第35期 8.4 因式分解-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

素养·拓展 数理招 品味方法 同学们在做因式分 解的题目时，由于种种 热点追踪 《《《《 十字相乘法 原因，常会出现这样或 数学诊所 那样的错误，现针对这 ©山西颜培强 些常见的错误进行剖 十字相乘法的思路是：先分解二次项系数，利用十字相乘法继续分解即可 析，希望同学们有则改 河 之，无则加勉 易 分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分 解：原式=3(5x2-3xy-14y2) 解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右 =3(x-2y)(5x+7y). 易错点1：对因式 错解 下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次 故填3(x-2y)(5x+7y). 分解的定义理解不透 项系数.十字相乘法的规则可记为：竖分常数交 三、十字相乘法牵手平方差公式法 例1因式分解： x2-4-3x. 叉验，横写因式不能乱 例3因式分解：a-6a2-27. 例因式分解：x2-8x+15。 错解：原式=(x+ 分析：综合运用十字相乘法和平方差公式 2)(x-2)-3x. 法即可对多项式进行因式分解 点剖析 剖析：因式分解的 解：原式=(a2+3)(a2-9) 1x(-5)+1×(-3)=-8 结果是几个整式的积的 =(a2+3)(a+3)(a-3). 形式，出现错解的原因是对因式分解的定义理 所以x2-8x+15=(x-3)(x-5). 四、十字相乘法牵手完全平方公式法 解不透，概念模糊 一、十字相乘法单打独斗 例4因式分解：(x2-4x)2+7(x2-4x)+12. 正解：原式=（x+1)(x-4) 例1分解因式：x2-5x+6= 分析：将x2-4x看成一个整体，利用十字相 易错点2：公因式提不“净” 分析：利用十字相乘法分解即可 乘法和完全平方公式法即可完成因式分解 例2因式分解：4m-2m2= 解：原式=(x-2)(x-3). 解：原式=(x2-4x+4)(x2-4x+3) 错解：原式=2(2m-m2). 故填(x-2)(x-3). =(x-2)2(x-1)(x-3). 故填2(2m-m2). 二、十字相乘法牵手提公因式法 编者语：在运用十字相乘法分解因式时，要 剖析：错解的原因是没有把括号中多项式 例2因式分解：15x2-9xy-42y2=注意观察、尝试，它的实质是二项式乘法的逆过 的公因式m提取出来. 程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务 正解：原式=2m(2-m). 分析：先提取公因式3，再对余下的多项式必注意各项系数的符号， 故填2m(2-m). 十”十十”十十”十 ”十”十”十”十”十”十一”十十”十”十”十”十”十 十十十”十”十十”十十”十”十十十”十十十十十” 易错点3：提公因式后丢项 第34期2版参考答案 能力提高6.因为(5a+106+7)(5a+10b 例3多项式2x3-4x2+2x因式分解为 8.3完全平方公式与平方差公式 -7)=(5a+10b)2-49=176. 8.3.1完全平方公式 所以(5a+10b)2=225. 错解：原式=2x(x2-2x) 基础训练1.A;2.D;3.C; 因为a>0,b>0, 故填2x(x2-2x）. 4.19；5.±1. 所以5a+10b=15,即a+2b=3. 剖析：在提取公因式时，如果一个多项式有 6.(1)16a2-24ab+9b2;(2)-x; 第34期3版参考答案 n项，那么提取公因式后，剩下的多项式仍为n (3)5x2-42x+16;(4)9980.01. 题号12345678 项.出现错解的原因是提出公因式2x后，剩下 7.因为(x+y)2=25,(x-y)2=9,所以 的多项式漏掉一项。 答案BD B DBBDB 正解：原式=2x(x2-2x+1)=2x(x (1)y=[(x+)2-(x-)2]=子× 二、9.4x2-25y2;10.4;11.6: 1)2 (25-9)=4; 12.4或16. 故填2x(x-1)2 (2)+=x+)+-门=2 三、13.(1)x2+4xy+4y2; 易错点4：公式混乱 (2)y2-3xy; 例4因式分解：2x3-8x ×(25+9)=17; (3)a2-462+4bc-c2. 错解：原式=2x(x2-4)=2x(x-2)2 (3)x4+y=(x2+y2)2-2x2y2=(x2+ 14.(1)x=1;(2)x<10.5. 剖析：出现错解的原因是把平方差公式法 y2)2-2(xy)2=172-2×42=289-32=257. a2-b2=(a+b)(a-b)与完全平方公式法a2 (2)10609. ±2ab+b2=(a±b)2混为一谈.平方差公式法 能力提高8.a2-2. 