第44期 20.4 四分位数和箱线图 20.5 数据分组 第20章小结与复习-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

初中数学·沪科八年级(AH)第40~44期 数理极 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 第40期2版 4.(2,22)或(2，-22) 19.3矩形、菱形、正方形（菱形） AB AD, 19.3.2.1菱形的性质 5.在△ABC和△ADC中，因为{AC=AC, 基础训练1.D;2.C;3.20;4.70°. BC DC, 5.因为四边形ABCD是菱形， 所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC. 所以AB∥CD,AC⊥BD. 因为AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA. 因为DE⊥BD, 所以∠DCA=∠DAC.所以AD=CD. 所以DE∥AC.所以四边形ACDE是平行四边形. 所以AB=CB=CD=AD.所以四边形ABCD是菱形. 6.因为四边形ABCD是菱形， 6.(1)因为AE∥CF, 所以AB=BC,∠ABP=∠CBP. 所以∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD. 又因为BP=BP,所以△ABP兰△CBP(SAS). 因为BA=BC,BD平分∠ABC, 所以AP=CP. 所以BD⊥AC,AD=CD. 7.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD. 所以△AED≌△CFD(AAS).所以AE=CF 所以∠ABD=∠ADB. 所以四边形AECF是平行四边形 因为AE=AB,所以AE=AD. 又因为BD⊥AC,所以四边形AECF是菱形. 所以∠E=∠ADE.所以2∠ADB+2∠ADE=180° (2)因为四边形AECF是菱形，所以DE=DF=2. 所以∠BDE=∠ADB+∠ADE=90° 在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2,即42+ 所以△BDE为直角三角形. (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,0B=OD. (2+BE)2=(4+BE)2.解得BE=1.所以BF=5. 能力提高7.(1)能. 因为4E=AB,所以0C=0A=7DE=3cm 因为四边形ABCD是矩形， 8.(1)因为四边形ABCD是菱形， 所以∠A=∠C=90°，AD∥BC. 所以AC1BD,0A=4C=4m,0B=8D=3em 所以∠PBE=∠ADB=30°，BC⊥CD. 根据题意，得BP=2t,DQ=t. 根据勾股定理，得AB=√OA2+OB=5cm. 因为PE L BC,所以PE∥CD,∠BEP=90. 因为装w=子C,BD=A裙，D明， 所以PE=B即=1=D0 所以DH=4C·BD-24 2AB 5 cm. 所以四边形PEQD是平行四边形. 因为AB=4,所以BD=8.所以DP=8-2. (2)因为四边形ABCD是菱形， 当DP=PE时，四边形PEQD为菱形.所以8-2t=t.解 所以OB=OD,∠DAH=2∠OAB.所以OH=OB. 所以∠OHB=∠OBH, 得1=号 所以∠BOH=180°-2∠OBH. (2)①当∠EPQ=90°时，四边形EPQC为矩形，所以PE 因为∠OAB=90°-∠OBH, =QC,所以t=4-t,解得t=2; 所以∠DAH=180°-2∠OBH. ②当∠PQE=90°时，由(1)，得PD∥EQ,所以∠DPQ= 所以∠BOH=∠DAH ∠PQE=90°，在Rt△DPQ中，∠PQD=30°，所以DQ=2DP, 能力提高9.√17. 19.3.2.2菱形的判定 所以1=28-2)，解得：=与 基础训练1.B;2.D;3.答案不惟一，如AB=AC; ③不存在∠PEQ=90°的情况. 初中数学·沪科八年级(AH)第40~44期 综上所述，当t=2或6时，△PQE为直角三角形. 17.(1)连接AC,图略. 5 因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=CD,AB∥CD. 第40期3版 因为∠B=60°，所以∠BCD=180°-∠B=120°，△ABC 题号12345678 是等边三角形. 因为E是BC的中点，所以AE⊥BC.所以∠AEC=90° 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD; 因为∠AEF=60°，所以∠FEC=∠AEC-∠AEF=30. 11.24;12.16. 所以∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=30°. 三、13.因为四边形ABCD是菱形， 所以∠FEC=∠CFE.所以EC=CF: 所以AB∥CD,∠ABD=∠CBD. 因为CE=2BC,所以CF=CD,即F是CD的中点 因为EF∥BC,所以四边形BCFE是平行四边形，∠EMB (2)连接AC,图略.由(1)，得△ABC是等边三角形 =∠CBD. 所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=60° 所以BE=CF,∠ABD=∠EMB. 所以∠ACF=∠BCD-∠ACB=60°=∠B. 所以BE=EM.所以CF=EM. 因为∠EAF=60°，所以∠BAC-∠EAC=∠EAF- 14.因为∠BAF=∠DAE,所以∠BAF-∠EAF=∠DAE ∠EAC,即∠BAE=∠CAF.所以△ABE兰△ACF(ASA). -∠EAF,即∠BAE=∠DAF 所以AE=AF.所以△AEF是等边三角形.所以∠AEF= 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B=∠D. 60° 又因为BE=DF,所以△ABE≌△ADF(AAS). 因为∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE,所以∠FEC=20° 所以AB=AD.所以四边形ABCD是菱形. 