10.1分式的概念（4知识点+8题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

10.1分式的概念 （4知识点+8题型+过关检测） 【题型1 分式的判断】 2 【题型2 分式的规律性问题】 2 【题型3 分式无意义的条件】 3 【题型4 分式有意义的条件】 3 【题型5 分式值为零的条件】 4 【题型6 分式的求值】 4 【题型7 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 5 【题型8 求使分式值为整数时未知数的整数值】 5 （1）理解分式的定义，明确分式与整式的区别，能准确判断一个代数式是否为分式。 （2）熟练掌握分式有意义、无意义、值为0、值为正数、值为负数的全部条件。 （3）掌握分式求值的方法，能求解分式值为整数时未知数的取值，解决分式基础计算问题。 （4）了解分式的规律题型特征，能结合分式结构特征寻找规律，解决规律性探究问题。03 知识•梳理 知识点1. 分式的定义 一般地，如果A、B是两个整式，且B中含有字母，同时B≠0，那么形如 的代数式叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 分式成立的三个必备条件（缺一不可） ① 形式条件：必须是 （分数线形式，等价于整式除法）； ② 整式条件：分子A、分母B均为整式； ③ 字母条件：分母B中必须含有字母（核心区分点）； ④ 限制条件：分母B≠0（0不能作为除数）。 知识点2. 分式与整式的区别 整式包括单项式和多项式，分母中不含字母；分式分母中含有字母。判断代数式类型只看原式形式，不化简、不约分。 知识点3. 分式的核心取值条件（必考） （1）分式有意义的条件：分母不为0，即 。 （2）分式无意义的条件：分母为0，即 。 （3）分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，即 （双重条件，缺一不可）。 （4）分式值为正数的条件：分子、分母同号，即 或 。 （5）分式值为负数的条件：分子、分母异号，即 或 。 知识点4. 分式求值基础规则 将未知数的取值代入分式，按照有理数运算规则计算即可；代入前必须保证分式有意义，即分母不为0。 04 题型•汇总 【题型1 分式的判断】 题型特征：给出一组代数式，区分整式与分式，为基础必考题型。 解题方法：对照分式三大判定条件，重点查看原式分母是否含字母；常数、π、数字组成的分母不是分式；化简结果不影响原始类型判断。 易错点：误将化简后为整式的式子判定为整式，忽略原式分母含字母的核心特征。 【典例1】．下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式中：，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【变式3】．下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【题型2 分式的规律性问题】 题型特征：给出一列有规律的分式，求第n个分式、指定项分式或通用公式。 解题方法：①拆分符号、分子、分母三部分；②分别寻找各自的变化规律；③整合得出通项公式；④代入验证规律是否成立。 核心技巧：符号交替用 或 表示，分子分母多为等差、乘方规律。 【典例2】．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【变式1】．在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A．2026 B． C．2025 D． 【变式2】．已知，则的值________； 【变式3】．若是不等于2的有理数，则我们把称为的“友好数”．例如：3的“友好数”是．已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”……以此类推，则的值是____________． 【题型3 分式无意义的条件】 题型特征：求使分式无意义的未知数取值。 解题方法：直接令分母=0，解一元一次/一元二次方程，所得取值即为分式无意义的取值。 注意：无需考虑分子取值，分式无意义只由分母为0决定。 【典例3】．当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【变式1】．若分式无意义，则x的取值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．要使分式无意义，则的取值应满足________． 【变式3】．当时，分式无意义，则m的值为______． 【题型4 分式有意义的条件】 题型特征：求使分式有意义的未知数取值范围。 解题方法：令分母≠0，解不等式，求出未知数的取值范围；多个分母时，所有分母均不能为0。 易错点：容易遗漏分母不能为0的限制，直接取全体实数。 【典例4】．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．要使分式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【变式2】．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【变式3】．当_________时，分式的值为0． 【题型5 分式值为零的条件】 题型特征：求使分式值为0的未知数取值，高频易错题型。 解题方法：①令分子=0，解出未知数候选值；②将候选值代入分母，排除使分母=0的取值；③剩余取值即为最终答案。 核心口诀：分子为0求值，分母为0舍去。 【典例5】．若分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 【变式1】．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若分式的值为0，则______． 【变式3】．若分式的值为0，则m的值是__________． 【题型6 分式的求值】 题型特征：给定未知数取值，求分式的值；或结合简单条件间接求值。 解题方法：①先验证取值使分式有意义（分母≠0）；②将未知数代入分式；③按照四则运算规则计算出结果。 技巧：复杂式子可先简单整理，再代入求值，简化运算量。 【典例6】．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若，则__________． 【变式3】．若，则分式的值为________． 【题型7 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 题型特征：已知分式值为正数或负数，求未知数取值范围。 解题方法：值为正：分子分母同号，列两组不等式组求解，取并集；值为负：分子分母异号，列两组不等式组求解，取并集；全程保证分母≠0。 易错点：忘记排除分母为0的取值，导致范围出错。 【典例7】．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【变式1】．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 【变式2】．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【变式3】．