第38期 19.2 平行四边形-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

素养·拓展 数理极 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 专题辅导 0351-5271268 折叠问题是轴对称 报纸发行质量反馈电话 三角形中位线应用宝典 性质的应用，同时考查空 0351-5271248 间想象能力，此类问题可 以涵盖三角形的全等、等 ⊙山东陈建勇 腰三角形、平行线等众多 空 上接4版参考答案 14.延长AG,CD 三角形中位线定理在一个题设下，有两个 C.10 D.7 知识.下面我们就一起学 交于点H,图略 结论：一个是线段之间的位置关系，另一个是线 解：因为D,E,F分别是BC,AC,AB的中点， 习折叠型问题在平行四 因为∠A=∠B 段之间的数量关系.这个定理在证明、计算、作 边形中的应用 =∠C=∠CDE= 所以DE=BF=2AB=3,FE=BD=2BC= 一、求角的度数 行四 ∠AGF=90° 图中都有广泛的应用，是三角形的重要性质之 4.所以四边形BDEF的周长是：2(DE+FE)= 例1如图1，将泽 一.当三角形中有中点时，往往借助三角形中位 所以∠H=(4 14.故选B. 口ABCD沿对角线BD折 -2)×180°-∠A 线定理来解决相关问题， 叠，使点A落在点E处 ∠B-∠C=90° 一、求角度 三、求面积 若∠1=56°，∠2=429 ∠EDH=180° 例1如图1，在Rt△ABC 例3如图3，在△ABC中， 则∠A的度数为( 形的 ∠CDE 90° 中，∠A=30°，点D,E分别是 AB=AC,M,N分别是AB,AC的 ∠FGH=180° 直角边AC,BC的中点，连接 中点，D,E为BC边上的点，连接 ∠AGF=90° DE,则∠CED的度数是 ND,ME.若AB=13cm,BC= 所以∠F=(5 ( 10cm,DE=5cm,则图中阴影部 2)×180° 分的面积为 ( 图3 1 ∠EDH- A.70° B.60° ∠E A.25 cm2 B.35 cm A.108°B.109° C.110° D.111 ∠FGH-∠H C.30° D.20° C.30 cm2 D.42 cm 分析：根据平行四边形的性质得出AB∥ 130°≠140° 解：在Rt△ABC中，∠A=30°，所以∠B CD,从而得到∠ABE=∠1，根据折叠的性质得 所以这个零件 90°-∠A=60°.因为D,E分别是AC,BC的中 解：如图3，连接MN,过点A作AG⊥BC于 出∠ABD的度数，最后由三角形内角和定理得 不合格 点，所以DE∥AB.所以∠CED=∠B=60°.故 点G,设ME与ND相交于点O.因为BC= 出∠A的度数即可. 15.（1)六边形 10cm,M,N分别是AB,AC的中点，所以MN= 选B. 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 ABCDEF的内角和 二、求周长 2BC=5cm因为AB=AC,AG⊥BC,所以BG AB∥CD.所以∠ABE=∠1=56°.由折叠的 为：(6-2)×180 例2如图2，在△ABC 性质，得∠4BD=∠ABE=28因为∠2- =720° 中，D,E,F分别是BC,AC,AB 2BC=5cm由勾股定理，得AG= (2)∠G的度数 42°，所以∠A=180°-∠2-∠ABD=110°.故 的中点.若AB=6,BC=8,则 为110°. √AB2-BG=I2cm.所以图中阴影部分的面 选C. 16.设这个多边 四边形BDEF的周长是 2×5×12= 二、求线段的长度 积为：S△w+S△Om+S△0DE= 形的边数是m.根据 ( 例2如图2，将 题意，得1280°- A.28 B.14 30(cm2).故选C. 口ABCD进行折叠，折叠后 180°<(m-2)× AD恰好经过点C得到AD' 180°<1280°.解得 第37期2版参考答案 -1780°=20°. 若∠BAC=90°，DE=5, CE=4,则线段AC的长度 8<m<9) 19.1多边形 19.1.3多边形的外角和 为 19.1.1多边形的概念 基础训练1.A;2.D;3.A;4.40°； 因为m是正整 分析：由平行四边形的性质可得AD=BC, 数，所以m=9. 基础训练1.C;2.C;3.A. 5.72°. AB=CD,AB∥CD,进而求得∠ECD'的度数， 所以他重复加 4.(1)3,12 6.因为∠ABE是四边形ABCD的外角， 由折叠的性质得到D'E=DE,AD=AD',由勾 的那个角的度数是： (2)因为△ABC边界上的格点数是8，S△c 所以∠ABE+∠ABC=180°. 股定理可求CD'的长，运用方程思想即可得解 1280°-(9-2)× 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 =2×3×4=6,正方形DEFG内的格点数是4， 因为∠ABE=∠D, 180°=20°. AD BC.AB CD DE CE =9.AB//CD. 所以∠ABC+D=180 17.(1)∠ACD 所以∠ACD=∠BAC=90°.所以∠ECD'= S正方形DEFG =3×3=9, 所以 又因为四边形的内角和等于360° =∠A+∠B. 180°-∠ACD=90°.根据折叠的性质，得D'E (2)因为∠A+ r3m+8n-1=6,解得 m=1, 所以∠A+∠C=360°-（∠ABC+∠D) =DE=5,AD'=AD.所以CD'= ∠B+∠BCD+∠D l4m+12n-1=9. 1 n=2 =180°. √D'E2-CE2=3.所以BC=AD'=AC+CD =(4-2)×180°= 7.