附加题(1)因为点E与点F关于直线CD对称， 15.(1)因为点E为AB的中点，所以AB=2AE=2BE. 所以FD=ED,FG=EG,∠EDG=∠FDG. 因为AB=2CD,所以CD=AE. 因为EG∥AF,所以∠EGD=∠FDG. 因为AE∥CD,所以四边形AECD是平行四边形. 所以∠EGD=∠EDG.所以EG=ED. 因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠EAC 所以FD=ED=FG=EG.所以四边形DEGF是菱形. 因为AB∥CD,所以∠DCA=∠CAB. (2)连接FC,EC,图略 所以∠DAC=∠DCA.所以AD=CD. 因为∠A=∠B=90°，所以∠A+∠B=180°.所以AF∥ 所以四边形AECD是菱形. CB (2)因为四边形AECD是菱形，∠D=120°，CD=2, 因为AF=BC=8,所以四边形ABCF是平行四边形.所以 所以AB=4,CE=AE=2,∠AEC=∠D=120° CF AB 10. 所以CE=BE,∠CEB=180°-∠AEC=60. 所以∠ACE=∠CAE=30°，△CEB是等边三角形. 根据轴对称的性质，得CE=CF=10. 所以BC=2,∠ECB=60° 根据勾股定理，得BE=√CE-BC=6.所以AE=AB 所以∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°. -BE=4. 根据勾股定理，得AC=√AB2-BC=25. 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+AD=DE2,即42 +(8-DF)2=DF2.解得DF=5. 1 所以Sac=2AC·BC=25, 所以S四边形DEGF=DF·AE=20. 16.(1)因为四边形ABCD是菱形 第41期2版 所以OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. 19.3矩形、菱形、正方形（正方形） 因为DF=BE,所以OB-BE=OD-DF,即OE=OF. 19.3.3.1正方形的性质 所以四边形AECF是平行四边形. 基础训练1.C;2.C;3.115 又因为AC⊥EF,所以四边形AECF是菱形 4.因为四边形ABCD是正方形， (2)△ADE是直角三角形.理由如下： 所以AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=90°. 因为AC=4,BD=8,所以OA=2,0B=0D=4. 因为AE=AF, 因为BE=3,所以OE=OB-BE=1,DE=BD-BE= 所以AB-AE=AD-AF,即BE=DF 5. 所以△BCE≌△DCF(SAS). 因为AC⊥BD,所以∠AOE=∠AOD=90°. 所以CE=CF 根据勾股定理，得AE2=0A2+0E2=5,AD2=0A2+0D 因为点M是EF的中点，所以CM⊥EF =20. 5.(1)因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以AD= 所以AE+AD2=DE.所以△ADE是直角三角形. CD=1,∠D=90°，AD∥BC.所以∠DAE=∠F. 一2 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 因为AE平分∠CAD,所以∠CAE=∠DAE.所以∠CAE= 因为AC∥DE,所以四边形ACED是平行四边形. ∠F 所以AD=CE.所以BC=CE. 根据勾股定理，得CF=AC=√AD+CD=√2 (2)因为四边形ACED是平行四边形，所以CD=2CF. (2)过点E作EG⊥AC于点G,图略. 因为AD=2CF,所以AD=CD.所以四边形ABCD是菱形 所以∠EGA=∠EGC=90°. 因为AD∥EC,所以∠DAF=∠FEB. 因为AE平分∠CAD,所以ED=EG. 因为∠DAF=∠FBE,所以∠FBE=∠FEB.所以FB= 因为AE=AE,所以Rt△ADE≌Rt△AGE(HL). FE. 所以AD=AG=1.所以CG=AC-AG=√2-1. 因为BC=CE,所以FC⊥BE.所以∠BCF=90°.所以四 因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD=45°. 边形ABCD是正方形 所以∠CEG=90°-∠GCE=45°. 第41期3版 所以EG=CG=万-1. 题号 1234567 8 由勾股定理，得CE=EG+CG=2-2 答案B BBDBDDC 能力提高6.42. 7.连接BF,图略.根据题意，得∠EAF=90°，∠AFE= 二、9.6；10.答案不惟一，如AC=BD;11.15√2； ∠AEF=45°，AF=AE=4. 12.8. 根据勾股定理，得EF2=AF2+AE2=32. 三、13.∠EDA的度数是22.5°. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,∠DAB=90° 14.因为四边形ABCD是矩形， 所以∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF,即∠EAD= 所以∠B=∠DAB=∠BAF+∠DAF=90°， ∠FAB. 因为AF⊥DE,所以∠AGD=90°. 所以△ADE≌△ABF(SAS). 所以∠ADE+∠DAF=90.所以∠BAF=∠ADE. 所以DE=BF=2,∠AED=∠AFB=45. 因为AF=DE,所以△ABF≌△DAE(AAS). 所以∠BFE=∠AFB+∠AFE=90°. 所以AB=DA.所以四边形ABCD是正方形. 根据勾股定理，得BE=√EF2+BF产=6. 15.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAE=∠BCF 19.3.3.2正方形的判定 =45°，AD=BC. 基础训练1.A;2.D;3.不一定 因为AE=CF,所以△ADE≌△CBF(SAS) 4.因为四边形ABCD是矩形，OA=1,所以OB=1. (2)因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AC⊥ 因为AB=√2，所以OA2+OB2=AB BD,0A =OB OC OD. 所以∠AOB=90°.