若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【题型8 求使分式值为整数时未知数的整数值】 题型特征：给定分式，求使分式结果为整数的未知数整数取值。 解题方法：①变形分式，将分式化为“整数+常数/分母”的形式；②令分母为常数的所有整数因数（正因数、负因数）；③逐一求解未知数，验证分母不为0；④汇总所有符合条件的整数值。 核心要点：因数包含正负所有整数，不可遗漏负因数。 【典例8】．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【变式2】．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【变式3】．当正整数________时，分式的值也为整数． 05 过关•检测 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 3．关于x和y的值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 ※ ※ 无意义 ※ … 则y代表的分式是（   ） A． B． C． D． 4．已知分式的值为零，则的值为  （    ） A． B． C． D．或 5．关于的不等式解集在数轴上表示如图，设，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知两个多项式，将、进行加减乘除运算． ①已知，若关于的方程无解，则． ②若为非零整数，且为整数，则满足条件的的值的和为． ③若，则． ④若，则x的取值范围为． 以上说法中正确的个数有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 8．对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．如果分式的值为，那么的值是______． 10．已知，，则的值为________． 11．若，则__________． 12．若，则的值是______． 13．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 14．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 15．要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 16．当，1，时，分别求分式的值． 17．【教材呈现】小红练习了人教版八年级上册数学118页第7题，并进行了深入研究： 7.已知，，求的值 解： 的值为． (1)【解决问题】已知，，求的值； (2)【知识迁移】已知，求的值． 18．阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 19．阅读材料：分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和，如：或．阅读下面拆分成几个不同单位分数之和的过程： 拆法一：设正整数满足：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 拆法二：． (1)参考上述方法，直接写出拆分成几个不同单位分数相加的形式；（要求：写出三种拆分形式即可） (2)对于任意质数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式． 20．新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解，满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“满分方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，则为一元一次方程的“满分方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“满分方程”？请直接写出正确的序号 ． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程．的“满分方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“满分方程”，请直接写出m与n之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1分式的概念 （4知识点+8题型+过关检测） 【题型1 分式的判断】 2 【题型2 分式的规律性问题】 4 【题型3 分式无意义的条件】 7 【题型4 分式有意义的条件】 8 【题型5 分式值为零的条件】 9 【题型6 分式的求值】 10 【题型7 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 12 【题型8 求使分式值为整数时未知数的整数值】 14 （1）理解分式的定义，明确分式与整式的区别，能准确判断一个代数式是否为分式。 （2）熟练掌握分式有意义、无意义、值为0、值为正数、值为负数的全部条件。 （3）掌握分式求值的方法，能求解分式值为整数时未知数的取值，解决分式基础计算问题。 （4）了解分式的规律题型特征，能结合分式结构特征寻找规律，解决规律性探究问题。03 知识•梳理 知识点1. 分式的定义 一般地，如果A、B是两个整式，且B中含有字母，同时B≠0，那么形如 的代数式叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 分式成立的三个必备条件（缺一不可） ① 形式条件：必须是 （分数线形式，等价于整式除法）； ② 整式条件：分子A、分母B均为整式； ③ 字母条件：分母B中必须含有字母（核心区分点）； ④ 限制条件：分母B≠0（0不能作为除数）。 知识点2. 分式与整式的区别 整式包括单项式和多项式，分母中不含字母；分式分母中含有字母。判断代数式类型只看原式形式，不化简、不约分。 知识点3. 分式的核心取值条件（必考） （1）分式有意义的条件：分母不为0，即 。 （2）分式无意义的条件：分母为0，即 。 （3）分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，即 （双重条件，缺一不可）。 （4）分式值为正数的条件：分子、分母同号，即 或 。 （5）分式值为负数的条件：分子、分母异号，即 或 。 知识点4. 分式求值基础规则 将未知数的取值代入分式，按照有理数运算规则计算即可；代入前必须保证分式有意义，即分母不为0。 04 题型•汇总 【题型1 分式的判断】 题型特征：给出一组代数式，区分整式与分式，为基础必考题型。 解题方法：对照分式三大判定条件，重点查看原式分母是否含字母；常数、π、数字组成的分母不是分式；化简结果不影响原始类型判断。 易错点：误将化简后为整式的式子判定为整式，忽略原式分母含字母的核心特征。 【典例1】．下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的定义判断选项即可，需注意是常数，不是表示未知数的字母． 【详解】解：A、是整式，A不符合要求． B、的分母含有字母，符合分式定义，B符合要求． C、的分母是常数，属于整式，C不符合要求． D、中是常数，分母不含字母，属于整式，D不符合要求． 