第41期 10.1 相交线-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

4 素养·拓展 A 数理极 名师点睛 利用垂线的性质 垂线段最短，可以解决生活 对顶角助你解题 中常见的引水挖渠等问题。 现列举例供同学们参考. 水 ◎重庆毛燕 例 如图1，某河流 对顶角在求角度时起到了很大的作用，它 解：因为∠B0D=48°， EF的同侧有A,B,C,D四 必 常与垂线、角平分线等联合，为求角提供便利. 由对顶角相等，得∠A0C=∠BOD=48° 个村庄，为了解决当地的缺 水问题，政府准备出资修建 下面举例说明，供同学们参考， 帮渠 因为0M平分∠AOC, 个蓄水池 一、伴随垂线 例1如图1，直线AB与 所∠40M=分<A0C=24 (1)若不考虑其他因 素，请你确定蓄水池H的位 CD相交于点O,射线OE在 所以∠B0M=180°-∠A0M=156° 置，使它到四个村庄的距离 ∠AOD的内部，且OE⊥CD于 0 故选D. 之和最小； 点0.若∠A0C=35°，则 图1 三、共同携手 (2)现计划把河中的 ∠BOE的度数为 ( 例3如图3，直线AB,CD 水引入蓄水池H,怎样开挖水渠最短？请画出图 A.125° B.135° 相交于点O,E0⊥OF.已知 形，并说明理由。 C.65° D.55 ∠B0F=20°，0C平分∠A0E,A A. 解：因为OE⊥CD, 则∠BOD= () D B 所以LE0D=90° A.20° B.30° ◆C 因为∠A0C=35°， C.55 D.35° 由对顶角相等，得∠B0D=∠AOC=35. 解：因为E01OF, 图1 图2 所以∠B0E=∠E0D+∠B0D=125°， 所以∠EOF=90°. 分析：(1)要使蓄水池H到四个村庄的距离 故选A. 因为∠B0F=20°， 之和最小，则根据“两点之间，线段最短”可知，点 二、联合角平分线 所以∠AOE=180°-∠EOF-∠BOF= H的位置应在线段AC与BD的交，点处：(2)利用 例2如图2，直线AB, M 70° 垂线的性质即可确定所挖水渠的位置. CD交于点O,射线OM平分 B 0 因为OC平分∠A0E 解：(1)如图2，连接AC,BD,交于点H,则点 ∠A0C.若∠B0D=48°，则 所以∠A0G=7∠A0E=35 H就是所求蓄水池的位置。根据“两点之间，线段 D ∠BOM= ( ) 图 最短”可知，点H到四个村庄的距离之和最小 A.96° B.132° 由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=35° (2)如图2，过点H作HG⊥EF于点G,则沿 C.1469 D.1569 故选D HG挖渠，可使水渠最短.理由是：垂线段最短 第39期2版参考答案 答：A种花卉每盆10元，B种花卉每盆15元. 9.3分式方程 (2)设购买A种花卉m盆，则购买B种花卉(1000- 器人每小时包装5x盒药品.根据题意，得1600_1600 4x 5x 9.3.1分式方程的概念及解法 m)盆.根据题意，得10m+15(1000-m)≤13000.解=4.解得x=20.经检验，x=20是原方程的根.所以5x 基础训练1.B;2.D;3.C;4.25, 得m≥400. =100. 5.(1)x=9:(2)无解：(3)x=-号 答：至少购买A种花卉400盆. 答：一台智能机器人每小时包装100盒药品 7.(1)设小明在地面上每分钟行走x米，则小刚在 15.方程两边同乘以(x-1)(x+2),得x(x+2) 6.方程两边同乘以(x-2),得2-x-m=2x-4. 地面上每分钟行走9米根据题意，得1.5×号-增根，所以：=0或+2=0解得x-1或x-2 (x-1)(x+2)=m.解得x=m-2.因为原分式方程有 解得x=6,严 (1)因为该分式方程有增根，所以x-2=0.解得x1.5x=15.解得x=50.所以6x=60. 所以m-2=1或m-2=-2.解得m=3或m=0. 16.(1)方程两边同乘以(x-3),得6-（x-1)= =2.所以，m=2.解得m=0. 答：小明在地面上每分钟行走50米，小刚在地面上x-3.解得x=5.检验：当x=5时，x-3≠0.所以x= 每分钟行走60米. 5是原分式方程的根. (2)因为该分式方程的根是正数，所以，m>0, 3 (2)设平地电梯每分钟行驶y米.根据题意，得 （2)设▲=m.方程两边同乘以(x-3),得m-(x 且6，”≠2.解得m<6且m≠0， 120 120-9 -)=-3.解得x=”兰因为原分式方程无解，所 60+y=50+y 解得y=30.经检验，y=30是原方 能力提高7.B. 9.3.2分式方程的应用 程的根. 以m4=3.解得m=2,即原分式方程中“▲”代表的 基础训练1.A;2.A;3.120. 答：平地电梯每分钟行驶30米. 数为2. 4.设电动车的速度是x千米/时，则汽车的速度是 8(1)设规定时间是x天.根据题意，得20(+ 17.(1)设该商家购进运动鞋x双，则购进运动服 (x+35)千米/时根据题意，得3,2=十5解得 1.25x套根据题意，得5400-600-40.解得x=40. 15)+,5=1.解得x=40.经检验，x=40是原方程 10 125x =30.经检验，x=30是原方程的根.所以x+35=65. 