所以AC⊥BD 因为AB=AD=4,所以BD=√AB2+AD=42=AC 所以四边形ABCD是正方形. 所以0A=0B=22. 5.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90° 因为AE=CF=√2，所以OE=OA-AE=OC-CF=OF 因为BE⊥EF,所以∠BEF=90°. =万.所以四边形BEDF为菱形，DE=OD2+OE=√0. 因为∠ABE+∠CEF=45°，所以∠CEB+∠CBE= 所以四边形BEDF的周长为：4DE=4√10. ∠BEF-∠CEF+∠ABC-∠ABE=18O°-（∠ABE+∠CEF) =135°.所以∠BCE=180°-（∠CEB+∠CBE)=45°. 16.(1)因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，所以AB =BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°，GC=CE= 所以∠BAC=90°-∠BCE=45°. EF=FG,∠E=∠CGF=90°.所以∠ADH=180°-∠ADC= 所以AB=BC.所以四边形ABCD是正方形 90°，∠HGF=180°-∠CGF=90°. 6.(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD. 因为DH=CE=BK,所以HG=KE=AB.所以△ADH≌ 因为AB=CB,BD=BD,所以△ABD≌△CBD(SAS). △ABK≌△KEF≌△HGF(SAS).所以AH=AK=KF=HF, 所以∠ADB=∠CDB. (2)因为PM∥CD,PN∥AD, ∠DAH=∠BAK所以四边形AKFH是菱形，∠KAH=∠DAH+ ∠KAD=∠BAK+∠KAD=∠BAD=90°.所以四边形AKFH 所以四边形MPWD是平行四边形，∠MPD=∠NDP 所以∠MPD=∠MDP.所以PM=DM.所以四边形 是正方形 MPWD是菱形. (2)连接AE,图略.因为四边形AKFH的面积为10，所以 所以当MN=PD时，四边形MPND是正方形. KF=√10.因为CE=1,所以BK=EF=1. 7.(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 根据勾股定理，得KE=√KFP-EF产=3. 所以AD∥BC,AD=BC. 所以AB=KE=3,BE=BK+KE=4.所以点A,E之间 一3 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 的距离为：AE=√AB2+BE=5. AC.所以四边形ADCB是菱形 17.(1)因为四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形， 19.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AD=CD,∠DAE= 所以∠D=∠A=90°，HE=GH.因为AH=DG,所以Rt△AHE ∠DCF.因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以∠AED=∠CFD=90°. ≌Rt△DGH(HL).所以∠AEH=∠DHG. 所以△ADE≌△CDF(AAS). 因为∠AIE+∠AEH=90°，所以∠AHE+∠DHG=90° (2)因为△ADE≌△CDF,所以AE=CF因为四边形 所以∠EHG=90°.所以四边形EFGH为正方形， ABCD是菱形，所以AB=BC.所以∠MAE=∠NCF.又因为 (2)因为AD=6,DC=7,DG=AH=2,所以DH=AD- ∠AEM=∠CFN=90°，所以△AME≌△CNF(ASA).所以AM AH =4.CG DC-DG 5. CN. 由勾股定理，得HG=√DG+D=25, 20.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠D=90°， AB=CD.因为AD=2AB,点M是AD的中点，所以AB=AM= 因为四边形EFGH是正方形，所以FG=25,∠EFG= DM=CD.所以∠AMB=∠DMC=45°.所以∠BMC=180° 90°.所以∠CFG=180°-∠EFG=90° -∠AMB-∠DMC=90°.因为PE⊥MC,PF⊥BM,所以 由勾股定理，得CF=√CG-FG=√5 ∠PEM=∠PFM=90°.所以四边形PEMF为矩形 附加题(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC= (2)当点P为BC的中点时，矩形PEMF变为正方形.理由 90°.所以∠EBG=180°-∠ABC=90°.所以平行四边形 如下： BEFG是矩形 在△ABM和△DCM中，因为AB=DC,∠A=∠D,AM= (2)90.理由如下： DM,所以△ABM≌△DCM(SAS).所以BM=CM. 延长GP交DC于点H,图略.因为正方形ABCD和平行四边 因为点P为BC的中点，所以点P在∠BMC的平分线上.所 形BEFG,所以AB∥DC,BE∥GF,DC=BC.所以DC∥GF 以PE=PF.所以矩形PEMF为正方形 所以∠HDP=∠GFP,∠DHP=∠FGP. 21.问题解决：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠DAB 因为P是线段DF的中点，所以DP=FP.所以△DHP≌ =∠ABF=90. △FGP(AAS).所以HP=GP,DH=FG. 所以∠BAF+∠DAG=90. 当∠CPG=90°时，PG⊥PC.所以CH=CG.所以DC- 因为DE⊥AF,所以∠AGD=90°.所以∠ADE+∠DAG= CH=BC-CG,即DH=BG.所以BG=FG.所以平行四边形 90°.所以∠ADE=∠BAF. BEFG是菱形. 因为DE=AF,所以△ADE≌△BAF(AAS).所以AD= 由(1)知四边形BEFG是矩形.所以四边形BEFG是正方 BA.因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD是正方形. 形 (2)△AHF是等腰三角形.理由如下： 第42期综合测评卷 因为△ADE兰△BAF,所以AE=BF.