第14讲 平行线的判定（4个知识清单+8类热点题型讲练+分层练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第14讲 平行线的判定 课程标准 学习目标 1同位角、内错角、同旁内角 2平行线 3平行公理及推论 4平行线的判定 1.在掌握平行线判定方法1的基础上，探讨利用内错角和同旁内角来判定两直线平行. 2.通过平行线判定2和判定3的推理过程进一步学会“说理”,以及理解蕴含其中的化归思想——把新问题转化为已经解决的问题；同时培养数学概括的能力 学习重点： 在掌握平行线的判定方法1的基础上，探讨利用内错角和同旁内角来判定两直线平行. 学习难点： 利用内错角和同旁内角来判定两直线平行. 知识点01同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【即学即练1】（2023春•东至县期末）如图，下列图形中的和不是同位角的是　　 A． B． C． D． 【即学即练2】（2021春•淮南月考）如图，直线与的两边分别相交于点、，则图中是同旁内角的有 　　对． 知识点02平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 【即学即练1】（2022春•宣州区校级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系是　　 A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 【即学即练2】平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有　　条平行线． 知识点03平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 【即学即练1】（2023春•芜湖期中）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是　　 A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【即学即练2】（颍泉区校级月考）如图，在直线的同侧有、、三点，若，，则、、三点　　（填“在”或“不在” 同一条直线上． 知识点04平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【即学即练1】．如图，能判定的条件是　　 A． B． C． D． 【即学即练2】（2023春•宿州期中）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，其中边与边重合，，， 若固定三角板，改变三角板的位置（其中点的位置始终不变），当　　时，． 题型01平面内两直线的位置关系 1．（23-24七年级·安徽宿州·期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（    ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合 2．（七年级下·安徽阜阳·期末）有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；④在同一平面中，两条直线不相交就平行．其中正确的结论是 (填序号)． 题型02同位角相等两直线平行 3．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤，其中任选一个条件，能够直接得到的条件有几个？（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线AB，CD被直线CE所截，，请写出能判定AB∥CD的一个条件： ． 5．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，点在射线上，点在射线上，，．求证：．（要求每步写出推理依据） 题型03内错角相等两直线平行 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列选项中，由，能得到的是（   ） A．   B．   C．   D．   7．（七年级下·安徽宿州·期中）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠2； ②∠3＝∠4； ③∠A＝∠DCE； ④∠A＋∠ABD＝180°． 能判断AB∥CD的有 （填写序号）． 8．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，，，．求证：． 题型04同旁内角互补两直线平行 9．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 10．（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，点E在射线AD的延长线上，要使AB//CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是 .(填一个你认为正确的条件即可) 11．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平分平分，且与互余．试说明：．    题型05垂直于同一直线的两直线平行 12．（22-23七年级下·安徽合肥·阶段练习）平面内有两两不重合的直线和，已知，则的位置关系是（　　） A．互相平行 B．可能平行，可能不平行 C．互相垂直 D．可能垂直，可能不垂直 13．在同一平面内，如果，，则a c． 题型06同位角、内错角、同旁内角 14．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）下图中的和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 15．（七年级下·安徽安庆·期末）如图，的同旁内角是 ．    16．如图，指出图中直线AC，BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角． 题型07平行公理的应用 17．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）过直线外一点画与已知直线平行的直线（    ） A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．无数条 18．（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在直线的同侧有、、三点，若，，则、、三点 （填“在”或“不在” ）同一条直线上． 19．（七年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，，，求证：． 