第40期 19.3 菱形-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

素养·拓展 数理极 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 题型空间 菱形以特殊的对称 报纸发行质量反馈电话 动点问题求定解 美而受到人们的喜爱，在 0351-5271248 生产、生活中都有着广泛 眼 的应用.下面让我们一起 (上接4版参考答案 ◎四川叶笙禾 赏析它的应用吧！ 看世 16.AH的长为 动点问题是以几何知识和图形为背景，渗入=55.因为∠B0D=90°，BD=10,所以E0 例1如图1所示的 5 运动变化观点的一类问题解决动点问题，有利=5.所以0A的最小值为：0A=AE-0=55 木制活动衣帽架是由三 段 于发展同学们的思维，对提高同学们的解题能力 个全等的菱形构成，根据 17.(1)因为AB -5. 也大有益处这类问题是通过仔细观察图形，分 =AC,AD是△ABC 故填55-5. 实际需要可以调节AE之 析、归纳与探究图形的变化规律，抓住图形运动 间的距离.若AE之间的 的角平分线，所以 例2如图2，点P,Q分 变化中的不变量和变化规律求解的.现将与菱形 AD⊥BC,∠CAD= 别是菱形ABCD的AD,BC边 距离调节到60cm,菱形 有关的动点问题列举如下，供同学们参考 的边长AB=20cm,则 上的两个动点.若线段PQ长 ∠DAB的度数是( 2∠BAC.所以 例1如图1，在平行四 的最大值为85，最小值为 ∠ADC=90°.因为 边形ABCD中，AB=BC,BC 8,则菱形ABCD的边长为 图2 =10,∠BCD=60°，两顶点 AN为△ABC外角 ( ) B,D分别在平面直角坐标系 ∠CAM的平分线，所 A.46B.10C.12 D.16 以 ∠CAN 的y轴、x轴的正半轴上滑 分析：连接AC,过点A作AE⊥BC,交CB的 动，连接OA,则OA的最小值 ∠CAM. 所以 延长线于点E,由题意可知当点P与点A重合，点 A.90°B.100°C.120° D.150 是 分析：推断出OA的长最小时的情况，根据 Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=85,当 解：连接AE,如图1.因为AE之间的距离调 ∠DAE=∠CAD+ PO⊥BC时，PO有最小值，即直线AD与直线BC 节到60cm,木制活动衣帽架是由三个全等的 ∠CAN=90°.因为 “有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四 边形ABCD是菱形，运用菱形的性质以及等边三 之间的距离为8，由“平行线间的距离处处相等” 菱形构成，所以AC=20cm.因为四边形ABCD CE⊥AN, 所以 得AE=8,再由勾股定理即可求解。 是菱形，所以AB=BC=20cm,∠DAB= ∠AEC=90.所以 角形的性质可求出OA的长 2∠BAC.所以AC=AB=BC.所以△ABC是等 解：连接AC,过点A作AE⊥BC,交CB的延 四边形ADCE是矩 解：过点A作AE⊥BD于点E,连接OE,如 图1.当点A,0,E在同一条直线上时，04最短 长线于点E,如图2.因为四边形ABCD是菱形， 边三角形.所以∠BAC=60°.所以∠DAB= 形. 120°. 所以AB=BC.因为线段PQ长的最大值为8V5 (2)四边形 因为四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,所 故选C. 以四边形ABCD是菱形.因为BC=10,∠BCD最小值为8，所以AC=8,5,AE=8.根据勾股 ABDE是平行四边 例2蜜蜂采蜜时， 形.证明如下： =60°，所以AB=AD=10,∠BAD=60.所以定理，得CE=√AC2-AE=16.在Rt△AEB 蜜源很远它就会跳起“8 字舞”，告诉同伴蜜源的 由(1)知，四边 △ABD是等边三角形.所以BD=10.所以DE=中，AB=BE2+AE2,即BC2=(16-BC)2+ 2BD=5.根据勾股定理，得AB=√AD-DE 64.解得BC=10. 方向.如图2，两个全等 形ADCE是矩形.所 菱形的边长为1厘米，一只蜜蜂由A点开始按A 以AE=CD,AC= 故选B. 。十十”十十十”十十 →B→C→D→E→F→C→G→A的顺序 DE.又因为AB= 第39期2版参考答案 AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.又 沿菱形的边循环运动，飞行752厘米后停下，则 AC,BD=CD,所以 9.3矩形、菱形、正方形（矩形） 因为∠BAD=90°，所以四边形ABCD是矩形 这只蜜蜂停在 点 AB DE,AE BD. 19.3.1.1矩形的性质 能力提高6.4. 解：因为两个全等菱形的边长为1厘米，所 所以四边形ABDE 基础训练1.D;2.D;3.110 7.(1)因为AD∥BC,所以∠D+∠C= 以蜜蜂沿菱形的边飞行一个“8字舞”的路程 是平行四边形 4.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD180°.因为∠A=∠D=90°，所以∠C=∠A= 为：8×1=8（厘米）.因为752÷8=94，所以这 (3)DF∥AB ∥BC,∠B=90°.所以∠DAF=∠AEB.因为 ∠D=90°.所以四边形ABCD是矩形 只蜜蜂飞行752厘米后停下的点与飞行8厘米 DF⊥AE,所以∠AFD=90°=∠B.又因为DA (2)DF的长为 后停下的点相同.由图可知，飞行8厘米后停在 =AE,所以△DFA≌△ABE.所以DF=AB. A点.所以这只蜜蜂飞行752厘米后停在A点. 附加题(1) 第39期3版参考答案 (2)AD长为8. 故填A. 因为四边形ABCD 题号12345678 例3学校植物园沿路护栏的纹饰部分设 能力提高5.45 是矩形，所以∠A= 答案A C D CC D C B 计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图 6.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB ∠ADC=∠B=∠C 案，纹饰长度就增加dcm,如图3，已知每个菱形 ∥CD.所以∠BAC=∠FC0.由对顶角相等，得 二、9.35°； 10.45；1.6;12.7 =90°，AB=CD.由 图案的边长为10√3cm,其中一个内角为60°.若 ∠AOE=∠COF.又因为AE=CF,所以△AOE 折叠的性质，得AB 三、13.因为四边形ABCD是平行四边形，所 d=26,该纹饰要用231个菱形图案，则纹饰的 ≌△C0F.