经检验，x=40是原方程的根.所以1.25x=50. 答：电动车的速度是30千米/时，汽车的速度是65千的根.所以1.5x=60, 答：该商家购进运动鞋40双，购进运动服50套. 米/ 答：甲单独完成这项工程需要40天，乙单独完成这 (2)每双运动鞋的进价为：6400÷40=160（元）， 5.设该市去年居民用水的价格是x元m,则该市项工程需要60天 每套运动服的进价为：160-40=120（元）.根据题意， 1 今年居民用水的价格是(1+子)x元/m3.根据题意，得 (2)甲，乙两工程队合做需：1÷(0+0)=24（天）.得40×子×(200-160)+50××(160-120)+40 30,一-15=5.解得x=1.5.经检验，x=1.5是原 所需工程款为：(4+3)×24=168万<170万. 1+分x 答：区里准备的工程款够用 ×4×(200×0.1a-160)+50×7×(160-120-3a) 第39期3版参考答案 =2600.解得a=8. 方程的根所以(1+了)x=2 -题号12345678 附加题(1)x=6; 答：该市今年居民用水的价格是2元/m 答案AC C B D C A C (2)中7x+6+4*3 6.(1)设A种花卉每盆x元，则B种花卉每盆(x+ 5)元根据题意，得6”-9”解得：=10经检验 =9.-1,103:11.分；12.3 (3)答案不惟一，如x-n+2x-n+ 三、13.(1)x=1;(2)x=4;(3)无解 1 1 =10是原方程的根.所以x+5=15. 14.设一个工人每小时包装x盒药品，则一台智能机-n-1~x--2,这个方程的根为x=n 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 数理超 2026年4月7日·星期二 初中数学 41期总第1185期 沪科 0351-5271248 七年级(AH) 第40期综合测评卷 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 参考答案 、1.B; 2.B 入门向导 3.A;4.D;5.B 6.A;7.B;8.B; 9.D;10.D. 二、11.0；12.7； 辨析比较学垂线· 产本周主讲 13.0;14.54; 10.1相交线 15.4或8. 2bd ©四川王清瑞 三16.(1)-50c 学习目标：理解对顶角、垂线、垂线段等 一、垂线与垂直 段)，可以度量，这是二者的不同.二者的相同之 (2) 概念，并掌握其相关性质 +3 当两条直线相交所成的四个角中有一个角处在于：垂线和垂线段都是几何图形，垂线段是 17.(1)无解： 认知重点：1.探索并掌握对顶角相等的 (2)x=-3 是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一 垂线的一部分 18.原式=x+1.解不 条直线叫作另一条直线的垂线. 四、垂线段与点到直线的距离 性质」 式 垂直是相交的一种特殊情形 垂线段是一种几何图形，属于“形”的概念， 2能用三角板或量角器过一点画已知直线 7(x+1)≤2， 得1≤ 由此我们可以知道，垂线是指互相垂直的垂线段的特征是： 的垂线，理解，点到直线的距离的意义，能度量 2≥+3 两条直线中的一条，表示一种图形，而垂直则是 (1)是一条线段； 点到直线的距离. ≤3.所以该不等式组的整 数解是1,2,3. 指两条直线之间的位置关系。 (2)垂直于某一直线. 3.掌握垂线的基本事实：同一平面内，过 要使分式(2-2x+1 r2-r 二、垂线与斜线 点到直线的距离是指垂线段的长度，属于 点有且只有民条直线与已知直线垂直. +有意义。 2 垂线和斜线是以两条直线相交是否成直角 “量”的概念，不能认为点到直线的距离就是垂 来区分的，反映了两条直线的位置关系的不同. 所以x-1≠0，x+1≠0 线段 D.直线外一点到这条直线的垂线段叫作点 2≠0.解得x≠1，x 同一平面内，过一点有且只有一条直线与 所=3.当 如图2，点C到直线AB的距离不是垂线段 到直线的距离 3时，原式 已知直线垂直（基本事实）.如图1，CD1AB,而 CD,而是垂线段CD的长度， 解析：A.连接直线外一点与直线上各点的 程两边同乘以 :-5( 过直线AB外的一点C画斜线和直线AB相交可 段线中，垂线段最短，且垂线是一条直线，不可 0 得口 因为关 的方程 画无数条，如直线CE,CF,CG等，线段CE,CF 度量，此选项错误； -5=2严无解，所 CG都比垂线段CD要长 B.两条直线相交所成的四个角中，如果有 以x=2或1-m=0.解得 三个角相等，根据“对顶角相等”，可以断定四个 4或m=1. 20.设乙组每分钟采 图2 角都相等，所以每个角都是90°，那么这两条直 谪x千克的蔬菜，则甲组每 分钟采摘2x千克的蔬菜 例下列说法中，正确的是 线互相垂直，此选项正确： 根据题意，得500 A.垂线最短 C.缺失“同一平面内”这一条件，此选项错误； 0 =10.解得x=25. 三、垂线与垂线段 B.两条直线相交所成的四个角中，如果有 D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度 2x 经检验，x=25是原方 垂线是相交线的一种特殊情形，不可度量； 三个角相等，那么这两条直线互相垂直 叫作点到直线的距离，此选项错误 程的根 以2x 50. 