线∥,∠1=60°,所以∠2=180°-∠1=180°-60°=120°. 2、如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC=137°，则拐角∠BCD=(　　) A.43°　 B.53°　 C.107°　 D.137° 答案：D　因为AB∥CD,所以∠ABC=∠BCD=137°. 3、如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1=65°，则∠2的度数为(　　) A.65°　 B.57.5°　 C.50°　 D.45° 答案：C　因为AB∥CD, 所以∠AEC=∠1=65°. 因为EC平分∠AED, 所以∠AED=2∠AEC=130°, 所以∠2=180°-∠AED=50°. 4、如图①所示，为男子竞技体操项目双杠的静止动作，如图②所示为其俯视示意图，a//b，若AB与BC的夹角的度数为105°，∠1=55°，则∠2的度数为 。 答案：130° 5、如图，DF是∠BDC的平分线，AB∥CD，∠ABD=108°，则∠1的度数为(　　) A.36°　 B.31°　 C.40°　 D.26° 答案：A　因为AB∥CD,∠ABD=108°,所以∠BDC=72°. 因为DF是∠BDC的平分线,所以∠CDF=36°. 因为AB∥CD,所以∠1=36°. 6、如图，AB//CD，BC//EF。若∠1=58°，则∠2的度数为 答案：122° 7、如图，MN∥PQ，将一块三角板ABC按如图所示的方式放置，∠ABC=90°，∠BDQ=70°，则∠ABN的度数为(　　) A.10°　 B.20°　 C.30°　 D.40° 答案：B　因为MN∥PQ,∠BDQ=70°, 所以∠MBD=∠BDQ=70°.因为∠ABC=90°, 所以∠ABN=180°-∠MBD-∠ABC=20°. 8、将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠BCE的度数为(　　) A.65°　 B.70°　 C.75°　 D.80° 答案：　C　因为AC∥DE, 所以∠ACD=∠D=30°. 因为∠ACB=45°, 所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=15°, 所以∠BCE=∠DCE-∠BCD=90°-15°=75°. 9、如图，AB∥DE，已知∠ABC=α，∠BCD=β，∠CDE=γ，则下列关于α、β、γ之间的数量关系正确的是(　　) A.β=α+γ　 B.α+β+γ=180° C.β-α+γ=180°　 D.β=2α+γ 答案：C　如图,过点C作CF∥AB,因为AB∥DE, 所以AB∥CF∥DE, 所以∠DCF=180°-γ,∠BCF=α, 所以β=∠DCF+∠BCF=180°-γ+α, 所以β-α+γ=180°. 方法解读　“Z”字模型解题思路:平行线中有折线,一般过折点作已知平行线的平行线,根据平行线定理的推论和平行线的性质即可解决问题。 10、如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B=80°，则∠D=　　　°.  7.　答案　100 解：因为AB∥CD,∠B=80°, 所以∠BCD=∠B=80°. 因为BC∥ED, 所以∠D+∠BCD=180°, 所以∠D=100°. 11、如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示的方式沿AB折叠，已知∠1=50°，则∠2=　　　。  答案　100° 解　如图,由题意知∠3=∠1=50°,所以∠2=∠3+∠1=100°. 12、如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证:∠AED=∠C.完成下面的证明过程。 证明:因为∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°， 所以∠2=∠4(同角的补角相等)。 所以AB∥　　(内错角相等,两直线平行)。  所以∠3=∠ADE(　　　　　　　　)。  又因为∠3=∠B(已知), 所以　　　　=∠B(等量代换)。  所以DE∥BC(　　　　　　　　)。  所以∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等)。 答案　EF;两直线平行,内错角相等;∠ADE;同位角相等,两直线平行 解：　因为∠1+∠2=180°,∠1+∠4=180°, 所以∠2=∠4(同角的补角相等). 所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行). 所以∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等). 又因为∠3=∠B(已知), 所以∠ADE=∠B(等量代换). 所以DE∥BC(同位角相等,两直线平行). 所以∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等). 故答案为EF;两直线平行,内错角相等;∠ADE;同位角相等,两直线平行. 13、如图，已知∠4=∠A,∠1=∠3，则BD平分∠ABC吗?