因为BH=AE,所以 题号123456789 10 BH=BF.因为∠ABF=90°，所以AB⊥HF.所以AH=AF,即 D △AHF是等腰三角形. 二、11.20；12.答案不惟，如AC=BD;13.30°： 类比迁移：延长CB到点H,使BH=AE,连接AH,图略. 14.45°；15.22或/10或2 因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC,AB=AD.所以 ∠ABH=∠DAE. 三、16.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C, 在△DAE和△ABH中，因为AE=BH,∠DAE=∠ABH, AB CD.AD BC. AD=BA,所以△DAE≌△ABH(SAS).所以AH=DE,∠H= 又因为∠ADE=∠CBF,所以△ADE≌△CBF(ASA).所 ∠DEA=60° 以AE=CF.所以AB-AE=CD-CF,即BE=DF 17.因为CE L BA,BF⊥CA,所以∠BEC=∠CFB=90°. 因为DE=AF,所以AH=AF.所以△AHF是等边三角形 所以AH=HF.所以DE=HF=BH+BF=9. 因为M是BC的中点，所以EM=BC=BM,M=BC 第43期2版 =CM.所以∠BEM=∠ABC,∠CFM=∠ACB.所以∠CME= 20.1数据的频数分布 ∠BEM+∠ABC=56°，∠BMF=∠CFM+∠ACB=96°.所以 基础训练1.A;2.B；3.D;4.0.25;5.12. ∠EMF=180°-∠CME-∠BMF=28° 6.(1)200.70,0.12 18.四边形ADCB是菱形.理由如下： (2)补图略 因为AB∥CD,所以∠BAO=∠DCO. (3)2000×(0.08+0.2)=560(人). 又因为OA=OC,∠AOB=∠COD,所以△AOB≌ 答：该校安全意识不强的学生约有560人. △COD.所以AB=CD.所以四边形ADCB是平行四边形. 20.2数据的集中趋势 因为四边形ODEC是矩形，所以∠COD=90°.所以BD⊥ 基础训练1.A;2.C;3.B;4.D;5.D;6.5; 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 7.6:8.14:9.120. 本组数据的平均数、众数、中位数这三个量作为基本销售 10.(1)表格从左到右、从上到下依次填人90分、90分、 额都具有合理性，其中中位数22万元最大，选择中位数作为基 100分 本销售额对公司最有利，付出成本最低；对员工来说，这只是个 (2)八年级2班的竞赛成绩更优秀.理由如下： 中等水平，可以接受.所以基本销售额应定为22万元 因为八年级1班和八年级2班竞赛成绩的中位数相同，但 17.(1)C等级的同学有5人，成绩（单位：分）分别为77， 从平均数和众数两方面来分析，2班比1班的成绩好，所以八年 73,72,79,78.所以3月份体育测试成绩为C等级的同学的平均 级2班的竞赛成绩更优秀. 成绩为：5×(7+7乃+72+79+78)=75.8（分）. 1.(1)甲的最终得分是：4×(9+8+7+5)=725；乙 (2)由表中数据可知，30名同学中，A等级的有10人，B等 的最终得分是：子×(8+6+8+6)=7：丙的最终得分是：子 级的有11人，C等级的有5人，D等级的有4人.所以强化训练 ×(8+9+8+5)=7.5.因为7<7.25<7.5，所以丙将被录 后该班同学平均成绩所提高的分数为：0×(0.9×10+5×山 用 +10×5+15×4)=5.8(分). (2)学历、经验、能力和态度四项得分按4：1：1：4的比例 附加题(1)当n≥16时，y=16×(10-5)=80;当0 确定.甲的最终得分是：(9×4+8×1+7×1+5×4)÷(4+ ≤n<16时，y=10n-16×5=10m-80. 1+1+4)=7.1;乙的最终得分是：(8×4+6×1+8×1+6 所以当日的利润y关于当日需求量n的函数表达式为y= ×4)÷(4+1+1+4)=7:丙的最终得分是：(8×4+9×1+ r10n-80(0≤n<16), 8×1+5×4)÷(4+1+1+4)=6.9.因为6.9<7<7.1， l80(n≥16). 所以甲将被录用. (2)①17,15 能力提高12.146. ②应购进17枝.理由如下： 第43期3版 平均日需求量为：100×(14×10+15×20+16×16+17 一、 题号123456 78 ×16+18×15+19×13+20×10)=16.85(枝). 答案CABD DCDA 若购进16枝，由(1)知盈利80元； 二、9.白色；10.10.9元；11.17；12.5. 若购进17枝，则盈利为：10×17-80=90（元）. 、1 三、13.这10名学生所在家庭平均月使用塑料袋：10×(65 因为80<90，所以应购进17枝 +70+85+75+85+79+74+91+81+95)=80(只).中位 第44期2版 数是80只，众数是85只. 20.3数据的离散程度 14.(1)甲的平均成绩为：98+84+88=90（分），乙的平 基础训练1.B;2.5;3.乙 3 均成绩为：88+85+97=90（分），所以不能以此确定两人的 4.)=子(90+85+95+90)=0（分），2=子(% 3 +82+88+92)=90(分). 名次 98×4+84×3+88×3 （2)5品=4×[(90-90)2+(85-0y2+(95-90)2+ (2)甲的平均成绩为： 4+3+3 90.8(分)，乙的平均成绩为：88×4+85×3+97×3 (90-90)1-空2=子×[(98-90)2+(82-90)2+( 4+3+3 -90)2+(92-90)2]=34.因为甲的方差小于乙的方差，所以 89.8(分). 选择甲参加比赛更合适， 因为90.8>89.8，所以甲排第一，乙排第二 20.4四分位数和箱线图 (3)答案不惟一，略 基础训练1.C:2.B:3.2 15.（1)频数分布表从上到下依次填人5,7,4.补图略. 4.四分位数如下表： (2)3600×20 5 =900(株). 最小值、四分位数和最大值 班级 答：该大棚每株西红柿上小西红柿的个数在36≤x<44 最小值 m50 m75最大值 的约有900株 八(1)班 166 167 168 170 171 16.(1)20万元，17万元，22万元. 