所以OE=OF =PD,∠A=∠P= 以BC=AD=8.因为AB=6,AC=10,所以 长度l= cm 90°，∠B=∠PDE (2)AB长为2√3 AC2=AB2+BC2.所以∠B=90°.所以平行四 =90°.所以PD= 19.3.1.2直角三角形斜边上的中线 边形ABCD是矩形. CD,∠PDF 基础训练1D2.C:3.C:4号 14.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD ∥BC.所以∠F=LBCE.因为E是AB的中点， ∠ADC,∠P=∠C. 图3 5.(1)EF的长为1 所以AE=EB.由对顶角相等，得∠AEF= 解：连接AC,BD交于点O,如图3.因为四 所以∠PDF (2)BC=AM+DM.理由略. ∠BEC.所以△AEF≌△BEC(AAS): 边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以BD ∠ADF=∠ADC 19.3.1.3矩形的判定 (2)CF长为8. 2B0,AC⊥BD,∠AB0=30°.所以∠AOB= ∠ADF,即∠PDE= 基础训练1.D;2.B; 15.(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 90e因为AB=105cm,所以40=4B= ∠CDF.所以△PDE 3.答案不惟一，如DE=FG；4.13. 所以AE∥BC.又因为CE∥BD,所以四边形 兰△CDF(ASA). 5.因为BE∥DF,所以∠DFC=∠AEB.所BCED是平行四边形.所以CE=BD.因为CE= 5√3cm.根据勾股定理，得B0=√AB2-AO 以180°-∠DFC=180°-∠AEB,即∠DFA=AC,所以AC=BD.所以四边形ABCD是矩形. =15cm.所以BD=30cm.所以l=30+26× 2)8c长为9 ∠BEC.因为DF=BE,AF=CE,所以△AFD≌ (2)四边形BCED的周长为16. (231-1)=6010(cm). (全文完) △CEB.所以∠DAC=∠BCA,AD=CB.所以 (下转1,4版中缝) 故填6010. 数评极 2026年4月1日·星期三 初中数学 第 40期总第1184期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 将两种特殊的四边 重点精讲 形融合为一体考查平行 师点 四边形及特殊平行四边 双形共 形的性质与判定，这是常 萎形性质的应用 见的一种题型.解决这类 山西 程彦英 问题的关键在于熟练掌 一、菱形的四条边都相等 C.3 D.5 握和运用各种特殊四边 例1如图1，在菱形 解：因为四边形ABCD为菱形，AC=6,BD 形的性质和判定，下面举ABCD中，E,F分别是AD 8, 例予以说明. BD的中点.若EF=5,则菱 例1如图1，矩形形ABCD的周长为( ) 所以AC1BD,0C=7AC=3,0B=2BD EFGH的顶点E,G分别在 A.20 B.30 =4.所以∠B0C=90° 菱形ABCD的AD,BC边 C.40 D.50 展风采 根据勾股定理，得BC=√OB+OC2=5. 上，顶点F,H在菱形 解：因为E,F分别是AD,BD的中点，EF= 因为H为BC的中点， ABCD的对角线BD上.求5，所以AB=2EF=10 证：BG=DE: 因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC= 所以0M=28c= CD =AD =10 故选B. 所以菱形ABCD的周长为：AB+BC+CD+ 三、菱形的每一条对角线平分一组对角 AD=40. 例3如图3，在菱形 故选C ABCD中，∠ACD=40°，则 二、菱形的对角线互相垂直 解：因为四边形EFGH是矩形，所以EH ∠ABC= 例2如图2，在菱形 FG,EH∥FG.所以∠GFH=∠EHF.所以1809 解：因为四边形ABCD ABCD中，对角线AC,BD相 -∠GFH=180°-∠EHF,即∠BFG=∠DHE. 是菱形，∠ACD=40°， 交于点O,H为BC的中点， 因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC.所以 AC=6,BD=8,则线段OH 所以AB∥CD,∠BCD ∠GBF = ∠EDH. 所以△BGF ≌ 的长为 =2∠ACD=80°.所以∠ABC=180° -∠BCD △DEH(AAS).所以BG=DE =100° 12 例2 如图2，四边形 A. 故填100 ABCD是矩形，G是对角线 BD的中点，连接GC并延长 专题辅导了 至点F,使得CF=GC,以 DC,CF为邻边作菱形 添加辅助线 解题方法现 DCFE,连接CE ◎湖南 李蔓 (1)判断四边形CEDG的形状，并证明你的 辅助线是在几何学中用来帮助解答疑难几 例2如图2，在菱形 结论； 何图形问题，在原图基础之上另外所作的具有ABCD中，∠ADC=120°，点 (2)连接DF,若BC=√5，求DF的长 极大价值的直线或者线段.通过添加适当的辅E关于∠A的平分线的对称 解：(1)四边形CEDG是菱形.证明如下： 助线，可以将条件中隐含的有关图形的性质充 点为F,点F关于∠B的平 因为四边形DCFE是菱形，所以CF=DE,分揭示出来，以便取得过渡性的推论，从而达到 分线的对称点为G,连接 图2 CF∥DE.因为CF=GC,所以DE=GC.所以四推导出结论的目的. EG.若AE=1,AB=4,则EG的长为 边形CEDG是平行四边形.因为四边形ABCD是 例1如图1，在菱形 解：连接EF,FG,过点B作BH⊥FG于点 矩形，G是对角线BD的中点，所以GB=GC=ABCD中，∠BAD=80°，AB的 GD.所以四边形CEDG是菱形 H,如图2.因为四边形ABCD是菱形，∠ADC= 垂直平分线交对角线AC于点 (2)因为四边形DCFE是菱形，所以CD= 120°，所以AB∥CD,∠ABC=120°.所以∠A= F,垂足为点E,连接DF,则 CF.因为CF=GC,所以GC=GD=CD=GB. 180°-∠ADC=60°.因为点E关于∠A的平分 ∠DFE的度数为 所以△CDG是等边三角形.所以∠CGD= A.150° 线的对称点为F,点F关于∠B的平分线的对称 B.1409 ∠GCD=60°.所以180°-∠CGD=180°- C.130° D.1209 点为G,所以AE=AF=1,BF=BG.所以 ∠GCD,即∠BGC=∠FCD.在△BGC和 解：连接BF,如图1.因为四边形ABCD是菱 △AEF是等边三角形，FH=GH,∠GFB= △FCD中，因为BG=FC,∠BGC=∠FCD,CG形，∠BAD=80°，所以∠BAC=∠DAC= 2(180-∠FBG)=30.