专题02 分式的基本性质重难点题型专训（3个知识点+9大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题02分式的基本性质重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+1拓展训练+自我检测） 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 求使分式变形成立的条件 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型六 约分 题型七 最简分式 题型八 最简公分母 题型九 通分 拓展训练一 倒数法求分式的值 知识点一：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值  （     ） A．扩大为原来的4倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的16倍 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”解答，将扩大后的x，y代入原分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵x，y都扩大为原来的4倍后，新分式为， 约去分子分母的公因式4后得，与原分式相等， ∴分式的值不变． 2．（25-26八年级上·北京通州·月考）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值___________（填“扩大”“缩小”或“不变”） 【答案】不变 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；因此此题可根据分式的性质进行求解即可． 【详解】解：将中的x，y都扩大10倍，为， ∴分式的值不变； 故答案为：不变． 知识点二：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分运算，平方差公式在确定最简公分母中的应用，掌握先通过因式分解确定最简公分母，再将各分式变形为同分母分式的方法是解题的关键． 通分的关键是确定最简公分母，观察各分式的分母，发现是和的乘积，因此最简公分母为，再将每个分式化为以为分母的形式． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，其中=，因此最简公分母为. 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分母已是，保持不变，为. 故答案为：，，. 知识点三：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可． 【详解】解：， 当①②改变时，，故选项A不符合题意； 当②③改变时，，故选项B不符合题意； 当①③改变时，，故选项C不符合题意； 当③④改变时，，故选项D符合题意． 2．（25-26八年级下·上海宝山·月考）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题关键．将分式中的和同时扩大2倍后，新分式是原分式的2倍，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则新分式为， 故答案为：． 【经典例题一 判断分式变形是否正确】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数或式子，分式的值不变，据此可判断A、B；当可证明，，据此可判断C、D． 【详解】解：A、从到，分子和分母同乘以，根据分式的基本性质可知，但原分式中的值可以为0，原式变形错误，不符合题意； B、由于，则变形正确，符合题意； C、当时，，原式变形错误，不符合题意； D、当时，，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 1．（25-26八年级上·山东聊城·月考）下列说法正确的有（    ） ①分式是最简分式； ②若分式的值为，则； ③根据分式的基本性质，等式成立； ④将分式中的都扩大到原来的倍，分式的值不变． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查分式的相关概念和性质，包括最简分式的定义、分式值为的条件、分式的基本性质以及分式的缩放． 【详解】①∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，正确； ②∵分式值为0需分子为0且分母不为，分子时，但当时，分母，分母为，分式无意义，∴只有时值为，错误； ③∵分式基本性质要求乘除的整式不为，但 可能为（如 ），此时分母，分式无意义，∴等式不一定成立，错误； ④∵将扩大倍后，分式变为，值扩大倍，∴分式的值改变，错误； 综上，只有①正确； 故选：A． 2．（2025九年级上·陕西西安·模拟预测）已知，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法、乘法及绝对值的相关知识，熟知运算法则及绝对值的性质是正确解题的关键． 由已知条件且，中必为两正两负．先将变形整理为：，，，，再代入所求的式子化简即可求解． 【详解】解：由，可得，，，． 原式， ，可知，中负因数的个数为偶数0或2或 4个， 由可知，不可能全为正数或全为负数， 中必为两正两负，此时的值中，有两项为1，两项为， 原式， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的通分． 根据分式的基本性质可知小强的错误是把分母去掉了，根据分式的基本性质通分即可． 【详解】解：小强的错误是把分母去掉了，不符合分式的基本性质． 改正如下： ，的最简公分母是， ，． 【经典例题二 求使分式变形成立的条件】 【例1】（24-25八年级下·重庆北碚·期末）将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）根据分式的基本性质填空：．______ 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （2）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （3）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都除以即可． 【详解】（1）解：， 等式中所缺的分子是； （2）解：， 等式中所缺的分子是； （3）解：， 等式中所缺的分母是． 【经典例题三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例1】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的6倍 【答案】A 【分析】将扩大后的结果代入原分式，化简后和原分式比较即可得到结论． 【详解】解：将同时扩大为原来的3倍后， 新分式为， 所以新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入_______；            （2），括号内应填入_______； （3），括号内应填入_______；         （4），括号内应填入_______． 【答案】 x 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式的基本性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大2倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．依题意，分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：如果把分式中的a和b都缩小到原来的， 则变化后的分式为， 即分式的值缩小为原来的， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·单元测试）（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握给分式的分子、分母同乘或除以一个非整式，分式的值不变成为解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：由与分母乘以x，则分子也需乘x，即； 由与分子乘以30，则分母也需乘30，即． 故答案为：，． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小； (2)当时，随着的增大，的值无限接近． 【分析】（）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 【经典例题四 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 1．（24-25八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 2．（2025八年级下·江苏·专题练习）若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解答． 【详解】原式＝． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 3．