八(2)班 164 165.5 169 170 171 (2)基本销售额应定为22万元.理由如下： 作箱线图如图所示： 5 初中数学·沪科八年级(AH) 第40.44期 身高/cm 均成绩为.91×6+82×4=87.4（分）. 172 6+4 171 170 因为88.2>87.4，所以甲将被录取 169 168 18.将这12个数据由小到大排序为：7.5,7.8,8.1,8.5， 167 166 8.6,8.8,8.8,9.0,9.1,9.3,9.5,9.6,所以m5=8.1+8.5= 2 165 164 163 83(分)，m=8888=88(分)，m5=9193= 2 2 八(1)班 八(2)班 9.2(分). 基于四分位数和箱线图，可以发现八(1)班身高的中位数 19.(1)①8,8,1.56 与八(2)班的相差不大，但八(1)班身高的波动明显比八(2) ②八年级竞赛成绩的众数为7分，方差为1.88，九年级竞 班的要小，故八(1)班选取的礼仪队队员的身高比八(2)班要 赛成绩的众数为8分，方差为1.56，所以九年级竞赛成绩的众 整齐 数较大，又因为两个年级竞赛成绩的平均数相同，九年级竞赛 20.5数据分组 成绩波动小，所以应该给九年级颁奖， 基础训练1.B;2.{2,4},{8,10,12}. (2)八年级的获奖率为：(10+7+11)÷50=56%；九年 3.将4个数据从小到大排序：15,15,18,24. 级的获奖率为：(14+13+6)÷50=66%. 把4个数据分成两组，共有3种情况： 因为66%>56%，所以九年级的获奖率高 (1)第一组1个数据{15}，组内离差平方和为0；第二组3 20.(1)a=6,b=4.7,c=4.75. 个数据15,18,24，平均数是15+18+24=19，组内离差平 (2)若选择众数4.7kg,估计这300箱大枣共损坏了：300 3 ×(5-4.7)=90(千克)： 方和为(15-19)2+(18-19)2+(24-19)2=42，故该分组 若选择平均数或中位数4.75kg,估计这300箱大枣共损坏 的组内离差平方和为0+42=42； 了：300×(5-4.75)=75（千克）. (2)第-组2个数据15,15，平均数是15+15=15，组 2 (3)若选择众数，10×5×300÷(300×5-90)≈ 10.64(元)，所以每千克至少定价10.7元才不亏本； 内离差平方和为0：第二组2个数据18,24，平均数是18+24 2 若选择平均数或中位数，10×5×300÷(300×5-75)≈ =21,组内离差平方和为(18-21)2+(24-21)2=18，故该分 10.53(元)，所以每千克至少定价10.6元才不亏本. 组的组内离差平方和为0+18=18； 21.(1)144.乙车间抽取的10名员工中4月份工资为5千 (3)第一组3个数据{15,15,18，平均数是15+15+18 元的有：10-5-2-1=2（名）.补图略. 3 (2)由扇形统计图，得甲车间员工工资为4千元、5千元，6 =16,组内离差平方和为(15-16)2+(15-16)2+(18-16)2 千元、7千元、8千元的员工分别有1名、2名、4名、2名、1名 =6:第二组1个数据{24}，组内离差平方和为0，故该分组的 1 所以甲车间员工的平均工资为：0×(4×1+5×2+6× 组内离差平方和为0+6=6. 4+7×2+8×1)=6(千元)， 因为6<18<42，所以第三种情况的组内离差平方和最 小，所以将竞赛成绩分成的两组是15,15,18}，24}. 方差为：0×[(4-6)2+2×(5-62+4×(6-62+ 第44期3,4版 2×(7-6)2+(8-6)2]=1.2. 题号123456789 10 因为1.2<7.6， 所以甲车间员工的工资收入比较稳定 二、11.24；12.丙；13.4.2元；14.4： (3)原来甲车间员工工资的中位数为：6十6=6（千元）。 2 15.号或4或号 1 因为甲车间员工工资低于6千元的有3名，不低于6千元 的有7名，新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数，所 三、16.(1)从小到大排列此数据为：5,6,7,7,8,8,8，数据 以n的最小值为：7-3=4. 8出现了三次，最多，为众数，7处在第4位，为中位数.所以该同 所以当这4名员工工资低于6千元，且是较高工资时，这4 学所得分数的众数与中位数分别为8分、7分 名员工的工资和取得最大值. (2)该同学所得分数的平均数为：号(5+6+7×2+8×3) 所以这4名员工的工资分别为4千元4千元、5千元 =7(分). 5千元 17.甲的平均成绩为：87×6+0×4=88.2（分），乙的平 所以这4名员工的工资和的最大值为：4+4+5+5= 6+4 18(千元) —6n 如 9 屎 型 9 S931L58-1SS0 36t1L0S-1/90 田 401X)X 9 × 9 () C+ 'SI'LID() (8L+ QY a'ys XS401X6.0)X )5 -01)X u 201-0X1- 1008-10 -(T11081 402X 8I+9IX LI (OI X OZ EI X 网()用 .c2)0 0 云 其 CX0:个早度量n S ② 品 18.(10分)某校举办校园歌手大赛，决赛中12名参赛选手的得 20.(12分)某地的大枣远近闻名，某果品店以10元/kg的成本 21.(12分)为了解甲，乙两个车间4月份工资收入情况，分别从 分（满分：10分）如下，求这组数据的四分位数m25,m0,ms: 价进了300箱大枣，每箱质量5kg,由于保存的问题可能要损耗一些 甲、乙两个车间随机抽取10名员工进行调查，并把调查结果制成不 9.5 8.1 7.88.5 8.89.1 7.5 9.6 8.68.89.39.0 大枣，出售前需要清除这些损坏的大枣，现随机抽取20箱，去掉损坏 完整扇形统计图（图7）和条形统计图（图8） 的大枣后称得每箱的质量（单位：kg)经整理数据后如下表； 甲车间4月份10名员工月 乙车间4月份10名员工月 工资收入情况扇形统计图 工资收入情况条形统计图 质量kg 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 9千干 个人数 数量 2 7千元09% 710 分析数据： 209% 5千元 209% 统计量平均数众数中位数 6千元 质量4.75 b c 2 月收入千元 图7 8 (1)直接写出表格中的a,b,c; (2)平均数、众数与中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根 (1)“6千元”所在扇形的圆心角是 °，请补充“5千元 据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这300 的条形统计图； 数理报， 箱大枣共损坏了多少千克？ (2)已知乙车间员工工资的平均数为6千元，方差为7.6，请你 釐 (3)根据(2)中的结果，求销售这批大枣每千克至少定价多少 计算甲车间员工工资的平均数和方差，并判断哪个车间员工的工资 19.(10分)为鼓励学生积极加入中国共青团组织，某学校团委 报 收入比较稳定； ·初中数学 在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制 元才不亏本（结果保留一位小数）· (3)从乙车间选取n名员工的工资，并与甲车间的工资组成一 ·初中 定了取整数的计分方式，满分0分，竞赛成绩如图6所示 组新数据，发现新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数.若n 16个人数 取最小值时，求这n名员工的工资和的最大值 数学 ·泸科 14 12 10A 八年级 -九年级 八年级（综合测评卷 10 分数 图6 平均数众数中位数方差 八年级8 7b1.88 九年级8a8c ·沪科八年级()综合测评卷 (1)请根据以上信息，回答下列问题， ①表中的a= ,b= c= ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角 度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请 通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 数理报社试题研究中心 (参考答案见《升级突破》15版) 数评极 2026年4月29日·星期三 初中数学 第 44期总第1188期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 入门同导 例析离差平方和与方差 Q本周主进 20.3数据的离散程度 ⊙四川 魏李一 20.4四分位数和箱线图 一、离差平方和 机床（填“甲”或“乙”） 20.5数据分组 例1数据100,101,99,98,102的离差平 1 解析：甲的平均数为：石×(3+0+0+2+ 学习目标：1.体会到画数据离散程度的意 方和是 义，并能借助计算器计算一组数据的离差平方 解析：.100+01+9+98+02=10,0+1)=1，方差为：右×[(3-1)°+3×(0 和、方差 5 2.会计算四分位数，了解四分位数与箱线 所以离差平方和=(100-100)2+(101-100)21)2+(2-1)2+(1-1)2门]=专乙的平均数 4 图的关系，感悟百分位数的意义 3经历数据分类的活动，知道按照“组内离 +(99-100)2+(98-100)2+(102-100)2=10. 差平方和达到最小”对数据进行分类的方法. 故填10. 为：石×(1+0+2+1+0+2)=1，方差为 1 点评：离差平方和是“总波动”，数据越多，总 和可能越大.比如10个数据的离差平方和，通常比 ×[2×(1-1)2+2×(0-1)2+2×(2-1)2] 心“热身练习 5个数据的大，因此不能直接用它对比不同个数数 = 3 据的波动大小，需进一步计算方差或标准差， 1.“强省会·劳动美”2025贵阳贵安职工篮 二、方差 因6号 ,子，所以忆机末的性能较稳定 球赛于7月19日晚正式落下帷幕，贵阳教育工 例2甲、乙两台机床生产同一种零件，并 会夺得机关组冠军.若比赛中六位队员得分（单 故填乙. 且每天的产量相等，在随机抽取的6天中，每天 位：分)分别为：7,7,8,8,9,9，则这六位队员得 点评：方差是用来衡量一组数据波动大小分的离差平方和为 生产零件中的次品数如下表： 的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越 A.1 B.2 C.4 D.8 甲300201 大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越 2.已知数据x1,x2,…,xn的平均数为m,方 102102 小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平 差为s2,则数据kx1+b,kx2+b,…,kxn+b的平 则甲、乙两台机床中，性能较稳定的是 均数越小，即波动越小，数据越稳定 均数为 一，方差为 十”十十…十”十十…十”十十…十“十十“十”十十…十”十…十…十”十十…十十”十”十 十++++++++++++++++++十+ 专题辅导： 综合分析精准选择 为8.25<8.55，所以该公司应该选择使用B人 工智能产品 例2情绪机器人是能够与人类互动提供 ® 情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产A,B O安徽李昕言 例1某公司计划从A,B两个人工智能产 (3)如果规定语言交互能力、分析能力、学 两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品 各进行了12轮情绪测试.测试结果（满分 品中选择一个使用.该公司对A,B两个人工智习能力按2：5：3的此例计算最终成绩，那么该 100分)如下： 能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 解析：(1)由折线统计图得，B产品语言交 A款：85,85,90,75,90,95,80,85,70,95,81,87 进行了测试（每项测试满分为10分，且均为整 B款：80,95,80,90,85,75,95,80,90,80,76,90 数)，每项能力均进行10次测试，取10次测试得互能力的测试成绩（单位：分）分别为：6,7,8,6， 请你利用四分位数、箱线图对这两款情绪 分的平均数作为该项的测试成绩.