第39期 19.3 矩形-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

素养·拓展 数理极 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 面对矩形求值问 ★思维天地太 报纸发行质量反馈电话 专题辅导 题，根据具体情况的不 0351-5271248 数学思想 同特点，结合数学思想 可化难为易，捷足先登 灵活应用 直角三角形斜边上的中线 上接4版参考答案 一、方程思想 ⊙山东张波 16.(1)因为BD 例1如图1，矩形 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 是△ABC的角平分 ∠ABC ABCD中，DE⊥AC于 半”这一定理揭示了直角三角形斜边上的中线 线，所以∠CBD= O点F,交BC边于点E, ∠EBD.因为ED∥ 与斜边的数量关系，它是研究线段倍分问题的 思路分析：取DE的中点M,连接AM,如图 BC,所以∠CBD = 青已知AB=6,AD=8, 基础.对于与直角三角形有关或条件中隐含着 2 ∠EDB.所以∠EBD 海则线段CE的长为 直角三角形的证明问题，若能联想到直角三角 因为AD∥BC,AC⊥BC, =∠EDB.所以BE =ED.因为BE= 形斜边上的中线，通过添加斜边上的中线这条 所以∠DAC=90°，∠D=∠DBC. CF,所以ED=CF 晓 辅助线，可以理清角与角或线段与线段之间的 所以AM=Dk 所以四边形EFCD是 关系，从而把题设与结论结合起来，使问题得以 平行四边形 (2)∠AEF的度 圆满地解决。 因为AB=2DE, 数为130°. 1 例1如图1，AB,CD相交 所以AM=AB. 17.(1)因为四 解：因为四边形 于点E,AD=AE,CB=CE,F, 边形ABCD是平行 ABCD是矩形，所以CD=AB=6,∠ADC=G,H分别是DE,BE,AC的中 所以∠AMB=∠ABM 四边形，所以AB 又因为∠AMB=2∠D,∠D=∠DBC, CD,AB∥CD.因为 ∠DCE=90°.所以AC=√AD+CD2=10.因为 点.求证：FH=GH, 所以∠ABM=2∠DBC: CE=AB,所以CE DE1AC,所以∠CFD=LCFE=0,2AD.CD 思路分析：连接AF,GC,如 =CD.所以∠CDE 所以∠ABC=3∠DBC 图1. ∠CED =2AC·DF所以DF=4D:C =48.所以CF 因为AD=AE,F是DE的中点， 所以∠DBC= 3∠ABC 2180- ∠DCE) AC 所以AF⊥DF. =√CD2-DF=3.6.在R△CDE中，CD2+CE 例3如图3，AD是△ABC =90°- 因为H是AC的中点 2 ∠DCE. =DE2,即62+EF2+3.62=(4.8+EF)2.解得EF 的高线，且BD=2AC,E是AC 所以 ∠AED 所以FH是Rt△AFC斜边AC上的中线， =2.7.所以CE=EF+CF=4.5. ∠CDE =90° 的中点，连接BE,取BE的中点 1 故填4.5. 所以FH=方AC ∠DCE. F,连接DF.求证：DF⊥BE 二、分类讨论思想 例2在矩形ABCD中，对角线AC和BD相 同理可得GH=之AC 思路分析：连接DE,如图3 (2)延长DA FE交于点M,图略. 交于点0，过点B作AC的垂线，垂足为E,若AC 因为AD是△ABC的高线，E是AC的中点， 因为四边形ABCD 所以FH=GH =10,OE=3,则线段BC的长为 例2如图2，已知AC⊥ 所以DE=方4C 是平行四边形，所以 AD∥BC.所以∠M 解：①如图2，当点E在线段OA上时，因为 BC于点C,AD∥BC,BD和 =∠EFB.因为E是 四边形ABCD是矩形，AC=10,所以OB=OC 图2 AB的中点，所以AE =AC=5.因为BE上AC,0E=3,所以BE= AC交于点E,AB= 合DE.求证：∠DBC 因为BD=4C,所以DE=Am 又因为F是BE的中点，所以DF⊥BE. =BE.由对顶角相 等，得∠AEM √OB2-OE=4,CE=0C+0E=8.所以BC ∠BEF.所以△AEM 第38期2版参考答案 19.2.2.2三角形的中位线 ≌△BEF(AAS).所 =BE2+CE2=45 19.2平行四边形 基础训练1.B;2.D;3.C;4.4 以ME=FE,AM= BF=2.所以DM= 19.2.1平行四边形的性质 5.∠PFE的度数为18°. AD+AM=6.因为 基础训练1.C;2.C;3.2或8； 6.因为CD是△ABC的中线，所以AD= DF⊥BC,AD∥BC 4.1.5. DB.因为EF=AE,所以DE∥BF.又因为CF∥ 所以DF⊥AD,即 图2 ∠MDF=90°.在 ②如图3，当点E在线段OC上时，因为四边 5.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB,所以四边形DBFC是平行四边形. Rt△MDF中，由勾 形ABCD是矩形，AC=10,所以OB=OC= AB=CD,BC=AD,∠ABC=∠ADC.因为 能力提高7.4. 股定理，得MF= △BCE和△CDF都是等边三角形，所以CD= 第38期3版参考答案 VDM2+DE 24C=5因为BE上AC,0E=3,所以BE= DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF=6O°.所以AB 一、 题号12345678 62.所以EF= √0B2-0E2=4,CE=0C-0E=2.所以BC =DF,BE=AD,∠ABC+∠EBC=∠ADC+ 答D B A D B C A C IMF =32 =√BE2+CE2=2√5 ∠CDF,即∠ABE=∠FDA.