所以EF=1,∠AFE =DC,所以△BGC≌△FCD(SAS).所以DF= )∠BADE40°，AB=AD.因为EF是线段AB的 BC =3. =60°.所以∠EFG=180°-∠AFE-∠GFB= 垂直平分线，所以AF=BF,∠AEF=90°.所以90.因为BF=AB-AF=3,所以BH=2BF 本周生进 ∠ABF=∠BAF=40°，∠AFE=50°.所以 ∠AFB=180°-∠BAF-∠ABF=100°.在 = 根据勾股定理，得FH=√BFP-B开= 3 19.3矩形、菱形、正方形（菱形） △ADF和△ABF中，AD=AB,∠DAF=∠BAF, 学习目标：掌握菱形的有关性质和判定方 AF=AF,所以△ADF兰△ABr(SAS).所以35所以FG=2FH=3厅.根据勾股定理，得 法，并能运用这些知识进行相关的证明和计算」 2 ∠AFD=∠AFB=100°.所以∠DFE=∠AFD 认知重点：了解菱形和平行四边形、矩形 +∠AFE=150°. EG=√JEF2+FG2=2万 的联系和区别」 故选A. 故填27 素养专练 数理极 7.如图6，在菱形ABCD中，延长BA到点E,使 4.如图3，点A,B的坐标分别为(0,2)，(2， 得AE=AB,连接DE 0),点C在y轴上，点D为平面内一点.若四边形 ='n 跟踪训练 (1)求证：△BDE为直角三角形； ACDB恰好构成一个菱形，请写出点D的坐标： GENZONGXUNLIAN (2)若DE=6cm,求0C的长. 19.3矩形、菱形、正方形（菱形） 5.如图4，在四边形ABCD中，AB=AD,BC= 19.3.2.1菱形的性质 DC,若AB∥CD,求证：四边形ABCD是菱形 屋础训练 1.已知四边形ABCD是菱形，其中AB= 4cm,则四边形ABCD的周长是 A.5 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm 2.如图1，菱形ABCD的对角线AC,BD交于 点O,M是AB边的中点，点P在BC边上，且BP= 8.如图7，四边形ABCD是菱形，AC,BD交于 BM,将点M平移到点P,则平移的距离为( 点O,DH⊥AB于点H. A.AB B.2 4B (1)若对角线AC=8cm,BD=6cm,求DH 的长； 6.如图5，在△ABC中，BA=BC,BD平分 D.BD (2)连接OH,求证：∠BOH=∠DAH. ∠ABC交AC于点D,点E在线段BD上，点F在BD C.AC 的延长线上，连接AE,CE,AF,CF,且AE∥CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若BF=BA,AD=4,DF=2,求BF的 长 图 3.如图2，已知菱形ABCD的对角线AC=5, BD=8,则菱形ABCD的面积为 4.如图3，在菱形ABCD 中，AC与BD相交于点O,AB的 垂直平分线EF交AC于点F 能刀提高 连接DF.若∠BAD=70°，则 9.如图8，在菱形ABCD中，AB= ∠DFO的度数为 图3 5,E,F分别在BC和AD上.若DF=1, 5.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 BE=3,且此时BF=DE,则BF的长为 交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延 长线于点E.求证：四边形ACDE是平行四边形 能刀提高 19.3.2.2菱形的判定 7.如图6，矩形ABCD中，AB=4,∠ADB= 基础训练 30°，一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每 秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另 1.如图1，以0为圆心，0A长为 一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位 半径画弧分别交0M,ON于A,B两 长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达 点，再分别以A,B为圆心，以OA长 终点时，另一个点也随之停止运动设点P,Q运动 为半径画弧，两弧交于点C,连接0 的时间为t秒(t>O).过点P作PE⊥BC于点E, AC,BC,则四边形OACB一定是 连接EQ,PQ. () (1)四边形PEQD能够成为菱形吗？如果能， A.平行四边形 B.菱形 求出相应的t值；如果不能，请说明理由. C.矩形 D.无法确定 (2)当t为何值时，△PQE为直角三角形？ 2.要判断一个四边形是否为菱形，可行的测 6.如图5，点P是菱形ABCD的对角线BD上 量方案是 ( 点，连接CP,AP.求证：AP=CP A.测量两组对边是否相等 B测量对角线是否垂直 C.测量对角线是否互相平分 D.测量对角线交点到四条边的距离是否相等 3.如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点 E,F分别是AB,AC边的中点，请你在△ABC中添 加一个条件： 使得四边形AEDF是菱 数理报社试题研究中心 图 (参考答案见下期) 数理极 小素养·测评 (1)求证：四边形AECD是菱形； 同步检 (2)若∠D=120°，CD=2,求△ABC的面 积 TONGBUJIANCE 【检测范围：19.3.2（菱形）】 、精心选一选（每小题4分，共32分） 30°，则∠BAD= 题号12345678 答案 1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是 A.对角线互相垂直 B.对边相等 图6 图7 10.如图7，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足 16.(12分)如图13，菱形ABCD的对角线AC, C.对角相等 D.对角线相等 为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形，应添加 BD交于点O,点E在线段OB上，点F在线段OD 2.在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是 上，且DF=BE,连接AE,AF,CE,CF ( 的条件是 (只需写出一个条件即可). (1)求证：四边形AECF是菱形； A.BC B.BA C.BD D.CD 11.如图8，在菱形ABCD中，对角线AC,BD的 (2)若AC=4,BD=8,BE=3,试判断 3.