（2026八年级下·江苏宿迁·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变”是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【经典例题五 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数． 【详解】解： 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意； B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 【经典例题六 约分】 【例1】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果． 【详解】解：∵， ∴括号中应填． 【例2】（24-25八年级下·上海青浦·月考）化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，因式分解，先将分子分母进行因式分解，再约分是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 利用分式的约分定义判断即可． 【详解】解：A、，A选项不符合题意； B、，B选项符合题意； C、为最简分式，C选项不符合题意； D、为最简分式，D选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·海南海口·月考）约分： （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）约分： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （4）分子展开合并，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【经典例题七 最简分式】 【例1】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，逐一分析每个选项的分子与分母是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，反之则不是，最终确定正确选项． 【详解】解：选项A， 分式的分子与分母没有公因式， 该分式是最简分式； 选项B， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式； 选项C， 分式的分子与分母有公因式， 该分式可约分为，不是最简分式； 选项D， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式． 【例2】（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 1．（24-25八年级下·重庆·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义“分子与分母没有公因式的分式，即一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时这个分式就被称为最简分式”逐项判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式； B、，是最简分式； C、，不是最简分式； D、，不是最简分式． 故选：B． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：．要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有______个． 【答案】5 【分析】先列出所有可能的分式，再判断哪些是最简分式． 【详解】解：①分母为的情况： ：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式； ：分子可分解为，与分母有公因式，可约分为，非最简； ：分子与分母无公因式，为最简分式． 此类分式中，最简分式有个． ②分母为的情况： ：分子为常数，分母分解为，无公因式，为最简分式； ：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简； ：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简． 此类分式中，最简分式有个． ③分母为的情况： ：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式； ：分子与分母无公因式，为最简分式； ：分子分解为，与分母有公因式，可约分，不是最简分式． 此类分式中，最简分式有个． 故共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简分式的概念，解题关键是明确最简分式的定义，即分子和分母没有公因式的分式，然后逐一分析所组成的分式是否为最简分式． 3．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【答案】①是；②不是，；③不是，；④不是， 【分析】本题主要考查了最简分式，即一个分式的分子与分母没有公因式，解题的关键是熟练掌握最简分式的形式． 根据最简分式的形式进行判断，分子分母进行因式分解，再进行约分，化成最简分式． 【详解】解： ①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式． 【经典例题八 最简公分母】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母，根据最简公分母的定义即可解答，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：分式与的最简公分母是为， 故选：． 【例2】（24-25八年级下·吉林长春·月考）分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，可知分式与的最简公分母为． 【详解】解：， 分式与的最简公分母是． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）分式与的最简公分母为____． 【答案】 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 3．（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 【经典例题九 通分】 【例1】（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）当时，的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·江苏苏州·课后作业）将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·课后作业）分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握． 分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，通分的定义：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式的变形叫做分式的通分． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， ， ． 【拓展训练一 倒数法求分式的值】 【例1】（2025·河北石家庄·二模）下列各式的计算结果与 互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式混合运算化简后，结合倒数定义验证即可得到答案． 【详解】解： ， 的倒数为， A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查分式混合运算，熟记分式运算法则是解决问题的关键． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）当时，分式的值为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 将分母因式分解后约分，简化计算，最后将代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式． 【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 【答案】(1)23 (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键； （1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解； （2）由题意可设，然后代入求解即可； （3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由可设， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． A基础训练 1．（25-26八年级下·河北张家口·月考）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分． 