所以△ABE兰 二、9.14；10.答案不惟一，如AB=CD; 附加题(1) △FDA(SAS).所以AE=AF. 故填25或45. 11.30°；12.6； 因为AC=AE,BC= 6.(1)∠EAF的度数为60° BE,所以AB⊥CE 三、整体思想 三、13.因为四边形ABCD是平行四边形，所 (2)AF的长为35. ∠AEC ∠ACE, 例3如图4，在平行四边 以OA=OC,OB=OD.因为AE=CF,所以OA BEC=∠BCE.所 形ABCD中，点E,F,G分别在 能力提高7.B. 以∠AEC+∠BEC +AE=OC+CF,即OE=OF.因为BG=DH 边AB,BC,CD上，且BE=BF 19.2.2.1平行四边形的判定 =∠ACE+∠BCE CF=CH.求证：EF⊥FG. 基础训练1.B;2.A;3.D;4.是 所以OB-BG=OD-DH,即OG=OH.所以四 即∠AEB=∠ACB. 边形EGFH是平行四边形 因为 ∠AEB = 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所 5.因为a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,所以 ∠CAD,所以∠ACB 以AB∥CD.所以∠B+∠C=180°.因为BE= (a-c)2+(b-d)2=0.所以a=c,b=d.所 14.因为四边形ABCD是平行四边形，所以 =∠CAD.所以BC BF,CF=CG,所以∠BEF=∠BFE=(I80 AD∥BC,AD=BC.所以∠AEB=∠DAE.因为 以四边形ABCD是平行四边形. ∥AD.因为CD⊥ 6.由对顶角相等，得∠A0E=∠C0D.在 AB=AE,所以∠B=∠AEB.所以∠B= CE,所以AB∥CD. -LB),∠CFG=∠CGF=2(180°-LC).所 △AOE和△C0D中，因为∠EA0=∠DC0,A0 ∠DAE.在△ABC和△EAD中，因为AB=EA, 所以四边形ABCD是 平行四边形 ∠B=∠DAE,BC=AD,所以△ABC兰 以∠EFG=180°-（∠BFE+∠CFG)=180° =C0,∠AOE=∠COD,所以△A0E≌ (2)CE的长为 △COD(ASA).所以OE=OD.所以四边形 △EAD(SAS). 85 -[2(180°-LB)+7(180°-∠C)]=90 AECD是平行四边形. 15.△ADE的周长为24 (全文完) 所以EF⊥FG. 能力提高7.4. (下转1,4版中缝】 数评极 2026年3月25日·星期三 初中数学 第39期总第1183期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 品味溢 本周主讲 19.3矩形、菱形、正方形矩形) 判定矩形把握三主线 学习目标：1.掌握矩形的有关性质 和判定方法，并能运用这些知识进行相 ⊙安徽周容 关的证明和计算 主线二、对角线相等的平行四边形是矩形 BC=4,P为徐斜边AB上一动点，PEB 2.掌握直角三角形斜边上的中 例2如图2，在 ⊥BC于点E,PF⊥CA于点F,则 线的性质，并会运用其求线段长或线段倍】 口ABCD中，E为BC的中点， 线段EF长的最小值为 ( 分关系 连接AE并延长交DC的延 A.5 B.2 认知重点：了解矩形和平行四边 长线于点F,连接BF,AC,若 图2 形的联系和区别 AD=AF,求证：四边形ABFC是矩形 C.4⑤ 5 主线一、有一个角是直角的平行四边形是 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所 解：连接PC,如图4.因为PE 矩形 以AB∥CD,AD=BC.所以∠BAE=∠CFE,⊥BC,PF⊥CA,所以∠PEC= 例1如图1，在四边形 ∠ABE=∠FCE.因为E为BC的中点，所以EB∠PFC=90°.又因为∠ACB ABCD中，∠A=∠C=90°， EC. 在△ABE和△FCE中，因为90°，所以四边形ECFP是矩形.所 AB=CD,求证：四边形 ∠BAE=∠CFE, 以EF=PC.所以当CP⊥AB时， ABCD是矩形. ∠ABE=∠FCE,所以 △ABE PC的长最小，EF的长也最小.因 1 证明：连接BD,如图1. EB EC. 为AC=2,BC=4,所以AB=22+4F=25. 在Rt△ABD和Rt△CDB中，因为 BD=DB,所 △FCE(AAS).所以AB=CF.所以四边形 LAB CD. ABFC是平行四边形.因为AD=AF,所以BC= 因为2AC,BC= 2AB·PC,所以PC= AC·BC AB 以Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).所以AD=CB.AF.所以四边形ABFC是矩形. 等是所以线段EF长的最小值为45 45 所以四边形ABCD是平行四边形.因为LA= 主线三、有三个角是直角的四边形是矩形 90°，所以四边形ABCD是矩形， 例3如图3，在直角三角形ABC中，AC=2, 故选C. 名师点晴 C.57° D.48 解：因为四边形ABCD是矩形， 形影不离的“伙伴 所以∠A=∠ABC=90° 由折叠的性质，得∠BA'E=∠A=90°， ∠A'BE=∠ABE, O江西陈臻 因为∠DBC=24°，所以∠A'BE=∠ABE 矩形是特殊的平行四边形，在有关矩形的BC=8cm,则EF的长是 21 求值问题中，涉及到众多知识点，下面选取几例 A.2.2 cm B.2.3 cm (LABC-∠DBC)=3 加以说明，供同学们参考， C.2.4 cm D.2.5 cm 所以∠A'EB=90°-∠A'BE=57° 一、矩形和坐标 解：因为四边形ABCD是矩形， 故选C. 