15.135920 只含有两项，而完全平方公式法则含有三项；平 8.3.2平方差公式 16.原式=2×[(1-)(1+)1+ 方差公式法中的平方项是异号的，而完全平方 基础训练1.B;2.A; 公式法中的平方项是同号的. 3.6;4.0. 2)(1+)1+]+品 正解：原式=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2) 5.(1)9a2-1;(2)962-4a2; =2×[1-1+1+1 易错点5：提出“_”后不变号 (3)-y+8 例5因式分解：-2-4b2+4ab= 16 6(1;(2)399号 +品 错解：原式=-(a2+4b2+4ab)=-(a+ 2b)2 8.3.3运用乘法公式进行计算 =2×[1-)1+)(1+)]+品 故填-(a+2b)2 基础训练1.B;2.B; 3.a2-2ab+b2;4.< =2×[1-)1+2]+品 剖析：如果多项式的第一项的系数是负数， 一般要提出“-”，使括号中的第一项的系数为 5.(1)x3-15x2+75x-125: =2×(1-品)+=2-2六+2=2 正在提出“-”后，要注意改变各项的符号. (2)m2+4mn+4n2-6pm-12pn+9p2; 正解：原式=-(a2-4ab+4b2)=-(a-2b)2 (3)4x2-9y2+6yg-z2. (下转1,4版中缝) 故填-(a-2b)2. 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 初中数学 0351-5271268 2026年2月24日·星期二 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 第 35期总第1179期 沪科 0351-5271248 七年级(AH) 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 17.(1)因为a-b 入门向导 众所周知，利用 =1,a2+b2=17,(a 提公因式法分解因 b)2=a2+b2-2ab, 学习因式分解 四认清” 式的关键是正确找 所以12=17 出公因式.下面举例 介绍公因式的几种 2ab, O安徽郑晋东 类型，供同学们赏 解得ab=8. 因式分解是初中数学中一种重要的恒等变例如：x2-3x+2=x(x-3)+2,这种变形只对 公因式 析 (2)根据题意，得 形，指的是把一个多项式表示成若干个整式的积 前面两项进行了分解，最后的结果是和的形式， 一、单项式公因 S阴郑分=a2-2× 的形式正确理解因式分解的概念是进行因式分 这不是因式分解；ab+bc+ac=ahc(L+⊥+ 式 b(a-b)=a2+ 解的前提和基础.同学们在学习这一知识时，要 单项式公因式 3 认清以下几点 方)，后面的式子的分母中出现了字母，不是整 要做到“三看”： 赵少波 看系数：若各 多型 一、认清因式分解与整式乘法的关系 式，因而不是因式分解 项系数都是整数，则 因为a+b=7, 因式分解是和差化积，整式乘法是积化和 四、认清因式分解的特殊要求 应选取各项系数的 所以(a+b)2= 差，是两种互逆的恒等变形的过程，因此因式分 因式分解应分解到不能再分解为止，相同的 最大公约数； 2 解的结果是否正确，可以用整式乘法来检验.如 因式要写成幂的形式，每一个因式要尽量化简例 二看字母：选取 即a2+2ab+b2= (a+1)(a-1)=a2-1就是整式的乘法，而a 各项都含有的字母： 如：a3-64a=a(a2-64)这个分解就不彻底，因为 -1=(a+1)(a-1)就是因式分解. 三看字母的次 91 2-64还可以再分解为(a+8)(a-8). 数：选取各个字母的最低次数 因为ab=9, 二、认清因式分解的对象 例 下列从左到右的变形中，属于因式分 1.数字公因式 所以a2+b2+2×9 因式分解的对象不仅要是整式，而且还必解的是 例1若m+n=4,则2m2+4mn+2n =49, 须是多项式，如果不是多项式也就谈不上因式 A.(x+2y)2=x2+4xy+42 5的值为 即a2+b2=31. 分解，例如：yz=x·y·y·z就不是因式分解， B.-18xy3=-6x2y2·3x2y A.27 B.11 C.x(2x-y)+2y(2x-y)=(2x-y)(x+2y) C.3 D.0 所以图中阴影部分 这是因为xyz是单项式，它本身就是整式的积 解：因为m+n=4, 的面积=31-9=22 1 (ab-1)也不是因 D.x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1 的形式再例如：a- = 所以2m2+4mn+2n2-5 (3)令2025-x b b 分析：根据因式分解的意义求解 =2(m2+2mn+n2)-5 m,x-2024=n,则m+ 式分解，这是因为a-不是整式 解：选项A中，等式从左到右的变形属于整 =2(m+n)2-5=27. n=2025-x+x- 式的乘法；选项B中，等式左边是单项式，不能 故选A. 