第19章 四边形 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

.'AE=CE ,∠HPD=∠BCD=∠CDA=90°， ∴.四边形CDPH是矩形 ∴.CH=PD,PH=CD=AD=3, ∠APE=∠EHF=90. ,∠ADE=45,∠HPD=90°， ∴.△PED是等腰直角三角形. .PD=PE AD=PH, .AP+PD=PE+EH. .AP=EH :∠APE=∠EHF=90°，EF⊥AE, ∴.∠PAE+∠PEA=90°，∠PEA+ ∠HEF=90°. ∴.∠PAE=∠HEF 在△PAE和△HEF中， ∠APE=∠EHF, KAP=EH, ∠PAE=∠HEF, ∴.△PAE≌△HEF. .:AE=FE. AE=CE, .FE=CE. ∴.△EFC是等腰三角形. PH⊥CF, CH=FH=CF=是 :PD=PE=CH=4 3 在Rt△PDE中，由勾股定理，得 DE-PE+PD-V2PD-32 4 ②当点F在CB的延长线上时，过点 E作直线垂直AD于点P,交BC于 点H,连接CE,如图②. 9 ∴CF=BF+BC=2+3=2: 同理①，可得FE=CE,PD= PE=CH. ·PH⊥CF, CH=FH=CF=是 29 :PD=PE=CH=A 在Rt△PDE中，由勾股定理，得 DE-VPE+PDF-/2PD-92 4 综上所述，线段DE的长为3 4 或 D F H ① E B H ② (第8题) 易错警示 (1)中难利用正方形对称性和 等腰三角形求角度：(2)中因，点F 位置未分类讨论致错」 9.(1)BE=CF. (2)如图，过点O作OH⊥AB于点 H,在BA的延长线上取一点P,使 PA=AB,连接PE,OP ∴.∠AHO=90. :四边形ABCD是正方形，边长 为6， .'.AB=BC=6,∠ABC=∠BAD= 90°，OA=0C. ∴.∠AHO=∠ABC=90°，AP= AB=6. .OH∥BC .OA=OC, .易得OH是△ABC的中位线， OH E。BC=3,AH=BH= AB=3. 1 .PH=AH+PA=3+6=9. 38 在Rt△OPH中，由勾股定理，得 OP=√/OH2+PH2=3√10 .PA=AB,∠BAD=90°， ∴.AD是线段BP的垂直平分线。 .BE=PE. 由(1)，知BE=CF, ∴.CF=BE=PE .OE+CF=OE+PE. .当OE+PE的值最小时，OE+CF 的值也最小 OE+PE≤OP=3√I0, .当点O,E,P共线时，OE+PE取 得最小值，最小值是3√10 ∴.OE+CF的最小值是3√0. B (第9题) 易错警示 (1)中难发现三角形全等条 件：(2)中不会转化OE+CF,忽略 利用正方形对称找最值 第19章整合拔尖 [高频考点突破] 典例136 [变式]205 典例2(1)，四边形ABCD是平 行四边形，AE=CF, .AB=CD,AB//CD. .EB=DF,BE//DF. ∴.四边形DEBF是平行四边形 (2)由(1)，得四边形DEBF是平行 四边形， ∴.BO=DO BD⊥EF,△CBF的周长是12， .'DF=BF,BF+CF+BC=DF+ CF+BC=CD+BC=12. .平行四边形ABCD的周长= 2(CD+BC)=24 [变式](1)AB/CD,∠B=45, ∴.∠C+∠B=180° .∠C=135 ,DE=DA,AD⊥CD, .∠E=45. .∠E+∠C=180, .AE//BC. .四边形ABCE是平行四边形 ∴.AE=BC (2),四边形ABCE是平行四边形， .AB=CE=3. .AD=DE=AB-CD=2. ∴.四边形ABCE的面积=3X2=6. 典例3(1)，四边形ABCD是平 行四边形， .AD//BC. .∠ADE=∠FCE,∠DAE ∠CFE E为线段CD的中点， .DE=CE ∴.△ADE≌△FCE. .AE=FE ∴.四边形ACFD是平行四边形 :∠ACF=90, ∴.四边形ACFD是矩形. (2):四边形ACFD是矩形， .∠CFD=90°，AC=DF,AD= CF. ,四边形ABCD是平行四边形， .'AD=BC. 又CF=5, .BC=5. 在Rt△CDF中，CF=5,CD=13, ∴由勾股定理，得DF √CD2-CF=√132-5=12. .AC=12 ,△ADE≌△FCE, ∴.S△ADE=S△RE AE=FE, 1 1×1×5× SarR=2SaA=2X2 12=15. SDAIXCD=BC.AC=5X12=60, ∴S回边形AE=SeAD一S△ADE= SaAD-S△FE=60-15=45. [变式](1).D,E分别为AB,AC 的中点， '.DE是△ABC的中位线. .DE//BC. DG=FC, ∴.