第41期 19.3 正方形-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

素养拓展 数理招 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 名师点睛： 米米 第40期2版参考答案 报纸发行质量反馈电话 关注中点四边形 19.3矩形、菱形、正方形（菱形） 0351-5271248 19.3.2.1菱形的性质 (上接4版参考答案 安徽 谢怀薇 基础训练1.D;2.C;3.20;4.70° 14.略 中点四边形是指顺次连接四边形各边中点 线，所以EF∥AC,FG∥BD.因为AC⊥BD,所 5.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥ 15.(1)略。 所得的四边形，其形状与原四边形的两条对角以EF⊥FG.所以∠EFG=90°.所以四边形 CD,AC⊥BD.因为DE⊥BD,所以DE∥AC.所 (2)△ABC的面 线有着十分密切的关系，现就几种情况归纳如EFGH是矩形. 以四边形ACDE是平行四边形 积为25. 三、对角线相等的四边形的中点四边形是 6.因为四边形ABCD是菱形，所以AB= 16.(1)因为四 一、任意一个四边形的中点四边形是平行 菱形 边形ABCD是菱形， 四边形 例3如图3，E,F,G,H BC,∠ABP=∠CBP.又因为BP=BP,所以 例1如图1，E,F,G,H 分别是四边形ABCD各边的 △ABP兰△CBP(SAS).所以AP=CP. 所以0A=0C,0B 分别是四边形ABCD各边的 7.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AB =OD,AC⊥BD.因 中点，且对角线AC=BD.求 中点.求证：四边形EFGH是 证：四边形EFGH是菱形 =AD.所以∠ABD=∠ADB.因为AE=AB,所 为DF=BE,所以 OB-BE OD- 平行四边形 证明：因为EF,GH分别 以AE=AD.所以∠E=∠ADE.所以2∠ADB 证明：连接BD,如图1. 是△ABC,△ACD的中位线， DF,即OE=OF所 +2∠ADE=180°.所以∠BDE=∠ADB+ 因为F,G分别是BC,CD的中 以四边形AECF是 ∠ADE=90°.所以△BDE为直角三角形 点，所以FG∥BD,FG= BD.同理EH∥BD, 所以EF=GH=AC.同理HE=FG=2BD, 平行四边形.又因为 因为AC=BD,所以EF=FG=GH=HE.所 (2)0C长为3cm. AC⊥EF,所以四边 EH=)BD.所以FG∥EH,且FG=EH.所以四 四边形EFGH是菱形， 四、对角线互相垂直且相等的四边形的中 8(①)DM长为 形AECF是菱形. cm (2)△ADE是 边形EFGH是平行四边形. 点四边形是正方形 (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OB= 直角三角形.理由 二、对角线互相垂直的四边形的中点四边 例4如图4，E,F,G,H OD,∠DAH=2∠OAB.所以OH=OB.所以 略 形是矩形 分别是四边形ABCD各边的 ∠OHB=∠OBH.所以∠BOH=180° 17.(1)连接 例2 如图2，E,F,G,H 中点，对角线AC=BD且AC 2∠OBH.因为∠0AB=90°-∠0BH,所以 AC,图略.因为四边 分别是四边形ABCD各边的 ⊥BD.求证：四边形EFGH是 ∠DAH=180°-2∠OBH.所以∠BOH= 形ABCD是菱形，所 中点，且对角线AC⊥BD.求 正方形 以AB=BC=CD ∠DAH. 证：四边形EFGH是矩形 证明：由例2的结论可知 AB∥CD.因为∠B 证明：由例1的结论，得 四边形EFGH是矩形.因为 能力提高9.√7. =60°，所以∠BCD 四边形EFGH是平行四边 AC=BD,由例3的结论可知四边形EFGH是菱 19.3.2.2菱形的判定 =180°-∠B= 形.因为EF,FG分别是△ABC,△BCD的中位 形.所以四边形EFGH是正方形. 基础训练1.B;2.D; 120°，△ABC是等边 3.答案不惟一，如AB=AC; 三角形.因为E是 题型间 BC的中点，所以AE 4.(2,22)或(2，-22) 正形题型 面面观 ⊥BC.所以∠AEC 5.在△ABC和△ADC中， 因为 =90°.因为∠AEF AB AD. =60°，所以∠FEC ○河南 侯瑞欣 AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS).所以 =∠AEC-∠AEF 正方形因其特殊的性质，考题形式多种多 EA FD BC =DC. =30°.所以∠CFE 样，掌握每类题型的解题策略可以快速巧妙地解 △ADF中，因为∠BAE=∠ADF,所以△BAE≌ ∠BAC=∠DAC.因为AB∥CD,所以∠BAC= =180°-∠FEC 决问题.现列举几例加以说明，供同学们参考 AB DA, ∠DCA.所以∠DCA=∠DAC.所以AD=CD. ∠ECF=30°.所以 一、开放型 △ADF(SAS).所以BE=AF,∠ABE=∠DAF所 所以AB=CB=CD=AD.所以四边形ABCD ∠FEC=∠CFE.所 例1如图1，四边形 以∠ABE+∠BAF=90°.所以BE⊥AF 是菱形 以EC=CF.因为 ABCD是平行四边形，AC与 三、规律型 6.(1)因为AE∥CF,所以∠EAD= CE 2BC,所以 BD相交于点O,AB=AD,添 例3如图3，四边形 加一个条件】 0AMB,是边长为1的正方 ∠FCD,∠AED=∠CFD.因为BA=BC,BD平 ,可使 形，以对角线OA,为边作第 分∠ABC,所以BD⊥AC,AD=CD.所以 CF=CD,即F是 ABCD成为正方形. 解：添加条件∠BAD=90°.证明如下： 二个正方形OAA,B,,连接 △AED兰△CFD(AAS).所以AE=CF.所以四 CD的中点. 因为四边形ABCD是平行四边形，AB= A42,得到△AM4;再以对 边形AECF是平行四边形.又因为BD⊥AC,所 (2)∠FEC 20° AD,所以四边形ABCD是菱形.因为∠BAD= 角线OA2为边作第三个正方 以四边形AECF是菱形. 形0AA,B,连接AA3,得到△AA,A3,再以对角 附加题 (1) 90°，所以四边形ABCD是正方形.故填答案不惟 线0A为边作第四个正方形OAA,B4,连接 (2)BF长为2. ,如∠BAD=90 因为点E与点F关 二、探究型 A,A4,得到△AA,A4,…,设△AA,A2,△AA,A 能力提高 7.