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 长度分别为16和12，且交于点0，则△AOB的面积 △ADE的形状，并说明理由. 交于点0，点E为CD的中点.若OE=3,则菱形 为」 ABCD的周长为 A.6 B.12 C.24 D.48 913 图8 12.如图9，CD是△ABC的角平分线，过点D 图1 图2 分别作AC,BC的平行线，交BC于点E,交AC于点 4.如图2，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC F.若∠ACB=60°，CD=43,则四边形CEDF的 =6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线 17.(14分)菱形ABCD中，∠B=60°，点E在 周长是 段EF.若四边形ECDF为菱形时，a的值为 BC边上，点F在CD边上. 三、耐心解一解（共52分） (1)如图14，若E是BC的中点，∠AEF=60°， 13.(8分)如图10，在菱形ABCD中，E为AB A.1 B.2 C.3 D.4 求证：F是CD的中点； 边上一点，过点E作EF∥BC,交BD于点M,交CD 5.如图3，在平面直角坐标系中， (2)如图15，若∠EAF=60°，∠BAE=20° 于点F.求证：CF=EM. 菱形ABCD的顶点D在x轴上，BC边 求∠FEC的度数 在y轴上.若点A的坐标是(12,13)， 则点C的坐标是 ( )o A.(0,-8) B.(0,-5) 图3 C.(-5,0) D.(0,-6) 6.下列是4位同学所画的菱形，依据所标数 据，不一定为菱形的是 2 2 0130 60202 2 130 2 2八2 A 心 0 7.如图4，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，BE ⊥AB,DF⊥CD,垂足分别为B,D.若AB=9cm, 14.(8分)如图11，点E,F分别在口ABCD的 附加题⊙ 则EF的长是 ( (以下试题供各地根据实际情况选用) A.2 cm B.6 cm )BC,CD边上，BE=DF,∠BMF=LDAE.求证：四 边形ABCD是菱形. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点 C.3.3 cm D.93 2 cm E在AB边上，点F在AD的延长线上，且点E与点 F关于直线CD对称，过点E作EG∥AF交CD于 图1 点G,连接FG,DE. (I)求证：四边形DEGF是菱形； (2)若AB=10,AF=BC=8,求四边形 图4 图5 DEGF的面积 8.如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为 AC边上的中线，过点C作CE1BD于点E,过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延 长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若CF=6,AC =AF+2,则四边形BDFG的周长为() A.9.5B.10C.12.5D.20 15.(10分)如图12，在四边形ABCD中，AB∥ 二、细心填一填（每小题4分，共16分） CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB的中点，连 数理报社试题研究中心 9.如图6，四边形ABCD是菱形，∠ACD=接CE. (参考答案见下期)初中数学·沪科八年级(AH)第40~44期 数理极 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 第40期2版 4.(2,22)或(2，-22) 19.3矩形、菱形、正方形（菱形） AB AD, 19.3.2.1菱形的性质 5.在△ABC和△ADC中，因为{AC=AC, 基础训练1.D;2.C;3.20;4.70°. BC DC, 5.因为四边形ABCD是菱形， 所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC. 所以AB∥CD,AC⊥BD. 因为AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA. 因为DE⊥BD, 所以∠DCA=∠DAC.所以AD=CD. 所以DE∥AC.所以四边形ACDE是平行四边形. 所以AB=CB=CD=AD.所以四边形ABCD是菱形. 6.因为四边形ABCD是菱形， 6.(1)因为AE∥CF, 所以AB=BC,∠ABP=∠CBP. 所以∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD. 又因为BP=BP,所以△ABP兰△CBP(SAS). 因为BA=BC,BD平分∠ABC, 所以AP=CP. 所以BD⊥AC,AD=CD. 7.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD. 所以△AED≌△CFD(AAS).所以AE=CF 所以∠ABD=∠ADB. 所以四边形AECF是平行四边形 因为AE=AB,所以AE=AD. 又因为BD⊥AC,所以四边形AECF是菱形. 所以∠E=∠ADE.所以2∠ADB+2∠ADE=180° (2)因为四边形AECF是菱形，所以DE=DF=2. 所以∠BDE=∠ADB+∠ADE=90° 在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2,即42+ 所以△BDE为直角三角形. (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,0B=OD. (2+BE)2=(4+BE)2.解得BE=1.所以BF=5. 能力提高7.(1)能. 因为4E=AB,所以0C=0A=7DE=3cm 因为四边形ABCD是矩形， 8.(1)因为四边形ABCD是菱形， 所以∠A=∠C=90°，AD∥BC. 所以AC1BD,0A=4C=4m,0B=8D=3em 所以∠PBE=∠ADB=30°，BC⊥CD. 根据题意，得BP=2t,DQ=t. 根据勾股定理，得AB=√OA2+OB=5cm. 因为PE L BC,所以PE∥CD,∠BEP=90. 因为装w=子C,BD=A裙，D明， 所以PE=B即=1=D0 所以DH=4C·BD-24 2AB 5 cm. 所以四边形PEQD是平行四边形. 因为AB=4,所以BD=8.所以DP=8-2. (2)因为四边形ABCD是菱形， 当DP=PE时，四边形PEQD为菱形.所以8-2t=t.解 所以OB=OD,∠DAH=2∠OAB.