四边形DFCG是平行四边形. 又DF⊥BC, ∴.∠DFC=90°. .四边形DFCG是矩形 (2):DF⊥BC, .∠DFB=90° ∠B=45, ∴.△BDF是等腰直角三角形 .BF=DF=3. DG=FC=5, .BC=BF+FC=3+5=8. 由(1)，可知DE是△ABC的中位线， 四边形DFCG是矩形， ·DE=2BC=4,CG=DF=3, ∠G=90°. .EG=DG-DE=5-4=1. '.CE=√CG+EG=√I0 E为AC的中点， .'.AC=2CE=2J10 典例4(1)四边形ABCD是 矩形， .AD=BC,AD∥BC. ∴.∠DAE=∠BEA,ADEF. .BF=CE, .BF+BE=CE+BE,即EF=BC .AD=EF '.四边形AFED是平行四边形 ,AE平分∠BED, .∠DEA=∠BEA. ∴.∠DAE=∠DEA .AD-ED '.四边形AFED是菱形 39 (2)·四边形ABCD是矩形， .∠ABF=90. 四边形AFED是菱形， .AF=EF. 设AF=EF=x,则BF=x-2. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 AB2+BF2=AF2. .42+(x一2)2=x2,解得x=5. EF=5. ∴.S装形AFFD=EF·AB=5X4=20. [变式]15解析：四边形ABCD 是菱形，AC=6,BD=5,.菱形 ABCD的面积=2AC·BD=2X 6×5=15. 典例5C解析：，四边形ABCD 是正方形，∴.CD=DA=AB,∠D= ∠FAB=90°..'CE=DF,..CD CE=DA一DF,即DE=AF.在 △DAE 和 △ABF 中， DA-AB ∠D=∠FAB,.∴.△DAE≌△ABF. DE=AF. .AE=BF,∠DAE=∠ABF,故 ①正确.∴.∠AOB=∠AFB十 ∠DAE=∠AFB+∠ABF=9O°. .AE⊥BF,故②正确.，AE=BF, 1 ·如果A0=OE=2AE,那么 AO=)BF,显然题中没有这样的条 件.∴.A0与OE不一定相等，故③错 误.：△DAE≌△ABF,.S△DAE= S△AF.∴.S△AOB+S△AOF S国边形DROF十S△AF..S△AOB= S四边形DOr.故④正确， [变式](1)四边形BDCE是矩形 理由：，AC=BC,D为AB的中点， .AD=BD,CD⊥AB .∠BDC=90 ·四边形ADEC为平行四边形 .AD∥CE,AD=CE,BD∥CE, BD=CE. '.四边形BDCE是平行四边形 又.∠BDC=90°， .四边形BDCE是矩形 (2)当∠ACB=90时，四边形BDCE 为正方形 ,四边形ADEC为平行四边形， .DE∥AC. ∴.∠BFD=∠ACB, :∠ACB=90°， ∴.∠BFD=90°，即BC⊥DE. .四边形BDCE为正方形. [综合素能提升] 1.A解析：，四边形ABCD是菱 形，∴.OA=OC=6,OB=OD,AC⊥ BD...AC=12.DH⊥AB, :∠BHD=90.·OH=号BD :Sm=号AC·BD=号 X 12BD=48,.BD=8.∴.OH= 2BD=4 2.D解析：，∠ABC的平分线BF 和它的邻补角的平分线BG分别交直 线DE于点F,G,.∠DBG= 2∠ABM,∠DBF=Z∠ABC. ∴.∠DBG+∠DBF=2(∠ABM+ ∠ABC)=3∠MBc.:∠MBC= 180°，.∠GBF=90°.GE∥BC, ∴.∠DFB=∠FBC,∠DGB= ∠GBM..∠DGB=∠DBG, ∠DFB=∠DBF.∴.DG=DB= DF.当AF∥BG时，∠FAD= ∠DBG.·∠ADF=∠BDG, ∴.△ADF≌△BDG.∴.AF=BG. '.四边形AGBF为矩形，故A不符 合题意.当AD=BD时，DG= DF,∴.四边形AGBF为平行四边 形.∠GBF=90,∴.四边形AGBF 为矩形，故B不符合题意.当AB= FG时，：BD=DG=DF=号FG, BD=2AB.AD=BD.四 边形AGBF为矩形，故C不符合题 意.当BF=BG时，△GBF是等腰直 角三角形，∴.AB⊥FG,但不能证得 四边形AGBF是平行四边形.∴.当 BF=BG时，四边形AGBF不一定为 菱形，故D符合题意 3.C解析：，·EF⊥AC,G为AE的 中点，.OG=AG=GE=号AE. :∠AOG=30,.∠OAG= ∠AOG=30°，∠GOE=90° ∠AOG=90°-30°=60°.∴.△OGE 是等边三角形.故③正确.