将A,B两个9,6,10,9,8,6，所以B产品语言交互能力测试成 人工智能产品的语言交互能力10次测试得分整 机器人的表现进行分析 理成如下折线统计图（图1），将A,B两个人工 绩的平均数为：6+7+8+6+9+6+10+ 解析：将A款情绪机器人的成绩按由小到大 智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理 9+8+6)=7.5(分).因为6有4个，出现次数 的顺序排列为：70,75,80,81,85,85,85,87,90,90 (分别取10次测试得分的平均数)成下表： 最多，所以B产品语言交互能力测试成绩的众95,95，第25百分位数为80.5，中位数为85，第 得分/分 数为6分.故填7.5分，6分. 75百分位数为90；将B款情绪机器人的成绩按由 10 (2)由题意得，A产品语言交互能力的测试小到大的顺序排列为：75,76,80,80,80,80,85， 成绩（单位：分）分别为：5,8,6,7,6,7,9,7,8,7， 90,90,90,95,95,第25百分位数为80，中位数为 所以A产品语言交互能力测试成绩的平均数 82.5,第75百分位数为90.画箱线图如图2： 为：05+8+6+7+6+7+9+7+8+7)- 7(分)，因为=6[(5-7)2+(8-7)2+… 12345678910次序 5950506 图1 A 人工智能产品分析能力 +0-7y31=12号=(6-7.5)2+(7- 学习能力 图2 A 8 9.5 7.5)2+…+(6-7.5)2]=2.05,所以s<品， 由四分位数和箱线图可知，A,B两款情绪 B 9 8.5 所以A产品的成绩更稳定 机器人测试结果的最大值和第75百分位数相 (1)B产品语言交互能力测试成绩的平均 (3)A产品的最终成绩为：07×2+8×5 等，中位数与第25百分位数相差不大，但A款情 数为 ,众数为 +9.5×3)=8.25(分)，B产品的最终成绩为： 绪机器人测试结果比B款测试结果波动大，故B (2)计算A,B两个产品语言交互能力测试 款情绪机器人的情绪价值比A款稳定，所以B款 成馈的方差，并说明哪个产品的成馈更稳定； 10(7.5×2+9×5+8.5×3)=8.55(分).因 情绪机器人的表现更优秀。 素养专练 成绩/分■一班口二班 160 dC跟踪训练 140A 120 100 GENZONGXUNLIAN 80 60 20.3数据的离散程度 40 20 垦础训练 A.一班成绩比二班成绩集中 1.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人射箭 B.一班成绩的第25百分位数是80分 10次，射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是 C.一班有同学的成绩超过140分 品=0.65,52=0.55,3=0.50,5子=0.45，则成 D.一班成绩的平均分高于二班成绩的平均分 绩最稳定的是 () 3.一组数据1,2,2，x,4,4的惟一的众数是2 A.丙 B.丁 C.甲 D.乙 则这组数据的第25百分位数是 2.已知一组数据的离差平方和=(x1-x)2+ 4.某校要从一个班级中选取12名同学组成 (x2-x)2+…+(x0-x)2=50,则这组数据的方 礼仪队，八(1)班和八(2)班选取的学生身高（单 位：cm)如下： 差2= 八(1)班：168,167,170,166,168,166,171， 3.人工智能(AI)的发展正在深刻地改变着 我们的生活方式、工作方式.在购买某电子产品 168,167,170,169,170; 八(2)班：164,165,169,170,165,171,170 时，小新对甲、乙两个品牌的电子产品的语音识别 170,169,167,166,171. 系统分别进行了10次准确度测试，并将测试得分 请你利用四分位数和箱线图分析两个班礼仪 (满分10分)进行了统计，如图所示，从语音识别 队队员的身高 系统准确度的稳定性角度考虑，小新应该选择 (填“甲”或“乙”)品牌的电子产品 得分份 士甲 …乙 10 8 6 4 2 0 1 2345678910次数 4.为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学 校组织了四次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较 为优秀，他们在四次测试中的成绩（单位：分）如 下表所示： 甲90859590 乙98828892 20.5数据分组 (1)分别求出甲、乙两名学生在四次测试中 + 的平均分； 垦础训练 (2)分别求出甲、乙两名学生测试成绩的方 1.关于“组内离差平方和最小”原则，下列说 差，从方差的角度判断选择谁参加此赛更合适 法正确的是 () A.只需让某一组的离差平方和最小即可 B.是所有组的组内离差平方和之和最小N C.分组后每组数据必须完全相同 D.与数据的集中程度无关 X 2.把数据2,8,10,4,12按照组内离差平方和 最小原则分成两组为 3.甲、乙、丙、丁四名学生的竞赛成绩（单位： 分)分别如下：15,18,15,24，按照“组内离差平方 和达到最小”的方法，将竞赛成绩分成两组 20.4四分位数和箱线图 垦础训练 1.数据40,40,20,18,16,16,14,12的第25百 分位数为 () A.13 B.13.5C.15D.15.5 2.已知一班和二班人数相等，在一次考试中 两班成绩（分）的箱线图如图所示，箱体中部的 数理报社试题研究中心 “×”表示平均值，则下列说法正确的是() (参考答案见《升级突破》15版) 8江 6 (2/)垫大提管虹叶重0227，祖用 1e.(uaDt:ip7Gt.27六/ 36t548冷有g00族 (3)%多不楼 S8X4+85X3+97X3 ++.+ 4+3+3 28X4+84X3+88XZ 田 K考14发石能 -89.8(2) 8+5+03 90+34+33 +81+95-80(3)、的分 话话：08(34704854734847947449！l -.e.a:oi0gtt7:12.5 想石根看2.1分 入7~7。。欧/世格效视用 3X1+5Y4)4(4+1+1+)-6988 十1t).7.风8量体价包：8X442X1+ 饮心型：(3X4+0X-+3XL+OX4H(4+ :中儿国能全：用内想设价型：(9X4+8X! A多727.2527.5。汉民接胶源用： 409200/1009 XS+9++) x(8+6+8 X(9+3+7+5 0.