例1如图1，在矩形 所以∠ABC=90°，BD=AC,OB=OD. 四、矩形和全等三角形 例4如图4，EF过矩 OABC中，点B的坐标是(1,3) 因为AB=6cm,BC=8cm 形ABCD对角线的交点O,且 则A,C两点之间的距离是 由勾股定理，得AC=√AB2+BC2= 分别交AB,CD于点E,F,若 ( 10cm. 矩形ABCD的面积是12，那 A.4 B.13 所以BD=10cm 么阴影部分的面积是 C.10 D.22 解：连接AC,OB,图略. 所以0D=BD =5cm. 解：因为四边形ABCD是矩形， 因为点E,F分别是A0,AD的中点， 所以AB∥CD,OA=OC 因为B(1,3),所以0B=√+32= 所以F=200=25cm 所以∠EAO=∠FC0O. /10. 由对顶角相等，得∠AOE=∠COF 因为四边形OABC是矩形，所以AC=OB= 故选D. ∠EAO=∠FCO. 10. 三、矩形和折叠 在△A0E和△C0F中，OA=0C. 故选C. 例3如图3，将矩形纸 I∠AOE=∠COF 所以△AOE兰△COF(ASA) 二、矩形和勾股定理 片ABCD沿BE折叠，使点A 例2如图2，在矩形 落在对角线BD上的A'处.若 所以S△AOE=S△cr 所以S阴影=S△BBO+S△Or=S△BD+S△4OE ABCD中，对角线AC,BD相交 ∠DBC=24°，则∠A'EB等 于点O,点E,F分别是A0,AD 5a08=45矩形n=3. 的中点，连接EF,AB=6cm, A.669 B.60 故填3 素养专练 数理极 19.3.1.2直角三角形斜边上的中线 2.如图1，直角三角形ABC 跟踪训练 的面积为4，点D是斜边AB的中 垦础训练 点，过点D作DE⊥AC于点E, GENZONGXUNLIAN 1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD DF⊥BC于点F,则四边形 19.3矩形、菱形、正方形（矩形） 是斜边AB上的中线.若CD=4,则AB的长为 DECF的面积为 () 19.3.1.1矩形的性质 A.1 B.2 A.2 B.4 C.2.5 D.3 垦础训练 C.6 D.8 3.如图2，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的 1.如图1，点O为矩形ABCD对角线AC与BD 中点，点F,G在BC边上，且DG=EF.只需添加一 的交点.若AC=6,则BD的长为 个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件 A.1 B.2 C.3 D.6 可以是 (写出一个即可). 图1 图2 2.如图2，在矩形ABCD中，点E为BA延长线 图1 图2 上一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长为半 图2 图3 2.如图2，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于 径的圆弧过AD与CE交于点G,连接BG.若AB= 4.如图3，在△ABC中，AB=AC,点0是BC 点O,E为AB的中点，连接OE.若∠ACD=30° 4,CE=10,则AG= 的中点，CE∥OA,AE∥BC,连接0E.若OA=5, 则LAOE= ( A.2 B.2.5 BC=24,则OE的长为 A.30° B.40° C.50° D.60° C.3 D.3.5 5.如图4，E,F是四边形ABCD的对角线AC 3.“美丽乡村”建设使我 3.如图3，△ABC中，AB=AC=12,BC=8, 上的两点，且AF=CE,BE=DF,BE∥DF.若 市农村住宅旧貌变新颜，如图 AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点， ∠BAD=90°，求证：四边形ABCD是矩形 3为一农村民居侧面截图，屋 连接DE,则△CDE的周长是 ( 坡AF,AG分别架在墙体的点 A.20 B.12 B,C处，且AB=AC,侧面四边 C.16 D.13 图3 形BDEC为矩形.若测得 ∠FBD=55°，则∠A= 0 4.如图4，在矩形ABCD中，点E在BC边上， AE=AD,DF⊥AE,垂足为点E (1)求证：DF=AB; 4.如图4，O是矩形ABCD的对角线BD的中 (2)若∠FDC=30°，且AB=4,求AD的长 点，E是AB边的中点若AB=12,0B=号，则线 段OC的长为 5.如图5，在△ABC中，∠BAC=45°，点D在 图4 AB上，CD=CB,点E为BD的中点，F为AC的中 点，连接EF交CD于点M,连接AM 能刀提高 (1)若AC=2,求EF的长； (2)探究线段AM,DM,BC之间的数量关系， 6.如图5，在矩形ABCD 并说明理由， 中，E,F分别是AB,AD上的动 点，P是线段EF的中点，PG⊥ BC,PH1CD,G,H为垂足，连4 能刀提高 接GH.若AB=4,AD=3,EF 5.如图5，在矩形ABCD =2,则GH的最小值是 中，AB=4,AD=8,点E在BC 7.如图6，四边形ABCD中，AD∥BC,∠A= 边上.若EA平分∠BED,则EC ∠D=90°，点E是AD的中点，连接BE,将△ABE = 沿BE折叠后得到△GBE,且点G在四边形ABCD 图5 6.