垂线段是线段（垂线上一点与垂足之间的线 C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 故选B 十十十十十十十十十十十十十十十十 组每分钟采摘 50千克的蔬菜，乙组每分 知识梳理 对顶角，故说法错误 钟采摘25千克的蔬菜 (2)A类蔬菜的单位面 所以说法正确的有①③，共2个 积产量大.理由如下： A类蔬菜的单位面积 对顶角师多①少 故选B. 产量为30千克： .2 例3如图3，直线AB, B类蔬莱的单位面积 ⊙安徽 梁春艳 CD相交于点0.若∠1= 产量为：a2a-2-） 在奇妙的几何世界中，对顶角犹如一把精 解析：利用对顶角的定义可知，只有选项C40°，∠2=120°，则∠C0M a(a-2)(千克). 200 巧的钥匙，虽看似简单，却能开启许多角度问题中的∠1与∠2是对顶角， 的度数是 ( 300 200 a(a-2) 的大门，简洁的定义和独特性质，撑起无数复杂 故选C. A.70 B.809 300(a-2)-200a 几何问题的解答，值得深入探索 二、对顶角的性质 C.90° D.100 100a-600100(a-6) 一、对顶角的概念 对顶角相等 解：因为∠2=120°，由对顶角相等，得 a2(a-2) 2 -2 -6 如图1，∠1与∠3是直线AB与CD相交所 例2下列说法正确的有 ∠B0C=120°. >0,a2>0,a-2>0. 构成的，它们有一个公共顶点0，并且∠1的两 ①对顶角相等； 所拟100(a-6>0. 因为∠1=40°， a2(a-2) 边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位 ②相等的角是对顶角： 所以300、 200 所以∠C0M=∠B0C-∠1=80°， > a(a-2) 置关系的两个角，互为对顶角.图1中∠2和∠4 ③若两个角不相等，则这两个角一 定不是 故选B. 所以A类蔬菜的单位 也互为对顶角. 对顶角； 面积产量大. 三、对顶角在生活中的应用 21.(1)-2,-3. ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定 (2)根据题意，得mn 例4如图4，建筑工人经常要测量两堵围 +2所以 不相等. 4 墙所形成的∠AOB,但人又不能进入围墙，只能 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 图1 站在墙外，聪明的你帮助工人师傅想想办法吧 mn 解析：①正确 (m+n)2-2m=-l4 由此可以看出，确定两个角是对顶角，必须 要求：写出测量方案 3原方程变为-2 ②相等的两个角不一定互为对 同时满足以下两个特征： ( 2k3=-k-3 顶角.如图2，已知∠1=∠2=30 (1)有公共灯顶点； 所以二：，-2 但∠1与∠2不互为对顶角.因为∠1 (2)两边互为反向延长线 2k-3.所以 1-2 与∠2虽然有公共顶点，但∠1的两 +1 例1下面四个图形中，∠1与∠2是对顶 图2 边与∠2的两边不互为反向延长线，故说法错 2k-1+1 角的图形为 52 ③正确. 解：如图5，延长A0与B0得到∠AOB的对 ④两个角不是对顶角，这两个角也可能相 顶角∠COD,测出∠COD的度数即可.由对顶角 等，如图2所示的∠1=∠2，但∠1与∠2不是相等，得∠A0B=∠C0D. 2 素养专练 数理极 4.如图3是光的反射规律示意图，C0是入射 跟踪训练 能刀提高 光线，OD是反射光线，法线E0⊥AB,∠COE是入 7.两条直线相交所成的四个角中，有两个角射角，∠EOD是反射角，∠COE=∠E0D.若 gEnzonGXUNLIAN 的度数分别是(2x-10)°和(110-x)°，则x=∠A0C=2∠E0D,则∠C0E的度数为 10.1相交线 10.1.1对顶角 8.如图6，观察下列图形，寻找对顶角（不含平 角) 垦础训练 1.下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是 图3 图4 图6 5.如图4,0A⊥OB,直线EF,GD都经过点0 (1)如图6-①，两条直线相交于一点，共有∠A0E=35°，且∠G0F=70°，则∠B0D的度数 对对打顶角： 为 (2)如图6-②，三条直线相交于一点，共有 6.如图5，P是∠A0B的边0B上一点. 对对顶角； (1)过点P画0A的垂线，交OA于点H; (3)如图6-③，四条直线相交于一点，共有 (2)过点P画0B的垂线，交OA于点C; 对对顶角； (3)点O到直线PC的距离是线段 的 D (4)探究：当n条直线相交于一点时，可形成 长 2.如图1，直线AB与直线CD交于点0，∠A0C多少对对顶角？ (4)比较PH与C0的大小，并说明理由， =35°，则∠B0D的度数为 ( (5)应用：当101条直线相交于一点时，可形 A.35° B.145 成多少对对顶角？ C.55° D.1259 图1 3.如图2，有一个破损的扇形零件，利用图中 的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依 7.如图6，直线AB,CD相交于点0，射线OE在 X 据是 ∠DOB内部，且∠DOE=2∠BOE,过点O作OF⊥ 4.