第36期 期中复习-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

+ + + 897ILZS-ISEO 8ZILZS-ISEO - 60.0.0 1-2P2Y 、m).61 gvD() …| n 000:00k igt026元18：006 -N 22+ 径 19.(10分)阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有 20.(11分)如图6-①，C为线段BD上的 一动点，分别过点B, 21.（14分)如图7，在长方形ABCD中，AB=16cm,BC=6cm, 理化分母有理化的方法，一般是把分子、分母都乘同 一个适当的代 D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC.已知AB=2,DE=1,BD 动点P,Q分别以3cm/s,2cm/s的速度从点A,C同时出发，沿规定 √2 8,设CD=x 路线移动， 数式，使分母不含根号.例如： 2 2×2 =2 (1)用含x的代数式表示AC+CE的长为 (1)如图7-①，若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的 (2)AC+CE的最小值是 停止而停止移动，问经过多长时间，P,Q两点之间的距离是10cm? (1)将 分母有理化可得 2+1 (3)请模仿图6-①在网格（图6-②）中构图并求代数式 (2)如图7-②，若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C (2)解关于x的方程：3x- 1 √2+1+√(3-x)2+4的最小值 移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，连接BQ,试求经 21+5++55+7 过多长时间，△PBQ的面积为12cm2? 1 97+99 图6 数理报·初中数学·沪科八年级（期中综合测评卷 数理报·初中数学·沪科八年级（期中综合测评卷 (参考答案见下期) 教理极 2026年3月4日·星期三 初中数学 第36期总第1180期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 期中综合测评卷（一） ◆数理报社试题研究中心 (时间：90分钟满分：120分)】 图1 图2 图3 题 三总分 8.若m,n为方程x2+x-5=0的两根，则m2+6m+5n的值为 得 分 A.0 B.1 C.10 D.15 一、精心选一选 题号 1 3 4 6 89 10 9.实数a,b在数轴上的位置如图2所示，化简1a+11-√(b-1)2 +√(a+b)7的结果是 () 得分 答案 A.2a +2b B.2-2b C.2a+2 D.2a-2 10.如图3，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的 二、细心填一填 11 12 中点E处，点A落在F处，折痕为MN,则线段CN的长是() 14. A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 得分 15. 11.若二次根式√x+6有意义，则x的取值范围是 12.已知关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分）》 是0，则a的值是 1.关于x的方程ax2-x-1=0是一元二次方程，则a的取值范围是 13.如图4，分别以△ABC的三边为一边向外作正方形，它们的面积 ( 分别是S1,S2,S.若S1+S2=S3,则∠1+∠2= A.a>0 B.a<0 C.a≠0 D.a为任意实数 2.计算(-√11)2的结果为 ( A.-11 B.11 C.±11 D.121 D 图4 图5 3.以2,3为直角边的直角三角形的斜边长为 ( 24 A.5 B.13 C.4 D.5 14.已知va-2+(6-3)2=0,则4a-√6的值为 4.下列各式中，化简后能与2合并的是 ( 15.如图5，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,AB+AC= 4,BC=3,则AD= A冯 B.3 2 三、耐心解一解（本大题共6小题，共60分） 16.(8分)计算： C.√12 D.√0.2 5.毛主席在《水调歌头·重上井冈山》上写道“可上九天揽月，可下 a2vs+ -√63 五洋捉鳖”，为我们描绘了科技发展的美好蓝图.如今，我国的航天航海 事业飞速发展，取得了举世瞩目的成就，2025年11月25日神舟二十二号 载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功.