三、认清因式分解的结果 因式分解；选项C中，等式左边是多项式，等式 2.字母公因式 2024=1, 因式分解的结果是几个整式的积的形式， 右边是整式的积，属于因式分解；选项D中，等 例2把多项式x2-3x分解因式是 因为(2025-x)( 不是部分的积，也不是积的和；因式要为整式 式的右边不是积的形式.故选C 2024)=-6, A.x(x+3) B.x(x-3) 所以mn=-6 名师点晴 C.(x+3)2 D.(x+3)(x-3) 所以(2025-x)2 解：x2-3x=x(x-3). +(x-2024)2=m2 因氏牙解大秀场 故选B. 3.组合公因式 n2=(m+n)2-2mn= 例3 将2x2y2-8x2y因式分解为 -2×(-6)=13. ◎湖南李丽珍 附加题 因式分解是初中数学的重要知识，同时它+9的值为 解：原式=2x2y(y2-4) (1)①4：②4. =2xy(y+2)(y-2) 也是一种重要的数学模型，现颛取几例，供同学 分析：先将a2-b2因式分解为(a+b)(a 故填2x2y(y+2)(y-2) (2)设AC=x,BC 们参考. b),再根据a+b=1即可得解. 二、多项式公因式 一、简便运算 解：因为a+b=1,所以a2-b2+2b+9=(a 例4分解因式(a2+a)2-(a+1)2的结 因为AB=8, 例1计算852-130×85+652的结果是+b)(a-b)+2b+9=a-b+2b+9=a+b+ 果是 所以x+y=8, 9=10.故填10. 解：原式=[a(a+1)]2-(a+1)2 所以(x+y)2= 分析：利用完全平方公式法分解因式，进而 四、判断三角形的形状 =a2(a+1)2-(a+1)2 计算得出结果 64 例4若三角形的三边长分别为a,b,c,且 =(a+1)2(a2-1) 解：原式=852-2×65×85+652=(85- =(a+1)2(a+1)(a-1) 因为S1+S2=44 满足ab-ac=b2-bc,则这个三角形一定是 65)2=202=400.故填400 =(a+1)3(a-1). 所以x2+y2=44, ( 二、解决整除问题 故填(a+1)3(a-1). 所以x2+y2+2xy 例2(-8)5+(-8)7能被下列数整除的 A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 =44+2xy=64, 是 本周住讲 A.5 B.6 分析：将ab-ac=b2-bc分解因式整理可 解得xy=10. 8.4因式分解 所以S=角形rc C.7 D.9 得(b-c)(a-b)=0,进而可得结果. 分析：将(-8)5+(-8)7提取公因式(-8) 解：因为ab-ac=b-bc 学习目标：1理解因式分解的意义，并感受 2y=5. 即可求解 所以a(b-c)=b(b-c). 因式分解与整式乘法是相反方向的变形. 解：因为(-8)3+(-8)7=(-8)×[1+ 所以a(b-c)-b(b-c)=0. 2.掌握并熟练运用提公因式法、公式法和 (全文完) (-8)2]=65×(-8)5=13×5×(-8)5,所 所以(b-c)(a-b)=0. 十字相乘法因式分解的基本方法。 以(-8)5+(-8)7能被5整除.故选A. 所以b-c=0或a-b=0. 认知重点：能够综合运用这几种方法进行 三、求整式的值 所以b=c或a=b. 因式分解 例3已知a+b=1,则整式a2-b2+2b 所这个三角形一定是等腰三角形.故选D, 2 素养专练 数理极 8.4.2公式法(1) (2)(2x+y)2-(x+2y)2: 跟踪训练 垦础训练 GENZONGXUNLIAN 1.下列各多项式中，能直接用平方差公式分 8.4因式分解 解因式的是 ) 8.4.1因式分解的概念与提公因式法 A.a2+9 B.a2-6a+9 C.-a2-9 D.a2-9 屋础训练 2.已知a≠c,若M=a2-ac,N=ac-c2,则 (3)ax4-8ax2+16a 1.对于①(x+1)(x-1)=x2-1,②x-2xy M与N的大小关系是 () =x(1-2y)从左到右的变形，表述正确的是 A.M>N B.M=N C.M<N ( D.不能确定 A.都是乘法运算 3.因式分解：a2m2-25=」 B.都是因式分解 4.若多项式x2-(m-1)x+16能用完全平方 C.①是乘法运算，②是因式分解 公式进行因式分解，则m= D.①是因式分解，②是乘法运算 5.把下列各式分解因式： 能力提高 2.单项式6a3b与9a2b3的公因式是( (1)x2-4y2; A.a'b B.3a3 5.已知x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4z C.32b D.18a3b3 的值是不是定值.如果是定值，求出它的值；如果 3.因式分解：3a-21= 不是定值，请说明理由 4.根据如图所示的拼图过程，写出一个多项 式的因式分解： (2)-x2-4y2+4xy; 5.