设这个正多边形的一个外角的度数为x =AC+3.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC 360°，所以∠BCD= (3)18. 3 =AB2+AC2,即(AC+3)2=92+AC2.解得AC 360°-∠A-∠B 能力提高5.原多边形纸片的边数为3或 根据题意，得x+2=180°.解得x=72 =12.故填12. ∠D.因为∠DCE是 4或5.图略 三、证明三角形全等 所以这个正多边形的边数为：360°÷72°=5. 四边形ABCD的外 例3如图3，将口ABCD 19.1.2多边形的内角和 角，所以∠DCE= 能力提高8.根据题意，得王明所走路径 沿对角线BD翻折，点A落在 180°-∠BCD 基础训练1.C;2.C;3.18;4.10. 是一个正多边形.因为王明第一次回到A点时走 点E处，BE交CD于点F.求 ∠A+∠B+∠D- 5.x的值为100. 了72米，每次沿直线走6米转弯，所以这个正多 证：△BCF兰△DEF. 180°. 6.(1)60. 边形的边数为：72÷6=12.所以0=360°÷12 分析：由折叠的性质，得A (3)y-x= (2)∠B的度数为40°. ∠E=∠A,DE=DA,根据平 图 =30° 180(n-3). 行四边形的性质，得∠C=∠A,BC=DA,根据 能力提高7.根据题意，得1780°<(n 第37期3版参考答案 附加题 (1) AAS”即可得解 正确. 2)×180°<1780°+180.解得11氵<m< 题号12345678 证明：由折叠的性质，得∠E=∠A,DE= (2)嘉嘉求的 答案B C B CC A CC DA.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠C 是十三边形或十四 2 =∠A,BC=DA.所以∠C=∠E,BC=DE.由 二、9.2n;10.54;11.8,135°；12.366 边形的内角和 对顶角相等，得∠BFC=∠DFE.在△BCF和 因为n为正整数，所以n=12. 三、13.图略 △DEF中，因为∠BFC=∠DFE,∠C=∠E (全文完) 所以除去的内角的度数为：(12-2)×180° (下转1,4版中缝)】 BC=DE,所以△BCF兰△DEF(AAS). 数评极 2026年3月18日·星期三 初中数学 第38期总第1182期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 品味法 180°，∠A+∠D=180°.因为∠B=∠D,所以 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ∠A=∠C.所以四边形ABCD为平行四边形 P行四边形的判定来“ 方法四、对角线互相平分的四边形是平行 四边形 例4如图5，在 ⊙安徽赵伟娜 口ABCD中，E,F两点在对 平行四边形的判定方法较多，综合性较强， 点P作这条直线的平行线”，一位同学设计出自 角线BD上，且BE=DF,E 涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平 己的尺规作图方案： 连接AE,EC,CF,FA.求 行四边形的性质联系.判定一个四边形是否为 在直线I上取A,B两点（点B在点A的右 证：四边形AECF是平行四边形， 平行四边形是利用平行四边形的性质解决其他侧)，分别以点P为圆心，AB长为半径；再以点B 证明：如图5，连接AC交BD于点O.因为四 问题的基础，所以平行四边形的判定定理是本为圆心，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q(点 边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC,OB= 节的重点 Q和点A在直线PB的两侧)，如图3，PQ所在的 OD.因为BE=DF,所以OB-BE=OD-DF 方法一、两组对边分别平行的四边形是平直线即为所求.通过所学知识判断这个方案是 即OE=OF.所以四边形AECF是平行四边形. 行四边形 的（填“正确”或“错误”） 方法五、一组对边平行且相等的四边形是 例1如图1，在口ABCD 平行四边形 中，AB=8,点E是AB上一点， 例5如图6，在四边形 AE=3,连接DE,过点C作CF ABCD中，AC与BD交于点 ∥DE,交AB的延长线于点F, O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足 则BF的长为 图2 图3 图 分别为点E,F,且BE=DF, A.5 B.4 C.3 D.2 解：根据作图，得PA=BQ,PQ=AB.所以∠BAC=∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四 解：因为四边形ABCD是平行四边形，AB= 四边形ABQP是平行四边形.所以PQ∥直线l. 边形. 8,所以DC=AB=8,AB∥CD.因为AE=3,所 故填正确。 证明：因为∠BAC=∠DCA,所以AB∥ 以BE=AB-AE=5.因为CF∥DE,所以四边 方法三、两组对角分别相等的四边形是平CD.因为BE⊥AC,DF⊥AC,所以∠AEB= 形DEFC是平行四边形.所以EF=DC=8.所行四边形 ∠CFD=90°.在△ABE和△CDF中，因为 以BF=EF-BE=3. 例3如图4，在四边形 ∠BAE=∠DCF. 故选C. ABCD中，AB∥CD,∠B= ∠AEB=LCFD,所 以 △ABE ≌ 方法二、两组对边分别相等的四边形是平 ∠D.求证：四边形ABCD为平 BE DF. 行四边形 行四边形 △CDF(AAS).所以AB=CD.