()基移以合街街)以L大秋众培入 5.D46547.6481459120 此机查2。c:3.8: (3)原放视各营说不增明卡压股有360) (23小区%。 6(1)200.70.0.12 2.B:2.D: :0 +6) 必 购买课外书的花费（单位：元）的众数和中位数分别是 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 《数据的初步分析》 综合测评卷 A.50,50 B.50,30 C.80,50 D.30,50 11.已知一组数据的离差平方和=(x1-6)2+(x3-6)2+(x 德10 ⑤59% 6)2+(x4-6)2,那么这组数据的总和为 ◆数理报社试题研究中心 12.科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，它们的开花时间数 (时间：90分钟 满分：120分) 109% 4 ①100元 据如下表，从这四种花中选个开花时间最短并且最平稳的是 总 209% ② 280 元 题 号 三 种类 250 350 ③ ④30 得 种类 乙 丙 分 409% 人 ⑤20元 平均数 2.1 2.5 2.1 3.0 图2 精心选一选 题号 6 910 方差1.051.05 0.850.82 6.某校在学生期末评优工作中，全面贯彻“五育并举”理念，以 13.某文具超市有A,B,C,D四种笔记本销售， 德智体美劳全面发展为核心标准，依据3：3：2：1：1的权重配比， 得分 答案 它们的单价分别是5元、4元、3元、6元，某天的笔记 对学生德、智、体、美、劳五个维度进行量化评分，综合评定学生的最 B25% C409% 本销售情况如图5所示，那么这天该文具超市销售 终成绩.小鱼同学本学期这五方面的得分情况如图3所示，则小鱼同 10% 的笔记本的单价的平均值是 学期末评优的最终得分是 )25 二、细心填一填 11 12 14.两组数据2，a,2b,4与a,4,b的平均数都是 A.9.1 B.9.2 C.9.3 D.9.4 数理报 5,若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据 13 7.某班同学为了解所住小区居民的用水情况，随机问卷调查了 4 的第50百分位数是 20户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示，关于这20户家庭该 数理报 初 15.已知五个正整数的中位数是4，惟一的众数是6，则这五个正 得分 月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是 初 整数的平均数是 月用水量/吨 3 456 中数学·沪科八年 三、耐心解一解（本大题共6小题，共60分》 户数 4 682 中数学 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 16.(8分)某同学参加了学校举行的“五好小公民·红旗飘飘” 1.班会课上，小明给大家分享“节约第一，合理消费”的主题故 A.平均数是5吨 B.中位数是5吨 演讲此赛，7名评委给该同学的打分（单位：分）情况如下表： 事，并调查了五名同学一周的零花钱使用情况，分别为30,35,30， C.众数是5吨 D.方差是1 评委评委1评委2评委3评委4评委5评委6 评委7 40,20(单位：元).这组数据的众数是 8.某果园丰收后，随机选取甲、乙两品每棵树的苹果个数 打分687857 8 A.20 B.30 C.35 D.40 种的苹果树各20棵，统计每棵树的苹果个90： -80 (1)直接写出该同学所得分数的众数与中位数； 级()综合测评卷 2.低碳出行已深人人心，嘉嘉 数并绘制成如图4所示的箱线图，下列说法80 (2)计算该同学所得分数的平均数. 某周连续5天使用交通工具碳排放 错误的是 60 量（单位：kg)数据统计如图1所示， A.甲品种的中位数略高 50 图1 45 B.甲品种的平均数略高 则这5天碳排放量的中位数为 八年级()综合测评卷 C.甲品种的产量波动相对较小 图 A.3 kg B.4 kg C.5 kg D.6 kg D.两品种的下四分位数相等 3.云南是中国咖啡种植规模最大的省份，近年来，云南持续推 9.嘉嘉进行了10次射击测试（单位：环），如果这10次射击成绩 动多元化咖啡消费场景，“咖啡+”经济也激发出了消费新活力.某 的平均数为8.6，方差为0.442，最后两次射击测试成绩分别为8.5， 咖啡店主理人统计了某段时间内云南小粒咖啡的四种口味一 甲 8.7,则嘉嘉前8次射击成绩的方差为 17.(8分)某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进 ( 乙、丙、丁的销售情况，如表所示： A.0.555 B.0.55 C.0.442 D.0.5275 行面试和笔试，他们的成绩（百分制，单位：分）如表所示.若公司将 口味 甲 乙丙丁 10.某创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和 面试成绩和笔试成绩按照6：4的比例确定，则甲、乙两人各自的综 销售量/盒156372241189 人数如下表： 合成绩是多少？准将被录取？ 根据表中数据，该咖啡店主理人决定增加乙种口味云南小粒咖 研发组 应聘者面试成绩笔试成绩 管理组 操作组 啡的进货数量，影响其决策的统计量是 ( ) 日工资/元 200 160 87 90 180 A.平均数 82 B.众数 C.中位数 91 D.方差 人数 4 5 4.小亮参加校园十佳歌手比赛，五个评委的评分分别是6,92， 现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前 95,88,2.去掉一个最高分，去掉一个最低分，他的平均得分是( 相比，下列说法中正确的有 A.91.6 B.92.6 C.93 D.92 ①平均日工资增大；②日工资的方差减小；③日工资的中位数 5.小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况 不变；④日工资的众数不变 并将结果绘制成了如图2所示的统计图.在这20位同学中，本学期 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个