(1)能.t= 3 于直线CD对称，所 △A2A3A4…的面积分别为S1,S2,S3,…,如此 以FD=ED,FG= 例2如图2，在正方形 下去，则S6的值为 ( ABCD的外侧，作两个等腰三角 (2)当：=2或号时，△PQE为直角三角形 EG,∠EDG 形ADE和DCF.若EA=ED A. B.284 C.24+2 ∠FDG.因为EG∥ D.43 第40期3版参考答案 AF,所以∠EGD= FD=FC,试判断BE和AF的关 解：因为四边形OA4,B1是边长为1的正方 题号12345678 ∠FDG.所以∠EGD 系，并给予证明 形，所以∠0AA1=90°.所以0A2=12+12=2, 答案A CC BBB C D =∠EDG.所以EG 解：BE=AF,BE⊥AF.证 S,=子×1×1=2因为四边形0AM,B,是正 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD; =ED.所以FD = 明如下： 11.24:12.16. ED=FG=EG.所 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CD=方形，所以∠OA42=90°，0A,=A1A2·所以 以四边形DEGF是 AD,∠BAD=∠CDA=90°.在△EAD和△FDC0A=20A?=4.因为四边形OA,A,B,是正方 三、13.因为四边形ABCD是菱形，所以AB 菱形 EA FD. ∥CD,∠ABD=∠CBD.因为EF∥BC,所以四 中，因为D=c.所以△E4D≌△C(ssS.形，所以04.=4A,=2所以S.=×2×1 (2)四边形 边形BCFE是平行四边形，∠EMB=∠CBD, DEGF的面积为20. ED FC. =1,S=7×2×2=2根据规律可得S, 所以BE=CF,∠ABD=∠EMB.所以BE= 所以∠EAD=∠FDC.所以∠BAD+LEAD= (全文完) EM.所以CF=EM. ∠CDA+∠FDC,即∠BAE=∠ADF在△BAE和22.所以S6=24.故选B. (下转1,4版中缝) 数评极 2026年4月8日·星期三 初中数学 第 41期总第1185期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/F) 品味方溢 招式二、菱形+对角线相等=正方形 判定正方形两招式 例2 如图2，在菱 形ABCD中，对角线 ◎重庆 熊知龙 AC,BD相交于点O,点 正方形既是矩形，又是菱形.判定一个四边 所以∠MEN-∠FEN=∠DEF-∠FEN, E,F在对角线BD上，且 形是正方形，通常有两种途径：先证明它是矩即∠FEM=∠DEN. BE=DF,OE=OA.求 形，再证明它是菱形；先证明它是菱形，再证明 在△DEN和△FEM中， 因为证：四边形AECF是正方形， 它是矩形.现举例说明两种证明思路 ∠END=∠EMF, 证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC1 招式一、矩形+一组邻边相等=正方形 EN EM 所以 △DEN ≌ BD,OA =OC,OB OD. 例1如图1，已知四 L∠DEN=∠FEM 边形ABCD是正方形，AB= 因为BE=DF,所以OB-BE=OD-DF, △FEM(ASA). 42,点E为对角线AC上 所以ED=EE 即0E=0F 动点，连接DE,过点E作 所以矩形DEFG是正方形 所以四边形AECF是菱形 EF⊥DE,交射线BC于点 (2)因为四边形ABCD和四边形DEFG都 因为OE=OA,所以EF=20E=2OA= F,以DE,EF为邻边作矩形 是正方形，所以AD=CD=AB=42,DE AC DEFG,连接CG.求证： DG,∠ADC=∠EDG=90° 所以菱形AECF是正方形 (1)矩形DEFG是正方形； 所以∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC: (2)CE+CG=8. 即∠ADE=∠CDG 证明：(1)过点E分别作EM⊥BC于点M, 在△ADE和△CDG中， EN⊥CD于点N,如图1. 因 为 本周庄进 AD =CD. 19.3矩形、菱形、正方形正方形) 所以∠EMF=∠END=∠ENC=90 ∠ADE=∠CDG,所 以 △ADE ≌ 学习目标：1.掌握正方形的有关性质和判定 因为点E是正方形ABCD对角线上的点， 所以∠ACB=∠ACD,∠BCD=90. DE DG, 方法. 2会运用正方形的性质和判定方法进行相关 所以EM=EN,∠MEN=360°-∠EMF- △CDG(SAS) 所以AE=CG. 的证明和计算 ∠ENC-∠BCD=90°. 所以CE+CG= 认知重点：1.了解正方形与矩形、菱形的联系 因为四边形DEFG是矩形， CE AC 和区别. 所以∠DEF=90° AD+CD =8. 2.能综合运用四边形的相关知识解题. 十”十十十”十十十”十十十”十十十”十十”十十 专题辅导了 所以EF=AG 袖对称的性质来支招 因为小敏共走了3100m, 所以小聪行走的路程为：BA+AD+DE+ EF=BA+AD+GE+AG=3100+1500= 。陕西武彩霞 4600(m). 在解决有关正方形的问题中，常常结合轴边形ABCD为正方形，点G在 故选B 对称的性质来解题，下面列举几例加以说明，供对角线BD上，GE1CD,GF 二、运用轴对称的性质解题 同学们参考： 1BC,AD=1500m,小敏行 例3如图3，在正方形 一、运用正方形关于对角线对称解题 走的路线为B→A→G→E, ABCD中，AB=5,点E是BC边 例1如图1，F是正方形 小聪行走的路线为B→A→D 上一动点（点E不与B,C重 →E→F.若小敏行走的路程 ABCD对角线BD上一点，连接 合)，连接AE,作点B关于直线 为3100m,则小聪行走的路 AF,CF,并延长CF交AD于点 AE的对称点F,则线段CF的最 程为 ( 图3 E.若∠AFC=140°，则∠DEC 小值为 A.3100m B.4600m 的度数为 ()B B.52-5 C.3000m D.3600m A.80 B.75° 解：连接GC,如图2. C.70° D.65° 0.53 因为四边形ABCD为正方形， 解：因为四边形ABCD是正方形， 所以∠BCD=90°，∠EDG=45, 解：连接AC,AF,如图3 所以∠A0F=号∠ADC=45 因为GE⊥DC, 因为四边形ABCD为正方形，AB=5,所以 所以∠GED=∠GEC=90°. BC=5,∠ABC=90°. 