题型08平行公理推论的应用 20．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）下列说法，正确的是（    ） A．同位角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．互为同旁内角的两个角的平分线互相垂直 21．三条直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a与c的位置关系是 ． 一、单选题 1．同一平面内如果两条直线不重合，那么他们（　　） A．平行 B．相交 C．相交或垂直 D．平行或相交 2．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则需具备的另一个条件是(    ) A．∠2＝70° B．∠2＝100° C．∠2＝110° D．∠3＝110° 5．一条直线与另两条平行直线的关系是(     ) A．一定与两条平行线平行 B．可能与两条平行线的一条平行，一条相交 C．一定与两条平行线相交 D．与两条平行线都平行或都相交 6．下列说法中，错误的个数为（    ） ①两条不相交的直线叫做平行线 ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③垂直于同一直线的两条直线互相平行 ④如果，，则 ⑤两条不平行的射线，在同一平面内一定相交 A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，下列条件中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，已知直线BF、CD相交于点O，∠D＝40°，下面判定两条直线平行正确的是（      ） A．当∠C＝40°时，AB∥CD B．当∠A＝40°时，AC∥DE C．当∠E＝120°时，CD∥EF D．当∠BOC＝140°时，BF∥DE 9．已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 10．下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 二、填空题 11．如图，∠1＝2x＋10°，∠2＝40°－x，当∠1＝ 度时，DE∥BC． 12．如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）． 13．如图，∠B的同位角是 ．    14．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 三、解答题 15．如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 16．如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成： 第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B´落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？ （请完成下面的证明，并填上对应的推理根据） 证明：∵ ∴∠ ．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴∠ ．理由是：（　 　 ）． ∴ ， ∴．理由是：（　 　 ）． 17．如图，点A在射线上，点C在射线上，，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），， ∴______， ∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）． 18．如图，已知点E在AB上，且CE，DE分别平分∠BCD和∠ADC，∠EDC＋∠ECD＝90°，试说明AD∥BC． 19．如图所示，回答下列问题，并说明理由． （1）由∠C＝∠2，可判定哪两条直线平行？ （2）由∠2＝∠3，可判定哪两条直线平行？ （3）由∠C＋∠D＝180°，可判定哪两条直线平行？ 20．如图所示，在中，于点E，于点F，AC∥ED，CE是的角平分线.求证：. 21．如图，按要求画图并回答相关问题：    (1)过点 A 画线段 BC 的垂线，垂足为 D； (2)过点 D 画线段 DE∥AB，交 AC 的延长线于点 E； (3)补全图形后，写出∠E 的内错角（至少写出两个）． 22．如图：已知∠1和∠D互余，CF⊥DF，试证明AB∥CD． 23．如图，∠ABC＝∠DEC，BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，试找出图中的各组平行线，并说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 平行线的判定 课程标准 学习目标 1同位角、内错角、同旁内角 2平行线 3平行公理及推论 4平行线的判定 1.在掌握平行线判定方法1的基础上，探讨利用内错角和同旁内角来判定两直线平行. 2.通过平行线判定2和判定3的推理过程进一步学会“说理”,以及理解蕴含其中的化归思想——把新问题转化为已经解决的问题；同时培养数学概括的能力 学习重点： 在掌握平行线的判定方法1的基础上，探讨利用内错角和同旁内角来判定两直线平行. 学习难点： 利用内错角和同旁内角来判定两直线平行. 知识点01同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【即学即练1】（2023春•东至县期末）如图，下列图形中的和不是同位角的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同位角的意义逐项进行判断即可． 【解答】解：选项中的与，是直线、被直线所截的同位角，因此选项不符合题意； 选项中的与，是直线、被直线所截的同位角，因此选项不符合题意； 选项中的与，没有公共的截线，因此不是同位角，所以选项符合题意； 选项中的与，是直线、被直线所截的同位角，因此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查同位角，理解同位角的定义是正确判断的前提，找出两条直线的公共截线是解决问题的关键． 【即学即练2】（2021春•淮南月考）如图，直线与的两边分别相交于点、，则图中是同旁内角的有 　　对． 【分析】根据同旁内角的特征，“”型判断即可． 【解答】解：如图，直线与的两边分别相交于点、，则图中是同旁内角的有： 和，和，和，和，共有4对． 故答案为：4． 【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握同旁内角的特征是解题的关键． 