所以四边形 例2 如图2，对于几何作图“过直线1外 证明：因为AB∥CD,所以∠B ABCD是平行四边形. 名师点睛： AE平分∠BAD,CF平分∠BCD.求证：AF=CE, 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所 辛行四边牵手角平分线 以∠B=∠D,AD=BC,AB=CD,∠BAD= ∠BCD.因为AE平分∠BAD,CF平分LBCD,所 以∠BB=3∠BA,∠FCD=∠BCD所以 ◎广东谢建铭 ∠EAB=∠FCD.在△ABE和△CDF中，因为 平行四边形具有丰富的性质，与平行四边 二、已知平行四边形一组邻角的平分线 r∠B=∠D, 形相关的考题也多种多样，其中与角平分线有 例2如图2，在口ABCD AB CD. 所以 △ABE 关的问题是近几年命题的热点.下面选取几例中，∠ABC的平分线交AD于点 L∠EAB=∠FCD. 加以说明，供同学们参考 E,∠BCD的平分线交AD于点 △CDF(ASA).所以BE=DF.所以AD-DF= 一、已知平行四边形一个角的平分线 F.若AB=3,AD=4,则EF的 例1如图1，在平行四 长是 图 本周主讲 边形ABCD中，∠ABC的平 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 19.2平行四边形 分线交AD于点E,且∠BEA AD∥CB,AB=DC=3.所以∠CBE=∠AEB, 学习目标：1.理解并掌握平行四边形的 =30°，则∠A的大小为 ∠BCF=∠CFD.因为BE平分∠ABC,CF平分 概念和性质，掌握两条平行线之间的距离处 ∠BCD,所以∠ABE=∠CBE,∠DCF= 处相等 ∠BCF.所以∠ABE=∠AEB,∠DFC= A.150° B.130° 2.理解并掌握判定平行四边形 ∠DCF.所以AE=AB=3,DF=DC=3.因为 C.120° D.100° 的方法」 AD=4,所以AF=AD-DF=1.所以EF=AE 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 3.掌握三角形中位线定理的应用 -AF=2. AD∥BC.因为∠BEA=30°，所以∠CBE= 故填2. 认知重点：1.能运用平行四边形的 ∠BEA=30°.因为BE平分∠ABC,所以∠ABE 三、已知平行四边形一组 性质解决相关的计算问题与证明题 =∠CBE=30°.所以∠A=180°-∠ABE- 对角的平分线 2.掌握平行四边形的判定定理 ∠BEA=120° 例3如图3，点E,F分 与性质定理的综合应用」 故选C 别在口ABCD的BC,AD边上， 素养专练 数理极 19.2.2.1平行四边形的判定 19.2.2.2三角形的中位线 跟踪训练 屋础训练 垦砂训练 GENZONGXUNLIAN 1.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平 1.如图1，CD是△ABC的中线，E,F分别是 19.2平行四边形 行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相 AC,DC的中点，EF=1,则BD的长为( 19.2.1平行四边形的性质 等就可以了，依据是：两条铁轨和夹在铁轨之间的 A.1 B.2 C.3 D.4 两根枕木构成一个平行四边形，即可得到两条铁 垦础训练 轨平行判定铁轨和枕木构成平行四边形的依据 1.在口ABCD中，∠B=50°，则∠D的度数是 是 ) ( ) A.平行线之间的距离处处相等 A.65° B.55° B.一组对边平行且相等的四边形是平行四 图1 图2 2.如图2，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC C.50° D.40° 边形 的中点.若∠B=40°，则∠BDE的度数是 2.如图1，若口ABC0的顶点0，A,C的坐标分 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ( 别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则点B的坐标是 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 A.50°B.40°C.150° D.140° 2.如图1是由4个全等的正三角形拼成的，则 3.如图3，在△ABC中，AB=BC=10,BD平 A.(3,7) B.(5,3) 图中平行四边形有 () 分∠ABC交AC于点D,点F在BC上，且BF=4, C.(7,3) D.(8,2) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 连接AF,点E是AF的中点，连接DE,则DE的长 是 A.1 B.2 C.3 D.4 R 图1 图1 图2 3.已知直线a,b,c在同一平面内，且a∥b八 3.如图2，在口ABCD中，点E,F分别在CD c,a与b之间的距离为5cm,b与c之间的距离为 BC的延长线上，AE∥BD,EF⊥BF,CF=√3，EF 3cm,则a与c之间的距离是 cm. =3,则AB的长是 ( 3 图4 4.如图2，在口ABCD中，对角线AC,BD相交 2 A. B.1 c D.5 4.如图4，在四边形ABCD中，∠ADC=140°， 于点O,线段EF经过点O,AH⊥BC于点H.若AH 4.在四边形ABCD中，∠A=∠C=60°，∠B E,F分别是AB,AD的中点，且∠AFE=50°.若 =2,BC=3,则图中阴影部分的面积是 BC=10,CD=6,则EF= =∠D=120°，则四边形ABCD 平行四 5.如图5，在四边形ABCD中，点P是对角线 5.