某商家抓住这一商机，购进了某 种航天模型玩具，每件的进价为30元.经市场预测，销售定价为50元时， 每周可卖出300件；每降低1元，每周可多卖出20件.如果商家想在一周 2)D-2x(s-3经 时间获利6080元，设每件玩具降价x元，则可列方程为 ( A.(50-x)(300+20x)=6080 B.(50-x-30)(300-20x)=6080 C.(50-x)(300-20x)=6080 D.(50-x-30)(300+20x)=6080 17.(8分)解方程： 6.估计5×(25-√2)的值应在 (1)x2-6x-11=0; A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 7.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动， 如图1，当张角为∠BAF时，J顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm,此时 (2)(x-1)(x+2)=10 底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm,小组成员调整张角的大小继 续探究，最后发现当张角为∠DAF(D是B的对应点)时，顶部边缘D处到 桌面的距离DE为20cm,则底部边缘A处与E处间的距离AE为 A.15 cm B.18 cm C.21 cm D.24 cm (下转第2版) 2 素养专练 数理极 (上接第1版) 20.(12分)阅读文字，解答下列问题： 18.(9分)如图6，小彭同学每天乘坐地铁上学，他观察发现，地铁D出口 我们知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分 和学校0在南北方向街道的同一边，且相距80米，地铁A出口在学校的正东 我们不可能全部写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小 方向60米处，地铁B出口距离D出口100米，距离A出口100√2米. 明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分 (1)求∠ADB的度数； 北 是1，将2减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：因为4<√7<9，即 (2)求地铁B出口与学校O之间的距离 东 2<7<3,所以7的整数部分是2，小数部分是7-2. (1)√17的整数部分是 ,小数部分是 (2)已知6-√23的小数部分是x,则x= ,6+√23的小数部 分是y,则y= ； (3)在(2)的条件下，求√23x-xy+17的值， 19.(10分)随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们 的视野.某共享汽车租赁公司在某地试点投放了一批共享汽车，全天包车的 租金定为每辆120元.据统计，该试点八月份的全天包车数为25次，在租金不 变的基础上，九、十月份的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到 64次. (1)若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车 21.（13分)已知关于x的一元二次方程x2-2(n-2)x+n2-4n=0. 数的月平均增长率； (1)试判断上述方程根的情况； (2)现该公司计划扩大市场，经调查发现，每辆车的全天包车租金每降 (2)已知△ABC的两边AB,AC的长是上述方程的两个实数根，第三边 价10元，则全天包车数增加8次，公司决定从十一月一日起，降低租金，尽可BC的长为10.当n为何值时，△ABC是等腰三角形？ 能地让利顾客，计划十一月份在该试点获利7920元，应将每辆车的全天包车 租金降价多少元？ (参考答案见下期) 十”十十十”十十”十十十"十十十十十++十+十 第34期2版参考答案 -n2,b=2mn,c=m2+n2,所以a,b,c均为正整 18.1勾股定理 所以202+28=2 数.因为(m2-n2)2+(2mn)2=m-2m2n2+n 18.1.1认识勾股定理 所以a2+b2=c2. +4m2n2=m+2m2n2+n,(m2+n2)2=m+ 基础训练1.B;2.18；3.1. 18.1.3勾股定理的应用 2m2n2+n.所以a2+b2=c2.所以a,b,c为勾股 4.(1)16+x2. 基础训练1.C;2.B;3.4m;4.10. 数 (2)x=16 5.小巷的宽度为2.2米. 14.(1)c=41. 3 18.2勾股定理的逆定理 (2)a=6,b=8. 