知识点02平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 【即学即练1】（2022春•宣州区校级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系是　　 A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 【分析】利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答，同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交． 【解答】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交． 故选：． 【点评】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类． 【即学即练2】平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有　　条平行线． 【分析】根据同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交或平行，及一条直线的平行线有无数条，由四条直线相互平行，其交点为0个开始分析，然后依次变为三条直线相互平行、两条直线相互平行即可求解． 【解答】解：若四条直线相互平行，则没有交点； 若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点； 若四条直线中有两条直线相互平行，另两条不平行，则此时有三个交点或五个交点； 若四条直线中有两条直线相互平行，另两条也平行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点； 若四条直线中没有平行线，则此时的交点是一个或四个或六个． 综上可知，平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有三条平行线． 故答案为：三． 【点评】本题考查了平行线，题目没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都是平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出答案． 知识点03平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 【即学即练1】（2023春•芜湖期中）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是　　 A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据垂线的性质进行解答即可． 【解答】解：、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故符合题意； 、两点确定一条直线，是直线的性质，故不符合题意； 、连接两点的所有线中，线段最短，故不符合题意； 、平行线的一条性质，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短． 【即学即练2】（颍泉区校级月考）如图，在直线的同侧有、、三点，若，，则、、三点　在　（填“在”或“不在” 同一条直线上． 【分析】依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到，，三点在同一条直线上． 【解答】解：，（已知）， ，，三点在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， 故答案为：在． 【点评】本题主要考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． 知识点04平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【即学即练1】．如图，能判定的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线的判定定理即可直接判断． 【解答】解：、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误； 、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误； 、不是和形成的同位角、也不是内错角，故选项错误； 、正确． 故选：． 【点评】本题考查了判定两直线平行的方法，正确理解同位角、内错角和同旁内角的定义是关键． 【即学即练2】（2023春•宿州期中）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，其中边与边重合，，， 若固定三角板，改变三角板的位置（其中点的位置始终不变），当　　时，． 【分析】分两种情况，根据，利用平行线的性质，即可得到的度数． 【解答】解：如图所示：当时，； 如图所示，当时，， ； 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系． 题型01平面内两直线的位置关系 1．（23-24七年级·安徽宿州·期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（    ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了平行线，根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案． 【详解】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确； 故选：C． 2．（七年级下·安徽阜阳·期末）有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；④在同一平面中，两条直线不相交就平行．其中正确的结论是 (填序号)． 【答案】②③④ 【知识点】平行公理的应用、平面内两直线的位置关系、垂线的定义理解 【分析】依据平行线的性质，垂线的定义及性质进行判断即可． 【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故错误； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确； ③在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，故正确； ④在同一平面中，两条直线不相交就平行，故正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的定义及性质的运用，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简单说成：两直线平行，内错角相等． 