如图3，在□ABCD中，∠BCD=120°，分别 边形（填“是”或“不是”）. BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点.若AD= 以BC和CD为边作等边△BCE和等边△CDF,连 5.已知四边形ABCD的四条边顺次为a,b,c, BC,∠PEF=18°，求∠PFE的度数 接AE,AF.求证：AE=AF d,且ad2+62+c2+d2=2ac+2bd.求证：四边形 4BCD是平行四边形. 6.如图6，CD是△ABC的中线，E是CD上的 点，连接AE并延长至点F,使得EF=AE,连接 6.如图4，在口ABCD中，∠B=60°，AE⊥ BF,CF.若CF∥AB,求证：四边形DBFC是平行 BC,AF⊥CD,垂足分别为点E,F 6.如图3，在四边形ABCD中，AC与BD相交 四边形 (1)求∠EAF的度数； 于点O,且A0=C0,点E在BD上，满足∠EA0= (2)若BC=6,求线段AF的长. LDCO.求证：四边形AECD是平行四边形. 能刀提高 能刀提高 能刀提高 7.如图7，在△ABC中， ∠B=45°，∠C=60°，AD1 7.如图5，AB∥DC,ED∥ 7.如图4，等边三角形ABC BC,AE∥BD,则图中和△ABD 是一块周长为12的草坪，点P是 BC于点D,BD=45.若E, 面积相等的三角形（不包括 草坪内的任意一点，过点P有三 F分别为AB,BC的中点，则 △ABD)有 ( 条小路PD,PE,PF,且满足PD EF的长为 A.1个 B.2个 ∥AC,PE∥AB,PF∥BC,则三 数理报社试题研究中心 图5 C.3个 D.4个 条小路的总长度为 (参考答案见下期) 数理极 小素养·测评 5 15.（10分)如图14，在平行四边形ABCD中， 同步检 将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线 上的点E处.若∠ACB=30°，AB=4,求△ADE的 TONGBUJIANCE 周长 【检测范围：19.2】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） A B.2 c D.3 题号12345678 答案 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 1.如图1，直线a∥b,则直线a,b之间的距离 9.如图8，当x= 时，四边形ABCD是 8 平行四边形 A.线段AB B.线段AB的长度 C.线段CD D.线段CD的长度 16.(12分)如图15，已知BD是△ABC的角平 图8 分线，点E,F分别在AB,BC边上，且BE=CF,ED 10.如图9，四边形ABCD的对角线相交于点∥BC. O,∠ABD=∠CDB,请添加一个条件 ,使 图1 图2 (1)求证：四边形EFCD是平行四边形； 四边形ABCD是平行四边形（只填一种情况即 2.如图2，A,B两点被一座山隔开，M,N分别 (2)若∠ABC=60°，∠ADB=100°，求 是AC,BC的中点，测量MN的长度为30m,那么AB 可) ∠AEF的度数， 的长度为 11.如图10，在□ABCD的AB,CD边上截取线 () A.30mB.60mC.120mD.160m 段AF,CE,使AF=CE,连接EF,点M,N是线段 3.如图3，在平行四边形ABCD中，∠A= EF上的两点，且EN=FM,连接AW,CM.若 110°，则∠D的度数为 ( ∠CMF=100°，∠CEM=70°，则∠NAF= A.70° B.80° C.110 D.1209 图3 图4 图10 图11 4.已知四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的 12.如图11，在口ABCD中，∠ABC的平分线 17.(12分)如图16，平行四边形ABCD中，点 度数之比，能判定四边形ABCD是平行四边形的是 BE与AD交于点E,F为CD的中点，且EF平分E是AB边上一点，CE=AB,DF⊥BC,交CE于点 ∠BED.若AB=4,DE=1,则BE= G,连接DE,EF. A.1:2:3:4 B.1:2:2:1 三、耐心解一解（共52分） （1)求i证：∠4BD=90°-分∠DC: C.2:2:3:4 D.2:3:2:3 13.(8分)如图12，在口ABCD中，对角线AC, 5.如图4，口ABCD纸片中，∠A=120°，AB=BD相交于点0，点E在CA的延长线上，点F在AC (2)若点E是AB边的中点，AD=4,BF=2, 4,BC=5,剪掉两个角后，得到图形AEFCGH..已知的延长线上，且AE=CF,点G,H均在线段BD上， DF=6,求EF的长. ∠EFC=∠AHG=120°，且EF=1,HG=2,则这且BG=DH.求证：四边形EGFH是平行四边形. 个图形的周长为 ( A.12 B.15 C.16 D.18 图16 6.某街区街道如图5所示，其中CE垂直平分 AF,BD∥CF,BC∥DF.从B站到E站有两条公交 线路；线路1是B→D→A→E,线路2是B→C→ 图12 F→E,则两条线路的长度关系为 A.线路1较短 B.线路2较短 附加题⊙ C.两条线路长度相等 (以下试题供各地根据实际情况选用) D.两条线路长度无法确定 如图，已知AC=AE,BC=BE,∠AEB= ∠CAD,CD⊥CE 14.（10分)如图13，在口ABCD中，E为BC边 (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： 上一点，且AB=AE.求证：△ABC≌△EAD. (2)若AD=CD=3,AC=4,求CE的长 图5 图6 7.