如图6，在矩形ABCD 内部，延长BG交DC于点F,连接EF 中，E,F分别是AB,CD边上的点，AE=CF,连接 (1)求证：四边形ABCD是矩形； EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF, (2)若AB=6,BC=8,求DF的长 ∠BEF=2∠BAC. (1)求证：0E=0F; 19.3.1.3矩形的判定 (2)若BC=2,求AB的长 D 垦恐训练 1.工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要 测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它 们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.这 样做的依据是 ( ) A.两组对边分别相等的四边形是矩形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.对角线相等的四边形是矩形 数理报社试题研究中心 D.对角线相等的平行四边形是矩形 (参考答案见下期) 数理极 小素养·测评 5 15.(10分)如图15，四边形ABCD是平行四 同步检 边形，CE∥BD交AD的延长线于点E,CE=AC. (1)求证：四边形ABCD是矩形： TONGBUJIANCE (2)若AB=4,AD=3,求四边形BCED的周 长 【检测范围：19.31（矩形）】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 题号1 2 345678 答案 1.如图1，两条公路AC,BC互相垂直，公路AB 15 B 图7 图8 的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为 10km,则M,C两点之间的距离为 () 8.如图8，在矩形ABCD中，点E为CD边的中 A.5 km 点，连接AE,过点E作EF⊥AE交BC于点F,连接 B.10 km C.5/2 km AF.若∠BAF=a,则∠EFC的度数是() D.53 km A.a B45°+号 c45°-号 16.(10分)如图16，矩形ABCD≌矩形 D.90°-a AEFG,点E在BD上，EF与AD相交于点H,连接 二、细心填一填（每小题4分，共16分） AF.若AB=1,BC=2,求AH的长 9.如图9，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于 图1 2 点0，∠AOB=70°，则∠ACB的大小为 2.两个矩形的位置如图2所示.若∠1= 120°，则∠2= ( A.30°B.759 C.60° D.150° 3.如图3，四边形ABCD的对角线互相平分，要 使它成为矩形，那么需要添加的条件是 ( 图9 原网10 A.AB =BC B.AC⊥BD 10.如图10，在△ABC中，AB=AC,点D在BC C.∠BAD=∠BCD D.AC BD 边上，DF∥AB,DE∥AC,则当∠B= 时，四边形AEDF是矩形. 11.如图11，矩形ABCD的对角线相交于点O 17.(14分)如图17，在△ABC中，AB=AC, 过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.若AB=3, AD是△ABC的角平分线，AN是△ABC外角 BC=4,则图中阴影部分的面积为 ∠CAM的平分线，CE1AN,垂足为点E. 图3 (1)求证：四边形ADCE是矩形； 4.如图4，将四根木条用钉子钉成一个矩形框 (2)连接DE,交AC于点F,请判断四边形 架ABCD,然后向左扭动框架，观察所得四边形的 ABDE的形状，并证明； 变化，下面判断错误的是 (3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出 A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 你的结论. B.对角线BD的长度减小 图11 图12 12.如图12，△ABC中，AB=AC,AD为BC上 C.四边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变 的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F,交CA 的延长线于点G.已知EF=2,EG=3,则AD的长 5.如图5，在△ABC中，AB=AC,BE⊥AC,D 为 是AB的中点，连接DE.若DE=BE,则∠C的度数 1 三、耐心解一解（共52分） 是 ( 13.(8分)如图13，在平行四边形ABCD中 A.65 B.70° C.75 D.80° AB=6,AC=10,AD=8.求证：平行四边形ABCD 是矩形 附加题⊙ (以下试题供各地根据实际情况选用) 图13 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D 图5 图6 重合，点A落在点P处，折痕为EF 6.如图6，A,B为5×5的正方形网格中的两个 (1)求证：△PDE≌△CDF; 格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在 (2)若CD=4,EF=5,求BC的长 14.(10分)如图14，在矩形ABCD中，E为AB 此图中以A,B为顶点的格点矩形共可以画出 的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F ( A- (1)求证：△AEF≌△BEC; A.1个B.2个 C.3个 D.4个 (2)若CD=4,∠F=30°，求CF的长 7.