能力提高5.5√3或5√5 基础训练1.C；2.D;3.60;4.2 15.△ABC为直角三角形.理由略. 5.(1)∠CAD=90°. 18.1.2勾股定理的验证 16.这艘轮船沿着直线AB返航至港口B,没有 基础训练1.D;2.4. (2)四边形ABCD的面积是84 触礁的危险 6.(1)∠ABC=90°. 3.连接BF,图略. (2)这架无人机向下飞行的距离(AD的长) 17.它需要爬行的最短路程是10cm. 因为AC=b,所以S正方形ACpE=b2. 附加题(1)方法一：以c为边的正方形的面 由题易得，△BAF为等腰直角三角形 为25米 8 积+两个直角三角形的面积，即最后化简为2+ 所以Sm=Saw+Saw=22+26 第34期3版参考答案 ab; 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积 -aa+=+28- 题号12345678 和+两个直角三角形的面积，即最后化简为a2+ 又因为S正方形ACDE=S四边形ABDP, 答案ACCABDA D b2+ab.根据面积相等，直接得等式c2+ab=a2+ 以6=+- 二、9.9；10.3cm;11.12;12.8,10 b2+ab,所以a2+b2=c2. 三、13.因为m,n为整数，且m>n>1,a=m (2)原路C4长6.5千米 米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通 三、耐心解一解（本大题共6小题，共60分） 期中综合测评卷（二） 道的宽度为 16.(6分)解方程： A.4.5米 B.5米 (1)x2-4x-2=0; (2)x2-4=2(x+2) ◆数理报社试题研究中心 C.5.5米 D.6米 (时间：90分钟满分：120分) 7.如图3，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分 题 的 三 线交于点D,且∠ABD+∠ACD=45°.若AB=15 分 AC=20,则BC= ( 得 分 A.25 B.20 图3 C.15 D.10 、精心选一选 题号 12345 6 789 10 8.我们规定：对于任意的正数m,n的运算“Φ”为：当m<n时， 17.(10分)先化简，再求值： mΦn=2√m+n;当m≥n时，mΦn=2√m-√n,其他运算符号 (1)(a+5)(a-√5)-a(2a-1),其中a=2-1; 得分 答案 意义不变按上述规定，计算(32)-(812)的结果为 A.52 B.-52 数 二、细心填一填 C.4V2 D.-42 数 瑕 9.如图4-①，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D(BD> 14. AD),动点P从B点出发，沿折线BA→AC方向运动，运动到点C停 寢 初 止.设点P的运动路程为x,△BPD的面积为y,y与x的函数图象如 初 得分 图4-②所示，则BC的长为 ( 数学·泸科 (2)m2-1 m+1 √m-2m+1,其中m=2+3, m -m 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.下列各式中，是最简二次根式的是 2V13x A.24 B.√a 级 C.√27 D.II A.3 B.6 C.8 D.9 (期 2.如图1，点E在正方形ABCD的AB边上.若EB=1,EC=2, 10.已知实数a≠b,且满足(a+1)2=3-3(a+1),(b+1) 则正方形ABCD的面积为 =3-3(6+1),则6√a b a 中 +“√名的值为 A.3 B.3 C.5 D.5 中数学·沪科八年级(M期中综合测 A.23 B.-23 18.(9分)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 综合测评卷 C.-2 D.-13 两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为 130米 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，共20分） “倍根方程” 11.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员 (1)请判断一元二次方程x2-6x+8=0 (填“是”或 评 卷 各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则可列方 “不是”)“倍根方程”； 程为 (2)若关于x的一元二次方程ax2-√3ax+c=0(a≠0)是“倍 根方程”，求a和c的关系 3.计算(v48-V2)×√4 3 12.已知x,y为实数，且y=x-2026+√2026-x+1,则x 的结果是 +y的值是 A.3 B.1 C.3 D.23 13.