如图6，在平行四边形ABCD中，对角线AC, BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于点E.若 图13 AE=2,DE=1,AB=5,则AC的长为( 人2万B52 C.42 D.32 8.如图7，四边形ABCD中， AD∥BC,BC=3,AB=5,AD =6.若点M是线段BD的中点，B 数理报社试题研究中心 则CM的长是 ( 图7 (参考答案见下期)初中数学·沪科八年级(AH)第36~39期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH) 第36~39期 第36期1,2版 -423. 题号12345 67 9 10 21.(1)因为a=1,b=-2(n-2),c=n2-4n,所以4= 答案CBBADBAAC 62-4ac=[-2(n-2)]2-4(n2-4n)=16>0.所以方程有 两个不相等的实数根. 二、11.x≥-6；12.-2；13.90°；14.22； (2)因为x2-2(n-2)x+n2-4n=(x-n)(x-n+4) =0,所以x1=n,x2=n-4.由题意，得AB≠AC.因为△ABC 是等腰三角形，所以有两种情况： 三6)9， 当n=10时，n-4=6.因为6,10,10能组成等腰三角形， 所以n=10符合题意. (2)25-1. 当n-4=10时，n=14.因为10,10,14能组成等腰三角 17.(1)x1=3+25,2=3-25; 形，所以n=14符合题意 (2)x1=3,x2=-4. 综上所述，n的值为10或14时，△ABC是等腰三角形. 18.(1)由题意，得0A=60米，0D=80米，∠A0D=90° 第36期3,4版 在Rt△OAD中，由勾股定理，得AD=√OA+OD=100米. 一、 题号12345678910 因为BD=100米，AB=1002米，所以AD2+BD2=20000, 答案DB CADBAB BB AB2=20000.所以AD2+BD2=AB2.所以∠ADB=90°. 二、11.x(x-1)=182;12.2027;13.52cm; (2)过点B作BE L OD交OD的延长线于点E,图略.所以 ∠BED=90°=∠AOD.所以∠EBD+∠BDE=90°.因为 14.6;15.2或1+√2， ∠ADB=90°，所以∠AD0+∠BDE=90°.所以∠AD0= 三、16.(1)x1=2+6,x2=2-6; ∠EBD.又因为AD=BD,所以△AOD≌△DEB(AAS).所以 (2)x1=-2,2=4 BE=OD=80米，DE=OA=60米.所以OE=OD+DE= 17.(1)原式=-a2+a-5. 140米.在Rt△BE0中，由勾股定理，得OB=√BE+OE= 当a=2-1时，原式=32-9. 20√65米. (2)原式=m-1+m 1 答：地铁B出口与学校O之间的距离是20√65米. 当m=2+√5时，原式=3. 19.(1)设全天包车数的月平均增长率为x. 18.(1)是. 根据题意，得25(1+x)2=64. (2)因为关于x的一元二次方程ax2-5ax+c=0(a≠ 解得x=0.6=60%,2=-2.6(舍去). 0)是“倍根方程”，所以设方程的两根分别为m,2m.由根与系 答：全天包车数的月平均增长率为60% (2)设应将每辆车的全天包车租金降价y元，则十一月份 数的关系，得m+2=,合=2解得m=停台=子 的全天包车数达到(64+亡×8)次 所以c=子4. 2 根据题意，得(120-)(64+六×8)=7920 19.(1)W2-1. 整理，得y2-40y+300=0. 1 解得y=10,y2=30. 1+3 ++5+5+万 因为要尽可能地让利顾客，所以y=30. 5-1 5-5 答：应将每辆车的全天包车租金降价30元 7+网=5+1)5-1)+(5+B)(5-) 20.(1)4,√17-4. 万-5 9-7 (2)5-√/23，√23-4. 万+5)万-5+…+（网+7(V网-Vm） (3)23x-xy+17=23(5-√23)-(5-/23)（√23 之(5-1+5-5+万-5++丽-7)=分（网 -4)+17=5√/23-23-5/23+20+23-423+17=37 -1). 一1 初中数学·沪科八年级(AH)第36~39期 解得x (2)因为CE∥AD,∠D=140°， 2 所以∠DCE=180°-∠D=40° 20.(1)√4+(8-x)产+√1+x. 因为CE平分∠BCD,所以∠BCD=2∠DCE=80°. (2)√73. 所以∠B=(4-2)×180°-∠A-∠BCD-∠D=40°. (3)已知AB=1,DE=2,BD=3,取P为线段BD上一动 能力提高7.根据题意，得1780°<(n-2)×180°< 点，分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AP,EP.设BP= 1780°+180e解得1号<n<12号 x.根据勾股定理，得AP=√2+1，PE=√(3-x)+4.所 因为n为正整数，所以n=12. 以AP+PE=√+1+(3-x)2+4.要使AP+PE的值 所以除去的内角的度数为：(12-2)×180°-1780°= 最小，则需满足A,P,E三点共线，即最小值为AE的长.过点A20° 作AC⊥DE,交ED的延长线于点C,连接AE,图略.所以AC= 19.1.3多边形的外角和 BD=3,CE=AB+DE=3.所以代数式√x2+1+ 基础训练1.A;2.D;3.A;4.40°；5.72°. √(3-x)2+4的最小值为：AE=√AC+CE=32. 6.因为∠ABE是四边形ABCD的外角， 21.(1)过点P作PE⊥CD于点E,图略.设经过xs,P,Q两 所以∠ABE+∠ABC=180°. 点之间的距离是10cm.