如图7，∠A0B=90°，0C平分∠A0B,PE 1OA于点E,PF⊥OC于点F,PG1OB于点G, B 则O5+0c的值是 OF A.1 B.2 数理报社试题研究中心 C.2 D.5 图14 (参考答案见下期)初中数学·沪科八年级(AH)第36~39期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH) 第36~39期 第36期1,2版 -423. 题号12345 67 9 10 21.(1)因为a=1,b=-2(n-2),c=n2-4n,所以4= 答案CBBADBAAC 62-4ac=[-2(n-2)]2-4(n2-4n)=16>0.所以方程有 两个不相等的实数根. 二、11.x≥-6；12.-2；13.90°；14.22； (2)因为x2-2(n-2)x+n2-4n=(x-n)(x-n+4) =0,所以x1=n,x2=n-4.由题意，得AB≠AC.因为△ABC 是等腰三角形，所以有两种情况： 三6)9， 当n=10时，n-4=6.因为6,10,10能组成等腰三角形， 所以n=10符合题意. (2)25-1. 当n-4=10时，n=14.因为10,10,14能组成等腰三角 17.(1)x1=3+25,2=3-25; 形，所以n=14符合题意 (2)x1=3,x2=-4. 综上所述，n的值为10或14时，△ABC是等腰三角形. 18.(1)由题意，得0A=60米，0D=80米，∠A0D=90° 第36期3,4版 在Rt△OAD中，由勾股定理，得AD=√OA+OD=100米. 一、 题号12345678910 因为BD=100米，AB=1002米，所以AD2+BD2=20000, 答案DB CADBAB BB AB2=20000.所以AD2+BD2=AB2.所以∠ADB=90°. 二、11.x(x-1)=182;12.2027;13.52cm; (2)过点B作BE L OD交OD的延长线于点E,图略.所以 ∠BED=90°=∠AOD.所以∠EBD+∠BDE=90°.因为 14.6;15.2或1+√2， ∠ADB=90°，所以∠AD0+∠BDE=90°.所以∠AD0= 三、16.(1)x1=2+6,x2=2-6; ∠EBD.又因为AD=BD,所以△AOD≌△DEB(AAS).所以 (2)x1=-2,2=4 BE=OD=80米，DE=OA=60米.所以OE=OD+DE= 17.(1)原式=-a2+a-5. 140米.在Rt△BE0中，由勾股定理，得OB=√BE+OE= 当a=2-1时，原式=32-9. 20√65米. (2)原式=m-1+m 1 答：地铁B出口与学校O之间的距离是20√65米. 当m=2+√5时，原式=3. 19.(1)设全天包车数的月平均增长率为x. 18.(1)是. 根据题意，得25(1+x)2=64. (2)因为关于x的一元二次方程ax2-5ax+c=0(a≠ 解得x=0.6=60%,2=-2.6(舍去). 0)是“倍根方程”，所以设方程的两根分别为m,2m.由根与系 答：全天包车数的月平均增长率为60% (2)设应将每辆车的全天包车租金降价y元，则十一月份 数的关系，得m+2=,合=2解得m=停台=子 的全天包车数达到(64+亡×8)次 所以c=子4. 2 根据题意，得(120-)(64+六×8)=7920 19.(1)W2-1. 整理，得y2-40y+300=0. 1 解得y=10,y2=30. 1+3 ++5+5+万 因为要尽可能地让利顾客，所以y=30. 5-1 5-5 答：应将每辆车的全天包车租金降价30元 7+网=5+1)5-1)+(5+B)(5-) 20.(1)4,√17-4. 万-5 9-7 (2)5-√/23，√23-4. 万+5)万-5+…+（网+7(V网-Vm） (3)23x-xy+17=23(5-√23)-(5-/23)（√23 之(5-1+5-5+万-5++丽-7)=分（网 -4)+17=5√/23-23-5/23+20+23-423+17=37 -1). 一1 初中数学·沪科八年级(AH)第36~39期 解得x (2)因为CE∥AD,∠D=140°， 2 所以∠DCE=180°-∠D=40° 20.(1)√4+(8-x)产+√1+x. 因为CE平分∠BCD,所以∠BCD=2∠DCE=80°. (2)√73. 所以∠B=(4-2)×180°-∠A-∠BCD-∠D=40°. (3)已知AB=1,DE=2,BD=3,取P为线段BD上一动 能力提高7.根据题意，得1780°<(n-2)×180°< 点，分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AP,EP.设BP= 1780°+180e解得1号<n<12号 x.根据勾股定理，得AP=√2+1，PE=√(3-x)+4.所 因为n为正整数，所以n=12. 以AP+PE=√+1+(3-x)2+4.要使AP+PE的值 所以除去的内角的度数为：(12-2)×180°-1780°= 最小，则需满足A,P,E三点共线，即最小值为AE的长.过点A20° 作AC⊥DE,交ED的延长线于点C,连接AE,图略.所以AC= 19.1.3多边形的外角和 BD=3,CE=AB+DE=3.所以代数式√x2+1+ 基础训练1.A;2.D;3.A;4.40°；5.72°. √(3-x)2+4的最小值为：AE=√AC+CE=32. 6.因为∠ABE是四边形ABCD的外角， 21.(1)过点P作PE⊥CD于点E,图略.设经过xs,P,Q两 所以∠ABE+∠ABC=180°. 点之间的距离是10cm.根据题意，得(16-2x-3x)2+62= 因为∠ABE=∠D, 10心解得气=号= 所以∠ABC+∠D=180°. 5 又因为四边形的内角和等于360°， 答：经过或号，P,0两点之间的距离是10cm 所以∠A+∠C=360°-（∠ABC+∠D)=180 7.