设AE= 2a,则OE=OG=a.由勾股定理，得 AO = √AE-OE √(2a)-a=3a.O为AC的 中点，∴.AC=2AO=23a.:四边 形ABCD为矩形，∴.∠ABC=90°， AB=CD.又：∠OAG=30°，∴.在 1 Rt△ABC中，BC=2AC=立X 2√a=√5a.∴.由勾股定理，得AB= √AC-BC=√(25a)2-(W3a)2= 3.∴.CD=3a..CD=3OG.故①正 确0G=a,号C-5. 1 2a,∴.0G≠ 1 BC.故②错误.：S△oF= 20E0A=3u·a-5a 1 2, S矩形AD=AB·BC=3a·√5a= 33a2,∴.S△40E= SD.故 6 ④正确.综上所述，正确的是①③④， 共3个 4.(20,6)解析：连接DE交BC于 点M,如图.，·四边形BDCE为菱 形，.BM=2BC=6,BC⊥DE.在 Rt△BDM中，BD=10,BM=6, ∠BMD=90°，∴.DM= 40 √BD-BMP=8.:正方形ABCO 的顶点C,A分别在x轴、y轴上， BC=12,.BCy轴，OC=12.∴.点 M的坐标为(12,6).又：DM⊥BC, DM=8,.点D的坐标是(20,6). M E←----- --->D 0 C (第4题) 5.(1):四边形ABCD是平行四 边形， ∴.AD∥BC,AD=BC. :E,F分别是AD,BC的中点， .AE-DE-TAD,BE-C. .DE=BF. 又.DEBF, ∴.四边形BEDF是平行四边形. (2),BE平分∠ABC, '.∠ABE=∠CBE. 又.ADBC, ∴.∠AEB=∠EBC. .∠ABE=∠AEB. .AE=AB-6. ∴.AD=2AE=12. ∴.□ABCD的周长为2(AB+ AD)=2×(6+12)=36. 6.(1)如图①，连接CE,DE. :点C关于直线DP的对称点为E, ∴.CD,ED关于DP对称，∠CDP= ∠EDP=25°，CD=ED :四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADC=90°，AD=CD. .AD=ED,∠ADE=90°+25+ 25°=140° ∴.∠DAF=∠DEA= 7180 ∠ADE)=2X(180°-140)=20° (2)CD-(AF+EF). 理由：如图②，连接DE,CE,AC,CF ,四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠ADC=90 ,点C关于直线DP的对称点为E, ∴.CF=EF,CD=ED=AD, ∠DCF=∠DEF! .∠DEF=∠DAF ∴.∠DAF=∠DCF. .∠FAC+∠FCA=∠FAC+ ∠DAF+∠DCA=90°， ∴.∠AFC=180°-（∠FAC+ ∠FCA)=90°. 在Rt△ACF中，AC2=AF2+CF2= AF2EF 在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2, ∴.2CD2=AF2+EF2,即CD2= (AF+EF). 1 (3)连接DE,CE,AC,CF,CE与DP 交于点H. 如图③，当点F在点D,H之间时， r-号a-. 如图④，当点D在点F,H之间时， m96- 如图⑤，当点H在点F,D之间时， Dr= 2(a+b). ③ 0 ④ C ⑤ (第6题) 第20章数据的 初步分析 20.1数据的频数分布 1.C 2.0.6解析：.34+m+18=66, '.m=14.'.通话时间不超过10mim 的频率为66十9十5 34+14 0.6. 3.(1)50:30%. (2)不能 理由：由题图，知“89.5~99.5分”这 一组的人数占参赛总人数的百分比为 (4+8)÷50=24%,79.5分以上的人 数占参赛总人数的百分比为24%+ 36%=60%. ,∴.最低获奖成绩应该高于79.5分 而这个参赛选手的比赛成绩为78分 在79.5分以下，故他不能获奖。 4.C解析：若组距定为7，则93 21=72,72÷7=10…2,..组数为 10+1=11. 5.48解析：从左至右各柱形的高的 比为2：3：4：6：1，即频率之比为 2:3:4:6:1,则第二组的频率为 是：第二组的频数为9全班上 3 交的作品有9÷6=48（件）. 6.(1)本次质量检测共抽取学生 41 10÷20%=50(名) 由题意，得70≤x<80这一组有15名 学生，80x90这一组有50一5 15-10=20(名)学生，补全频数直方 图如图所示， (2)70≤x<80这一组的学生人数占 抽取总人数的百分比是(15÷50)× 100%=30%. (3)80x<90这一组所对应扇形的 函心角是器 360°=144 质量检测成绩的频数直方图 频数 25 20 20 15 15 10 10 60708090100成绩/分 (第6题) 7.