【详解】A、，可约分，所以不是最简分式； B、，可约分，所以不是最简分式； C、，可约分，所以不是最简分式； D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式． 故选：D． 3．（25-26八年级下·上海·期末）分式中的a和b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值是原来的（   ） A． B．2倍 C．4倍 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的a，b分别用替换，计算出新分式的结果，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：当a和b同时扩大2倍时，新分式为： ， ∴得到的分式的值是原来的4倍， 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东佛山·月考）下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、分式的值为零，则x的值为−2，故此选项错误； B、根据分式的基本性质，等式（x≠0），故此选项错误； C、分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，故此选项正确； D、分式，原式不是最简分式，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【详解】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． B 提高训练 6．（25-26八年级下·江苏无锡·周测）填空： （1）．括号内为：______． （2）．括号内为：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题时，首先要观察已知的分子或分母的变化，再根据分式的基本性质进行求解． （1）观察分式中分母的变化，显然只需分式的分子和分母同乘以a； （2）观察分式中分母的变化，显然只需分式的分子和分母同除． 【详解】解：（1）根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘以a，则分式的分子变为，负号提前， 故答案为：； （2）根据分式的基本性质，分式的分子和分母同除，则分式的分子变为c， 故答案为：c． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）根据分式的基本性质填空：（1）；（2）．括号内应填________；_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质计算即可得． 【详解】解：（分子分母同除以），， 故答案为：；． 8．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 9．（24-25八年级下·河南周口·月考）分式与的最简公分母是________，通分后的结果是________、________． 【答案】 【分析】此题考查了分式的通分，分式的最简公分母是通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答． 【详解】分式与的最简公分母是， ， 故答案为：；；． 10．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为___________．（写出一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式的定义．直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案． 【详解】解：6为分母时不是分式， 不是分式， 不是最简分式， 和 是最简分式， 故答案为：或． C 培优训练 11．（2025八年级下·江苏宿迁·专题练习）按要求答题： (1)约分 (2)通分，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据分子分母所含相同因式，直接约分即可得到答案； （2）根据通分定义，将分母不同的分式化为分母相同的与原分式相等的分式直接通分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：，， 两个分式的最简公分母为， ；． 【点睛】本题考查分式的通分、约分，熟记通分、约分的定义，掌握通分、约分运算方法是解决问题的关键． 12．（25-26八年级下·江苏镇江·课后作业）下列分式的约分是否正确？请把不正确的改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正确 (2)不正确，应改为 (3)不正确，应改为 (4)正确 【分析】本题考查分式的性质，对分式进行化简． （1）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （2）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （3）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （4）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； 【详解】（1）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简正确． （2）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简不正确，应改为． （3）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简不正确，应改为． （4）解：分式，分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简正确． 13．（2025八年级下·浙江·专题练习）已知代数式，，．从.，，中任选两个分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】选择作为分子，作为分母； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤及方法．选择作为分子，作为分母，然后对分式进行化简即可． 【详解】解：选择作为分子，作为分母， ． 14．（24-25八年级下·江苏南京·课堂例题）完成下列各题． （1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________． （2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数________． （3）若分式的值是整数，求整数的值． （4）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或0或2或6；（4） 【分析】（1）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以即可； （2）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以10 即可， （3）将分式变形得，要使结果是整数，，或，进而求出的整数值即可， （4）先求出要求的代数式的倒数，利用整体代入的方法进行计算即可． 【详解】解：（1）根据分式基本性质，分子、分母都乘以得， ； （2）根据分式基本性质，分子、分母都乘以10得， ， （3）， 要使分式的值为整数， ，或， 解得，，，，， ∴整数的值为0，2，6，； （4），两边平方得： ， ， ． 故答案为：（1）；（2）；（3）x=-4或0或2或6；（4）. 【点睛】本题考查分式的基本性质、分式的加减运算，掌握分式的基本性质和计算法则是正确解答的前提． 15．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小，减小 (2)的值无限接近 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． （）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小，即的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 由于，则当时，随着的增大，的值随之减小，从而的值随之减小，即的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02分式的基本性质重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+1拓展训练+自我检测） 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 求使分式变形成立的条件 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型六 约分 题型七 最简分式 题型八 最简公分母 题型九 通分 拓展训练一 倒数法求分式的值 知识点一：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值  （     ） A．扩大为原来的4倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的16倍 2．