已知a+3b=0,则a3+3a2b-2a-6b-5 的值为 6.把下列各式分解因式： (1)a2+ab+2a; 8.4.2公式法(3) (3)+(x+10(x+2: 垦出训练 1.把1-a2--2ab分解因式，正确的分组 为 (2)42y2+8x2y2z-12xy2z; A.1-(a2+b2+2ab) B.(1-a2)-(b2-2ab) C.(1-2ab)+(-a2-b2) D.(1-a2-b2)-2ab (4)16x4-81y4. 2.多项式a2-5a-6因式分解的结果是 A.(a-2)(a+3)B.(a-6)(a+1) (3)12(x-y)3+15x(y-x)2. C.(a+6)(a-1)D.(a+2)(a-3) 3.因式分解：xm+xn+ym+yn= 4.已知x2+ax-2=(x-2)(x+b),那么a +b的值为 8.4.2公式法(2) 5.把下列各式分解因式： 垦础训练 (1)m2-7m+12; 1.把多项式2x3-8x因式分解的最后结果是 能刀提高 A.2(x3-4x) B.2x(x2-4) 7.现有三个多项式：①2m2+m-4,②2m2+ C.2x(x-2)2 D.2x(x+2)(x-2) 9m+4,③2m2-m.请你选择其中两个进行加（或 2.因式分解：2m3+12m2+18m= 减)法计算，并把结果因式分解， 3.如果a-b=4,ab=2,那么2ab-4a2b2+ (2)ab2-ab +b2c-bc. (1)我选择进行 法运算； 2ab的值为 (2)请写出解答过程. 4.把下列各式分解因式： (1)-4ax2+8axy-4ay; 数理报社试题研究中心 (参考答案见36期) 数理极 素养·测评 16.(10分)将一个多项式分解因式的方法还 同步达标检测题（七） 有分组分解法，例如： 2x2-2xy+y2-4 =(x2-2xy+y2)-4 ◆ TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 【检测范围：8.4】 =(x-y)2-22 =(x-y+2)(x-y-2). 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 则m2n-4mn2的值为 (1)仿照以上方法分解因式： 题号123 45 678 三、耐心解一解（共52分） ①25x2+10x-y2+1; 13.(12分)把下列各式分解因式： ②x2-4y2+2x+4y 答案 (1)x2+6x-27; (2)已知a,b,c为三角形ABC的三边长，a2+ 1.多项式9a2x2-18ax3各项的公因式是 5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0,求三角形ABC ( 的周长 A.9ax B.9a2x2 C.a'x2 D.9ax 2.下列各式中，从左到右的变形是因式分解 的是 ( A.x2+2x+1=x(x+2)+1 (2)x2(x-1)-16(x-1); B.a(2a-4b)=2a2-4ab C.x(x+2y）=x2+2xy D.xy -2xy2 xy(x-2y) 3.若x+y=3,x-y=1,则x2-y2的值为 () A.1 B.2 C.3 D.-3 17.（12分)阅读下列因式分解的过程，再回答 4.如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够 (3)4(a+b)2-12(ab+b2)+9b2 所提出的问题： 直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 项式不可以是 ( =(1+x)[1+x+x(x+1)] A.2x B.-2x =(1+x)2(1+x) D.- =(1+x)3. (1)上述分解因式的方法是 5.如图1，有一张边长为b (2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ 的正方形纸板，在它的四角各 14.(10分)利用因式分解计算： …+x(x+1)2025的结果是 剪去边长为a的正方形，然后将 (1)42.52+85×57.5+57.52; (3)利用(2)中的结论计算：5+52+53+…+ 四周突出的部分折起，制成一 5202 个无盖的长方体纸盒.用M表 示其底面积与侧面积的差，则M 可因式分解为 A.(b-2a)(b-6a) B.(b-2a)(b-3a) C.(b-a)(b-5a) (2)19×1.47+33×2.94+1.5×14.7. D.(b-2a)2 6.甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解 因式时，甲看错了b的值，分解的结果是(x-4)(x +5),乙看错了c的值，分解的结果是(x+3)(x 4),那么x2+bx+c分解因式正确的结果为 ( 附加题⊙ A.(x-5)(x-4) B.