(1)符合. 0.25+0.75+1.5+1.0+0.5=80%, ∴.在实施的过程中，第一档水价年用 水量的标准符合最初的设计目标. (2):-5×120=36(万户)， 5 ∴.估计该市居民家庭年用水量在 90~120m3的有36万户 (3)第二档、第三档水价用户分别占 13%,7%,不符合最初的设计目标（合 理即可) 20.2数据的集中趋势 第1课时平均数 1.D2.B3.97 4.(1)全体员工的月平均收人约是 10 ×(5510+5540+5580×2+ 5600+5620×3+5660+5670)= 5600(元). (2)平均每名员工的年薪约是 5600×12=67200(元). (3)由(1)，得员工的月平均收人约是 5600元. 又工厂共有220名员工， ∴.5600×220=1232000（元），拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 第19章整合拔尖 >“答案与解析”见P38 知识体系构建 相关概念 边、顶点、内角、外角、对角线 n边形(n为不小于3的整数)的内角和等于(n一2)180° 多边形 定理( 凸多边形 n边形(n为不小于3的整数)的外角和等于360 正多边形各条边都相等，且各个内角都相等的多边形叫作正多边形 定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 平行四边形的对边相等 夹在两条平行线之间的平行线段相等 性质 平行四边形的对角相等 平行四边形对角线互相平分 平行四 组对边平行且相等的四边形是平行四边形 边形 判定定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 三角形的 四边形 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 中位线 定理 三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半 定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 矩形的四个角都是直角 性质 矩形的对角线相等 矩形 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 对角线相等的平行四边形是矩形 判定定理 三个角是直角的四边形是矩形 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 菱形的四条边相等 特殊平行 菱形 性质 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形 四边相等的四边形是菱形 判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 定义 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形 正方形的四条边都相等，四个角都是直角 正方形 性质 正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 有一组邻边相等的矩形是正方形 判定定理 有一个角是直角的菱形是正方形 88 第19章四边形 9高频考点突破 考点一多边形中的相关计算 [变式](2025·毫州蒙城期中)如图，在四边形 典例1(2025·吉林)如图，正五边形ABCDE ABCD中，ABCD,AD⊥CD,∠B=45°，延长 的边AB,DC的延长线交于点F,则∠F的度数 CD到点E,使DE=DA,连接AE. 为 (1)求证：AE=BC. (2)若AB=3,CD=1,求四边形ABCE的 面积. (典例1图) 提示 根据正多边形的内角和、邻补角性质、三角形的 内角和定理即可得出答案 [变式](2025·长沙)如图，五边形 ABCDE中，∠B=120°，∠C= 110°，∠D=105°，则∠A+∠E= 考点二平行四边形的性质与判定 考点三矩形的性质与判定 典例2(2025·马鞍山和县期末)如图，在平行 典例3如图，在□ABCD中，E为线段CD的 四边形ABCD中，点E,F分别在AB,CD上， 中点，连接AC,AE,延长AE,交BC的延长线 且AE=CF.连接BD,EF交于点O. 