如图3是一把剪刀 OE 的示意图，我们可想象成 (1)若∠C0F=54°，求∠B0E的度数； 一个相交线模型，若 (2)若∠COF=∠DOE,那么OB平分∠DOE ∠A0B+∠C0D=76°，则 10.1.2垂直 吗？为什么？ ∠AOB= 垦础训练 5.如图4，直线AB,CD相交于点O,OE把 ∠B0D分成两部分. 1.如图1，直线l代表一条河流，在河边0处修 (1)图中∠A0C的对顶角为 建一水闸，再过点0修建两条引水渠04和0B,使 (2)若∠A0C=80°，且∠B0E:∠E0D=得OA⊥L,0B⊥L,垂足为点0，则0A与0B重合的 2:3,求∠AOE的度数 理由是 ( A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.同一平面内，过一点有且只有一条直线与 图4 4 已知直线垂直 能刀提高 D.已知直线的垂线只有一条 8.直线AB与直线CD相交于点O,∠BOC: A ∠BOD=2:1,射线OE⊥CD,求∠AOE的度数 6.如图5，直线AB,CD相交于点0,0E平分1 0 ∠A0D,0F平分∠B0E.若∠B0C=140°，求 图1 图2 ∠DOF的度数. 2.如图2，点0在直线BD上.已知∠1=25， OC⊥OA,则∠BOC的度数是 A.55° B.65° C.75o D.155 3.下列各图中，过直线1外的点P画直线1的 垂线，三角板操作正确的是 里含 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)】 数理极 素养·测评 3 15.(10分)如图13，直线AB,CD相交于点0 同步达标检测题（十） OM⊥AB. (1)若∠1=∠2，判断0N与CD的位置关 系，并说明理由； ◆ TONG BU DA BIAO JIAN CE TI (2)若∠1=石∠B0C,求∠B0D的度数 【检测范围：10.1】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 题号1234 567 答案 1.如图1，当光线从空气射 图7 入水中，会发生折射与反射现 图1 象，其中与∠AOM互为对顶角 10.如图8-①，筒车是利用水流冲击水轮转 气 的是 动来取水灌田的工具，如图8-②是其部分示意 ( 0. A.∠MOE B.∠NOB 水图，点A,B,C,D,E分别表示不同位置的盛水筒，点 C.∠B'OB D.∠B'ON B 0为简车中心支点，点A,0,B在同一条直线上，0C 16.(12分)如图14，点0是直线AB上的一点， 2.下列选项中，过点A画 ⊥0E.若∠A0C=32°，∠B0D=100°，则∠D0E 图1 射线OC,OD在直线AB的异侧，已知OC⊥OD,OE BC的垂线AD,三角板摆放正确的是 平分∠A0C. (1)若∠BOD=40°，求∠AOE的度数； (2)∠AOE与∠BOD是否有可能成为对顶角？ 若有可能，请求出∠BOD的度数；若不可能，请说 B 明理由. 3.如图2，三条直线相交于点0，则∠1+∠2+ ① ② ∠3的度数等于 图8 A.2109 B.180° C.150° D.120 11.如图9，直线AB,CD相交于点0，OE1AB ∠A0D+∠B0C=240°，则∠C0E= 0 D 网3 4.如图3，已知直线AB与直线CD相交于点 O,下列条件中不能说明AB⊥CD的是 10 A.∠A0C=90° 12.如图10，点0为直线AB上一点，过点0作 B.∠AOC=∠BOC 射线0C,使∠B0C=135°.将直角三角板M0N绕 17.(14分)如图15，直线AB,CD相交于点0 C.∠AOC=∠BOD 点O旋转一周，当直线OM与直线0C互相垂直时， OD平分∠BOE,OF⊥CD. D.∠A0C+∠B0D=180 ∠AOM的度数是 (1)若∠F0E=2∠A0C,求∠D0B的度数； 5.下列说法中正确的是 三、耐心解一解（共52分）》 (2)试说明：∠AOF=∠FOE, A.点到直线的距离不可度量 13.(8分)如图11，直线m和l交于点0，已知 B.有公共顶点且相等的两个角是对顶角 ∠1的补角是它的余角的4倍，求∠2的度数 C.对顶角的补角相等 D.一条直线的垂线只能画一条 2 6.如图4，直线AB与直线CD相交于点0，OE ⊥AB,垂足为点0，∠E0D=2∠A0C,则∠B0C 图15 图11 的度数为 A.150° B.1409 C.130 D.120 C图4 5 14.(8分)如图12，在河岸MN的同侧有村庄 7.如图5，三角形ABC中，∠ACB=90°，CD1A和自来水厂B.现要在河岸上建一个抽水站P,把 附加题⊙ AB于点D,若AB=5,AC=3,BC=4,则点C到直河中的水先输送到自来水厂B,处理后再输送到村 线AB的距离是 ):庄A.为了节省资金，所铺设的水管应尽可能短，那 (以下试题供各地根据实际情况选用) 号 么抽水站P应建在何处？应怎样铺设水管？请画出 如图，直线AB,CD相交于点 A.3 C.4 D.5 图形，并说明理由· O,0N把∠A0D分成两个角，且 8.如图6，直线AB,CD相 ∠A0N:∠NOD=2:3. 交于点0，OE⊥AB,垂足为点 B (1)若∠B0C=75°，求 B 0,0F平分∠B0D,若∠A0C+ C ∠AON的度数. ∠D0F=39°，则∠E0F的度 M (2)如果∠B0C=75°，OM平分∠B0N,那么 数为 图6 图12 OB是∠C0M的平分线吗？