因为正方形ABCD关于对角线BD对称， 所以∠DGE=90°-∠EDG=45°， 根据勾股定理，得AC=√AB2+BC2= 所以∠BFC=3∠AFC=70 所以DE=GE. 5. 因为正方形ABCD关于对角线BD对称， 因为点B,F关于直线AE对称，所以AF= 由对顶角相等，得∠DFE=∠BFC=70° 所以AG=CG. AB=5. 所以∠DEC=180°-∠DFE-∠EDF= 因为GF⊥BC, 当点F在AC上时，CF最小N 65 所以∠GFC=90°， 所以线段CF的最小值为：AC-AF=52 故选D. 所以四边形GECF是矩形 例2如图2为某城市部分街道示意图，四 所以EF=CG. 故选B 2 素养专练 数理极 能刀提高 5.如图4，已知四边形ABCD是矩形，点E在 跟踪训练 对角线AC上，点F在CD边上（点F与点C,D不 6.如图5，在Rt△AB0 重合)，BE1EF,且∠ABE+∠CEF=45°.求证： GENZONGXUNLIAN 中，∠C=90°，BC=4,AC 四边形ABCD是正方形 19.3矩形、菱形、正方形（正方形） + =8,点D为AC边上一个动 19.3.3.1正方形的性质 点（不与A,C重合），以BD 为边在BD的上方作正方形 垦础训练 BDEF.当AE⊥AC时，BD的 图5 1.下列说法正确的是 长为 A.菱形的四个内角都是直角 7.如图6，等腰Rt△AEF的斜边EF过正方形 B.矩形的对角线互相垂直 ABCD的顶点D.若AE=4,DE=2,求BE的长. C.正方形的每一条对角线平分一组对角 D.平行四边形是轴对称图形 2.如图1，正方形OABC的顶点O,B在数轴上 对应的数分别是0,4，则顶点A,C之间的距离是 ( ) A.1 B.2 C.4 D.无法确定 6.如图5，在四边形ABCD中，AB=BC,对角 线BD平分∠ABC,P是BD上一点，过点P分别作 (0 B 19.3.3.2正方形的判定 PM∥CD交AD于点M,PN∥AD交CD于点N. (1)求证：∠ADB=∠CDB; 垦础训练 (2)连接MN,当MN与PD满足什么条件时， 图1 图2 3.如图2，在平行四边形ABCD与正方形 1.下列说法正确的是 四边形MPND是正方形？ AEFG中，点E在BC上.若∠BAE=38°，∠CEF A.正方形既是矩形，又是菱形 =13°，则∠C= B.有一个内角是直角的四边形是矩形 4.如图3，在正方形ABCD中，E,F分别为AB C.两条对角线互相垂直平分的四边形是正 AD上的点，且AE=AF,点M是EF的中点，连接 方形 CM,CF,CE.求证：CM⊥EF D.对角线互相垂直的四边形是菱形 D 2.如图1，点E,F,P,Q分别是正方形ABCD 的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE,则下 列结论不一定正确的是 A.∠AFP=∠BPO 图3 B.EF∥QP C.四边形EFPQ是正方形 D.四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积 的一半 7.如图6，四边形ABCD是平行四边形，连接 对角线AC,过点D作DE∥AC与BC的延长线交 于点E,连接AE交DC于点F 5.如图4，在边长为1的正方形ABCD中， (1)求证：BC=CE: 图1 图2 ∠CAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于 (2)连接BF,若∠DAF=∠FBE,且AD= 3.李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾（如 点F 2CF,求证：四边形ABCD是正方形 图2)，非常想买，但她拿起来看时感觉丝巾不太 (1)求CF的长： 方.商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起 (2)求CE的长 一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐.李燕还 有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验.李 燕终于买下这块丝巾，则这块丝巾 是正 方形（填“一定”或“不一定”） 4.如图3，矩形ABCD的边AB=√2，对角线 AC与BD相交于点O,OA=1.求证：四边形ABCD 是正方形 数理报社试题研究中心 (参考答案见43期) 数理极 素养·测评 5 15.(10分)如图13，在正方形ABCD中，对角 同步检测 线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两 点，且AE=CF,连接DE,DF,BE,BF (1)求证：△ADE兰△CBF; TONGBUJIANCE (2)若AB=4,AE=√2，求四边形BEDF的周 【检测范围：19.3.3（正方形）】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 等.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出 题号12345678 答案 A.正方形纸片的面积B.四边形EFGH的面积 C.△BEF的面积D.△AEH的面积 1.下列说法中，是正方形具有而矩形不具有 的性质是 二、细心填一填（每小题4分，共16分） A.两组对边分别平行 B.对角线互相垂直 9.如图7，点E在正方形ABCD的CD边上.若 C.四个角都为直角 D.对角线互相平分 △ABE的面积为3，则线段BC的长为 2.若正方形的对角线长为2cm,则这个正方 形的面积为 ( 16.(12分)如图14，已知四边形ABCD和 A.4 cm2 B.2 cm2 CEFG都是正方形，点K在BC上，延长CD到点H, C.2 cm2 D.2.cm2 使DH=BK=CE,连接AK,KF,HF,AH. 3.如图1，正方形ABCD的对角线AC,BD交于 图7 (1)求证：四边形AKFH是正方形； 点O,E,F分别为AO,AD的中点，则∠AFE的度数 10.如图8，平行四边形ABCD的对角线互相垂 (2)若四边形AKFH的面积为10，CE=1,求 是 直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件 点A,E之间的距离 是 A.30° (只需添加一个即可) B.45° C.50° D.60° 11.