如图5，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从 4.一元二次方程-2x2+4x-3=0根的情况为 () A点绕到正上方B点共四圈.已知易拉罐底面周长是 A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 12cm,高是20cm,那么所需彩带最短长度是 C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根 5.下列各组数中，是勾股数的是 14.已知关于x的一元二次方程x2-5x+m=0,若4 图5 A.√3,4,5 R宁子5 方程有两个实数根为x1,x2,且满足3x1-2x2=5,则实 数m的值是 C.3,4,6 D.25,60,65 15.长方形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在AD边上，且 6.如图2，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开 AN=AB=1.当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时，AD 挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方 的长为初中数学·沪科八年级(AH)第36~39期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH) 第36~39期 第36期1,2版 -423. 题号12345 67 9 10 21.(1)因为a=1,b=-2(n-2),c=n2-4n,所以4= 答案CBBADBAAC 62-4ac=[-2(n-2)]2-4(n2-4n)=16>0.所以方程有 两个不相等的实数根. 二、11.x≥-6；12.-2；13.90°；14.22； (2)因为x2-2(n-2)x+n2-4n=(x-n)(x-n+4) =0,所以x1=n,x2=n-4.由题意，得AB≠AC.因为△ABC 是等腰三角形，所以有两种情况： 三6)9， 当n=10时，n-4=6.因为6,10,10能组成等腰三角形， 所以n=10符合题意. (2)25-1. 当n-4=10时，n=14.因为10,10,14能组成等腰三角 17.(1)x1=3+25,2=3-25; 形，所以n=14符合题意 (2)x1=3,x2=-4. 综上所述，n的值为10或14时，△ABC是等腰三角形. 18.(1)由题意，得0A=60米，0D=80米，∠A0D=90° 第36期3,4版 在Rt△OAD中，由勾股定理，得AD=√OA+OD=100米. 一、 题号12345678910 因为BD=100米，AB=1002米，所以AD2+BD2=20000, 答案DB CADBAB BB AB2=20000.所以AD2+BD2=AB2.所以∠ADB=90°. 二、11.x(x-1)=182;12.2027;13.52cm; (2)过点B作BE L OD交OD的延长线于点E,图略.所以 ∠BED=90°=∠AOD.所以∠EBD+∠BDE=90°.因为 14.6;15.2或1+√2， ∠ADB=90°，所以∠AD0+∠BDE=90°.所以∠AD0= 三、16.(1)x1=2+6,x2=2-6; ∠EBD.又因为AD=BD,所以△AOD≌△DEB(AAS).所以 (2)x1=-2,2=4 BE=OD=80米，DE=OA=60米.所以OE=OD+DE= 17.(1)原式=-a2+a-5. 140米.在Rt△BE0中，由勾股定理，得OB=√BE+OE= 当a=2-1时，原式=32-9. 20√65米. (2)原式=m-1+m 1 答：地铁B出口与学校O之间的距离是20√65米. 当m=2+√5时，原式=3. 19.(1)设全天包车数的月平均增长率为x. 18.(1)是. 根据题意，得25(1+x)2=64. (2)因为关于x的一元二次方程ax2-5ax+c=0(a≠ 解得x=0.6=60%,2=-2.6(舍去). 0)是“倍根方程”，所以设方程的两根分别为m,2m.由根与系 答：全天包车数的月平均增长率为60% (2)设应将每辆车的全天包车租金降价y元，则十一月份 数的关系，得m+2=,合=2解得m=停台=子 的全天包车数达到(64+亡×8)次 所以c=子4. 2 根据题意，得(120-)(64+六×8)=7920 19.(1)W2-1. 整理，得y2-40y+300=0. 1 解得y=10,y2=30. 1+3 ++5+5+万 因为要尽可能地让利顾客，所以y=30. 5-1 5-5 答：应将每辆车的全天包车租金降价30元 7+网=5+1)5-1)+(5+B)(5-) 20.