请说明理由. A.77° B.74° C.67°D.649 二、细心填一填（每小题4分，共16分） (3)若0M10N,则号∠A0C-∠D0M是否为 9.为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB 定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 的度数，李潇同学设计了如下方案：如图7，作A0, B0的延长线OD,OC,量出∠COD的度数，从而得 数理报社试题研究中心 到∠AOB的度数.这个方案的依据是 (参考答案见下期)初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期 数理橘 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科七年级(AH) 第41~44期(2026年4月) 所以∠A0D=∠B0C=120°，∠AOC=∠B0D=60°. 第41期2版 因为OE⊥CD,所以∠C0E=∠D0E=90° 10.1相交线 当点E在钝角∠AOD内部时，∠AOE=∠AOD-∠DOE 10.1.1对顶角 =30°； 基础训练1.C;2.A; 当点E在钝角∠BOC内部时，∠AOE=∠AOC+∠COE= 3.对顶角相等；4.38° 150°. 5.(1)∠B0D: 综上所述，∠A0E的度数为30°或150°. (2)因为∠BOE:∠EOD=2:3且∠BOD=∠BOE+ 第41期3版 ∠E0D,∠B0D=80,所以∠B0E=子∠B0D=32所以 题号 1 678 ∠A0E=180°-∠B0E=148°. 2345 6.由对顶角相等，得∠A0D=∠B0C=140°.因为0E平 答案 D A 分∠A0D,所以∠A0E:∠D0E=7∠A0D=70所以 二、9.对顶角相等；10.42°；11.30°；12.135°或45° 三、13.由题意，得180°-∠1=4(90°-∠1).解得∠1= ∠B0E=180°-∠AOE=110°.因为OF平分∠B0E,所以 60°.由对顶角相等，得∠2=∠1=60°， LB0F=方∠B0E=55.所以∠D0F=LD0E-∠E0F= 14.如图，过点B作BP⊥MN,垂足为 15°. P,则点P就是所求抽水站的位置；连接 能力提高7.40或80. AB,则线段BA即为自来水厂到村庄的最 8.(1)2;(2)6;(3)12. 短距离.所以沿P→B→A的路线铺设水MP (4)当n条直线相交于一点时，可形成n(n-1)对对顶角. 管，所用的水管最短.理由是：垂线段最短和两点之间，线段最 (5)当101条直线相交于一点时，可形成10100对对顶角 短 10.1.2垂直 15.(1)0W⊥CD.理由如下： 基础训练1.C;2.B;3.C; 因为OM⊥AB,所以∠A0M=90°.所以∠1+∠A0C= 4.30°；5.15. 90°.又因为∠1=∠2，所以∠2+∠A0C=90°，即∠C0W= 6.(1)(2)图略； 90°.所以ON1CD. (3)OP; (2)因为OM⊥AB,所以∠B0M=90°.因为∠1= (4)PH<CO.理由如下： ∠B0C,所以∠1=3∠B0L.所以1=18所以∠B0D 6 由垂线段最短，得PH<PO,P0<CO.所以PH<CO. 7.(1)因为0F⊥OE,所以∠E0F=90°.因为∠C0F= =180°-∠B0M-∠1=72°. 54°，所以∠D0E=180°-∠E0F-∠C0F=36°.因为∠D0E 16.(1)因为OC1OD,所以∠C0D=90°.因为∠B0D= 40°，所以∠B0C=∠C0D-∠B0D=50°.所以∠A0C=180° =2∠B0E,所以∠B0E=子∠D0E=18 -∠B0C=130°.因为OE平分∠AOC,所以∠A0E= (2)OB平分∠D0F.理由如下： 2∠A0C=650, 由(1)得，∠E0F=90°.所以∠C0F+∠D0E=90°.又因 为∠C0F=∠D0E,所以∠C0F=∠D0E=45°.因为∠D0E (2)∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角.理由如下： =2∠B0E,所以∠BOE=22.5°.所以∠D0B=∠D0E+ 若∠AOE=∠B0D,则∠B0D+∠B0C+∠COE=180° ∠B0E=67.5°.因为∠B0F=∠E0F-∠B0E=67.5°，所以 由(1)知，∠B0D+∠B0C=90°.所以∠C0E=90°.因为OE ∠DOB=∠BOF.所以OB平分∠DOF. 平分∠AOC,所以∠A0C=2∠C0E=180°，不符合题意.所以 能力提高8.因为∠B0C:∠B0D=2:1,∠BOC+ ∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角. ∠B0D=180,所以∠B0C=号×180°=120°，∠B0D=号 17.(1)因为OD平分∠BOE,所以∠E0D=∠BOD.因为 ∠AOC=∠BOD,所以∠EOD=∠AOC.所以∠FOE= ×180°=60° 2∠A0C=2∠E0D.因为OF⊥CD,所以∠FOD=90°.所以 初中数学·沪科七年级(AH) 第41~44期 ∠FOE+∠EOD=90°，即3∠EOD=90°.