设这个正多边形的一个外角的度数为x (2)设经过ys,△PBQ的面积为12cm2. ①当0≤y≤9时，PB=16-3所以号PB~BC= 根据题意，得x+弓=180.解得x=72所以这个正多 2 边形的边数为：360°÷72°=5. ×(16-3y)×6=12.解得y=4; 能力提高8.根据题意，得王明所走路径是一个正多边 ②当9<y≤号时，BP=3y-16,0C=2所以宁BP: 1 形.因为王明第一次回到A点时走了72米，每次沿直线走6米 转弯，所以这个正多边形的边数为：72÷6=12.所以0=360° 0c=7×(3y-16)×2=12解得1=6=-子（含 ÷12=30. 去)； 第37期3版 ③当号<y≤8时，PQ=C0-PC=2-x所以P0: 一、题号123456 78 答案BC B CC A C C BG=分×(2-)×6=12解得y=18(含去) 二、9.2n;10.54:11.8,135°；12.366. 答：经过4s或6s,△PBQ的面积为12cm2. 三、13.图略. 第37期2版 14.延长AG,CD交于点H,图略. 19.1多边形 因为∠A=∠B=∠C=∠CDE=∠AGF=90°， 19.1.1多边形的概念 所以∠H=(4-2)×180°-∠A-∠B-∠C=90°， 基础训练1.C;2.C;3.A. ∠EDH=180°-∠CDE=90°，∠FGH=180°-∠AGF=90°. 4.(1)3,12. 所以∠F=(5-2)×180°-∠EDH-∠E-∠FGH-∠H =130°≠140°. (2)因为△ABC边界上的格点数是8，Sa=2×3×4 所以这个零件不合格。 =6,正方形DEFG内的格点数是4，S正方形DEr6=3×3=9,所以 15.(1)六边形ABCDEF的内角和为：(6-2)×180°= r3m+8n-1=6,解得 m=1, 720. l4m+12n-1=9. 1 n=2 (2)因为六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+ ∠3+∠4+∠5=470°，所以∠GBC+∠C+∠CDG=720°- (3)18. 470°=250°.所以∠G=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG)= 能力提高5.原多边形纸片的边数为3或4或5.图略. 110°. 19.1.2多边形的内角和 16.设这个多边形的边数是m.根据题意，得1280°-180° 基础训练1.C;2.C;3.18;4.10. 5.因为AB∥CD,∠B=70°， <(m-2)×180°<1280e解得8号<m<9号 91 所以∠C=180°-∠B=110°. 因为m是正整数，所以m=9. 因为五边形的内角和为：(5-2)×180°=540°， 所以他重复加的那个角的度数是：1280°-(9-2)×180° 所以x°+120°+140°+70°+110°=540°. =20°. 解得x=100. 17.(1)∠ACD=∠A+∠B. 6.(1)60. (2)因为∠A+∠B+∠BCD+∠D=(4-2)×180°= 初中数学·沪科八年级(AH) 第36~39期 360°，所以∠BCD=360°-∠A-∠B-∠D.因为∠DCE是四 第38期3版 边形ABCD的外角，所以∠DCE=180°-∠BCD=∠A+∠B 题号12 345678 +∠D-180°. 答案DB AD BCAC (3)y-x=180(n-3) 附加题(1)正确. 二、9.14；10.答案不惟-，如AB=CD;11.30°； 12.6: (2)设应加内角的度数为x,所加外角的度数为y.根据题 三、13.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC, 意，得(n-2)×180°=2020°-y+x OB=OD.因为AE=CF,所以OA+AE=OC+CF,即OE= 因为-180°<x-y<180°， OF.因为BG=DH,所以OB-BG=OD-DH,即OG=OH.所 所以2020°-180°<(n-2)×180°<2020°+180°.解 以四边形EGFH是平行四边形. 得122 <a<14号 14.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AD= BC.所以∠AEB=∠DAE.因为AB=AE,所以∠B=∠AEB. 因为n是正整数，所以n=13或14.所以嘉嘉求的是十三 所以∠B=∠DAE.在△ABC和△EAD中，因为AB=EA,∠B 边形或十四边形的内角和. =∠DAE,BC=AD,所以△ABC≌△EAD(SAS). 第38期2版 15.因为四边形ABCD是平行四边形，AB=4,所以CD= 19.2平行四边形 AB=4,AD∥BC.因为∠ACB=30°，所以∠DAC=∠ACB= 19.2.1平行四边形的性质 30°.根据折叠的性质，得AE=AD,CD=CE,∠ACD=90°.所 基础训练1C;2.C;3.2或8；4.1.5. 以∠D=90°-∠DAC=60°.所以△ADE是等边三角形.所以 5.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,BC= AD=AE=DE=2CD=8.所以△ADE的周长为：8×3=24. AD,∠ABC=∠ADC.因为△BCE和△CDF都是等边三角形， 16.(1)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD= 所以CD=DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF=60°.