题型02同位角相等两直线平行 3．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤，其中任选一个条件，能够直接得到的条件有几个？（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵，∴，故①不符合题意； ∵，∴，故②符合题意； ∵，∴，故③符合题意； ∵，∴，故④不符合题意； ∵，∴，故⑤符合题意； 综上，正确的结论是②③⑤，共3个； 故答案为：C． 4．（七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线AB，CD被直线CE所截，，请写出能判定AB∥CD的一个条件： ． 【答案】∠1=100°（答案不唯一） 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：∠1=100°，理由如下： ∵，∠1=100°， ∴∠1=∠C， ∴AB∥CD． 故答案为：∠1=100°（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 5．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，点在射线上，点在射线上，，．求证：．（要求每步写出推理依据） 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】此题考查的是平行线的判定方法，关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据同角的补角相等，以及等量关系，结合同位角相等，两直线平行即可求解． 【详解】证明：（已知）， （平角定义）， （同角的补角相等）， （已知）， （等量代换）． （同位角相等，两条直线平行）． 题型03内错角相等两直线平行 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列选项中，由，能得到的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解决本题的关键． 根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．当，不能证明，故不符合题意； B．当，可证明，不能证明，故不符合题意； C．当，不能证明，故不符合题意； D．当，能证明，符合题意； 故选：D． 7．（七年级下·安徽宿州·期中）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠2； ②∠3＝∠4； ③∠A＝∠DCE； ④∠A＋∠ABD＝180°． 能判断AB∥CD的有 （填写序号）． 【答案】①；③ 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可． 【详解】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD； ②根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证明AB∥CD； ③根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD； ④根据同旁内角互补，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证明AB∥CD． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 8．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、三角板中角度计算问题 【分析】根据直角三角板的特点得到∠C，利用外角的性质得到∠AFD=∠C+∠CDF，从而算出∠CDF，结合∠E的度数判定AE∥BC． 【详解】解：由直角三角板的性质可得： ∠C=30°， ∵∠AFD=∠C+∠CDF=75°， ∴∠CDF=45°， ∴∠CDF=∠E， ∴AE∥BC． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的判定，解题的关键是了解三角板的特点，掌握内错角相等，两直线平行． 题型04同旁内角互补两直线平行 9．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线判定，根据平行线判定定理逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、， ，能判断，不符合题意； B、， ，能判断，不符合题意； C、， ，能判断，不符合题意； D、， ，不能判断，符合题意； 故选：D． 10．（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，点E在射线AD的延长线上，要使AB//CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是 .(填一个你认为正确的条件即可) 【答案】∠l=∠2或∠A=∠CDE 或∠C+∠ABC= 180°等 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】找到相等的同位角、内错角或互补的同旁内角即可． 【详解】若∠1=∠2，则AB∥CD； 若∠A=∠CDE，则AB∥CD； 若∠C+∠ABC= 180°，则AB∥CD， 故答案为∠l=∠2或∠A=∠CDE 或∠C+∠ABC= 180°（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 11．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平分平分，且与互余．试说明：．    【答案】证明见解析． 【知识点】同旁内角互补两直线平行、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】根据余角定义得到，由角平分线定义求出，由此推出． 【详解】解：与互余， 平分平分， ． ． ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 题型05垂直于同一直线的两直线平行 12．（22-23七年级下·安徽合肥·阶段练习）平面内有两两不重合的直线和，已知，则的位置关系是（　　） A．互相平行 B．可能平行，可能不平行 C．互相垂直 D．可能垂直，可能不垂直 【答案】A 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】利用垂直的定义，由题意得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 则． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 13．在同一平面内，如果，，则a c． 【答案】 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决本题的关键．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 题型06同位角、内错角、同旁内角 14．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）下图中的和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此求解即可． 【详解】解：根据同位角的定义可知，A、B、D三个选项中和是同位角，C选项中和不是同位角， 故选：C． 15．（七年级下·安徽安庆·期末）如图，的同旁内角是 ．    【答案】或 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】同旁内角的定义：“同旁”指在截线的同侧；“内”指在被截两条线之间，可据此进行判断． 【详解】解：如图，∠B的同旁内角是∠A或∠C． 故答案是：∠A或∠C． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的定义：“同旁”指在截线的同侧；“内”指在被截两条线之间，比较简单． 16．如图，指出图中直线AC，BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角． 【答案】∠1 与∠2，∠4 与∠DBC 是同位角；∠1 与∠3，∠4 与∠5 是内错角；∠3 与∠4 是同旁内角，∠1 与∠5 是同旁内角 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同旁内角，内错角和同位角的定义求解即可得到答案． 【详解】解：∠1 与∠2，∠4 与∠DBC 是同位角； ∠1 与∠3，∠4 与∠5 是内错角； ∠3 与∠4 是同旁内角，∠1 与∠5 是同旁内角． 【点睛】本题主要考查了同旁内角，同位角和内错角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握同旁内角，同位角和内错角的定义． 题型07平行公理的应用 17．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）过直线外一点画与已知直线平行的直线（    ） A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．无数条 【答案】A 【知识点】平行公理的应用 【分析】考查的知识点是平行线的平行公理，解答本题的关键是理解平行公理中的条件“直线外一点”. 【详解】解：过直线外一点画与已知直线平行的直线有且只有一条， 故选A. 18．（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在直线的同侧有、、三点，若，，则、、三点 （填“在”或“不在” ）同一条直线上． 【答案】在 【知识点】平行公理的应用 【分析】依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到P，Q，R三点在同一条直线上． 【详解】解：，（已知）， ，，三点在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， 故答案为：在． 【点睛】本题主要考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． 19．（七年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行、平行公理的应用 【分析】先根据同旁内角互补，两直线平行，由∠2＋∠D＝180°可判断，根据∠1＝∠B可判定，根据平行公理的推论即可得到结论． 【详解】证明：∵∠2＋∠D＝180°， ∴， ∵∠1＝∠B， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 题型08平行公理推论的应用 20．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）下列说法，正确的是（    ） A．同位角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．互为同旁内角的两个角的平分线互相垂直 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、同旁内角互补两直线平行、平行公理推论的应用 【分析】本题考查同位角的定义，平行公理的推论，平行线的判定，同旁内角定义以及垂直定义等知识，根据同位角的定义，平行公理的推论，平行线的判定，同旁内角定义以及垂直定义进行判断即可． 【详解】解：A、同位角不一定相等，故原说法错误； B、平行于同一直线的两直线平行，是平行公理的推论，故原说法正确； C、同旁内角互补，两直线平行，故原说法错误； D、互为同旁内角的两个角的平分线不一定互相垂直，故原说法错误； 故选：B． 21．三条直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a与c的位置关系是 ． 【答案】a⊥c（或垂直） 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】根据平行公理以及垂直的意义的判断推论即可． 【详解】解：∵三条直线a、b、c中，a⊥b，b∥c， ∴a⊥c， 故答案是：a⊥c（或垂直）． 【点睛】本题考查的是平行公理的推论，掌握平行的定义和垂直的意义是解题的关键． 一、单选题 1．同一平面内如果两条直线不重合，那么他们（　　） A．平行 B．相交 C．相交或垂直 D．平行或相交 【答案】D 【分析】根据在同一平面内两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：同一平面内如果两条直线不重合，那么他们平行或相交； 故选D． 【点睛】本题考查同一平面内两直线的位置关系，解题的关键是熟练掌握在同一平面内两直线的位置关系． 2．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定方法，根据同旁内角互补两直线平行确定A正确，根据内错角相等两直线平行确定B和C正确. 【详解】A.根据同旁内角互补，两直线平行判定正确； B.根据内错角相等，两直线平行判定正确； C.根据内错角相等，两直线平行判定正确； D.∠1和∠2是AC和BD被AD所截形成的内错角，故只能判定AC∥BD，因此错误； 故选择D. 【点睛】本题考查平行线的判定，注意根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补可以得到两条被截线平行，这是解决问题的关键. 