所以OH=OB. 所以∠OHB=∠OBH, 得1=号 所以∠BOH=180°-2∠OBH. (2)①当∠EPQ=90°时，四边形EPQC为矩形，所以PE 因为∠OAB=90°-∠OBH, =QC,所以t=4-t,解得t=2; 所以∠DAH=180°-2∠OBH. ②当∠PQE=90°时，由(1)，得PD∥EQ,所以∠DPQ= 所以∠BOH=∠DAH ∠PQE=90°，在Rt△DPQ中，∠PQD=30°，所以DQ=2DP, 能力提高9.√17. 19.3.2.2菱形的判定 所以1=28-2)，解得：=与 基础训练1.B;2.D;3.答案不惟一，如AB=AC; ③不存在∠PEQ=90°的情况. 初中数学·沪科八年级(AH)第40~44期 综上所述，当t=2或6时，△PQE为直角三角形. 17.(1)连接AC,图略. 5 因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=CD,AB∥CD. 第40期3版 因为∠B=60°，所以∠BCD=180°-∠B=120°，△ABC 题号12345678 是等边三角形. 因为E是BC的中点，所以AE⊥BC.所以∠AEC=90° 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD; 因为∠AEF=60°，所以∠FEC=∠AEC-∠AEF=30. 11.24;12.16. 所以∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=30°. 三、13.因为四边形ABCD是菱形， 所以∠FEC=∠CFE.所以EC=CF: 所以AB∥CD,∠ABD=∠CBD. 因为CE=2BC,所以CF=CD,即F是CD的中点 因为EF∥BC,所以四边形BCFE是平行四边形，∠EMB (2)连接AC,图略.由(1)，得△ABC是等边三角形 =∠CBD. 所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=60° 所以BE=CF,∠ABD=∠EMB. 所以∠ACF=∠BCD-∠ACB=60°=∠B. 所以BE=EM.所以CF=EM. 因为∠EAF=60°，所以∠BAC-∠EAC=∠EAF- 14.因为∠BAF=∠DAE,所以∠BAF-∠EAF=∠DAE ∠EAC,即∠BAE=∠CAF.所以△ABE兰△ACF(ASA). -∠EAF,即∠BAE=∠DAF 所以AE=AF.所以△AEF是等边三角形.所以∠AEF= 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B=∠D. 60° 又因为BE=DF,所以△ABE≌△ADF(AAS). 因为∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE,所以∠FEC=20° 所以AB=AD.所以四边形ABCD是菱形. 附加题(1)因为点E与点F关于直线CD对称， 15.(1)因为点E为AB的中点，所以AB=2AE=2BE. 所以FD=ED,FG=EG,∠EDG=∠FDG. 因为AB=2CD,所以CD=AE. 因为EG∥AF,所以∠EGD=∠FDG. 因为AE∥CD,所以四边形AECD是平行四边形. 所以∠EGD=∠EDG.所以EG=ED. 因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠EAC 所以FD=ED=FG=EG.所以四边形DEGF是菱形. 因为AB∥CD,所以∠DCA=∠CAB. (2)连接FC,EC,图略 所以∠DAC=∠DCA.所以AD=CD. 因为∠A=∠B=90°，所以∠A+∠B=180°.所以AF∥ 所以四边形AECD是菱形. CB (2)因为四边形AECD是菱形，∠D=120°，CD=2, 因为AF=BC=8,所以四边形ABCF是平行四边形.所以 所以AB=4,CE=AE=2,∠AEC=∠D=120° CF AB 10. 所以CE=BE,∠CEB=180°-∠AEC=60. 所以∠ACE=∠CAE=30°，△CEB是等边三角形. 根据轴对称的性质，得CE=CF=10. 所以BC=2,∠ECB=60° 根据勾股定理，得BE=√CE-BC=6.所以AE=AB 所以∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°. -BE=4. 根据勾股定理，得AC=√AB2-BC=25. 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+AD=DE2,即42 +(8-DF)2=DF2.解得DF=5. 1 所以Sac=2AC·BC=25, 所以S四边形DEGF=DF·AE=20. 16.(1)因为四边形ABCD是菱形 第41期2版 所以OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. 19.3矩形、菱形、正方形（正方形） 因为DF=BE,所以OB-BE=OD-DF,即OE=OF. 19.3.3.1正方形的性质 所以四边形AECF是平行四边形. 基础训练1.C;2.C;3.115 又因为AC⊥EF,所以四边形AECF是菱形 4.因为四边形ABCD是正方形， (2)△ADE是直角三角形.理由如下： 所以AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=90°. 因为AC=4,BD=8,所以OA=2,0B=0D=4. 因为AE=AF, 因为BE=3,所以OE=OB-BE=1,DE=BD-BE= 所以AB-AE=AD-AF,即BE=DF 5. 所以△BCE≌△DCF(SAS). 因为AC⊥BD,所以∠AOE=∠AOD=90°. 所以CE=CF 根据勾股定理，得AE2=0A2+0E2=5,AD2=0A2+0D 因为点M是EF的中点，所以CM⊥EF =20. 5.(1)因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以AD= 所以AE+AD2=DE.所以△ADE是直角三角形. CD=1,∠D=90°，AD∥BC.所以∠DAE=∠F. 一2 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 因为AE平分∠CAD,所以∠CAE=∠DAE.所以∠CAE= 因为AC∥DE,所以四边形ACED是平行四边形. ∠F 所以AD=CE.所以BC=CE. 根据勾股定理，得CF=AC=√AD+CD=√2 (2)因为四边形ACED是平行四边形，所以CD=2CF. (2)过点E作EG⊥AC于点G,图略. 