如图9，小明用四根长度相同的木条制作 了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成 图9-①的菱形，测得∠A=120°，接着将该活动 学具调成图9-②的正方形，测得正方形的对角线 AC=30cm,则图9-①中对角线AC的长为 图14 cm. 图1 图2 4.如图2，AC=√2cm,小红进行了如下操作： 分别以点A,C为圆心，1cm的长为半径作弧，两弧 17.（12分)如图15，在矩形ABCD中，AD=6, 分别相交于点B,D,依次连接A,B,C,D,则四边形 DC=7,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩 ABCD的形状是 ( 形ABCD的AB,CD,DA边上，E,F,C在一条直线 A.平行四边形 B.菱形 图g 10 上，AH=2,DG=2. C.矩形 D.正方形 12.如图10，正方形ABCD的边长为4，分别以 (1)求证：四边形EFGH为正方形： 5.如图3,0为正方形ABCD对角线AC的中正方形的三边为直径在正方形的内部作半圆，则 (2)求CF的长 点，△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度阴影部分的面积等于 为 ( 三、耐心解一解（共52分） 6 B.√6 C.2√2 D.23 13.(8分)如图11，正方形ABCD中，在BA的 延长线上取一点E,使BE=BD,连接DE,求 ∠EDA的度数 图3 附加题⊙ 6.如图4，用四块同样大小的正方形纸片，围 图11 (以下试题供各地根据实际情况选用) 出一个菱形ABCD,一个小孩顺次在这四块纸片上 如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG 轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个 中，点A,B,E在同一条直线上，P是线段DF的中 小孩走的路线所围成的图形是 ( 点，连接PG,PC. A.平行四边形 B.矩形 (1)求证：四边形BEFG是矩形； C.菱形 D.正方形 14.(10分)如图12，在矩形ABCD中，点E,F (2)当PG与PC的夹角为 度时，四边 7.如图5，点E为正方形ABCD外一点，且ED分别在AB,BC边上，AF⊥DE,且AF=DE,AF与 形BEFG是正方形，请说明理由， =CD,连接AE,交BD于点F.若∠CDE=42°，则DE相交于点G.求证：矩形ABCD是正方形 ∠BFC的度数为 ( A.72° B.71° C.70° D.69° 图5 图6 8.将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正 方形纸片按如图6所示方式不重叠地放置在矩形 数理报社试题研究中心 ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相 (参考答案见43期)初中数学·沪科八年级(AH)第40~44期 数理极 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 第40期2版 4.(2,22)或(2，-22) 19.3矩形、菱形、正方形（菱形） AB AD, 19.3.2.1菱形的性质 5.在△ABC和△ADC中，因为{AC=AC, 基础训练1.D;2.C;3.20;4.70°. BC DC, 5.因为四边形ABCD是菱形， 所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC. 所以AB∥CD,AC⊥BD. 因为AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA. 因为DE⊥BD, 所以∠DCA=∠DAC.所以AD=CD. 所以DE∥AC.所以四边形ACDE是平行四边形. 所以AB=CB=CD=AD.所以四边形ABCD是菱形. 6.因为四边形ABCD是菱形， 6.(1)因为AE∥CF, 所以AB=BC,∠ABP=∠CBP. 所以∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD. 又因为BP=BP,所以△ABP兰△CBP(SAS). 因为BA=BC,BD平分∠ABC, 所以AP=CP. 所以BD⊥AC,AD=CD. 7.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD. 所以△AED≌△CFD(AAS).所以AE=CF 所以∠ABD=∠ADB. 所以四边形AECF是平行四边形 因为AE=AB,所以AE=AD. 又因为BD⊥AC,所以四边形AECF是菱形. 所以∠E=∠ADE.所以2∠ADB+2∠ADE=180° (2)因为四边形AECF是菱形，所以DE=DF=2. 所以∠BDE=∠ADB+∠ADE=90° 在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2,即42+ 所以△BDE为直角三角形. (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,0B=OD. (2+BE)2=(4+BE)2.解得BE=1.所以BF=5. 能力提高7.(1)能. 因为4E=AB,所以0C=0A=7DE=3cm 因为四边形ABCD是矩形， 8.(1)因为四边形ABCD是菱形， 所以∠A=∠C=90°，AD∥BC. 所以AC1BD,0A=4C=4m,0B=8D=3em 所以∠PBE=∠ADB=30°，BC⊥CD. 根据题意，得BP=2t,DQ=t. 根据勾股定理，得AB=√OA2+OB=5cm. 因为PE L BC,所以PE∥CD,∠BEP=90. 因为装w=子C,BD=A裙，D明， 所以PE=B即=1=D0 所以DH=4C·BD-24 2AB 5 cm. 所以四边形PEQD是平行四边形. 因为AB=4,所以BD=8.所以DP=8-2. (2)因为四边形ABCD是菱形， 当DP=PE时，四边形PEQD为菱形.所以8-2t=t.解 所以OB=OD,∠DAH=2∠OAB.所以OH=OB. 所以∠OHB=∠OBH, 得1=号 所以∠BOH=180°-2∠OBH. (2)①当∠EPQ=90°时，四边形EPQC为矩形，所以PE 因为∠OAB=90°-∠OBH, =QC,所以t=4-t,解得t=2; 所以∠DAH=180°-2∠OBH. ②当∠PQE=90°时，由(1)，得PD∥EQ,所以∠DPQ= 所以∠BOH=∠DAH ∠PQE=90°，在Rt△DPQ中，∠PQD=30°，所以DQ=2DP, 能力提高9.