所以∠E0D=30. 5.(1)GD∥CA.理由：因为EF∥CD,所以∠1+∠ACD= 所以∠DOB=∠EOD=30°. 180°.因为∠1+∠2=180°，所以∠ACD=∠2.所以GD∥ (2)由(1)得，∠AOC=∠EOD.因为F0⊥CD,所以 CA. ∠FOC=∠FOD=90°.又因为∠FOC=∠AOF+∠AOC, (2)由(1)，得∠2=∠ACD=40°.因为DG平分∠CDB, ∠FOD=∠F0E+∠EOD,所以∠AOF=∠FOE. 所以∠BDG=∠2=40°.因为GD∥CA,所以∠A=∠BDG= 附加题(1)由对顶角相等，得∠AOD=∠B0C=75°. 40°. 因为∠40N:∠0D=2:3,所以∠A0N=号∠A0D=30e 能力提高6.过点C在∠FCD内作CM∥DE,图略.因为 AB∥DE,所以AB∥DE∥CM.又因为∠ABC=124°，∠CDE (2)OB是∠COM的平分线.理由如下： =72°，所以∠BCM=∠ABC=124°，∠DCM=180°-∠CDE 由(1)知，当∠B0C=75°时，∠A0N=30°.所以∠B0W =108°.所以∠BCD=∠BCM-∠DCM=16°. =180°-∠AON=150°.因为OM平分∠B0N,所以∠B0M= 7∠B0N=750.所以∠B0C=∠B0M,即0B是∠C0M的平 第42期3版 分线 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 (3)号∠A0C-∠D0M是定值.设∠A0N=2x,则∠0D 答案 B A A D =3x.所以∠AOD=∠A0N+∠D0W=5x.所以∠A0C= 二、9.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行： 180°-∠A0D=180°-5x.因为0M⊥0N,所以∠M0N=90°. 10.64°；11.16°；12.30°或45°或120° 三、13.因为DG平分∠ADE,∠ADG=67°，所以∠ADE= 所以∠D0M=∠M0N-∠0D=0°-3x所以号∠A0C- 2∠ADG=134°.所以∠ADF=180°-∠ADE=46°.因为∠B ∠D0M= 号180-59)-(90-30）=18 =46°，所以∠ADF=∠B.所以BC∥EF 14.如图2，直线PQ即为所求. 第42期2版 15.(1)因为CD⊥AB,FE⊥AB 所以∠CDA=∠FEA=90°.所以CD 10.2平行线的判定 ∥FE.所以∠ACD+∠EHC=180. 10.2.1平行线及“三线八角” 因为∠ACD+∠F=180°，所以 基础训练1.C;2.C; ∠EHC=∠F.所以AC∥FG. 图2 3.EF∥CD,如果两条直线和第三条直线平行，那么这两 (2)由∠BCD:∠ACD=2:3,设∠BCD=2x,∠ACD= 条直线平行； 3x.因为AC∥FG,所以∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x 4.(1)DE,CB,AC,同位；(2)EBC,BE;(3)DEC,ECB; 因为∠F=3∠G,所以∠F=15x.因为∠ACD+∠F=180°， (4)ABE,BEC;5.②③⑤. 所以3x+15x=180°.解得x=10°.所以∠BCD=20°. 10.2.2平行线的判定 16.因为BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD,所以∠ABE= 基础训练1.C;2.内错角相等，两直线平行； 3.②③⑤. 子∠AC,2=∠B0D=子∠ACD又因为1=∠2.所以 4.(1)因为AB⊥BC,EF⊥BC,所以∠ABC=∠EFC= ∠1=∠ECD.所以EF∥CD.又因为AB∥EF,所以AB∥CD, 90°.所以AB∥EF (2)图略.AB∥CD.理由：由(I),得AB∥EF.又因为CD 所以∠ABC+∠BCD=180所以∠ABE+∠2=（∠ABC ∥EF,所以AB∥CD. +∠BCD)=90°.因为AB∥EF,所以∠ABE=∠BEF.所以 5.因为∠1=∠2，所以AB∥CD.因为∠3+∠4=180°， ∠BEF+∠1=90°，即∠BEC=90°.所以BE⊥CE. 所以CD∥EF.所以AB∥EF D 17.(1)因为AB∥CD,所以∠BNP=∠2.又因为∠1= 6.(1)如图1，∠EBC或∠E'BC ∠2，所以∠BNP=∠1.所以EF∥NP. 即为所求。 (2)过点F在∠EFG内作FM∥AB,图略.因为AB∥CD, (2)BE与AD不一定平行.①当 所以AB∥FM∥CD.所以∠EFM=∠1=40°，∠HFM= 所作的角在BC上方时，BE与AD平 ∠FHG=10°.所以∠EFH=∠EFM+∠HFM=50°.因为FH 行.因为∠EBC=∠A,所以BE∥ 图1 平分∠EFG,所以∠GFH=∠EFH=50°.所以∠MFG= AD.②当所作的角在BC下方时，BE与AD不平行. ∠HFM+∠GFH=60°.因为FM∥CD,所以∠FGD=∠MFG 能力提高7.因为∠ABC=∠ACB,∠1=∠2，所以 =60°. ∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，即∠EBD=∠FCB.又因为 附加题 ∠EBD=∠D,所以∠FCB=∠D.