所以AB= ∠EBD.因为ED∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以∠EBD= DF,BE=AD,∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF,即∠ABE= ∠EDB.所以BE=ED.因为BE=CF,所以ED=CF:所以四 ∠FDA.所以△ABE≌△FDA(SAS).所以AE=AF 边形EFCD是平行四边形. 6.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，所以 (2)因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60°，所以 AD∥BC,∠D=∠B=60°.所以∠BAD=180°-∠B=120. ∠ABD=7∠ABC=30因为∠ADB=10°，所以∠A= 因为AE⊥BC,AF⊥CD,所以∠AEB=∠AFD=90°.所以 180°-∠ABD-∠ADB=50°.因为四边形EFCD是平行四边 ∠BAE=90°-∠B=30°，∠DAF=90°-∠D=30°.所以 形，所以EF∥AC.所以∠AEF=180°-∠A=130°. ∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60. 17.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD, (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BC=6,所以AD= AB∥CD.因为CE=AB,所以CE=CD.所以∠CDE=∠CED BC:6由（①）知∠DMF=30所以DF=2A4D=3.由勾股 =(180-∠DCE)=90-∠DCR所以∠AED= 定理，得AF=AD-DF2=35. ∠CDE=90-7∠DCE 能力提高7.B. (2)延长DA,FE交于点M,图略.因为四边形ABCD是平 19.2.2.1平行四边形的判定 行四边形，所以AD∥BC.所以∠M=∠EFB.因为E是AB的 基础训练1.B;2.A;3.D;4.是 中点，所以AE=BE.由对顶角相等，得∠AEM=∠BEF.所以 5.因为a2+b2+c2+f=2ac+2bd,所以(a-c)2+(b- △AEM≌△BEF(AAS).所以ME=FE,AM=BF=2.所以 d)2=0.所以a=c,b=d.所以四边形ABCD是平行四边形 DM=AD+AM=6.因为DF⊥BC,AD∥BC,所以DF⊥AD, 6.由对顶角相等，得∠AOE=∠COD.在△AOE和△COD 即∠MDF=90°.在Rt△MDF中，由勾股定理，得MF= 中，因为∠EA0=∠DC0,A0=C0,∠AOE=∠COD,所以 △AOE≌△COD(ASA).所以OE=OD.所以四边形AECD是 VDn+DF=6E.所以EF=MF=35. 平行四边形. 附加题(I)因为AC=AE,BC=BE,所以AB⊥CE, 能力提高7.4. ∠AEC=∠ACE,∠BEC=∠BCE.所以∠AEC+∠BEC= 19.2.2.2三角形的中位线 ∠ACE+∠BCE,即∠AEB=∠ACB.因为∠AEB=∠CAD,所 以∠ACB=∠CAD.所以BC∥AD.因为CD⊥CE,所以AB∥ 基础训练1.B;2.D;3.C；4.4. CD.所以四边形ABCD是平行四边形. 5.因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中点，所 (2)过点A作AG⊥CD于点G,图略.所以AG∥CF.因为 以PE=之AD,P=BC因为AD=BC,所以PE=PE所 AB∥CD,AB⊥CE,所以CF=AG.根据勾股定理，得AC-CG 以∠PFE=∠PEF=18° =AD2-DC,即4-(3-DG)2=32-DGC.解得DG=号 6.因为CD是△ABC的中线，所以AD=DB.因为EF= AE,所以DE∥BF.又因为CF∥AB,所以四边形DBFC是平行 所以GF=AG=VD-D派=45因为AC=AE,B 四边形. 能力提高7.4. CE,所以CE=2CF=85 3 3 初中数学·沪科八年级(AH) 第36~39期 第39期2版 第39期3版 19.3矩形、菱形、正方形（矩形） 题号 1 23456 78 19.3.1.1矩形的性质 答案A C D CC D C B 基础训练1D;2.D;3.110. 4.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,∠B= 二、9.35°； 10.45；11.6:2子 90°.所以∠DAF=∠AEB.因为DF⊥AE,所以∠AFD=90° 三、13.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC=AD= =∠B.又因为DA=AE,所以△DFA≌△ABE.所以DF=AB. 8.因为AB=6,AC=10,所以AC=AB2+BC2.所以∠B= (2)因为AB=4,所以DF=4.因为四边形ABCD是矩形， 90°.所以平行四边形ABCD是矩形. 所以∠ADC=90°.因为∠FDC=30°，所以∠ADF=∠ADC- ∠FDC=60°.所以∠DAF=90°-∠ADF=30°.所以AD= 14.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC.所以∠F 2DF=8. =∠BCE.因为E是AB的中点，所以AE=EB.由对顶角相等， 得∠AEF=∠BEC.