【变式1】．下列各式中：，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据分式的定义，判断每个式子的分母是否含有字母，逐一判断即可得到分式的个数． 【详解】解：∵ 分母是常数，中是常数，是常数，这三个都是整式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； ∴ 分式共有个． 【变式2】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【答案】 ①③④⑤ ②⑥⑦ 【分析】根据整式和分式的定义，即看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则是整式，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据整式和分式的定义可知， 是分式的有：，，，， 是整式的有：，，． 故答案为：①③④⑤，②⑥⑦． 【变式3】．下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【答案】 【分析】分式的定义为：若，表示两个整式，，且中含有字母，则是分式，逐个判断后统计分式个数即可． 【详解】解：，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； ，是圆周率，属于常数，分母为常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； 综上可得：分式共有个． 【题型2 分式的规律性问题】 题型特征：给出一列有规律的分式，求第n个分式、指定项分式或通用公式。 解题方法：①拆分符号、分子、分母三部分；②分别寻找各自的变化规律；③整合得出通项公式；④代入验证规律是否成立。 核心技巧：符号交替用 或 表示，分子分母多为等差、乘方规律。 【典例2】．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 【变式1】．在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A．2026 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律的探究，分式的求值．对于每个整数（），和的分式值之和为0；时分式值为0，且出现两次；时分式值为．因此总和为． 【详解】解：∵当且时，， 当时，， ∴． 对于从2到2025，共有2024对，每对和为0； 又∵时，，且出现两次，和为0； 时，， ∴总和为； 故选：B． 【变式2】．已知，则的值________； 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 【变式3】．若是不等于2的有理数，则我们把称为的“友好数”．例如：3的“友好数”是．已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”……以此类推，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，通过观察数字，分析，归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．分别求出数列的前5个数，得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期性变化，周期为4，然后根据2026在周期中的位置确定其值． 【详解】解：由题意，， ， ， ， ， 即，因此序列每4项循环一次，周期为4． 由于， 故． 故答案为． 【题型3 分式无意义的条件】 题型特征：求使分式无意义的未知数取值。 解题方法：直接令分母=0，解一元一次/一元二次方程，所得取值即为分式无意义的取值。 注意：无需考虑分子取值，分式无意义只由分母为0决定。 【典例3】．当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件，即分母的值为，将代入各选项的分母计算，找到分母为的选项即可． 【详解】解：∵分式无意义的条件是分母等于， 将代入各选项的分母计算： 对于A：分母，该分式无意义，符合题意； 对于B：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于C：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于D：分母，该分式有意义，不符合题意， 故选：A． 【变式1】．若分式无意义，则x的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为0是解题的关键． 要使分式无意义，需满足分母为0．据此求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得：， 故选：B． 【变式2】．要使分式无意义，则的取值应满足________． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件∶分母等于0，列一元一次方程求解即可． 【详解】解∶∵分式无意义，则分母等于0， ∴移项得 系数化为1得． 【变式3】．当时，分式无意义，则m的值为______． 【答案】2 【分析】分式无意义即分母为0，由此解答即可． 【详解】解：若分式无意义，则，即， 又∵当时，分式无意义， ∴． 【题型4 分式有意义的条件】 题型特征：求使分式有意义的未知数取值范围。 解题方法：令分母≠0，解不等式，求出未知数的取值范围；多个分母时，所有分母均不能为0。 易错点：容易遗漏分母不能为0的限制，直接取全体实数。 【典例4】．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 【变式1】．要使分式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件求解． 分式有意义时分母不为零，求解即可得到的取值要求． 【详解】解：分式有意义， ． 解得． 【变式2】．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得： 解得：． 【变式3】．当_________时，分式的值为0． 【答案】2 【分析】分式值为零需满足分子为零，且分母不为零，根据该条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， 依题意得 且. 解方程 ， 因式分解得， 解得或， 解不等式 ， 因式分解得， 解得且， 综上可得． 【题型5 分式值为零的条件】 题型特征：求使分式值为0的未知数取值，高频易错题型。 解题方法：①令分子=0，解出未知数候选值；②将候选值代入分母，排除使分母=0的取值；③剩余取值即为最终答案。 核心口诀：分子为0求值，分母为0舍去。 【典例5】．若分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】解：∵的值为0， ∴且， 解得． 【变式1】．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 【变式2】．