√17. 19.3.2.2菱形的判定 所以1=28-2)，解得：=与 基础训练1.B;2.D;3.答案不惟一，如AB=AC; ③不存在∠PEQ=90°的情况. 初中数学·沪科八年级(AH)第40~44期 综上所述，当t=2或6时，△PQE为直角三角形. 17.(1)连接AC,图略. 5 因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=CD,AB∥CD. 第40期3版 因为∠B=60°，所以∠BCD=180°-∠B=120°，△ABC 题号12345678 是等边三角形. 因为E是BC的中点，所以AE⊥BC.所以∠AEC=90° 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD; 因为∠AEF=60°，所以∠FEC=∠AEC-∠AEF=30. 11.24;12.16. 所以∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=30°. 三、13.因为四边形ABCD是菱形， 所以∠FEC=∠CFE.所以EC=CF: 所以AB∥CD,∠ABD=∠CBD. 因为CE=2BC,所以CF=CD,即F是CD的中点 因为EF∥BC,所以四边形BCFE是平行四边形，∠EMB (2)连接AC,图略.由(1)，得△ABC是等边三角形 =∠CBD. 所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=60° 所以BE=CF,∠ABD=∠EMB. 所以∠ACF=∠BCD-∠ACB=60°=∠B. 所以BE=EM.所以CF=EM. 因为∠EAF=60°，所以∠BAC-∠EAC=∠EAF- 14.因为∠BAF=∠DAE,所以∠BAF-∠EAF=∠DAE ∠EAC,即∠BAE=∠CAF.所以△ABE兰△ACF(ASA). -∠EAF,即∠BAE=∠DAF 所以AE=AF.所以△AEF是等边三角形.所以∠AEF= 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B=∠D. 60° 又因为BE=DF,所以△ABE≌△ADF(AAS). 因为∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE,所以∠FEC=20° 所以AB=AD.所以四边形ABCD是菱形. 附加题(1)因为点E与点F关于直线CD对称， 15.(1)因为点E为AB的中点，所以AB=2AE=2BE. 所以FD=ED,FG=EG,∠EDG=∠FDG. 因为AB=2CD,所以CD=AE. 因为EG∥AF,所以∠EGD=∠FDG. 因为AE∥CD,所以四边形AECD是平行四边形. 所以∠EGD=∠EDG.所以EG=ED. 因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠EAC 所以FD=ED=FG=EG.所以四边形DEGF是菱形. 因为AB∥CD,所以∠DCA=∠CAB. (2)连接FC,EC,图略 所以∠DAC=∠DCA.所以AD=CD. 因为∠A=∠B=90°，所以∠A+∠B=180°.所以AF∥ 所以四边形AECD是菱形. CB (2)因为四边形AECD是菱形，∠D=120°，CD=2, 因为AF=BC=8,所以四边形ABCF是平行四边形.所以 所以AB=4,CE=AE=2,∠AEC=∠D=120° CF AB 10. 所以CE=BE,∠CEB=180°-∠AEC=60. 所以∠ACE=∠CAE=30°，△CEB是等边三角形. 根据轴对称的性质，得CE=CF=10. 所以BC=2,∠ECB=60° 根据勾股定理，得BE=√CE-BC=6.所以AE=AB 所以∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°. -BE=4. 根据勾股定理，得AC=√AB2-BC=25. 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+AD=DE2,即42 +(8-DF)2=DF2.解得DF=5. 1 所以Sac=2AC·BC=25, 所以S四边形DEGF=DF·AE=20. 16.(1)因为四边形ABCD是菱形 第41期2版 所以OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. 19.3矩形、菱形、正方形（正方形） 因为DF=BE,所以OB-BE=OD-DF,即OE=OF. 19.3.3.1正方形的性质 所以四边形AECF是平行四边形. 基础训练1.C;2.C;3.115 又因为AC⊥EF,所以四边形AECF是菱形 4.因为四边形ABCD是正方形， (2)△ADE是直角三角形.理由如下： 所以AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=90°. 因为AC=4,BD=8,所以OA=2,0B=0D=4. 因为AE=AF, 因为BE=3,所以OE=OB-BE=1,DE=BD-BE= 所以AB-AE=AD-AF,即BE=DF 5. 所以△BCE≌△DCF(SAS). 因为AC⊥BD,所以∠AOE=∠AOD=90°. 所以CE=CF 根据勾股定理，得AE2=0A2+0E2=5,AD2=0A2+0D 因为点M是EF的中点，所以CM⊥EF =20. 5.(1)因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以AD= 所以AE+AD2=DE.所以△ADE是直角三角形. CD=1,∠D=90°，AD∥BC.所以∠DAE=∠F. 一2 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 因为AE平分∠CAD,所以∠CAE=∠DAE.所以∠CAE= 因为AC∥DE,所以四边形ACED是平行四边形. ∠F 所以AD=CE.所以BC=CE. 根据勾股定理，得CF=AC=√AD+CD=√2 (2)因为四边形ACED是平行四边形，所以CD=2CF. (2)过点E作EG⊥AC于点G,图略. 因为AD=2CF,所以AD=CD.所以四边形ABCD是菱形 所以∠EGA=∠EGC=90°. 因为AD∥EC,所以∠DAF=∠FEB. 因为AE平分∠CAD,所以ED=EG. 因为∠DAF=∠FBE,所以∠FBE=∠FEB.所以FB= 因为AE=AE,所以Rt△ADE≌Rt△AGE(HL). FE. 