(1)4,√17-4. 万-5 9-7 (2)5-√/23，√23-4. 万+5)万-5+…+（网+7(V网-Vm） (3)23x-xy+17=23(5-√23)-(5-/23)（√23 之(5-1+5-5+万-5++丽-7)=分（网 -4)+17=5√/23-23-5/23+20+23-423+17=37 -1). 一1 初中数学·沪科八年级(AH)第36~39期 解得x (2)因为CE∥AD,∠D=140°， 2 所以∠DCE=180°-∠D=40° 20.(1)√4+(8-x)产+√1+x. 因为CE平分∠BCD,所以∠BCD=2∠DCE=80°. (2)√73. 所以∠B=(4-2)×180°-∠A-∠BCD-∠D=40°. (3)已知AB=1,DE=2,BD=3,取P为线段BD上一动 能力提高7.根据题意，得1780°<(n-2)×180°< 点，分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AP,EP.设BP= 1780°+180e解得1号<n<12号 x.根据勾股定理，得AP=√2+1，PE=√(3-x)+4.所 因为n为正整数，所以n=12. 以AP+PE=√+1+(3-x)2+4.要使AP+PE的值 所以除去的内角的度数为：(12-2)×180°-1780°= 最小，则需满足A,P,E三点共线，即最小值为AE的长.过点A20° 作AC⊥DE,交ED的延长线于点C,连接AE,图略.所以AC= 19.1.3多边形的外角和 BD=3,CE=AB+DE=3.所以代数式√x2+1+ 基础训练1.A;2.D;3.A;4.40°；5.72°. √(3-x)2+4的最小值为：AE=√AC+CE=32. 6.因为∠ABE是四边形ABCD的外角， 21.(1)过点P作PE⊥CD于点E,图略.设经过xs,P,Q两 所以∠ABE+∠ABC=180°. 点之间的距离是10cm.根据题意，得(16-2x-3x)2+62= 因为∠ABE=∠D, 10心解得气=号= 所以∠ABC+∠D=180°. 5 又因为四边形的内角和等于360°， 答：经过或号，P,0两点之间的距离是10cm 所以∠A+∠C=360°-（∠ABC+∠D)=180 7.设这个正多边形的一个外角的度数为x (2)设经过ys,△PBQ的面积为12cm2. ①当0≤y≤9时，PB=16-3所以号PB~BC= 根据题意，得x+弓=180.解得x=72所以这个正多 2 边形的边数为：360°÷72°=5. ×(16-3y)×6=12.解得y=4; 能力提高8.根据题意，得王明所走路径是一个正多边 ②当9<y≤号时，BP=3y-16,0C=2所以宁BP: 1 形.因为王明第一次回到A点时走了72米，每次沿直线走6米 转弯，所以这个正多边形的边数为：72÷6=12.所以0=360° 0c=7×(3y-16)×2=12解得1=6=-子（含 ÷12=30. 去)； 第37期3版 ③当号<y≤8时，PQ=C0-PC=2-x所以P0: 一、题号123456 78 答案BC B CC A C C BG=分×(2-)×6=12解得y=18(含去) 二、9.2n;10.54:11.8,135°；12.366. 答：经过4s或6s,△PBQ的面积为12cm2. 三、13.图略. 第37期2版 14.延长AG,CD交于点H,图略. 19.1多边形 因为∠A=∠B=∠C=∠CDE=∠AGF=90°， 19.1.1多边形的概念 所以∠H=(4-2)×180°-∠A-∠B-∠C=90°， 基础训练1.C;2.C;3.A. ∠EDH=180°-∠CDE=90°，∠FGH=180°-∠AGF=90°. 4.(1)3,12. 所以∠F=(5-2)×180°-∠EDH-∠E-∠FGH-∠H =130°≠140°. (2)因为△ABC边界上的格点数是8，Sa=2×3×4 所以这个零件不合格。 =6,正方形DEFG内的格点数是4，S正方形DEr6=3×3=9,所以 15.(1)六边形ABCDEF的内角和为：(6-2)×180°= r3m+8n-1=6,解得 m=1, 720. l4m+12n-1=9. 1 n=2 (2)因为六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+ ∠3+∠4+∠5=470°，所以∠GBC+∠C+∠CDG=720°- (3)18. 470°=250°.所以∠G=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG)= 能力提高5.原多边形纸片的边数为3或4或5.图略. 110°. 19.1.2多边形的内角和 16.设这个多边形的边数是m.根据题意，得1280°-180° 基础训练1.C;2.C;3.18;4.10. 