根据题意，得(16-2x-3x)2+62= 因为∠ABE=∠D, 10心解得气=号= 所以∠ABC+∠D=180°. 5 又因为四边形的内角和等于360°， 答：经过或号，P,0两点之间的距离是10cm 所以∠A+∠C=360°-（∠ABC+∠D)=180 7.设这个正多边形的一个外角的度数为x (2)设经过ys,△PBQ的面积为12cm2. ①当0≤y≤9时，PB=16-3所以号PB~BC= 根据题意，得x+弓=180.解得x=72所以这个正多 2 边形的边数为：360°÷72°=5. ×(16-3y)×6=12.解得y=4; 能力提高8.根据题意，得王明所走路径是一个正多边 ②当9<y≤号时，BP=3y-16,0C=2所以宁BP: 1 形.因为王明第一次回到A点时走了72米，每次沿直线走6米 转弯，所以这个正多边形的边数为：72÷6=12.所以0=360° 0c=7×(3y-16)×2=12解得1=6=-子（含 ÷12=30. 去)； 第37期3版 ③当号<y≤8时，PQ=C0-PC=2-x所以P0: 一、题号123456 78 答案BC B CC A C C BG=分×(2-)×6=12解得y=18(含去) 二、9.2n;10.54:11.8,135°；12.366. 答：经过4s或6s,△PBQ的面积为12cm2. 三、13.图略. 第37期2版 14.延长AG,CD交于点H,图略. 19.1多边形 因为∠A=∠B=∠C=∠CDE=∠AGF=90°， 19.1.1多边形的概念 所以∠H=(4-2)×180°-∠A-∠B-∠C=90°， 基础训练1.C;2.C;3.A. ∠EDH=180°-∠CDE=90°，∠FGH=180°-∠AGF=90°. 4.(1)3,12. 所以∠F=(5-2)×180°-∠EDH-∠E-∠FGH-∠H =130°≠140°. (2)因为△ABC边界上的格点数是8，Sa=2×3×4 所以这个零件不合格。 =6,正方形DEFG内的格点数是4，S正方形DEr6=3×3=9,所以 15.(1)六边形ABCDEF的内角和为：(6-2)×180°= r3m+8n-1=6,解得 m=1, 720. l4m+12n-1=9. 1 n=2 (2)因为六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+ ∠3+∠4+∠5=470°，所以∠GBC+∠C+∠CDG=720°- (3)18. 470°=250°.所以∠G=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG)= 能力提高5.原多边形纸片的边数为3或4或5.图略. 110°. 19.1.2多边形的内角和 16.设这个多边形的边数是m.根据题意，得1280°-180° 基础训练1.C;2.C;3.18;4.10. 5.因为AB∥CD,∠B=70°， <(m-2)×180°<1280e解得8号<m<9号 91 所以∠C=180°-∠B=110°. 因为m是正整数，所以m=9. 因为五边形的内角和为：(5-2)×180°=540°， 所以他重复加的那个角的度数是：1280°-(9-2)×180° 所以x°+120°+140°+70°+110°=540°. =20°. 解得x=100. 17.(1)∠ACD=∠A+∠B. 6.(1)60. (2)因为∠A+∠B+∠BCD+∠D=(4-2)×180°= 初中数学·沪科八年级(AH) 第36~39期 360°，所以∠BCD=360°-∠A-∠B-∠D.因为∠DCE是四 第38期3版 边形ABCD的外角，所以∠DCE=180°-∠BCD=∠A+∠B 题号12 345678 +∠D-180°. 答案DB AD BCAC (3)y-x=180(n-3) 附加题(1)正确. 二、9.14；10.答案不惟-，如AB=CD;11.30°； 12.6: (2)设应加内角的度数为x,所加外角的度数为y.根据题 三、13.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC, 意，得(n-2)×180°=2020°-y+x OB=OD.因为AE=CF,所以OA+AE=OC+CF,即OE= 因为-180°<x-y<180°， OF.因为BG=DH,所以OB-BG=OD-DH,即OG=OH.所 所以2020°-180°<(n-2)×180°<2020°+180°.解 以四边形EGFH是平行四边形. 得122 <a<14号 14.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AD= BC.所以∠AEB=∠DAE.因为AB=AE,所以∠B=∠AEB. 因为n是正整数，所以n=13或14.所以嘉嘉求的是十三 所以∠B=∠DAE.在△ABC和△EAD中，因为AB=EA,∠B 边形或十四边形的内角和. =∠DAE,BC=AD,所以△ABC≌△EAD(SAS). 第38期2版 15.因为四边形ABCD是平行四边形，AB=4,所以CD= 19.2平行四边形 AB=4,AD∥BC.因为∠ACB=30°，所以∠DAC=∠ACB= 19.2.1平行四边形的性质 30°.根据折叠的性质，得AE=AD,CD=CE,∠ACD=90°.所 基础训练1C;2.C;3.2或8；4.1.5. 以∠D=90°-∠DAC=60°.所以△ADE是等边三角形.所以 5.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,BC= AD=AE=DE=2CD=8.所以△ADE的周长为：8×3=24. AD,∠ABC=∠ADC.因为△BCE和△CDF都是等边三角形， 16.