3．下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点．掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答即可． 【详解】解：①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b不一定相交，故原说法错误； ②若直线，直线，那么直线，故原说法正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原说法错误． 错误的有3个， 故选：A． 4．如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则需具备的另一个条件是(    ) A．∠2＝70° B．∠2＝100° C．∠2＝110° D．∠3＝110° 【答案】C 【详解】解：∠1=70°，要使AB∥CD， 则只要∠2=180°-70°=110°（同旁内角互补两直线平行）． 故选C． 5．一条直线与另两条平行直线的关系是(     ) A．一定与两条平行线平行 B．可能与两条平行线的一条平行，一条相交 C．一定与两条平行线相交 D．与两条平行线都平行或都相交 【答案】D 【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交，可知如果一条直线与另两条平行线中的一条相交，则它与另一条平行线也相交；如果一条直线与另两条平行线中的一条平行，则它与另一条平行线也平行即可求出本题答案. 【详解】∵在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交， ∴如果一条直线与另两条平行线中的一条相交，则它与另一条平行线也相交，否则与平行公理相矛盾； 如果一条直线与另两条平行线中的一条平行，根据平行于同一直线的两条直线平行，则它与另一条平行线也平行. 故答案为D. 【点睛】本题考查了平行线的相关知识，熟练掌握平行线的有关性质是本题解题的关键. 6．下列说法中，错误的个数为（    ） ①两条不相交的直线叫做平行线 ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③垂直于同一直线的两条直线互相平行 ④如果，，则 ⑤两条不平行的射线，在同一平面内一定相交 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据平行线定义对①进行判断；根据平行公理和平行公立的推论对②④进行判断；根据平行线的判定对③进行判断；根据两直线相交对⑤进行判断即可． 【详解】解：①两条不相交的直线叫做平行线，必须在同一平面内才成立，故①错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是平行公理，故②错误； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行，必须在同一平面内才成立，故③错误； ④如果，，则，是平行公理的推论，故④正确； ⑤两条不平行的射线，在同一平面内不一定相交，两条不平行的直线，在同一平面内一定相交，故⑤错误 综上所述①②③⑤不正确。 故选：A． 【点睛】本题考查了两条直线的位置关系，平行线的判定，平行公理及推论，熟练掌握相关定理及定义是解答本题的关键． 7．如图，下列条件中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 故①选项符合题意； ∵， ∴， 故②选项不符合题意； ∵， ∴， 故③选项不符合题意； ∵，不能判定， 故④选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键． 8．如图所示，已知直线BF、CD相交于点O，∠D＝40°，下面判定两条直线平行正确的是（      ） A．当∠C＝40°时，AB∥CD B．当∠A＝40°时，AC∥DE C．当∠E＝120°时，CD∥EF D．当∠BOC＝140°时，BF∥DE 【答案】D 【详解】解：A．错误，因为∠C=∠D，所以AC∥DE； B．错误，不符合三线八角构不成平行； C．错误，因为∠C+∠D≠180°，所以CD不平行于EF； D．正确，因为∠DOF=∠BOC=140°，所以∠DOF+∠D=180°，所以BF∥DE． 故选D． 点睛：在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 9．已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，分四种情况“当点P在边上且不与点O重合时；当点P在边上且不与点O重合时；当点P不在边或边上时；当点P与点O重合时”分别讨论可得答案． 【详解】解：当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P不在边或边上时，过点可以画一条直线与边平行，一条直线与边平行，共两条； 当点P与点O重合时，不存在过点P的直线与的边平行； 故选：D． 10．下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【详解】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11．如图，∠1＝2x＋10°，∠2＝40°－x，当∠1＝ 度时，DE∥BC． 【答案】30 【分析】根据平行线的判定定理得出当∠1=∠2时，DE∥BC，推出方程2x+10=40-x，求出x的值，即可求出∠1． 【详解】当∠1=∠2时,DE∥BC， 即2x+10=40−x， 解得：x=10， ∠1=(2×10+10)度=30度， 故答案为30. 【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行. 12．如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）． 【答案】 ； AD与BG． 【分析】(1)根据平行线的定义直接回答即可； (2)根据平面内线段的位置关系回答即可. 【详解】解：(1)AB∥FG(答案不唯一)； (2)AD与BG不在同一平面内(答案不唯一). 故答案为(1)AB∥FG；(2)AD与BG. 【点睛】本题考查了平面内两直线的位置关系. 13．如图，∠B的同位角是 ．    【答案】∠DCF 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：∠B与∠DCF是AB和DC被BF所截而成的同位角， 故答案为：∠DCF． 【点睛】考核知识点：同位角.理解同位角定义是关键. 14．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 三、解答题 15．