5.因为AB∥CD,∠B=70°， <(m-2)×180°<1280e解得8号<m<9号 91 所以∠C=180°-∠B=110°. 因为m是正整数，所以m=9. 因为五边形的内角和为：(5-2)×180°=540°， 所以他重复加的那个角的度数是：1280°-(9-2)×180° 所以x°+120°+140°+70°+110°=540°. =20°. 解得x=100. 17.(1)∠ACD=∠A+∠B. 6.(1)60. (2)因为∠A+∠B+∠BCD+∠D=(4-2)×180°= 初中数学·沪科八年级(AH) 第36~39期 360°，所以∠BCD=360°-∠A-∠B-∠D.因为∠DCE是四 第38期3版 边形ABCD的外角，所以∠DCE=180°-∠BCD=∠A+∠B 题号12 345678 +∠D-180°. 答案DB AD BCAC (3)y-x=180(n-3) 附加题(1)正确. 二、9.14；10.答案不惟-，如AB=CD;11.30°； 12.6: (2)设应加内角的度数为x,所加外角的度数为y.根据题 三、13.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC, 意，得(n-2)×180°=2020°-y+x OB=OD.因为AE=CF,所以OA+AE=OC+CF,即OE= 因为-180°<x-y<180°， OF.因为BG=DH,所以OB-BG=OD-DH,即OG=OH.所 所以2020°-180°<(n-2)×180°<2020°+180°.解 以四边形EGFH是平行四边形. 得122 <a<14号 14.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AD= BC.所以∠AEB=∠DAE.因为AB=AE,所以∠B=∠AEB. 因为n是正整数，所以n=13或14.所以嘉嘉求的是十三 所以∠B=∠DAE.在△ABC和△EAD中，因为AB=EA,∠B 边形或十四边形的内角和. =∠DAE,BC=AD,所以△ABC≌△EAD(SAS). 第38期2版 15.因为四边形ABCD是平行四边形，AB=4,所以CD= 19.2平行四边形 AB=4,AD∥BC.因为∠ACB=30°，所以∠DAC=∠ACB= 19.2.1平行四边形的性质 30°.根据折叠的性质，得AE=AD,CD=CE,∠ACD=90°.所 基础训练1C;2.C;3.2或8；4.1.5. 以∠D=90°-∠DAC=60°.所以△ADE是等边三角形.所以 5.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,BC= AD=AE=DE=2CD=8.所以△ADE的周长为：8×3=24. AD,∠ABC=∠ADC.因为△BCE和△CDF都是等边三角形， 16.(1)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD= 所以CD=DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF=60°.所以AB= ∠EBD.因为ED∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以∠EBD= DF,BE=AD,∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF,即∠ABE= ∠EDB.所以BE=ED.因为BE=CF,所以ED=CF:所以四 ∠FDA.所以△ABE≌△FDA(SAS).所以AE=AF 边形EFCD是平行四边形. 6.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，所以 (2)因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60°，所以 AD∥BC,∠D=∠B=60°.所以∠BAD=180°-∠B=120. ∠ABD=7∠ABC=30因为∠ADB=10°，所以∠A= 因为AE⊥BC,AF⊥CD,所以∠AEB=∠AFD=90°.所以 180°-∠ABD-∠ADB=50°.因为四边形EFCD是平行四边 ∠BAE=90°-∠B=30°，∠DAF=90°-∠D=30°.所以 形，所以EF∥AC.所以∠AEF=180°-∠A=130°. ∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60. 17.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD, (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BC=6,所以AD= AB∥CD.