(x+4)(x-5) (以下试题供各地根据实际情况选用) C.(x-4)(x+5) D.(x+4)(x+5) 15.(8分)“以形释数”是利用数形结合思想 阅读下列材料： 7.下列各式不是多项式2x3-3x2-2x+3的因解答代数问题的一种体现，利用图2中边长分别为 若一个正整数x能表示成a2-b2(a,b是正整 式的是 ( a,b的正方形，以及长为a,宽为b的长方形卡片若 数，且a>b)的形式，则称这个数x为“明礼崇德 A.x-1 B.x+1 干张，拼成图3的长方形. 数”，a与b是x的一个平方差分解，例如：5=32- C.2x-3 D.3x-2 (1)请用两种不同的整式表示图3的面积，写2'，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分 8.若a2(b+c)=b2(a+c)=2026,a≠b,则出一个表示因式分解的等式； 解；再如：M=x2+2y=x2+2xy+y2-y2=(x abc的值为 ( (2)利用上述方法，画出面积为2a2+5ab+ +y)2-y2(x,y为正整数)，所以M也是“明礼崇德 A.2026 B.1013 2b2的长方形，并求出此长方形的周长（用含a,b的 数”，(x+y)与y是M的一个平方差分解. C.-2026 D.-1013 整式表示) (1)判断9 “明礼崇德数”（填“是” 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 或“不是”)； 9.将多项式m2-12m+36因式分解的结果是 (2)已知(x2+y)与x2是P的一个平方差分 图2 图3 解，求代数式P; 10.若将(2x)”-625分解成(4x2+25)(2x+ (3)已知N=4x2-9y2+8x-18y+k(x,y是 5)(2x-5),则n的值是 正整数，k是常数，且x>y+1),要使N是“明礼崇 11因式分解：(x2-2x)2-(x2-2x)-6= 德数”，试求出符合条件的k 数理报社试题研究中心 12.已知m=4n+6,且m2-6mn+16n2=35 (参考答案见36期)初中数学·沪科七年级(AH)第31~35期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期(2026年2月) 第31期综合测评卷 解方程7-3m=0,得x=6m-7。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为关于x的方程+？-3m=0是关于x的不等式组 2 答案B A D B A C B B x +2m z m, 2 的“关联方程”， 二、11.3x+2<8:12.1:13.45: x-m≤2m+1 14.1:15.a≤0或a≥4. 三、16.数轴表示略.(1)x<2;(2)x≤4； 所以6m-7>0, l6m-7≤3m+1. 解得子<m≤号 (8)≤子 所以m的取值范围是乙 4 6 <m<3 由；2≤m,得x≤3m+2曲-12>3-2，得> 21.(1)根据题意，得0-b=2, 解得厂a=12, l3b-2a=6. lb=10. 5.因为不等式组无解，所以3m+2≤5.解得m≤1. 18.(1)2x+y=1+2m,① (2)设购买m台A型设备，则购买(10-m)台B型设备。 根据题意，得12m+10(10-m)≤105. lx+2y=2-m.② ①+②，得3x+3y=3+m.所以x+y=3+m 解得m≤多 3 因为m为自然数，所以m可取值为0,1,2，对应的10-m的 因为x+y>0,所以3十m>0.解得m>-3. 3 值分别为10,9,8. 所以共有3种购买方案： (2)因为(2m+1)x-2m<1,所以(2m+1)x<2m+1. 方案1：购买10台B型设备； 因为(2m+1)x-2m<1的解集为x>1, 方案2：购买1台A型设备，9台B型设备： 所以2m+1<0解得m<-分 方案3：购买2台A型设备，8台B型设备。 (3)根据题意，得240m+200(10-m)≥2040， 又因为m>-3,所以-3<m<-分 解得m≥1. 所以整数m的值为-2，-1. 因为a≤子所以1≤m≤号 19.(1)设每本宣传册A种彩页有x张，则B种彩页有(10 -x)张 因为m为自然数，所以m可取值为1,2. 根据题意，得3x+2(10-x)=24. 当m=1时，所需费用为：12×1+10×9=102（万元）； 解得x=4.所以10-x=6. 当m=2时，所需费用为：12×2+10×8=104（万元） 答：每本宣传册A种彩页有4张，B种彩页有6张 因为102<104，所以最省钱的方案为：购买1台A型设备， (2)设能发给y位顾客. 9台B型设备。 根据题意，得(0.5×4+0.3×6)y+24≤594. 第32期2版 解得y≤150. 8.1幂的运算 答：最多能发给150位顾客. 20.(1)①③： 8.1.1同底数幂的乘法 基础训练1.B;2.C;3.12; x 2m (2)解不等式组 2 >m, 得0<≤3m+1. 