如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 【答案】对顶角相等，2，3，a，c，同位角相等，两直线平行，b，c，平行于同一直线的两条直线互相平行 【分析】根据对顶角相等得到，从而得到，再根据平行线的判定定理得到，从而根据平行线的推论证得． 【详解】解：因为（已知） （对顶角相等） 所以2=3（等量代换） 所以ac（同位角相等，两直线平行） 又因为（已知） 所以bc（平行于同一直线的两条直线互相平行） 【点睛】此题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握性质定理． 16．如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成： 第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B´落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？ （请完成下面的证明，并填上对应的推理根据） 证明：∵ ∴∠ ．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴∠ ．理由是：（　 　 ）． ∴ ， ∴．理由是：（　 　 ）． 【答案】；90；；垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，角平分线的有关计算，根据题意利用平行线的判定等相关知识完成解答即可． 【详解】证明：∵ ∴．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴．理由是：（垂直定义）． ∴， ∴．理由是：（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；90；；垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行． 17．如图，点A在射线上，点C在射线上，，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），， ∴______， ∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）． 【答案】，，等量代换，同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是逻辑推理及其推理依据的理解；根据同角的补角相等可得，再根据等量代换可得，再利用平行线的判定方法可得． 【详解】证明：∵（已知），， ∴， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 18．如图，已知点E在AB上，且CE，DE分别平分∠BCD和∠ADC，∠EDC＋∠ECD＝90°，试说明AD∥BC． 【答案】证明见解析. 【分析】由条件和角平分线的定义可得到∠ADC+∠BCD=180°，可判定AD∥BC． 【详解】∵CE，DE分别平分∠BCD和∠ADC， ∴∠BCD＝2∠ECD，∠ADC＝2∠EDC， ∵∠EDC＋∠ECD＝90°， ∴∠BCD＋∠ADC＝2∠ECD＋2∠EDC＝2(∠ECD＋∠EDC)＝2×90°＝180°， ∴AD∥BC. 【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 19．如图所示，回答下列问题，并说明理由． （1）由∠C＝∠2，可判定哪两条直线平行？ （2）由∠2＝∠3，可判定哪两条直线平行？ （3）由∠C＋∠D＝180°，可判定哪两条直线平行？ 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据平行线的判定定理解答即可． 试题解析：解：（1）由∠C＝∠2，可判定DC∥EF，因为同位角相等，两直线平行； （2）由∠2＝∠3，可判定EF∥AB，因为内错角相等，两直线平行； （3）由∠C＋∠D＝180°，可判定AD∥BC，因为同旁内角互补，两直线平行． 20．如图所示，在中，于点E，于点F，AC∥ED，CE是的角平分线.求证：. 【答案】详见解析 【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行，再根据平行线的性质进行做题． 【详解】证明：∵CE⊥AB于E，DF⊥AB于F ∴DF∥CE ∴∠BDF=∠BCE ∠FDE=∠DEC 又∵AC∥ED， ∴∠DEC=∠ACE ∵CE是∠ACB的角平分线 ∴∠ACE=∠ECB ∴∠EDF=∠BDF． 【点睛】本题主要运用了平行线的性质和角平分线的定义，证明角的关系． 21．如图，按要求画图并回答相关问题：    (1)过点 A 画线段 BC 的垂线，垂足为 D； (2)过点 D 画线段 DE∥AB，交 AC 的延长线于点 E； (3)补全图形后，写出∠E 的内错角（至少写出两个）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC，∠BCE 【分析】（1）利用三角板的两条直角边，根据垂直的定义画图即可； （2）利用直尺和三角板画图即可； （3）根据内错角的定义解答即可． 【详解】解：（1）如图所示； （2）如图所示； （3）∠E的内错角有：∠BAC，∠BCE．    【点睛】本题考查了基本作图的知识，以及内错角的定义，熟练掌握定义是解题的关键，难度不大． 22．如图：已知∠1和∠D互余，CF⊥DF，试证明AB∥CD． 【答案】证明见解析． 【分析】由垂直的定义，得到∠CFD=90°，再由互余的定义得出∠1+∠D=90°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结论． 【详解】解：∵CF⊥DF，∴∠CFD=90°． 又∵∠1和∠D互余，即∠1+∠D=90°， ∴∠1+∠D+∠CFD=180°，即∠AFD+∠D=180°， ∴AB∥CD． 23．如图，∠ABC＝∠DEC，BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，试找出图中的各组平行线，并说明理由． 【答案】AB∥DE，BP∥EF.理由见解析. 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行即可作出判断． 【详解】平行线有：AB∥ED，BP∥EF． 理由：∵∠ABC=∠DEC， ∴AB∥ED； ∵BP平分∠ABC，EF平分∠DEC， ∴∠CBP=∠ABC，∠CEF=∠DEC， ∴∠CBP=∠CEF， ∴BP∥EF． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理和角平分线的定义，理解判定定理是关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$