于点F,连接DF,∠ACF=90°. (1)求证：四边形DEBF是平行四边形 (1)求证：四边形ACFD是矩形 (2)若BD⊥EF,△CBF的周长是12，求平行 (2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的 四边形ABCD的周长， 面积. (典例2图) 提示 B 1)根据平行四边形的性质，可得AB=CD, (典例3图) AB//CD; (2)根据平行四边形的性质，得BO=DO,由 BD⊥EF可证明EF是BD的垂直平分线，可得 DF=BF」 89 拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 [变式](2025·北京)如图，在△ABC中，D,E[变式](2025·云南)如图，四边形ABCD是菱 分别为AB,AC的中点，DF⊥BC,垂足为F, 形，对角线AC,BD相交于点O.若AC=6, 点G在DE的延长线上，DG=FC BD=5,则菱形ABCD的面积是 (1)求证：四边形DFCG是矩形 (2)若∠B=45°，DF=3,DG=5,求BC和AC 的长. B 考点五正方形的性质与判定 典例5(2025·准南田家庵期中)如图，E,F分 别是正方形ABCD的边CD,AD上的点，且 CE=DF,AE,BF相交于点O.有下列结论： ①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE; ④S△AOB=S四边形DBOF.其中，正确的有() D (典例5图) 考点四菱形的性质与判定 A.1个 B.2个C.3个 D.4个 典例4(2025·合肥庐阳期末)如图，在矩形 [变式](2025·合肥肥东期末)如图，在△ABC ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BED,延 中，AC=BC,D为AB的中点，四边形ACED 长CB至点F,使BF=CE,连接AF. 为平行四边形，DE,BC相交于点F,连接 (1)求证：四边形AFED是菱形 DC,BE (2)若BE=2,AB=4,求菱形AFED的面积」 (1)试判断四边形BDCE的形状，并说明理由. (2)当△ABC满足什么条件时，四边形BDCE 为正方形？并证明 (典例4图) 90 第19章四边形 综合素能提升 1.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于5.(2025·合肥庐阳期末)如图，在□ABCD中， 点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接 E,F分别是AD,BC的中点，连接BE,DF. OH.若OA=6,S菱形ABGD=48,则OH的 (1)求证：四边形BEDF是平行四边形. 长为 () (2)若BE平分∠ABC,AB=6,求□ABCD A.4 B.8 C.√13D.6 的周长 B (第5题) (第1题) (第2题) 2.(2025·六安裕安段考)如图，在△ABC中， 点D,E分别在边AB,AC上，且DE∥BC, ∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分 线BG分别交直线DE于点F,G,连接AF, AG.下列结论错误的是 () A,当AFBG时，四边形AGBF为矩形 6.如图，过正方形ABCD的顶点D作 B.当AD=BD时，四边形AGBF为矩形 直线DP,点C关于直线DP的对称 C.当AB=FG时，四边形AGBF为矩形 点为E,连接AE,直线AE交直线 D.当BF=BG时，四边形AGBF为菱形 DP于点F. 3.(2023·淮南凤台期中)如图，在矩形ABCD (1)若∠CDP=25°，求∠DAF的度数， 中，O为AC的中点，过点O作直线EF⊥ (2)请判断线段CD,EF,AF之间的数量关 AC,分别交DC于点F,交AB于点E,G为 系，并说明理由， AE的中点，连接OG,∠AOG=30°.有下列 (3)在DP绕点D转动的过程中，设AF= 结论：①CD=3OG;②OG= 2BC: a,EF=b,请直接用含a,b的式子表示DF ③△OGE是等边三角形；④S△AOE= 的长 吉5其中，正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 (第6题) G 0 (第3题) (第4题) 4.(2025·六安霍邱期末)如图，正方形ABCO 的顶点C,A分别在x轴、y轴上，BC是菱形 BDCE的对角线.若BC=12,BD=10,则点 D的坐标是 91