所以△AEF≌△BEC(AAS). 能力提高5.45. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°.因为∠F 6.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.所以 =30°，所以CF=2CD=8. ∠BAC=∠FCO.由对顶角相等，得∠AOE=∠COF.又因为 15.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AE∥BC. AE=CF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF. 又因为CE∥BD,所以四边形BCED是平行四边形.所以CE= (2)连接OB,图略.因为△AOE≌△COF,所以OA=OC, BD.因为CE=AC,所以AC=BD.所以四边形ABCD是矩形. 即O为矩形ABCD对角线的交点.所以OA=OB.所以∠BAC (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=90°，BC= =∠ABO.因为BE=BF,OE=OF,所以BO⊥EF.在Rt△BEO 中，∠BEF+∠ABO=90°.因为∠BEF=2∠BAC,所以 AD=3.根据勾股定理，得BD=√AB+AD=5.所以四边形 2∠BAC+∠BAC=90°.解得∠BAC=30°.因为四边形ABCD BCED的周长为：2(BC+BD)=16. 是矩形，所以∠ABC=90°.因为BC=2,所以AC=2BC=4. 16.因为矩形ABCD≌矩形AEFG,所以AB=AE=1, 根据勾股定理，得AB=√AC-BC=235. ∠DAB=∠FEA=90°，AD=BC=2.所以∠ABE=∠AEB, 19.3.1.2直角三角形斜边上的中线 ∠ABE+∠ADB=90°，∠AEB+∠DEF=180°-∠FEA= 90°.所以∠DEF=∠ADB.所以EH=DH.在Rt△AEH中，根 基础训练1.D;2.C;3.C:4 2 据勾股定理，得EⅢ+AE2=AP,即(2-AH)2+12=A.解 5.连接CE,图略. (I)因为CD=CB,E为BD的中点，所以CE⊥BD.所以 得初=子 ∠A5C=90因为F为AC的中点，所以EF=号4C=1. 17.(1)因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线，所以AD ⊥BC,∠CAD=之LBAC所以∠ADC=902.因为AW为 (2)BC=AM+DM.理由如下： 因为∠BAC=45°，所以∠ACE=90°-∠BAC=45°.所 △ABC外角LCAM的平分线，所以∠CAN=之∠CAM所以 以AE=CE.因为F为AC的中点，所以EF垂直平分AC.所以 AM=CM.所以BC=CD=CM+DM=AM+DM. ∠DAE=∠CAD+∠CAN=90°.因为CE⊥AN,所以∠AEC= 90°.所以四边形ADCE是矩形. 19.3.1.3矩形的判定 基础训练1.D;2.B; (2)四边形ABDE是平行四边形.证明如下： 3.答案不惟一，如DE=FG;4.13. 由(I)知，四边形ADCE是矩形.所以AE=CD,AC=DE. 5.因为BE∥DF,所以∠DFC=∠AEB.所以180°- 又因为AB=AC,BD=CD,所以AB=DE,AE=BD.所以四边 ∠DFC=18O°-∠AEB,即∠DFA=∠BEC.因为DF=BE,AF 形ABDE是平行四边形. =CE,所以△AFD≌△CEB.所以∠DAC=∠BCA,AD=CB. (3)DF∥AB,DF=B 所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.又因为∠BAD 附加题(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A= =90°，所以四边形ABCD是矩形. ∠ADC=∠B=∠C=90°，AB=CD.由折叠的性质，得AB= 能力提高6.4. PD,∠A=∠P=90°，∠B=∠PDF=90°.所以PD=CD, 7.(1)因为AD∥BC,所以∠D+∠C=180°.因为∠A= ∠PDF=∠ADC,∠P=∠C.所以∠PDF-∠ADF=∠ADC- ∠D=90°，所以∠C=∠A=∠D=90°.所以四边形ABCD是 ∠ADF,即∠PDE=∠CDF.所以△PDE兰△CDF(ASA). 矩形. （2)根据折叠的性质，得∠BGE=∠A=90°，BG=AB= (2)过点E作EG⊥BC于点G,图略.所以∠EGF=∠EGB 6,AE=GE.所以∠EGF=180°-∠BGE=90°.因为E是AD =90°.所以四边形ABGE和四边形EGCD都是矩形.所以AE= 的中点，所以AE=DE.所以DE=GE.因为EF=EF,所以 BG,DE=CG,EG=CD=4.在Rt△EGF中，由勾股定理，得FG Rt△DEF≌Rt△GEF(HL).所以DF=GF.所以BF=BG+GF =√EF2-EG=3.由(I)得△PDE≌△CDF.所以PE= =6+DF,因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=6.在 CF,DE=DF=CG=CF+3.由折叠的性质，得AE=PE.在 Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC2+CF2=BF2,即82+(6- Rt△CDF中，由勾股定理，得CD2+CF2=DF2,即CF2+42= DF)2=(6+DF)2.解得DF=8 3 (CP+3)月.解得cP=子所以BC=20F+FG=台 一4