（25-26八年级上·北京通州·月考）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值___________（填“扩大”“缩小”或“不变”） 知识点二：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 知识点三：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 2．（25-26八年级下·上海宝山·月考）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________． 【经典例题一 判断分式变形是否正确】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）下面三个式子：，其中正确的有_____个． 1．（25-26八年级上·山东聊城·月考）下列说法正确的有（    ） ①分式是最简分式； ②若分式的值为，则； ③根据分式的基本性质，等式成立； ④将分式中的都扩大到原来的倍，分式的值不变． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025九年级上·陕西西安·模拟预测）已知，则______． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 【经典例题二 求使分式变形成立的条件】 【例1】（24-25八年级下·重庆北碚·期末）将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若，则的值为__________． 1．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）根据分式的基本性质填空：．______ 3．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 【经典例题三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例1】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的6倍 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入_______；            （2），括号内应填入_______； （3），括号内应填入_______；         （4），括号内应填入_______． 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大2倍 D．缩小到原来的 2．（24-25八年级下·江苏无锡·单元测试）（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 3．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【经典例题四 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 1．（24-25八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·江苏·专题练习）若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 3．（2026八年级下·江苏宿迁·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 1．（24-25八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 2．（24-25八年级下·江苏无锡·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【经典例题六 约分】 【例1】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·上海青浦·月考）化简：______． 1．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·海南海口·月考）约分： （1）________； （2）________． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）约分： (1)． (2)． (3)． (4)． 【经典例题七 最简分式】 【例1】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 【例2】（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 1．（24-25八年级下·重庆·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：．要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有______个． 3．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【经典例题八 最简公分母】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·吉林长春·月考）分式与的最简公分母是______． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）分式与的最简公分母为____． 3．（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【经典例题九 通分】 【例1】（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）当时，的值是_______． 1．（24-25八年级下·江苏苏州·课后作业）将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·课后作业）分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为_______． 3．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 【拓展训练一 倒数法求分式的值】 【例1】（2025·河北石家庄·二模）下列各式的计算结果与 互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）当时，分式的值为_______________． 1．（24-25八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． A基础训练 1．（25-26八年级下·河北张家口·月考）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海·期末）分式中的a和b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值是原来的（   ） A． B．2倍 C．4倍 D．无法确定 4．（24-25八年级下·广东佛山·月考）下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 5．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． B 提高训练 6．（25-26八年级下·江苏无锡·周测）填空： （1）．括号内为：______． （2）．括号内为：______． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）根据分式的基本性质填空：（1）；（2）．括号内应填________；_______． 8．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 9．（24-25八年级下·河南周口·月考）分式与的最简公分母是________，通分后的结果是________、________． 10．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为___________．（写出一个即可） C 培优训练 11．（2025八年级下·江苏宿迁·专题练习）按要求答题： (1)约分 (2)通分，． 12．（25-26八年级下·江苏镇江·课后作业）下列分式的约分是否正确？请把不正确的改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（2025八年级下·浙江·专题练习）已知代数式，，．从.，，中任选两个分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 14．（24-25八年级下·江苏南京·课堂例题）完成下列各题． （1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________． （2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数________． （3）若分式的值是整数，求整数的值． （4）已知，求的值． 15．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 学科网（北京）股份有限公司 $