(1)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD= 所以CD=DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF=60°.所以AB= ∠EBD.因为ED∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以∠EBD= DF,BE=AD,∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF,即∠ABE= ∠EDB.所以BE=ED.因为BE=CF,所以ED=CF:所以四 ∠FDA.所以△ABE≌△FDA(SAS).所以AE=AF 边形EFCD是平行四边形. 6.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，所以 (2)因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60°，所以 AD∥BC,∠D=∠B=60°.所以∠BAD=180°-∠B=120. ∠ABD=7∠ABC=30因为∠ADB=10°，所以∠A= 因为AE⊥BC,AF⊥CD,所以∠AEB=∠AFD=90°.所以 180°-∠ABD-∠ADB=50°.因为四边形EFCD是平行四边 ∠BAE=90°-∠B=30°，∠DAF=90°-∠D=30°.所以 形，所以EF∥AC.所以∠AEF=180°-∠A=130°. ∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60. 17.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD, (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BC=6,所以AD= AB∥CD.因为CE=AB,所以CE=CD.所以∠CDE=∠CED BC:6由（①）知∠DMF=30所以DF=2A4D=3.由勾股 =(180-∠DCE)=90-∠DCR所以∠AED= 定理，得AF=AD-DF2=35. ∠CDE=90-7∠DCE 能力提高7.B. (2)延长DA,FE交于点M,图略.因为四边形ABCD是平 19.2.2.1平行四边形的判定 行四边形，所以AD∥BC.所以∠M=∠EFB.因为E是AB的 基础训练1.B;2.A;3.D;4.是 中点，所以AE=BE.由对顶角相等，得∠AEM=∠BEF.所以 5.因为a2+b2+c2+f=2ac+2bd,所以(a-c)2+(b- △AEM≌△BEF(AAS).所以ME=FE,AM=BF=2.所以 d)2=0.所以a=c,b=d.所以四边形ABCD是平行四边形 DM=AD+AM=6.因为DF⊥BC,AD∥BC,所以DF⊥AD, 6.由对顶角相等，得∠AOE=∠COD.在△AOE和△COD 即∠MDF=90°.在Rt△MDF中，由勾股定理，得MF= 中，因为∠EA0=∠DC0,A0=C0,∠AOE=∠COD,所以 △AOE≌△COD(ASA).所以OE=OD.所以四边形AECD是 VDn+DF=6E.所以EF=MF=35. 平行四边形. 附加题(I)因为AC=AE,BC=BE,所以AB⊥CE, 能力提高7.4. ∠AEC=∠ACE,∠BEC=∠BCE.所以∠AEC+∠BEC= 19.2.2.2三角形的中位线 ∠ACE+∠BCE,即∠AEB=∠ACB.因为∠AEB=∠CAD,所 以∠ACB=∠CAD.所以BC∥AD.因为CD⊥CE,所以AB∥ 基础训练1.B;2.D;3.C；4.4. CD.所以四边形ABCD是平行四边形. 5.因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中点，所 (2)过点A作AG⊥CD于点G,图略.所以AG∥CF.因为 以PE=之AD,P=BC因为AD=BC,所以PE=PE所 AB∥CD,AB⊥CE,所以CF=AG.根据勾股定理，得AC-CG 以∠PFE=∠PEF=18° =AD2-DC,即4-(3-DG)2=32-DGC.解得DG=号 6.因为CD是△ABC的中线，所以AD=DB.因为EF= AE,所以DE∥BF.又因为CF∥AB,所以四边形DBFC是平行 所以GF=AG=VD-D派=45因为AC=AE,B 四边形. 能力提高7.4. CE,所以CE=2CF=85 3 3 初中数学·沪科八年级(AH) 第36~39期 第39期2版 第39期3版 19.3矩形、菱形、正方形（矩形） 题号 1 23456 78 19.3.1.1矩形的性质 答案A C D CC D C B 基础训练1D;2.D;3.110. 4.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,∠B= 二、9.35°； 10.45；11.6:2子 90°.所以∠DAF=∠AEB.因为DF⊥AE,所以∠AFD=90° 三、13.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC=AD= =∠B.又因为DA=AE,所以△DFA≌△ABE.所以DF=AB. 8.因为AB=6,AC=10,所以AC=AB2+BC2.所以∠B= (2)因为AB=4,所以DF=4.因为四边形ABCD是矩形， 90°.所以平行四边形ABCD是矩形. 所以∠ADC=90°.因为∠FDC=30°，所以∠ADF=∠ADC- ∠FDC=60°.所以∠DAF=90°-∠ADF=30°.所以AD= 14.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC.所以∠F 2DF=8. =∠BCE.因为E是AB的中点，所以AE=EB.