因为AD=2CF,所以AD=CD.所以四边形ABCD是菱形 所以∠EGA=∠EGC=90°. 因为AD∥EC,所以∠DAF=∠FEB. 因为AE平分∠CAD,所以ED=EG. 因为∠DAF=∠FBE,所以∠FBE=∠FEB.所以FB= 因为AE=AE,所以Rt△ADE≌Rt△AGE(HL). FE. 所以AD=AG=1.所以CG=AC-AG=√2-1. 因为BC=CE,所以FC⊥BE.所以∠BCF=90°.所以四 因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD=45°. 边形ABCD是正方形 所以∠CEG=90°-∠GCE=45°. 第41期3版 所以EG=CG=万-1. 题号 1234567 8 由勾股定理，得CE=EG+CG=2-2 答案B BBDBDDC 能力提高6.42. 7.连接BF,图略.根据题意，得∠EAF=90°，∠AFE= 二、9.6；10.答案不惟一，如AC=BD;11.15√2； ∠AEF=45°，AF=AE=4. 12.8. 根据勾股定理，得EF2=AF2+AE2=32. 三、13.∠EDA的度数是22.5°. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,∠DAB=90° 14.因为四边形ABCD是矩形， 所以∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF,即∠EAD= 所以∠B=∠DAB=∠BAF+∠DAF=90°， ∠FAB. 因为AF⊥DE,所以∠AGD=90°. 所以△ADE≌△ABF(SAS). 所以∠ADE+∠DAF=90.所以∠BAF=∠ADE. 所以DE=BF=2,∠AED=∠AFB=45. 因为AF=DE,所以△ABF≌△DAE(AAS). 所以∠BFE=∠AFB+∠AFE=90°. 所以AB=DA.所以四边形ABCD是正方形. 根据勾股定理，得BE=√EF2+BF产=6. 15.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAE=∠BCF 19.3.3.2正方形的判定 =45°，AD=BC. 基础训练1.A;2.D;3.不一定 因为AE=CF,所以△ADE≌△CBF(SAS) 4.因为四边形ABCD是矩形，OA=1,所以OB=1. (2)因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AC⊥ 因为AB=√2，所以OA2+OB2=AB BD,0A =OB OC OD. 所以∠AOB=90°.所以AC⊥BD 因为AB=AD=4,所以BD=√AB2+AD=42=AC 所以四边形ABCD是正方形. 所以0A=0B=22. 5.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90° 因为AE=CF=√2，所以OE=OA-AE=OC-CF=OF 因为BE⊥EF,所以∠BEF=90°. =万.所以四边形BEDF为菱形，DE=OD2+OE=√0. 因为∠ABE+∠CEF=45°，所以∠CEB+∠CBE= 所以四边形BEDF的周长为：4DE=4√10. ∠BEF-∠CEF+∠ABC-∠ABE=18O°-（∠ABE+∠CEF) =135°.所以∠BCE=180°-（∠CEB+∠CBE)=45°. 16.(1)因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，所以AB =BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°，GC=CE= 所以∠BAC=90°-∠BCE=45°. EF=FG,∠E=∠CGF=90°.所以∠ADH=180°-∠ADC= 所以AB=BC.所以四边形ABCD是正方形 90°，∠HGF=180°-∠CGF=90°. 6.(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD. 因为DH=CE=BK,所以HG=KE=AB.所以△ADH≌ 因为AB=CB,BD=BD,所以△ABD≌△CBD(SAS). △ABK≌△KEF≌△HGF(SAS).所以AH=AK=KF=HF, 所以∠ADB=∠CDB. (2)因为PM∥CD,PN∥AD, ∠DAH=∠BAK所以四边形AKFH是菱形，∠KAH=∠DAH+ ∠KAD=∠BAK+∠KAD=∠BAD=90°.所以四边形AKFH 所以四边形MPWD是平行四边形，∠MPD=∠NDP 所以∠MPD=∠MDP.所以PM=DM.所以四边形 是正方形 MPWD是菱形. (2)连接AE,图略.因为四边形AKFH的面积为10，所以 所以当MN=PD时，四边形MPND是正方形. KF=√10.因为CE=1,所以BK=EF=1. 7.(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 根据勾股定理，得KE=√KFP-EF产=3. 所以AD∥BC,AD=BC. 所以AB=KE=3,BE=BK+KE=4.所以点A,E之间 一3 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 的距离为：AE=√AB2+BE=5. AC.所以四边形ADCB是菱形 17.(1)因为四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形， 19.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AD=CD,∠DAE= 所以∠D=∠A=90°，HE=GH.因为AH=DG,所以Rt△AHE ∠DCF.因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以∠AED=∠CFD=90°. ≌Rt△DGH(HL).所以∠AEH=∠DHG. 所以△ADE≌△CDF(AAS). 因为∠AIE+∠AEH=90°，所以∠AHE+∠DHG=90° (2)因为△ADE≌△CDF,所以AE=CF因为四边形 所以∠EHG=90°.所以四边形EFGH为正方形， ABCD是菱形，所以AB=BC.所以∠MAE=∠NCF.又因为 (2)因为AD=6,DC=7,DG=AH=2,所以DH=AD- ∠AEM=∠CFN=90°，所以△AME≌△CNF(ASA).所以AM AH =4.CG DC-DG 5. CN. 由勾股定理，得HG=√DG+D=25, 20.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠D=90°， AB=CD.