所以AD=AG=1.所以CG=AC-AG=√2-1. 因为BC=CE,所以FC⊥BE.所以∠BCF=90°.所以四 因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD=45°. 边形ABCD是正方形 所以∠CEG=90°-∠GCE=45°. 第41期3版 所以EG=CG=万-1. 题号 1234567 8 由勾股定理，得CE=EG+CG=2-2 答案B BBDBDDC 能力提高6.42. 7.连接BF,图略.根据题意，得∠EAF=90°，∠AFE= 二、9.6；10.答案不惟一，如AC=BD;11.15√2； ∠AEF=45°，AF=AE=4. 12.8. 根据勾股定理，得EF2=AF2+AE2=32. 三、13.∠EDA的度数是22.5°. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,∠DAB=90° 14.因为四边形ABCD是矩形， 所以∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF,即∠EAD= 所以∠B=∠DAB=∠BAF+∠DAF=90°， ∠FAB. 因为AF⊥DE,所以∠AGD=90°. 所以△ADE≌△ABF(SAS). 所以∠ADE+∠DAF=90.所以∠BAF=∠ADE. 所以DE=BF=2,∠AED=∠AFB=45. 因为AF=DE,所以△ABF≌△DAE(AAS). 所以∠BFE=∠AFB+∠AFE=90°. 所以AB=DA.所以四边形ABCD是正方形. 根据勾股定理，得BE=√EF2+BF产=6. 15.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAE=∠BCF 19.3.3.2正方形的判定 =45°，AD=BC. 基础训练1.A;2.D;3.不一定 因为AE=CF,所以△ADE≌△CBF(SAS) 4.因为四边形ABCD是矩形，OA=1,所以OB=1. (2)因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AC⊥ 因为AB=√2，所以OA2+OB2=AB BD,0A =OB OC OD. 所以∠AOB=90°.所以AC⊥BD 因为AB=AD=4,所以BD=√AB2+AD=42=AC 所以四边形ABCD是正方形. 所以0A=0B=22. 5.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90° 因为AE=CF=√2，所以OE=OA-AE=OC-CF=OF 因为BE⊥EF,所以∠BEF=90°. =万.所以四边形BEDF为菱形，DE=OD2+OE=√0. 因为∠ABE+∠CEF=45°，所以∠CEB+∠CBE= 所以四边形BEDF的周长为：4DE=4√10. ∠BEF-∠CEF+∠ABC-∠ABE=18O°-（∠ABE+∠CEF) =135°.所以∠BCE=180°-（∠CEB+∠CBE)=45°. 16.(1)因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，所以AB =BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°，GC=CE= 所以∠BAC=90°-∠BCE=45°. EF=FG,∠E=∠CGF=90°.所以∠ADH=180°-∠ADC= 所以AB=BC.所以四边形ABCD是正方形 90°，∠HGF=180°-∠CGF=90°. 6.(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD. 因为DH=CE=BK,所以HG=KE=AB.所以△ADH≌ 因为AB=CB,BD=BD,所以△ABD≌△CBD(SAS). △ABK≌△KEF≌△HGF(SAS).所以AH=AK=KF=HF, 所以∠ADB=∠CDB. (2)因为PM∥CD,PN∥AD, ∠DAH=∠BAK所以四边形AKFH是菱形，∠KAH=∠DAH+ ∠KAD=∠BAK+∠KAD=∠BAD=90°.所以四边形AKFH 所以四边形MPWD是平行四边形，∠MPD=∠NDP 所以∠MPD=∠MDP.所以PM=DM.所以四边形 是正方形 MPWD是菱形. (2)连接AE,图略.因为四边形AKFH的面积为10，所以 所以当MN=PD时，四边形MPND是正方形. KF=√10.因为CE=1,所以BK=EF=1. 7.(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 根据勾股定理，得KE=√KFP-EF产=3. 所以AD∥BC,AD=BC. 所以AB=KE=3,BE=BK+KE=4.所以点A,E之间 一3 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 的距离为：AE=√AB2+BE=5. AC.所以四边形ADCB是菱形 17.(1)因为四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形， 19.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AD=CD,∠DAE= 所以∠D=∠A=90°，HE=GH.因为AH=DG,所以Rt△AHE ∠DCF.因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以∠AED=∠CFD=90°. ≌Rt△DGH(HL).所以∠AEH=∠DHG. 所以△ADE≌△CDF(AAS). 因为∠AIE+∠AEH=90°，所以∠AHE+∠DHG=90° (2)因为△ADE≌△CDF,所以AE=CF因为四边形 所以∠EHG=90°.所以四边形EFGH为正方形， ABCD是菱形，所以AB=BC.所以∠MAE=∠NCF.又因为 (2)因为AD=6,DC=7,DG=AH=2,所以DH=AD- ∠AEM=∠CFN=90°，所以△AME≌△CNF(ASA).所以AM AH =4.CG DC-DG 5. CN. 由勾股定理，得HG=√DG+D=25, 20.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠D=90°， AB=CD.因为AD=2AB,点M是AD的中点，所以AB=AM= 因为四边形EFGH是正方形，所以FG=25,∠EFG= DM=CD.所以∠AMB=∠DMC=45°.