由对顶角相等， 得∠AEF=∠BEC.所以△AEF≌△BEC(AAS). 能力提高5.45. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°.因为∠F 6.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.所以 =30°，所以CF=2CD=8. ∠BAC=∠FCO.由对顶角相等，得∠AOE=∠COF.又因为 15.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AE∥BC. AE=CF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF. 又因为CE∥BD,所以四边形BCED是平行四边形.所以CE= (2)连接OB,图略.因为△AOE≌△COF,所以OA=OC, BD.因为CE=AC,所以AC=BD.所以四边形ABCD是矩形. 即O为矩形ABCD对角线的交点.所以OA=OB.所以∠BAC (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=90°，BC= =∠ABO.因为BE=BF,OE=OF,所以BO⊥EF.在Rt△BEO 中，∠BEF+∠ABO=90°.因为∠BEF=2∠BAC,所以 AD=3.根据勾股定理，得BD=√AB+AD=5.所以四边形 2∠BAC+∠BAC=90°.解得∠BAC=30°.因为四边形ABCD BCED的周长为：2(BC+BD)=16. 是矩形，所以∠ABC=90°.因为BC=2,所以AC=2BC=4. 16.因为矩形ABCD≌矩形AEFG,所以AB=AE=1, 根据勾股定理，得AB=√AC-BC=235. ∠DAB=∠FEA=90°，AD=BC=2.所以∠ABE=∠AEB, 19.3.1.2直角三角形斜边上的中线 ∠ABE+∠ADB=90°，∠AEB+∠DEF=180°-∠FEA= 90°.所以∠DEF=∠ADB.所以EH=DH.在Rt△AEH中，根 基础训练1.D;2.C;3.C:4 2 据勾股定理，得EⅢ+AE2=AP,即(2-AH)2+12=A.解 5.连接CE,图略. (I)因为CD=CB,E为BD的中点，所以CE⊥BD.所以 得初=子 ∠A5C=90因为F为AC的中点，所以EF=号4C=1. 17.(1)因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线，所以AD ⊥BC,∠CAD=之LBAC所以∠ADC=902.因为AW为 (2)BC=AM+DM.理由如下： 因为∠BAC=45°，所以∠ACE=90°-∠BAC=45°.所 △ABC外角LCAM的平分线，所以∠CAN=之∠CAM所以 以AE=CE.因为F为AC的中点，所以EF垂直平分AC.所以 AM=CM.所以BC=CD=CM+DM=AM+DM. ∠DAE=∠CAD+∠CAN=90°.因为CE⊥AN,所以∠AEC= 90°.所以四边形ADCE是矩形. 19.3.1.3矩形的判定 基础训练1.D;2.B; (2)四边形ABDE是平行四边形.证明如下： 3.答案不惟一，如DE=FG;4.13. 由(I)知，四边形ADCE是矩形.所以AE=CD,AC=DE. 5.因为BE∥DF,所以∠DFC=∠AEB.所以180°- 又因为AB=AC,BD=CD,所以AB=DE,AE=BD.所以四边 ∠DFC=18O°-∠AEB,即∠DFA=∠BEC.因为DF=BE,AF 形ABDE是平行四边形. =CE,所以△AFD≌△CEB.所以∠DAC=∠BCA,AD=CB. (3)DF∥AB,DF=B 所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.又因为∠BAD 附加题(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A= =90°，所以四边形ABCD是矩形. ∠ADC=∠B=∠C=90°，AB=CD.由折叠的性质，得AB= 能力提高6.4. PD,∠A=∠P=90°，∠B=∠PDF=90°.所以PD=CD, 7.(1)因为AD∥BC,所以∠D+∠C=180°.因为∠A= ∠PDF=∠ADC,∠P=∠C.所以∠PDF-∠ADF=∠ADC- ∠D=90°，所以∠C=∠A=∠D=90°.所以四边形ABCD是 ∠ADF,即∠PDE=∠CDF.所以△PDE兰△CDF(ASA). 矩形. （2)根据折叠的性质，得∠BGE=∠A=90°，BG=AB= (2)过点E作EG⊥BC于点G,图略.所以∠EGF=∠EGB 6,AE=GE.所以∠EGF=180°-∠BGE=90°.因为E是AD =90°.所以四边形ABGE和四边形EGCD都是矩形.所以AE= 的中点，所以AE=DE.所以DE=GE.因为EF=EF,所以 BG,DE=CG,EG=CD=4.在Rt△EGF中，由勾股定理，得FG Rt△DEF≌Rt△GEF(HL).所以DF=GF.所以BF=BG+GF =√EF2-EG=3.由(I)得△PDE≌△CDF.所以PE= =6+DF,因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=6.在 CF,DE=DF=CG=CF+3.由折叠的性质，得AE=PE.在 Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC2+CF2=BF2,即82+(6- Rt△CDF中，由勾股定理，得CD2+CF2=DF2,即CF2+42= DF)2=(6+DF)2.解得DF=8 3 (CP+3)月.解得cP=子所以BC=20F+FG=台 一4