因为AD=2AB,点M是AD的中点，所以AB=AM= 因为四边形EFGH是正方形，所以FG=25,∠EFG= DM=CD.所以∠AMB=∠DMC=45°.所以∠BMC=180° 90°.所以∠CFG=180°-∠EFG=90° -∠AMB-∠DMC=90°.因为PE⊥MC,PF⊥BM,所以 由勾股定理，得CF=√CG-FG=√5 ∠PEM=∠PFM=90°.所以四边形PEMF为矩形 附加题(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC= (2)当点P为BC的中点时，矩形PEMF变为正方形.理由 90°.所以∠EBG=180°-∠ABC=90°.所以平行四边形 如下： BEFG是矩形 在△ABM和△DCM中，因为AB=DC,∠A=∠D,AM= (2)90.理由如下： DM,所以△ABM≌△DCM(SAS).所以BM=CM. 延长GP交DC于点H,图略.因为正方形ABCD和平行四边 因为点P为BC的中点，所以点P在∠BMC的平分线上.所 形BEFG,所以AB∥DC,BE∥GF,DC=BC.所以DC∥GF 以PE=PF.所以矩形PEMF为正方形 所以∠HDP=∠GFP,∠DHP=∠FGP. 21.问题解决：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠DAB 因为P是线段DF的中点，所以DP=FP.所以△DHP≌ =∠ABF=90. △FGP(AAS).所以HP=GP,DH=FG. 所以∠BAF+∠DAG=90. 当∠CPG=90°时，PG⊥PC.所以CH=CG.所以DC- 因为DE⊥AF,所以∠AGD=90°.所以∠ADE+∠DAG= CH=BC-CG,即DH=BG.所以BG=FG.所以平行四边形 90°.所以∠ADE=∠BAF. BEFG是菱形. 因为DE=AF,所以△ADE≌△BAF(AAS).所以AD= 由(1)知四边形BEFG是矩形.所以四边形BEFG是正方 BA.因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD是正方形. 形 (2)△AHF是等腰三角形.理由如下： 第42期综合测评卷 因为△ADE兰△BAF,所以AE=BF.因为BH=AE,所以 题号123456789 10 BH=BF.因为∠ABF=90°，所以AB⊥HF.所以AH=AF,即 D △AHF是等腰三角形. 二、11.20；12.答案不惟，如AC=BD;13.30°： 类比迁移：延长CB到点H,使BH=AE,连接AH,图略. 14.45°；15.22或/10或2 因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC,AB=AD.所以 ∠ABH=∠DAE. 三、16.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C, 在△DAE和△ABH中，因为AE=BH,∠DAE=∠ABH, AB CD.AD BC. AD=BA,所以△DAE≌△ABH(SAS).所以AH=DE,∠H= 又因为∠ADE=∠CBF,所以△ADE≌△CBF(ASA).所 ∠DEA=60° 以AE=CF.所以AB-AE=CD-CF,即BE=DF 17.因为CE L BA,BF⊥CA,所以∠BEC=∠CFB=90°. 因为DE=AF,所以AH=AF.所以△AHF是等边三角形 所以AH=HF.所以DE=HF=BH+BF=9. 因为M是BC的中点，所以EM=BC=BM,M=BC 第43期2版 =CM.所以∠BEM=∠ABC,∠CFM=∠ACB.所以∠CME= 20.1数据的频数分布 ∠BEM+∠ABC=56°，∠BMF=∠CFM+∠ACB=96°.所以 基础训练1.A;2.B；3.D;4.0.25;5.12. ∠EMF=180°-∠CME-∠BMF=28° 6.(1)200.70,0.12 18.四边形ADCB是菱形.理由如下： (2)补图略 因为AB∥CD,所以∠BAO=∠DCO. (3)2000×(0.08+0.2)=560(人). 又因为OA=OC,∠AOB=∠COD,所以△AOB≌ 答：该校安全意识不强的学生约有560人. △COD.所以AB=CD.所以四边形ADCB是平行四边形. 20.2数据的集中趋势 因为四边形ODEC是矩形，所以∠COD=90°.所以BD⊥ 基础训练1.A;2.C;3.B;4.D;5.D;6.5; 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 7.6:8.14:9.120. 本组数据的平均数、众数、中位数这三个量作为基本销售 10.(1)表格从左到右、从上到下依次填人90分、90分、 额都具有合理性，其中中位数22万元最大，选择中位数作为基 100分 本销售额对公司最有利，付出成本最低；对员工来说，这只是个 (2)八年级2班的竞赛成绩更优秀.理由如下： 中等水平，可以接受.所以基本销售额应定为22万元 因为八年级1班和八年级2班竞赛成绩的中位数相同，但 17.(1)C等级的同学有5人，成绩（单位：分）分别为77， 从平均数和众数两方面来分析，2班比1班的成绩好，所以八年 73,72,79,78.所以3月份体育测试成绩为C等级的同学的平均 级2班的竞赛成绩更优秀. 成绩为：5×(7+7乃+72+79+78)=75.8（分）. 1.(1)甲的最终得分是：4×(9+8+7+5)=725；乙 (2)由表中数据可知，30名同学中，A等级的有10人，B等 的最终得分是：子×(8+6+8+6)=7：丙的最终得分是：子 级的有11人，C等级的有5人，D等级的有4人.所以强化训练 ×(8+9+8+5)=7.5.因为7<7.25<7.5，所以丙将被录 后该班同学平均成绩所提高的分数为：0×(0.9×10+5×山 用 +10×5+15×4)=5.8(分). (2)学历、经验、能力和态度四项得分按4：1：1：4的比例 附加题(1)当n≥16时，y=16×(10-5)=80;当0 确定.甲的最终得分是：(9×4+8×1+7×1+5×4)÷(4+ ≤n<16时，y=10n-16×5=10m-80. 1+1+4)=7.1;乙的最终得分是：(8×4+6×1+8×1+6 所以当日的利润y关于当日需求量n的函数表达式为y= ×4)÷(4+1+1+4)=7:丙的最终得分是：(8×4+9×1+ r10n-80(0≤n<16), 8×1+5×4)÷(4+1+1+4)=6.9.因为6.9<7<7.1， l80(n≥16). 所以甲将被录用. (2)①17,15 能力提高12.146. ②应购进17枝.