所以∠BMC=180° 90°.所以∠CFG=180°-∠EFG=90° -∠AMB-∠DMC=90°.因为PE⊥MC,PF⊥BM,所以 由勾股定理，得CF=√CG-FG=√5 ∠PEM=∠PFM=90°.所以四边形PEMF为矩形 附加题(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC= (2)当点P为BC的中点时，矩形PEMF变为正方形.理由 90°.所以∠EBG=180°-∠ABC=90°.所以平行四边形 如下： BEFG是矩形 在△ABM和△DCM中，因为AB=DC,∠A=∠D,AM= (2)90.理由如下： DM,所以△ABM≌△DCM(SAS).所以BM=CM. 延长GP交DC于点H,图略.因为正方形ABCD和平行四边 因为点P为BC的中点，所以点P在∠BMC的平分线上.所 形BEFG,所以AB∥DC,BE∥GF,DC=BC.所以DC∥GF 以PE=PF.所以矩形PEMF为正方形 所以∠HDP=∠GFP,∠DHP=∠FGP. 21.问题解决：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠DAB 因为P是线段DF的中点，所以DP=FP.所以△DHP≌ =∠ABF=90. △FGP(AAS).所以HP=GP,DH=FG. 所以∠BAF+∠DAG=90. 当∠CPG=90°时，PG⊥PC.所以CH=CG.所以DC- 因为DE⊥AF,所以∠AGD=90°.所以∠ADE+∠DAG= CH=BC-CG,即DH=BG.所以BG=FG.所以平行四边形 90°.所以∠ADE=∠BAF. BEFG是菱形. 因为DE=AF,所以△ADE≌△BAF(AAS).所以AD= 由(1)知四边形BEFG是矩形.所以四边形BEFG是正方 BA.因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD是正方形. 形 (2)△AHF是等腰三角形.理由如下： 第42期综合测评卷 因为△ADE兰△BAF,所以AE=BF.因为BH=AE,所以 题号123456789 10 BH=BF.因为∠ABF=90°，所以AB⊥HF.所以AH=AF,即 D △AHF是等腰三角形. 二、11.20；12.答案不惟，如AC=BD;13.30°： 类比迁移：延长CB到点H,使BH=AE,连接AH,图略. 14.45°；15.22或/10或2 因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC,AB=AD.所以 ∠ABH=∠DAE. 三、16.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C, 在△DAE和△ABH中，因为AE=BH,∠DAE=∠ABH, AB CD.AD BC. AD=BA,所以△DAE≌△ABH(SAS).所以AH=DE,∠H= 又因为∠ADE=∠CBF,所以△ADE≌△CBF(ASA).所 ∠DEA=60° 以AE=CF.所以AB-AE=CD-CF,即BE=DF 17.因为CE L BA,BF⊥CA,所以∠BEC=∠CFB=90°. 因为DE=AF,所以AH=AF.所以△AHF是等边三角形 所以AH=HF.所以DE=HF=BH+BF=9. 因为M是BC的中点，所以EM=BC=BM,M=BC 第43期2版 =CM.所以∠BEM=∠ABC,∠CFM=∠ACB.所以∠CME= 20.1数据的频数分布 ∠BEM+∠ABC=56°，∠BMF=∠CFM+∠ACB=96°.所以 基础训练1.A;2.B；3.D;4.0.25;5.12. ∠EMF=180°-∠CME-∠BMF=28° 6.(1)200.70,0.12 18.四边形ADCB是菱形.理由如下： (2)补图略 因为AB∥CD,所以∠BAO=∠DCO. (3)2000×(0.08+0.2)=560(人). 又因为OA=OC,∠AOB=∠COD,所以△AOB≌ 答：该校安全意识不强的学生约有560人. △COD.所以AB=CD.所以四边形ADCB是平行四边形. 20.2数据的集中趋势 因为四边形ODEC是矩形，所以∠COD=90°.所以BD⊥ 基础训练1.A;2.C;3.B;4.D;5.D;6.5; 初中数学·沪科八年级(AH) 第40~44期 7.6:8.14:9.120. 本组数据的平均数、众数、中位数这三个量作为基本销售 10.(1)表格从左到右、从上到下依次填人90分、90分、 额都具有合理性，其中中位数22万元最大，选择中位数作为基 100分 本销售额对公司最有利，付出成本最低；对员工来说，这只是个 (2)八年级2班的竞赛成绩更优秀.理由如下： 中等水平，可以接受.所以基本销售额应定为22万元 因为八年级1班和八年级2班竞赛成绩的中位数相同，但 17.(1)C等级的同学有5人，成绩（单位：分）分别为77， 从平均数和众数两方面来分析，2班比1班的成绩好，所以八年 73,72,79,78.所以3月份体育测试成绩为C等级的同学的平均 级2班的竞赛成绩更优秀. 成绩为：5×(7+7乃+72+79+78)=75.8（分）. 1.(1)甲的最终得分是：4×(9+8+7+5)=725；乙 (2)由表中数据可知，30名同学中，A等级的有10人，B等 的最终得分是：子×(8+6+8+6)=7：丙的最终得分是：子 级的有11人，C等级的有5人，D等级的有4人.所以强化训练 ×(8+9+8+5)=7.5.因为7<7.25<7.5，所以丙将被录 后该班同学平均成绩所提高的分数为：0×(0.9×10+5×山 用 +10×5+15×4)=5.8(分). (2)学历、经验、能力和态度四项得分按4：1：1：4的比例 附加题(1)当n≥16时，y=16×(10-5)=80;当0 确定.甲的最终得分是：(9×4+8×1+7×1+5×4)÷(4+ ≤n<16时，y=10n-16×5=10m-80. 1+1+4)=7.1;乙的最终得分是：(8×4+6×1+8×1+6 所以当日的利润y关于当日需求量n的函数表达式为y= ×4)÷(4+1+1+4)=7:丙的最终得分是：(8×4+9×1+ r10n-80(0≤n<16), 8×1+5×4)÷(4+1+1+4)=6.9.因为6.9<7<7.1， l80(n≥16). 所以甲将被录用. (2)①17,15 能力提高12.146. ②应购进17枝.理由如下： 第43期3版 平均日需求量为：100×(14×10+15×20+16×16+17 一、 题号123456 78 ×16+18×15+19×13+20×10)=16.85(枝). 