4.9.6×102;5.16. -m≤2m+1, 6.(1)-y2;(2)(-a)7;(3)y;(4)am3 因为不等式组有4个整数解，即为1,2,3,4， 能力提高7.(1)因为x*y=3×3,所以2*5=32× 所以4≤3m+1<5.解得1≤m<3 4 35=37=2187. (2)因为1*(4x-3)=81,所以3×34-3=3-2=34 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期 所以4x-2=4.解得x= 21 三，13.(1)；(2)子；(3)6a (3)x*(y+z)=(x+y)*z.理由如下： 14.R=2×667×10"x9×10=1L334×10(m. 因为x*(y+z)=3*×3*:=3*y+:,(x+y)*z=3*y× (3×10)2 3=3+y,所以x*（y+z）=(x+y）*z 答：该恒星的施瓦氏半径为1.334×104m 8.1.2.1幂的乘方 15.(1)因为23×3+3=36-2，所以(2×3)3=(62)2 基础训练1.D;2.C: =6-4.所以6*3=62-4.所以x+3=2x-4.解得x=7. 3.(1)m,(2)-x3,(3)x0,(4)64:4.2. (2)因为10=3,109=5，所以10=分，10=5 5.(1)x4;(2)-xm. 能力提高6.(1)由题意，得a+3b+2z=3,所以3“×27 所以109=10产÷10=10产÷(010)=号÷5=方 ×9=3”×36×32=30+3h+2=33=27. 16.小张同学的解答不完整，完整解答过程如下： (2)因为22=3，所以(21)2-2r=22-2“=4× 因为a°=1(a≠0)，所以x+1=0且1xl-4≠0，所以 (22*)3-(22)2=4×33-32=108-9=99. x=-1; 8.1.2.2积的乘方 因为1“=1，所以当1x1-4=1时，解得x=±5； 基础训练1.C;2.B; 因为(-1)2=1，所以当1x1-4=-1时，解得x=±3， 3.(19,225a%,3)-y.(464×10;415 此时(1x1-4)1=(-1)4或(-1)2，其结果都为1. 综上所述，x的值可以为-1，±3，±5. 5.()原式=（号）×(-子)×(-子)=[号 4 17.(1)因为8×16m×32m=2÷8=27÷23, 所以(23)m×(24)"×(2)=224, (-子)]×(-子)=-1×(-子)=子 所以23m×2加×2m=224,所以23m4m+5m=224,所以22m ②原武=×（”x("×(-8）=-25×（货 =224,所以12m=24.解得m=2. (2)因为a=39=(33)33=273,b=46=(42)3=163, "=-25 c=53.又因为27>16>5，所以273>163>53，即a>b >c. 8.1.3.1同底数幂的除法 附加题(1)3，-3； 基础训练1.C;2.(1),(2)-,(3)-27 (2)因为(5,3)=a,(5,8)=b,(5,24)=c,所以由新定 3.(1)105,(2)-53；4.25. 义可得：5=3,5=8,5=24，因为3×8=24，所以5“×5 =5,所以a+b=c. 50-8,(2)-23)-22 (3)(8,125)+(4,答)=(2,5)+(2，号).设(2,5)=a, 能力提高6.(1)因为2m=3,2”=5,所以2m=(2m)3 =33=27,22”=(2")2=52=25.所以2加-2m=23m÷2= (2,)=6,c=a+6=(2,5)+(2,号)，所以c=(2,5×) 27 25 =(2.8).因为2=8，所以c=3所以(8,125)+(4，)=3. (2)因为10=20,10=5，所以10=10÷10=20 第33期2版 ÷5=100=102.所以a-6=2.所以25°÷5=(5)°÷5 8.2整式乘法 =52a÷526=52a-2h=54=625. 8.2.1单项式与单项式相乘 8.1.3.2科学记数法 基础训练1.B;2.B: 基础训练1.C;2.A. 3.-4,15;4.22a2. 3.(1)0.43=6.4×102(m3), 5.(1)2x3y;(2)-18xy;(3)3xy;(4)3a36. 所以这个盲盒的体积是6.4×102m3; 能力提高6.yang8888. (2)6.4×10-2÷(1×103)3=6.4×107(个)， 8.2.2单项式与多项式相乘 所以需要6.4×10？个这样的小立方块才能将盲盒装满. 基础训练1.D;2.A;3.1;4.72m2n+45mn2. 5.(1）-6ab-3b;(2）-2x3y2+4xy+2xy2; 第32期3版 (3）-2xy4+6x3y5-x2y 6.(1)这个多项式是：x2-2x+1-(-3x2)=x2-2x+1 题号 1 2 3 5 6 8 +3x2=4x2-2x+1; 答案BCDD (2)正确的计算结果为：(4x2-2x+1)·(-3x2)=-12x 二9.