所以CF∥DE. (1)∠AEC+∠C-∠A=180°.理由如下： 10.3平行线的性质 过点E在∠AEC内作EM∥AB,图略.因为AB∥CD,所以 基础训练1.A;2.C;3.15°； AB∥EM∥CD.所以∠AEM=∠A,∠MEC+∠C=180°.所 4.∠C+∠D=180°. 以∠AEM+∠MEC+∠C=∠A+180°，即∠AEC+∠C-∠A 2 初中数学·沪科七年级(AH) 第41~44期 =180° 5.(1)连接AD,图略.平移的方向是点A到点D的方向，平 (2)①过点F在∠EFC内作FW∥AB,图略.因为AB∥ 移的距离是线段AD的长度. CD,所以AB∥FW∥CD.所以∠C+∠NFC=180°.所以∠C (2)图略. =180°-∠NFC.由(1)，得∠E+∠EFW-∠A=180°.所以 6.(1)图略. ∠E=180°-∠EFW+∠A.所以∠C+∠E=180°-∠NFC (2)三角形A'B'C的面积为8. +(180°-∠EFN+∠A)=360°-（∠NFC+∠EFW)+∠A =360°-∠EFC+∠A=360°-100°+24°=284°. 第43期3版 ②∠BcC+号∠F=168理由如下： 题号 1 2345678 由①，得∠AEF+∠DCF=360°-∠F+∠A.因为∠AEF 答案ACD CC B AD 和∠DCF的平分线交于点G,所以∠AEG=∠GEF= 二、9.∠F,AB;10.10;11.230°；12.2或4 分∠AP,∠DCG=∠GCP=分∠DCR过点E在∠ABG内作 三、13.图略. 14.因为将三角形ABC沿BC方向平移2.5cm得到三角形 EH∥AB,过点G在∠EGC内作GQ∥AB,图略，则GQ∥AB∥ DEF,所以AD=BE,AB=DE.所以阴影部分的周长=AD+ EH∥CD.所以∠EGQ=∠HEG,∠QGC=LDCG,∠A= EC+DE +AC BE+EC +AB+AC =AB+AC+BC =3+ ∠AEH.所以∠EGQ=∠HEG=∠AEG-∠AEH=∠AEG- 2+4=9(cm). ∠A所以∠EGC=∠EGQ+∠QGC=∠AEG-∠A+∠DCG= 15.(1)该种红地毯的长是：2.6+5.8=8.4(m) 2(LABF+∠DGP)-∠A=7(360-∠F+∠)-∠A- (2)该种红地毯的面积是：8.4×2=16.8(m2). (3)购买该种红地毯至少需要：16.8×30=504（元）. 180-7∠F-7<4=180-74P-12=1680- 1 ∠F, 2 16.(1)因为三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形 即∠BGC+7∠F=168 DEF,所以AC∥DF,AD∥BF 所以∠ACB=∠F,∠ACB=∠DAC. 所以∠F=∠DAC. 第43期2版 又因为∠DAC=56°，所以∠F=56°. 10.4平移 (2)因为三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形 10.4.1平移现象 DEF,所以AD=CF 基础训练1.A;2.C 设AD=xcm,则CF=xcm. 3.答案不惟一，如图1为平移4根火柴棒变成三个相同的正 因为Sen=子5u,BC=6em,所以宁(+6+ 方形：如图2为平移4根火柴棒变成相同的四个正方形 ·AB=子×宁×64B解得：=4所以AD的长为4m 17.(1)由平移的性质知，DE∥D'E'.所以∠CED= ∠CPD'.由题意知，∠CED=60°.所以∠CPD'=60°. (2)由题意知，∠A=30°，∠CED=60°.由平移的性质 知，∠C'E'D'=∠CED=60°，CE∥C'E.所以∠BE'C'=∠A 能力提高4.540. =30°.所以∠BE'D'=∠BE'C'+∠C'E'D'=90°.所以AB⊥ 10.4.2平移的性质 E'D'. 基础训练1.B;2.C;3.C;4.A; 附加题(1)因为DE∥AB,所以∠BAE+∠E=180° 5.35;6.42. 又因为∠B=∠E,所以∠BAE+∠B=180°. 7.(1)图中所有平行的直线有：AE∥CF,AC∥DF,BC∥ 所以AE∥BC. EF (2)①25； (2)图中与AD相等的线段有：线段CF和线段BE,其长度 ②如图3，当点P在线段AD上时，过点D作DF∥AE交AB 为2cm. 于点F (3)因为AE∥CF,∠ABC=65°，所以∠BCF=∠ABC= 由平移的性质知，PQ∥AE. 65°.因为BC∥EF,所以∠EFC+∠BCF=180°.所以∠EFC 所以DF∥PQ. =115°. 所以∠QDF=180°-∠Q 8.(1)平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线 因为DF∥AE,∠E=65°，所以∠EDF=180°-∠E= 段AD的长度， 115 (2)因为三角形ABC平移到三角形DEF的位置，所以CF 又因为∠Q=2LED0,即∠ED0=7∠Q,所以∠QDF =AD.因为CF+BC=BF,所以AD+BC=BF 能力提高9.18. =LEDF+∠ED0=115+7∠Q=180°-∠Q 10.4.3平移作图 基础训练1.C:2.A;3.2;4.3和5. 所以∠Q=130 初中数学·沪科七年级(AH)第41~44期 5.图略. 