为什么? 解：　BD平分∠ABC.理由如下: 因为∠4=∠A, 所以DC∥AB(同位角相等,两直线平行), 所以∠2=∠3(两直线平行,内错角相等). 又因为∠1=∠3,所以∠1=∠2, 所以BD平分∠ABC. 14、如图，已知DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由。 解：　BF⊥AC. 理由:因为∠AGF=∠ABC, 所以BC∥GF, 所以∠1=∠3. 又因为∠1+∠2=180°, 所以∠2+∠3=180°, 所以BF∥DE. 因为DE⊥AC, 所以BF⊥AC. 15、如图，直线∥，，分别与直线交于点A，B，把一个含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=45°，则∠2的度数是(　　) A.135°　 B.105°　 C.95°　 D.75° 答案：B　如图,因为l1∥l2,所以∠1=∠3=45°, 又因为∠4=30°, 所以∠2=180°-∠3-∠4=180°-45°-30°=105°. 16、如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B=∠D=80°，∠E=∠F =47°，则图中∠G的度数是(　　) A.80°　 B.76°　 C.66°　 D.56° 答案：C　如图，延长AB交EG于点M，延长CD交GF于点N，过点G作AB的平行线GH。 因为∠EBA=80°, 所以∠EBM=100°，又∠E=47°， 所以∠EMA=180°-47°-100°=33°，同理∠FNC=33°。 因为AB∥CD，AB∥HG，所以HG∥CD∥AB， 所以∠MGH=∠EMA=33°，∠NGH=∠FNC=33°， 所以∠EGF=33°+33°=66°. 17、某些灯具的设计原理与抛物线有关。如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB反射后都沿着与直线POQ平行的方向射出.若∠AOB=150°，∠OBD=90°，则∠OAC=　　 　°。  答案　60 解：　因为BD∥PQ,所以∠POB=∠OBD=90°. 因为∠AOB=150°, 所以∠AOP=∠AOB-∠POB=150°-90°=60°. 因为AC∥PQ, 所以∠OAC=∠AOP=60°. 18、如图，AD是∠EAC的平分线，AD//BC，∠B=30°，则∠C= 答案：30° 19、如图，直线EF分别交AB，CD于E,F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠1=62°,∠2=118°,则∠3的度数为 。 答案：59° 20、如图，直线//,直线交于点A，交于点B，过点B的直线交于点C。若∠3=50°，∠1+∠2+∠3=240°，则∠4的度数为 。 答案：70° 21、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D´、C´的位置上，ED´与BC的交点为G。 (1)若∠EFG=50°,则∠1=　　 　　°；  (2)若∠EFG=x°(x>45),则∠3-∠2=　　 　°。 (用含x的代数式表示)  答案　(1)50　(2)(4x-180) 解：　(1)由题意知∠DEF=∠1,AD∥BC, 所以∠DEF=∠EFG=50°, 所以∠1=∠EFG=50°. (2)由(1)知∠DEF=∠1=∠EFG. 因为∠EFG=x°, 所以∠DEF=∠1=x°. 所以∠3=∠1+∠DEF=2x°,∠2=180°-∠1-∠DEF=180°-2x°. 所以∠3-∠2=2x°-(180°-2x°)=4x°-180°=(4x-180)°. 22、如图，已知BD∥EF，∠1=∠2. (1)请判断∠ADG与∠C的大小关系,并说明理由,请补全下列解答过程. 解:判断:　　　　　　.  理由:因为BD∥EF(已知), 所以∠2=　　　　.  因为∠1=∠2(已知), 所以∠1=　　　　(　　　　　　).  所以　　　∥　　　(　　　　　　　　　　　　　　　　).  所以∠ADG　　　∠C(　　　　　　　　　　　　　　　　).  (2)若BD平分∠ABC，DG平分∠ADB，试说明∠C与∠ABC的数量关系. 　解：　(1)判断:∠ADG=∠C. 理由:因为BD∥EF(已知), 所以∠2=∠CBD. 因为∠1=∠2(已知), 所以∠1=∠CBD(等量代换). 所以DG∥BC(内错角相等,两直线平行). 所以∠ADG=∠C(两直线平行,同位角相等). 故答案为∠ADG=∠C;∠CBD;∠CBD;等量代换;DG;BC;内错角相等,两直线平行;=;两直线平行,同位角相等. (2)由(1)得∠C=∠ADG,∠1=∠CBD, 因为BD平分∠ABC,DG平分∠ADB, 所以∠1=∠ADG=∠C,∠ABC=2∠CBD, 所以∠ABC=2∠C. 23、如图，已知BD∥AP∥GE，AF∥DE，∠1=55°。 (1)求∠AFG的度数； (2)若AQ平分∠FAC，交BD的延长线于点Q，且∠Q=10°，求∠ACB的度数。 　解：　(1)因为BD∥GE,∠1=55°, 所以∠E=∠1=55°. 因为AF∥DE, 所以∠AFG=∠E=55°. (2)由(1)知∠AFG=55°, 因为AP∥GE, 所以∠FAP=∠AFG=55°. 