(a-6；10.8:11025:12.3或7 +6x3-3x2. 能力提高7.原式=-a3b+3a2b+2ab2=-(ab2)3+ 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期 3(ab2)2+2ab2. 192①. 因为ab2=-1,所以原式=1+3-2=2. 因为32=192，所以(32')=192，即32y=192*②. 8.2.3多项式与多项式相乘 ①②的两边分别相乘，得6y×32”=192×192. 基础训练1.C;2.B；3.A;4.-6；5.22+7x-4. 所以(6×32)y=192+y. 6.(1)2x2+9xy-5y2;(2)4a3+6a2b-8ab2-15b3. 所以192y=192y.所以xy=x+y. 7.a2+7a+10;a2+3a-10:a2-3a-10;a2-7a+10. 所以(-6)00)2=（-6)-)×(-6)2= (1)x2+(p+q）x+pg; (-6)y-()1×36=(-6)×36=-216. (2)①x2-13x-230；②x2-45x+500; (3)因为x2-8x-3=0,所以x2-8x=3. 第34期2版 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)=(x-1)(x-7)(x-3)(x 8.3完全平方公式与平方差公式 -5)=(x2-8x+7)(x2-8x+15). 8.3.1完全平方公式 把x2-8x=3代人，得原式=(3+7)×(3+15)=180. 基础训练1.A;2.D;3.C;4.19；5.±1 6.(1)16a2-24ab+96;(2)-x: 第33期3版 (3)5x2-42x+16;(4)9980.01. 题号1234 5 678 7.因为(x+y)2=25,(x-y)2=9,所以 (0y=4[(x+02-(x-y)]=4×(25-9)=4 二、9.15a2-6ab;10.-12mn；11.-7;12.- 3 (2)+=2[(x+)2+(x-y)P]=7×(25+9) 13.(1）-24xy;(2)12x2y+8x2y2-4xy: =17: (3)7x2+29x-6. (3)x4+y=(x2+y2)2-2x2y2=(x2+y2)2-2(xy)2= 14.小明的发现是正确的，理由如下： 172-2×42=289-32=257. 原式=3x3+2x2-3x3-8x2+62-8=-8.因为计算结 能力提高8.a2-2. 果与x的取值无关，所以小明的发现是正确的 8.3.2平方差公式 15.(1)由题意，得(9a+1)(3b-4)-b(3a+1)=24ab 基础训练1.B；2.A;3.6;4.0. -36a+2b-4, 5.(1)9a-1;(2)98-4a;(3)-y产+8头 16 即安装健身器材的区域面积为(24ab-36a+2b-4)平方 米； 6.(1)1;(2)399三 9 (2)当a=9,b=15时，24ab-36a+2b-4=24×9×15 8.3.3运用乘法公式进行计算 -36×9+2×15-4=2942, 即安装健身器材的区域面积为2942平方米 基础训练1.B;2.B;3.a2-2ab+b2. 4.(1)x3-15x2+75x-125: 16(1)B是A的“好多项式”.理由如下： (2)m2+4mn+4n2-6pm-12pn+9p2; 由题意，得C=A×B=(x-2)(x+3)=x2-2x+3x- (3)4x2-9y2+6yz-2. 6=x2+x-6,所以L(C)=3. 能力提高5.因为(5a+10b+7)(5a+10b-7)=(5a+ 因为L(A)=2,以L(A)<L(C)=L(A)+1. 10b)2-49=176,所以(5a+10b)2=225. 所以B是A的“好多项式”. 因为a>0,b>0,所以5a+10b=15,即a+2b=3. (2)C=A×B=(x-3)(x2-ax+9)=x3-(a+3)2 +3(a+3)x-27. 第34期3版 因为B是A的“极好多项式”，所以L(A)=L(C)=2. 所以x-(a+3)x2+3(a+3)x-27只有两项. 题号 1 2 3 4 6 8 所以a+3=0.解得a=-3. 答案 D 17.(1)4×5×100+25: 二、9.4x2-25y2；10.4；11.6;12.4或16. (2)(a5)2=100a(a+1)+25.理由如下： 三、13.(1)x2+4y+4y2; 因为(a5)2=(10a+5)(10a+5)=100a2+100a+25, (2)y2-3xy; 100a(a+1)+25=100a2+100a+25, (3)a2-462+4bc-c2. 所以(a5)2=100a(a+1)+25. 14.(1)x=1;(2)x<10.5. (3)根据题意，得(a5)2-100a2=525,即100a2+100a+ 15135992；(2)10609 25-100a2=525.解得a=5. 