答案CABD DCDA 若购进16枝，由(1)知盈利80元； 二、9.白色；10.10.9元；11.17；12.5. 若购进17枝，则盈利为：10×17-80=90（元）. 、1 三、13.这10名学生所在家庭平均月使用塑料袋：10×(65 因为80<90，所以应购进17枝 +70+85+75+85+79+74+91+81+95)=80(只).中位 第44期2版 数是80只，众数是85只. 20.3数据的离散程度 14.(1)甲的平均成绩为：98+84+88=90（分），乙的平 基础训练1.B;2.5;3.乙 3 均成绩为：88+85+97=90（分），所以不能以此确定两人的 4.)=子(90+85+95+90)=0（分），2=子(% 3 +82+88+92)=90(分). 名次 98×4+84×3+88×3 （2)5品=4×[(90-90)2+(85-0y2+(95-90)2+ (2)甲的平均成绩为： 4+3+3 90.8(分)，乙的平均成绩为：88×4+85×3+97×3 (90-90)1-空2=子×[(98-90)2+(82-90)2+( 4+3+3 -90)2+(92-90)2]=34.因为甲的方差小于乙的方差，所以 89.8(分). 选择甲参加比赛更合适， 因为90.8>89.8，所以甲排第一，乙排第二 20.4四分位数和箱线图 (3)答案不惟一，略 基础训练1.C:2.B:3.2 15.（1)频数分布表从上到下依次填人5,7,4.补图略. 4.四分位数如下表： (2)3600×20 5 =900(株). 最小值、四分位数和最大值 班级 答：该大棚每株西红柿上小西红柿的个数在36≤x<44 最小值 m50 m75最大值 的约有900株 八(1)班 166 167 168 170 171 16.(1)20万元，17万元，22万元. 八(2)班 164 165.5 169 170 171 (2)基本销售额应定为22万元.理由如下： 作箱线图如图所示： 5 初中数学·沪科八年级(AH) 第40.44期 身高/cm 均成绩为.91×6+82×4=87.4（分）. 172 6+4 171 170 因为88.2>87.4，所以甲将被录取 169 168 18.将这12个数据由小到大排序为：7.5,7.8,8.1,8.5， 167 166 8.6,8.8,8.8,9.0,9.1,9.3,9.5,9.6,所以m5=8.1+8.5= 2 165 164 163 83(分)，m=8888=88(分)，m5=9193= 2 2 八(1)班 八(2)班 9.2(分). 基于四分位数和箱线图，可以发现八(1)班身高的中位数 19.(1)①8,8,1.56 与八(2)班的相差不大，但八(1)班身高的波动明显比八(2) ②八年级竞赛成绩的众数为7分，方差为1.88，九年级竞 班的要小，故八(1)班选取的礼仪队队员的身高比八(2)班要 赛成绩的众数为8分，方差为1.56，所以九年级竞赛成绩的众 整齐 数较大，又因为两个年级竞赛成绩的平均数相同，九年级竞赛 20.5数据分组 成绩波动小，所以应该给九年级颁奖， 基础训练1.B;2.{2,4},{8,10,12}. (2)八年级的获奖率为：(10+7+11)÷50=56%；九年 3.将4个数据从小到大排序：15,15,18,24. 级的获奖率为：(14+13+6)÷50=66%. 把4个数据分成两组，共有3种情况： 因为66%>56%，所以九年级的获奖率高 (1)第一组1个数据{15}，组内离差平方和为0；第二组3 20.(1)a=6,b=4.7,c=4.75. 个数据15,18,24，平均数是15+18+24=19，组内离差平 (2)若选择众数4.7kg,估计这300箱大枣共损坏了：300 3 ×(5-4.7)=90(千克)： 方和为(15-19)2+(18-19)2+(24-19)2=42，故该分组 若选择平均数或中位数4.75kg,估计这300箱大枣共损坏 的组内离差平方和为0+42=42； 了：300×(5-4.75)=75（千克）. (2)第-组2个数据15,15，平均数是15+15=15，组 2 (3)若选择众数，10×5×300÷(300×5-90)≈ 10.64(元)，所以每千克至少定价10.7元才不亏本； 内离差平方和为0：第二组2个数据18,24，平均数是18+24 2 若选择平均数或中位数，10×5×300÷(300×5-75)≈ =21,组内离差平方和为(18-21)2+(24-21)2=18，故该分 10.53(元)，所以每千克至少定价10.6元才不亏本. 组的组内离差平方和为0+18=18； 21.(1)144.乙车间抽取的10名员工中4月份工资为5千 (3)第一组3个数据{15,15,18，平均数是15+15+18 元的有：10-5-2-1=2（名）.补图略. 3 (2)由扇形统计图，得甲车间员工工资为4千元、5千元，6 =16,组内离差平方和为(15-16)2+(15-16)2+(18-16)2 千元、7千元、8千元的员工分别有1名、2名、4名、2名、1名 =6:第二组1个数据{24}，组内离差平方和为0，故该分组的 1 所以甲车间员工的平均工资为：0×(4×1+5×2+6× 组内离差平方和为0+6=6. 4+7×2+8×1)=6(千元)， 因为6<18<42，所以第三种情况的组内离差平方和最 小，所以将竞赛成绩分成的两组是15,15,18}，24}. 方差为：0×[(4-6)2+2×(5-62+4×(6-62+ 第44期3,4版 2×(7-6)2+(8-6)2]=1.2. 题号123456789 10 因为1.2<7.6， 所以甲车间员工的工资收入比较稳定 二、11.24；12.丙；13.4.2元；14.4： (3)原来甲车间员工工资的中位数为：6十6=6（千元）。 2 15.号或4或号 1 因为甲车间员工工资低于6千元的有3名，不低于6千元 的有7名，新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数，所 三、16.(1)从小到大排列此数据为：5,6,7,7,8,8,8，数据 以n的最小值为：7-3=4. 8出现了三次，最多，为众数，7处在第4位，为中位数.所以该同 所以当这4名员工工资低于6千元，且是较高工资时，这4 学所得分数的众数与中位数分别为8分、7分 名员工的工资和取得最大值. (2)该同学所得分数的平均数为：号(5+6+7×2+8×3) 所以这4名员工的工资分别为4千元4千元、5千元 =7(分). 5千元 17.甲的平均成绩为：87×6+0×4=88.2（分），乙的平 所以这4名员工的工资和的最大值为：4+4+5+5= 6+4 18(千元) —6