因为CE=AB,所以CE=CD.所以∠CDE=∠CED BC:6由（①）知∠DMF=30所以DF=2A4D=3.由勾股 =(180-∠DCE)=90-∠DCR所以∠AED= 定理，得AF=AD-DF2=35. ∠CDE=90-7∠DCE 能力提高7.B. (2)延长DA,FE交于点M,图略.因为四边形ABCD是平 19.2.2.1平行四边形的判定 行四边形，所以AD∥BC.所以∠M=∠EFB.因为E是AB的 基础训练1.B;2.A;3.D;4.是 中点，所以AE=BE.由对顶角相等，得∠AEM=∠BEF.所以 5.因为a2+b2+c2+f=2ac+2bd,所以(a-c)2+(b- △AEM≌△BEF(AAS).所以ME=FE,AM=BF=2.所以 d)2=0.所以a=c,b=d.所以四边形ABCD是平行四边形 DM=AD+AM=6.因为DF⊥BC,AD∥BC,所以DF⊥AD, 6.由对顶角相等，得∠AOE=∠COD.在△AOE和△COD 即∠MDF=90°.在Rt△MDF中，由勾股定理，得MF= 中，因为∠EA0=∠DC0,A0=C0,∠AOE=∠COD,所以 △AOE≌△COD(ASA).所以OE=OD.所以四边形AECD是 VDn+DF=6E.所以EF=MF=35. 平行四边形. 附加题(I)因为AC=AE,BC=BE,所以AB⊥CE, 能力提高7.4. ∠AEC=∠ACE,∠BEC=∠BCE.所以∠AEC+∠BEC= 19.2.2.2三角形的中位线 ∠ACE+∠BCE,即∠AEB=∠ACB.因为∠AEB=∠CAD,所 以∠ACB=∠CAD.所以BC∥AD.因为CD⊥CE,所以AB∥ 基础训练1.B;2.D;3.C；4.4. CD.所以四边形ABCD是平行四边形. 5.因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中点，所 (2)过点A作AG⊥CD于点G,图略.所以AG∥CF.因为 以PE=之AD,P=BC因为AD=BC,所以PE=PE所 AB∥CD,AB⊥CE,所以CF=AG.根据勾股定理，得AC-CG 以∠PFE=∠PEF=18° =AD2-DC,即4-(3-DG)2=32-DGC.解得DG=号 6.因为CD是△ABC的中线，所以AD=DB.因为EF= AE,所以DE∥BF.又因为CF∥AB,所以四边形DBFC是平行 所以GF=AG=VD-D派=45因为AC=AE,B 四边形. 能力提高7.4. CE,所以CE=2CF=85 3 3 初中数学·沪科八年级(AH) 第36~39期 第39期2版 第39期3版 19.3矩形、菱形、正方形（矩形） 题号 1 23456 78 19.3.1.1矩形的性质 答案A C D CC D C B 基础训练1D;2.D;3.110. 4.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,∠B= 二、9.35°； 10.45；11.6:2子 90°.所以∠DAF=∠AEB.因为DF⊥AE,所以∠AFD=90° 三、13.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC=AD= =∠B.又因为DA=AE,所以△DFA≌△ABE.所以DF=AB. 8.因为AB=6,AC=10,所以AC=AB2+BC2.所以∠B= (2)因为AB=4,所以DF=4.因为四边形ABCD是矩形， 90°.所以平行四边形ABCD是矩形. 所以∠ADC=90°.因为∠FDC=30°，所以∠ADF=∠ADC- ∠FDC=60°.所以∠DAF=90°-∠ADF=30°.所以AD= 14.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC.所以∠F 2DF=8. =∠BCE.因为E是AB的中点，所以AE=EB.由对顶角相等， 得∠AEF=∠BEC.所以△AEF≌△BEC(AAS). 能力提高5.45. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°.因为∠F 6.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.所以 =30°，所以CF=2CD=8. ∠BAC=∠FCO.由对顶角相等，得∠AOE=∠COF.又因为 15.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AE∥BC. AE=CF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF. 又因为CE∥BD,所以四边形BCED是平行四边形.所以CE= (2)连接OB,图略.因为△AOE≌△COF,所以OA=OC, BD.