第44期3,4版 题号123 45 678 910 3 图4 二、11.垂线段最短；12.答案不惟一，如∠C=∠D; 如图4，当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF'∥ 13.26°；14.56°；15.6或43.5. AE交AB于点F. 三、16.图略. 由平移的性质知，PQ∥AE. 17.∠BFC=30. 所以DF'∥PQ. 18.∠A0D=60°. 所以∠QDF'=180°-∠Q 因为DF'∥AE,∠E=65°，所以∠EDF=180°-∠E= 19.(1)因为∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC= 115°. 180°，所以∠EFC=∠ADC.所以EF∥AB.所以∠ADE= ∠DEF 又因为∠Q=2∠ED0,即∠ED0=7∠Q,所以∠0DF (2)因为∠ADE=∠DEF,∠DEF=∠B,所以∠ADE= =∠EDF-∠ED0=115-∠Q=180°-Z0 ∠B.所以DE∥BC.所以∠AED=∠ACB,∠CDE=∠BCD.又 因为∠AED=2∠CDE,所以∠ACB=2∠BCD.所以∠ACD= 所以∠Q=130° ∠ACB-∠BCD=2∠BCD-∠BCD=∠BCD,即∠ACD= 综上所述，∠0的度数为9或130 ∠BCD. 20.(1)∠BEC=2∠A'.理由如下： 第44期2版 因为三角形A'B'D'是由三角形ABD平移得到的，所以 专题一相交线 ∠A'=∠BAD,A'B∥AB.所以∠B'EC=∠BAC.因为AD平 1.D;2.垂线段最短；3.135°. 分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD.所以∠B'EC=2∠A'. 4.(1)因为E0⊥AB,所以∠B0E=90°.因为∠D0E= (2)因为三角形A'B'D'是由三角形ABD平移得到的，所以 2∠BOD,所以3∠BOD=90°.所以∠BOD=30°，∠D0E= ∠BA'D'=∠BAD,A'B∥AB.所以∠BA'C=∠BAC.由(1) 60°.所以∠C0E=180°-∠D0E=120°. 得∠BAC=2∠BAD.所以∠BA'C=2∠B'A'D'.所以A'D'平 (2)因为∠B0D=30°，所以∠COB=∠COF+∠B0F= 分∠BA'C. 180°-∠B0D=150°.因为∠C0F=4∠B0F,所以5∠B0F= 21.(1)过点E在∠MEN内作EF∥AB,图略.所以∠MEF 150°.所以∠B0F=30°.所以∠D0F=∠B0D+∠B0F= =∠1.因为AB∥CD,EF∥AB,所以EF∥CD.所以∠NEF= 60° ∠2.因为∠MEN=∠MEF+∠NEF,所以∠MEN=∠1+ 专题二平行线 ∠2. 1.B:2.D:3.①③. (2)①因为∠CNE=140°，所以∠EWD=180°-∠CWE 4.过点D作∠EDC=∠C,点E在点D的右边，且在线段 =40°.因为AB∥CD,∠BME=80°，同理：∠MEN=∠BME+ BA的延长线上，图略.理由：因为LEDC=∠C,所以DE∥ ∠EWD=120°. BC(内错角相等，两直线平行). 因为锐角∠BME和钝角∠CWE的平分线所在的直线交于 5.因为∠DCE=60°，∠ACF=10°，所以∠ACD=180°- ∠DCE-∠ACF=I10°.因为AB∥CD,所以∠A=180°- 点P,所以∠FNC=子∠CNE=70,∠BNQ=子∠BME= ∠ACD=70°. 4O°.过点F在FN右侧作FP∥AB,图略.所以FP∥AB∥CD. 6.CM∥DN.理由如下： 所以∠PFM=∠BMQ=40°，∠PFW=∠FNC=70°.所以 因为CF平分∠ACM,∠1=72°，所以∠ACM=2∠1= 14°.所以∠BCM=180°-∠ACM=36.又因为∠2=36°， ∠MFW=∠PFN-∠PFM=30°. ②因为FN∥ME,所以∠EMQ=∠NFQ=a,∠BGN= 所以∠2=∠BCM.所以CM∥DN. 7.(1)由折叠知∠AEB=∠AEF.因为EG平分∠CEF,所 ∠BME.因为MQ,NF分别平分∠BME,∠CNE,所以∠BGN= 以∠FEG=∠CEG.因为∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG= ∠BME=2∠EMQ=2a,∠CWE=2∠CNG.因为AB∥CD,所 180°，所以∠AEG=∠AEF+∠FEG=90°.因为HG1EG,所 以∠CWG=∠BGW=2a.所以∠CNE=4a.同理：∠E= 以∠HGE=90°.所以∠AEG+∠HGE=180°.所以HG∥AE. ∠BME+∠EWD=2a+(180°-4a)=180°-2a. (2)因为∠CEG=20°，∠AEG=90°，所以∠AEB=70°. (3)过点F在∠EFW内作FS∥CD.所以∠CWF+∠SFN 因为AD∥BC,所以∠DAE=∠AEB=70°.因为HG∥AE,所 =180°.因为AB∥CD,所以AB∥FS.同理：∠E=∠AME+ 以∠DHG=∠DAE=70°. ∠EFS.因为∠EFN=∠EFS+∠SFN,所以∠AME+∠EFW+ 专题三平移 ∠CNF=∠AME+∠EFS+∠SFN+∠CNF=∠E+∠SFW 1.D;2.2;3.105°；4.6. +∠CWF=65°+180°=245. 4