理由如下： 第43期3版 平均日需求量为：100×(14×10+15×20+16×16+17 一、 题号123456 78 ×16+18×15+19×13+20×10)=16.85(枝). 答案CABD DCDA 若购进16枝，由(1)知盈利80元； 二、9.白色；10.10.9元；11.17；12.5. 若购进17枝，则盈利为：10×17-80=90（元）. 、1 三、13.这10名学生所在家庭平均月使用塑料袋：10×(65 因为80<90，所以应购进17枝 +70+85+75+85+79+74+91+81+95)=80(只).中位 第44期2版 数是80只，众数是85只. 20.3数据的离散程度 14.(1)甲的平均成绩为：98+84+88=90（分），乙的平 基础训练1.B;2.5;3.乙 3 均成绩为：88+85+97=90（分），所以不能以此确定两人的 4.)=子(90+85+95+90)=0（分），2=子(% 3 +82+88+92)=90(分). 名次 98×4+84×3+88×3 （2)5品=4×[(90-90)2+(85-0y2+(95-90)2+ (2)甲的平均成绩为： 4+3+3 90.8(分)，乙的平均成绩为：88×4+85×3+97×3 (90-90)1-空2=子×[(98-90)2+(82-90)2+( 4+3+3 -90)2+(92-90)2]=34.因为甲的方差小于乙的方差，所以 89.8(分). 选择甲参加比赛更合适， 因为90.8>89.8，所以甲排第一，乙排第二 20.4四分位数和箱线图 (3)答案不惟一，略 基础训练1.C:2.B:3.2 15.（1)频数分布表从上到下依次填人5,7,4.补图略. 4.四分位数如下表： (2)3600×20 5 =900(株). 最小值、四分位数和最大值 班级 答：该大棚每株西红柿上小西红柿的个数在36≤x<44 最小值 m50 m75最大值 的约有900株 八(1)班 166 167 168 170 171 16.(1)20万元，17万元，22万元. 八(2)班 164 165.5 169 170 171 (2)基本销售额应定为22万元.理由如下： 作箱线图如图所示： 5 初中数学·沪科八年级(AH) 第40.44期 身高/cm 均成绩为.91×6+82×4=87.4（分）. 172 6+4 171 170 因为88.2>87.4，所以甲将被录取 169 168 18.将这12个数据由小到大排序为：7.5,7.8,8.1,8.5， 167 166 8.6,8.8,8.8,9.0,9.1,9.3,9.5,9.6,所以m5=8.1+8.5= 2 165 164 163 83(分)，m=8888=88(分)，m5=9193= 2 2 八(1)班 八(2)班 9.2(分). 基于四分位数和箱线图，可以发现八(1)班身高的中位数 19.(1)①8,8,1.56 与八(2)班的相差不大，但八(1)班身高的波动明显比八(2) ②八年级竞赛成绩的众数为7分，方差为1.88，九年级竞 班的要小，故八(1)班选取的礼仪队队员的身高比八(2)班要 赛成绩的众数为8分，方差为1.56，所以九年级竞赛成绩的众 整齐 数较大，又因为两个年级竞赛成绩的平均数相同，九年级竞赛 20.5数据分组 成绩波动小，所以应该给九年级颁奖， 基础训练1.B;2.{2,4},{8,10,12}. (2)八年级的获奖率为：(10+7+11)÷50=56%；九年 3.将4个数据从小到大排序：15,15,18,24. 级的获奖率为：(14+13+6)÷50=66%. 把4个数据分成两组，共有3种情况： 因为66%>56%，所以九年级的获奖率高 (1)第一组1个数据{15}，组内离差平方和为0；第二组3 20.(1)a=6,b=4.7,c=4.75. 个数据15,18,24，平均数是15+18+24=19，组内离差平 (2)若选择众数4.7kg,估计这300箱大枣共损坏了：300 3 ×(5-4.7)=90(千克)： 方和为(15-19)2+(18-19)2+(24-19)2=42，故该分组 若选择平均数或中位数4.75kg,估计这300箱大枣共损坏 的组内离差平方和为0+42=42； 了：300×(5-4.75)=75（千克）. (2)第-组2个数据15,15，平均数是15+15=15，组 2 (3)若选择众数，10×5×300÷(300×5-90)≈ 10.64(元)，所以每千克至少定价10.7元才不亏本； 内离差平方和为0：第二组2个数据18,24，平均数是18+24 2 若选择平均数或中位数，10×5×300÷(300×5-75)≈ =21,组内离差平方和为(18-21)2+(24-21)2=18，故该分 10.53(元)，所以每千克至少定价10.6元才不亏本. 组的组内离差平方和为0+18=18； 21.(1)144.乙车间抽取的10名员工中4月份工资为5千 (3)第一组3个数据{15,15,18，平均数是15+15+18 元的有：10-5-2-1=2（名）.补图略. 3 (2)由扇形统计图，得甲车间员工工资为4千元、5千元，6 =16,组内离差平方和为(15-16)2+(15-16)2+(18-16)2 千元、7千元、8千元的员工分别有1名、2名、4名、2名、1名 =6:第二组1个数据{24}，组内离差平方和为0，故该分组的 1 所以甲车间员工的平均工资为：0×(4×1+5×2+6× 组内离差平方和为0+6=6. 4+7×2+8×1)=6(千元)， 因为6<18<42，所以第三种情况的组内离差平方和最 小，所以将竞赛成绩分成的两组是15,15,18}，24}. 方差为：0×[(4-6)2+2×(5-62+4×(6-62+ 第44期3,4版 2×(7-6)2+(8-6)2]=1.2. 题号123456789 10 因为1.2<7.6， 所以甲车间员工的工资收入比较稳定 二、11.24；12.丙；13.4.2元；14.4： (3)原来甲车间员工工资的中位数为：6十6=6（千元）。 2 15.号或4或号 1 因为甲车间员工工资低于6千元的有3名，不低于6千元 的有7名，新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数，所 三、16.(1)从小到大排列此数据为：5,6,7,7,8,8,8，数据 以n的最小值为：7-3=4. 8出现了三次，最多，为众数，7处在第4位，为中位数.所以该同 所以当这4名员工工资低于6千元，且是较高工资时，这4 学所得分数的众数与中位数分别为8分、7分 名员工的工资和取得最大值. (2)该同学所得分数的平均数为：号(5+6+7×2+8×3) 所以这4名员工的工资分别为4千元4千元、5千元 =7(分). 5千元 17.甲的平均成绩为：87×6+0×4=88.2（分），乙的平 所以这4名员工的工资和的最大值为：4+4+5+5= 6+4 18(千元) —6