因为CE=AC,所以AC=BD.所以四边形ABCD是矩形. 即O为矩形ABCD对角线的交点.所以OA=OB.所以∠BAC (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=90°，BC= =∠ABO.因为BE=BF,OE=OF,所以BO⊥EF.在Rt△BEO 中，∠BEF+∠ABO=90°.因为∠BEF=2∠BAC,所以 AD=3.根据勾股定理，得BD=√AB+AD=5.所以四边形 2∠BAC+∠BAC=90°.解得∠BAC=30°.因为四边形ABCD BCED的周长为：2(BC+BD)=16. 是矩形，所以∠ABC=90°.因为BC=2,所以AC=2BC=4. 16.因为矩形ABCD≌矩形AEFG,所以AB=AE=1, 根据勾股定理，得AB=√AC-BC=235. ∠DAB=∠FEA=90°，AD=BC=2.所以∠ABE=∠AEB, 19.3.1.2直角三角形斜边上的中线 ∠ABE+∠ADB=90°，∠AEB+∠DEF=180°-∠FEA= 90°.所以∠DEF=∠ADB.所以EH=DH.在Rt△AEH中，根 基础训练1.D;2.C;3.C:4 2 据勾股定理，得EⅢ+AE2=AP,即(2-AH)2+12=A.解 5.连接CE,图略. (I)因为CD=CB,E为BD的中点，所以CE⊥BD.所以 得初=子 ∠A5C=90因为F为AC的中点，所以EF=号4C=1. 17.(1)因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线，所以AD ⊥BC,∠CAD=之LBAC所以∠ADC=902.因为AW为 (2)BC=AM+DM.理由如下： 因为∠BAC=45°，所以∠ACE=90°-∠BAC=45°.所 △ABC外角LCAM的平分线，所以∠CAN=之∠CAM所以 以AE=CE.因为F为AC的中点，所以EF垂直平分AC.所以 AM=CM.所以BC=CD=CM+DM=AM+DM. ∠DAE=∠CAD+∠CAN=90°.因为CE⊥AN,所以∠AEC= 90°.所以四边形ADCE是矩形. 19.3.1.3矩形的判定 基础训练1.D;2.B; (2)四边形ABDE是平行四边形.证明如下： 3.答案不惟一，如DE=FG;4.13. 由(I)知，四边形ADCE是矩形.所以AE=CD,AC=DE. 5.因为BE∥DF,所以∠DFC=∠AEB.所以180°- 又因为AB=AC,BD=CD,所以AB=DE,AE=BD.所以四边 ∠DFC=18O°-∠AEB,即∠DFA=∠BEC.因为DF=BE,AF 形ABDE是平行四边形. =CE,所以△AFD≌△CEB.所以∠DAC=∠BCA,AD=CB. (3)DF∥AB,DF=B 所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.又因为∠BAD 附加题(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A= =90°，所以四边形ABCD是矩形. ∠ADC=∠B=∠C=90°，AB=CD.由折叠的性质，得AB= 能力提高6.4. PD,∠A=∠P=90°，∠B=∠PDF=90°.所以PD=CD, 7.(1)因为AD∥BC,所以∠D+∠C=180°.因为∠A= ∠PDF=∠ADC,∠P=∠C.所以∠PDF-∠ADF=∠ADC- ∠D=90°，所以∠C=∠A=∠D=90°.所以四边形ABCD是 ∠ADF,即∠PDE=∠CDF.所以△PDE兰△CDF(ASA). 矩形. （2)根据折叠的性质，得∠BGE=∠A=90°，BG=AB= (2)过点E作EG⊥BC于点G,图略.所以∠EGF=∠EGB 6,AE=GE.所以∠EGF=180°-∠BGE=90°.因为E是AD =90°.所以四边形ABGE和四边形EGCD都是矩形.所以AE= 的中点，所以AE=DE.所以DE=GE.因为EF=EF,所以 BG,DE=CG,EG=CD=4.在Rt△EGF中，由勾股定理，得FG Rt△DEF≌Rt△GEF(HL).所以DF=GF.所以BF=BG+GF =√EF2-EG=3.由(I)得△PDE≌△CDF.所以PE= =6+DF,因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=6.在 CF,DE=DF=CG=CF+3.由折叠的性质，得AE=PE.在 Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC2+CF2=BF2,即82+(6- Rt△CDF中，由勾股定理，得CD2+CF2=DF2,即CF2+42= DF)2=(6+DF)2.解得DF=8 3 (CP+3)月.解得cP=子所以BC=20F+FG=台 一4