因为BD∥AP,∠Q=10°, 所以∠PAQ=∠Q=10°, 所以∠FAQ=∠FAP+∠PAQ=55°+10°=65°. 因为AQ平分∠FAC, 所以∠QAC=∠FAQ=65°, 所以∠PAC=∠QAC+∠PAQ=65°+10°=75°. 因为BD∥AP, 所以∠ACB=∠PAC=75°. 24、某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，∠BAC=130°，AB//DE，∠D=70°，则∠ACD= 。 答案：20° 25、如图所示，已知AB//CD，点E在线段AD上（不与点A、点D重合），连接CE，若∠C=15°，∠AEC=60°。则∠A的值为（ ） 答案：45° 26、 如图，已知AM//BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由） （1） 求∠CBD的度数； （2） 当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否发生变化？若不变，请找出变化规律。 解：（1）∵AM//BN，∠A=60° ∴∠ABN=120° ∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D， ∴∠CBD=60° （2）∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D， ∴∠ADB=∠DBP ∴∠APB=∠ADB+∠DBP=2∠ADB ∴∠APB：∠ADB=2∠ADB：∠ADB=2:1 所以∠APB：∠ADB的度数比值不变，变化规律∠APB：∠ADB=2:1。 27、 在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE//BC，∠ABC和∠ADE的平分线交于点G。 （1） 如图1，若∠ACB=90°，∠A=40°，求出∠G的度数； （2） 如图2，若∠ACB90°,试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论。 解：（1）∠G=180°-∠GDA-∠GOD（三角形内角和，同位角） =180°-45o-（∠GBC+90°） =45°-∠GBCO O P =45°-∠GBA =45°-∠B =45°-25o=20o （2）∠G=180°-∠GDA-∠GOD ∠GDA=∠GDE=∠GFP=∠G+∠B ∠GOD=∠AOB=180o-∠A-∠B ∴∠G=180°-（∠G+∠B）-（180o-∠A-∠B） =180°-∠G-∠B-180o+∠A+∠B =∠A-∠G ∴∠A=2∠G 28、 如图，已知长方形纸片ABCD，点E、F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落到点M处，若α+β=120o，则∠EMF的度数为（ ） 答案：60o 29、如图，AB//CD，直线MN交AB、CD于点M和N，MH平分∠AMN，NHꓕMH于点H，若∠MND=，则∠CNH= 度。 答案：58o 30、在同一平面内，∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A比∠B的3倍少，则∠B= 答案：40o 31、如图，已知AB//CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从点D引一条射线DE，若∠B+∠CDE=，求证：∠AFC=∠EDH 证明：略 29、已知AB∥CD，点P为平面内的一点，AP⊥PC，垂足为P。 (1)问题呈现 如图1，∠A=120°，则∠C=　　　°;  (2)问题迁移 如图2，点P在AB的上方，请探究∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展 如图3，在(2)的条件下，已知∠QAB=2∠QAP，∠QCD=2∠QCP，请求出∠Q的度数。 图1 图2 图3 解：　(1)过P作PF∥AB,如图1, 图1 所以∠A+∠APF=180°. 因为AB∥CD, 所以PF∥CD, 所以∠FPC+∠C=180°, 所以∠A+∠APC+∠C=360°. 因为AP⊥PC, 所以∠APC=90°, 所以∠C=360°-90°-120°=150°.故答案为150. (2)∠C-∠A=90°. 理由:过点P作PE∥AB,如图2. 图2 所以∠EPA=∠A, 因为AB∥CD, 所以PE∥CD, 所以∠EPC=∠C, 因为∠APC=∠EPC-∠EPA, 所以∠APC=∠C-∠A, 因为AP⊥PC, 所以∠APC=90°, 所以∠C-∠A=90°. (3)过点Q作MQ∥CD,如图3. 图3 因为AB∥CD, 所以AB∥CD∥MQ, 所以∠QAB=∠MQA,∠QCD=∠MQC, 因为∠QAB=2∠QAP,∠QCD=2∠QCP, 所以∠QAB=∠PAB,∠QCD=∠PCD, 因为∠AQC=∠MQC-∠MQA =∠QCD-∠QAB =∠PCD-∠PAB =(∠PCD-∠PAB), 由(2)知∠PCD-∠PAB=90°, 所以∠AQC=×90°=60°. 学科网（北京）股份有限公司 $$