若分式的值为0，则______． 【答案】 【分析】根据分式值为时分子为且分母不为，列出等式与不等式求解，舍去使分母为的解即可. 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得或， 对因式分解得， 由得且， 综上，符合条件的． 【变式3】．若分式的值为0，则m的值是__________． 【答案】2 【分析】根据分式值为零的条件，即分子等于零且分母不等于零，求解即可. 【详解】解：由题意， 解得. 【题型6 分式的求值】 题型特征：给定未知数取值，求分式的值；或结合简单条件间接求值。 解题方法：①先验证取值使分式有意义（分母≠0）；②将未知数代入分式；③按照四则运算规则计算出结果。 技巧：复杂式子可先简单整理，再代入求值，简化运算量。 【典例6】．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式1】．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 【变式2】．若，则__________． 【答案】23 【分析】把已知等式两边平方，再利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 【变式3】．若，则分式的值为________． 【答案】 【分析】首先得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 【题型7 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 题型特征：已知分式值为正数或负数，求未知数取值范围。 解题方法：值为正：分子分母同号，列两组不等式组求解，取并集；值为负：分子分母异号，列两组不等式组求解，取并集；全程保证分母≠0。 易错点：忘记排除分母为0的取值，导致范围出错。 【典例7】．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 【变式1】．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 【答案】C 【分析】本题考查了分式的意义、分式有意义时，自变量的取值范围．掌握分式有意义的条件是解题关键．选项A、B、D均正确，选项C错误，因为当时，分式无意义，不能使分式值为 【详解】对于A:当 时，分母 ，分式无意义，选项A正确，不符合题意； 对于B:当 时，分母 ，分子为正，分式值为正，选项B正确，不符合题意； 对于选项C:∵ 分式 ， 需分子为0且分母不为0，即 且 ， ∴ 或 ，但 时， ，分式无意义， ∴ 只有 成立，选项C错误，符合题意； 对于D:分母 ，分子为正，分式值总为正数，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 【变式3】．若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 【题型8 求使分式值为整数时未知数的整数值】 题型特征：给定分式，求使分式结果为整数的未知数整数取值。 解题方法：①变形分式，将分式化为“整数+常数/分母”的形式；②令分母为常数的所有整数因数（正因数、负因数）；③逐一求解未知数，验证分母不为0；④汇总所有符合条件的整数值。 核心要点：因数包含正负所有整数，不可遗漏负因数。 【典例8】．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 【变式1】．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 【变式2】．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2/2或1 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 【变式3】．当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 05 过关•检测 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式的定义为：若A、B是整式，B中含有字母且，则式子是分式．根据分式定义判断即可，需注意是常数，不是字母． 【详解】解：A、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意； B、的分母是含字母的整式，符合分式的定义，属于分式，符合题意； C、的分母是常数，不是字母，属于整式，不是分式，不符合题意； D、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意． 2．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，然后代入求解． 【详解】解： ∴设，，， ∴． 3．关于x和y的值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 ※ ※ 无意义 ※ … 则y代表的分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件和分式值为0的条件，根据表格信息，利用分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，即可排除错误选项得到答案． 【详解】解：由表格可知，当时，无意义，即分母为， 将代入各选项分母，A选项分母，B选项分母，因此A、 B不符合题意， 又当时，， 将代入剩余C、D选项的分子， C选项分子，分母，符合要求； D选项分子，不符合要求， 故选：C． 4．已知分式的值为零，则的值为  （    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式值为零需同时满足两个条件：分子等于零，分母不等于零，据此计算即可得到结果． 【详解】解：分式的值为零， ， 解， 可得：或， 解， 可得：， 不符合要求，舍去， ． 5．关于的不等式解集在数轴上表示如图，设，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集和分式有意义的条件分段讨论，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：由数轴可知关于的不等式解集为， ∵中， ∴分段讨论： ①当时，， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∴，即， 综上，的取值范围是或． 6．已知两个多项式，将、进行加减乘除运算． ①已知，若关于的方程无解，则． ②若为非零整数，且为整数，则满足条件的的值的和为． ③若，则． ④若，则x的取值范围为． 以上说法中正确的个数有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题需逐个判断四个结论的正误，通过整式化简，结合一元一次方程无解的条件，分式整数解，完全平方公式，绝对值的性质逐一验证，最终统计正确个数得到结果． 