附加题因为6=192，所以(6)”=192'，即6”= 16原式=2×[(1-分(1+宁)1+)1+)0 —3 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期 ++ =(x+2z)2-(3y)2=(x+2z+3y)(x+2z-3y).因为x+2z =3y,所以x+2z-3y=0.原式=6y·0=0,其值是定值. =2×[1-)1+1+1+岁]+是 8.4.2公式法(3) 基础训练1.A;2.B;3.(x+y)(m+n)；4.0. =2×[1-2)1+71+]+0 5.(1)(m-3)(m-4);(2)b(b-1)(a+c). =2×[1-)1+2]+0 1 第35期3版 1、 1 1 =2×(1-2)+25=2-2西+25=2 题号 1 2345678 17.(1)因为a-b=1,a2+62=17,(a-b)2=a2+62- 答案B 2ab,所以12=17-2ab,解得ab=8. 二、9.(m-6)2;10.4;11.(x-3)(x+1)(x2-2x+ (2)根据题意，得 2)；12.-3. sa分=d-2×2b(a-b)=d+-ad 三、13.(1)(x+9)(x-3)；(2)(x-1)(x+4)(x-4)； (3)(2a-b)2. 因为a+b=7,所以(a+b)2=7,即a2+2ab+b2=49. 14.(1)10000;(2)147. 因为ab=9,所以a2+b2+2×9=49,即a2+b2=31. 15.(1)图中的面积可以表示为(2a+b)(a+b)或2a2+ 所以图中阴影部分的面积=31-9=22. 3ab+b2;表示因式分解的等式为：2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+ (3)令2027-x=m,x-2026=n,则m+n=2027- b). x+x-2026=1, (2)图略.2a2+5ab+2b=(2a+b)(a+2b).所以这个 因为(2027-x)(x-2026)=-6,所以mn=-6. 长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b.所以此长方形的周长 所以(2027-x)2+(x-2026)2=m2+n2=(m+n) 为：2(2a+b+a+2b)=6a+66. -2mn=12-2×(-6)=13. 16.(1)①25x2+10x-y2+1=(25x2+10x+1)-y2= 附加题(1)①4；②4. (5x+1)2-y2=(5x+1+y)(5x+1-y). (2)设AC=x,BC=y ②x2-4y2+2x+4y=(x2-4y2)+(2x+4y)=(x+ 因为AB=8,所以x+y=8,所以(x+y)2=64. 2y)(x-2y)+2(x+2y)=(x+2y)(x-2y+2) 因为S+S2=44,所以x2+y2=44,所以x2+y2+2xy= (2)因为a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=(a2-4ab 44+2xy=64,解得y=10.所以S2角形m=2y=5, 1 +462)+(b2-6b+9)+(c2-10c+25)=(a-2b)2+(b- 3)2+(c-5)2=0,所以a-2b=0,b-3=0,c-5=0.解得 第35期2版 a=6,b=3,c=5.所以三角形ABC的周长为：6+3+5=14. 17.(1)提公因式法； 8.4因式分解 (2)(1+x)2026; 8.4.1因式分解的概念与提公因式法 基础训练1.C；2.C；3.3(a-7); (6)原式=子×4×(5+5+5+…+5) 4.x2+6x+8=(x+4)(x+2);5.-5. 1 6.(1)a(a+b+2);(2)4xy2(xy+2xz-3z); =4×(4×5+4×52+4×53+…+4×52m) (3)3(x-y)2(9x-4y). =x(1+4+4x5+4×52+4x5+…+ 能力提高7.答案不惟一，略. 4×52m5-5) 8.4.2公式法(1) 基础训练1.D;2.A; =1+4)26-5 4 3.(am+5)(am-5);4.9或-7. 52026-5 5.(1)(x+2y)(x-2y);(2)-(x-2y)2; 4 (3)(x+多；(4)(4+9y)(2x+3y)2-3) 附加题(1)是. (2)由题意，得P=(2+y)2-(x2)2=(x2+y+x2)(x2 8.4.2公式法(2) +y-x2)=y(2x2+y)=2x2y+y2. 基础训练1.D;2.2m(m+3)2;3.64. (3)N=4x2-9y2+8x-18y+k=(4x2+8.x+4)-(9y 4.(1)-4a(x-y)2;(2)3(x+y)(x-y): +18y+9)+k+5=(2x+2)2-(3y+3)2+k+5. (3)a(x+2)2(x-2)2. 因为N是“明礼崇德数”，所以k+5=0.所以k=-5. 能力提高5.x2-9y2+42+4xz=(x2+4z2+4xz)-9y 4