【详解】已知，，逐个判断： ①计算 方程整理得 ∵一元一次方程无解时，一次项系数为，即，得 ∴①正确． ②计算 ∵为非零整数，约去得 ∵分式值为整数， ∴是的整数约数，即 解得，均满足分母不为 ∴的和为，②正确． ③计算 ∵， ∴ ∵，两边除以得 ∴ ∴③错误． ④令，原方程变为 当时，，等式成立 代入得 解得，∴④正确． 综上，正确的结论共个，故选C． 7．甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出公交车的实际行驶时间，再利用速度=路程÷时间列代数式即可 【详解】∵甲、乙两地相距，原计划用时，公交车提前到达， ∴公交车实际用时为， ∵速度=路程÷时间， ∴公交车的速度为， 8．对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，正确的地找到规律，是解题的关键 先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵ 周期乘积， ， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． 9．如果分式的值为，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，且， ∴． 10．已知，，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】首先求出，，然后得到，，然后相乘得到，推出，然后将原式通分整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∵ ． 11．若，则__________． 【答案】/ 【分析】将已知条件整体代入所求分式，约分后即可得到计算结果． 【详解】解：∵， ∴． 12．若，则的值是______． 【答案】6 【分析】根据完全平方公式可得，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ． 13．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 【答案】 【分析】由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． ∴第12个数是． 14．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ 15．要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 【答案】且， 【分析】根据零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零，可得的取值范围，再把代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且， 当时， ． 16．当，1，时，分别求分式的值． 【答案】当时，分式的值为；当时，分式的值为；当时，分式的值为． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 17．【教材呈现】小红练习了人教版八年级上册数学118页第7题，并进行了深入研究： 7.已知，，求的值 解： 的值为． (1)【解决问题】已知，，求的值； (2)【知识迁移】已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． （1）把进行平方计算，利用完全平方公式化简后得出，将，代入计算即可求出的值； （2）把进行平方计算，得出，将代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴的值为． （2）解：∵ ∴ ∴的值为． 18．阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】(1)假分式 (2)， (3) 【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 19．阅读材料：分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和，如：或．阅读下面拆分成几个不同单位分数之和的过程： 拆法一：设正整数满足：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 拆法二：． (1)参考上述方法，直接写出拆分成几个不同单位分数相加的形式；（要求：写出三种拆分形式即可） (2)对于任意质数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了分式规律性问题， 第一小题参考阅读材料中的拆法，通过解方程或选择乘数分解分子得到三种拆分形式； 第二小题仿照拆法一，利用因式分解推导出对于任意质数 的拆分公式． 【详解】（1）解：参考拆法一：设正整数满足：，则 ， 整理得 ， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 参考拆法二：选择分子分母同时乘 ，则 ，∵ ，且 均为 的因数，∴ ． 选择分子分母同时乘 ，则 ，∵ ，且 均为 的因数，∴ ， ∴ 可以拆分成为 ，，． （2）证明：设正整数满足 ， ∵ 为质数且 ， ∴， ∴ ∴， ∴ 的正因数对为 或 ，但， ∴ ，， ∴ 解得，． ∵ 为质数，∴ 为奇数， 为偶数， 和 均为整数． ∴ ． 20．新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解，满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“满分方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，则为一元一次方程的“满分方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“满分方程”？请直接写出正确的序号 ． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程．的“满分方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“满分方程”，请直接写出m与n之间的数量关系． 【答案】(1)① (2)的值是或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“满分方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“满分方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令求出的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是或， 当时，， ∴①是“满分方程”，符合题意； 方程的解是， ， ∴②不是“满分方程”，不符合题意； 故答案为：①； （2）解：∵方程， ∴， 即或， 解得：或， ∴方程的解为或， 解一元一次方程得， 若， 则， 解得， 若， 则， 解得， 综上，的值是或； （3）解：方程， 解得：， ， ， ， ， 即， ， ， ∵分母不能为 0 ， ，， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $