精品解析：山东淄博市临淄区2025—2026学年第二学期期中考试七年级数学试题

2025—2026学年度第二学期期中考试 初二数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 下列语句中，属于定义的是（ ） A. 两个锐角的和一定大于 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两点之间线段最短 D. 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 2. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子中，装有5个红球、2个黄球和3个蓝球，所有球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，下列说法正确的是（ ） A. 摸出红球是必然事件 B. 摸出黄球是不可能事件 C. 摸出蓝球是随机事件 D. 摸出黑球是随机事件 4. 如图，下列条件无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 某不等式的解集是，下列表述不正确的是（ ） A. 0是这个不等式的解． B. 不是这个不等式的解． C. 大于的数都是这个不等式的解． D. 小于的数都不是这个不等式的解． 6. 如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙三个同学中有一个在同学们都不在时把教室扫净，事后教师问他们是谁做的好事，甲说：“是乙做的”；乙说：“不是我做的”；丙说：“不是我做的”． 如果他们中有两人说了假话，一人说的是真话，你能判断是谁做的吗．（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 9. 数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 10. 如图，已知，H，J，G分别为，，上一点（），平分，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ②④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①②④⑤ 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 根据数量关系“的一半与1的差不大于”，可列不等式_______________． 12. 要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是________．（写出一个值即可） 13. 一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共24个，它们除颜色外完全相同，其中红球6个．若要使摸出红球的概率为，应再向袋中放入红球的个数为______． 14. 如图，木工师傅在一块长方形木板上画两条平行线的方法：用直角角尺画木板边缘的两条垂线a，b．关于这样画的理由给出下列4种说法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的是______． 15. 在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为______. 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，， （1）求证：； （2）若，求的度数． 17. 按要求解答下列各题： （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得；第一步 移项，得；第二步 合并同类项，得；第三步 系数化成1，得．第四步 根据以上材料，解答下列问题： ①在解答过程中，出现了多处错误，其中最后一处错误在第______步，错误的原因是_____________________； ②请写出解不等式的正确解答过程 18. 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 （1）填空：________，________，________； （2）根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； （3）根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； （4）如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 19. 一次函数和的图像如图所示，且，． （1）关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； （2）若不等式的解集是，求点的坐标． 20. 某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： 优惠方法1：买一只茶壶送一只茶杯； 优惠方法2：按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，x只（不少于4只）茶杯，要使优惠方法2比优惠方法1更省钱，则至少需要购买多少只茶杯? 21. 如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． （1）判定和的位置关系，并说明理由． （2）若，且，求的度数． 22. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准区域“D”，则顾客未中奖；指针对准“A”“B”“C”三个区域，顾客就可以分别获得4元、12元、24元的购物券一张（转到公共线位置时重转），凭购物券可以在商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元． （1）某顾客转动1次转盘，求其获得购物券的概率； （2）若小亮购买了65元商品，他获得购物券的概率是多少? （3）若小丽购买了120元商品，那么： ①她获得12元购物券的概率是多少? ②转转盘和直接获得购物券相比，小丽选择哪种方式更合算?请你通过计算说明． 23. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° （3）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E，与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试 初二数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 下列语句中，属于定义的是（ ） A. 两个锐角的和一定大于 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两点之间线段最短 D. 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了命题、定理、定义，根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A．两个锐角的和一定大于，属于命题，不合题意； B．两直线平行，内错角相等，属于定理，不合题意； C．两点之间线段最短，属于命题，不合题意； D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，属于定义，符合题意； 故选D． 2. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 3. 在一个不透明的袋子中，装有5个红球、2个黄球和3个蓝球，所有球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，下列说法正确的是（ ） A. 摸出红球是必然事件 B. 摸出黄球是不可能事件 C. 摸出蓝球是随机事件 D. 摸出黑球是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据三类事件的定义，结合袋子中球的颜色情况逐一判断选项．其中，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件；随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：袋子中装有个红球、个黄球和个蓝球，没有黑球， 对于选项A：摸出红球不是一定会发生的(还可能摸到黄球或蓝球)，因此摸出红球是随机事件，不是必然事件，A错误； 对于选项B：袋子中有个黄球，所以摸出黄球是有可能发生的，是随机事件，不是不可能事件，B错误； 对于选项C：袋子中有个蓝球，摸球时可能摸到蓝球，也可能摸到红球或黄球，因此摸出蓝球是随机事件，C正确； 对于选项D：袋子中没有黑球，所以摸出黑球是一定不会发生的，属于不可能事件，不是随机事件，D错误． 综上，正确答案是C． 4. 如图，下列条件无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 某不等式的解集是，下列表述不正确的是（ ） A. 0是这个不等式的解． B. 不是这个不等式的解． C. 大于的数都是这个不等式的解． D. 小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 6. 如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式和用几何方法求概率，只需要用阴影部分面积除以整个正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得： 一个阴影小三角形的面积为：， 则阴影部分面积为：， 正方形网格的面积为：， 所以飞镖击中阴影部分的概率为：． 7. 如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 直接根据函数图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可得：当时函数的函数值小于2，故不等式的解集为． 故选：A． 8. 甲、乙、丙三个同学中有一个在同学们都不在时把教室扫净，事后教师问他们是谁做的好事，甲说：“是乙做的”；乙说：“不是我做的”；丙说：“不是我做的”． 如果他们中有两人说了假话，一人说的是真话，你能判断是谁做的吗．（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，首先可以假设甲说的真话，进而可得乙、丙的真假，通过推出互相矛盾得到甲说的假话，进而确定乙是真话和丙是假话，据此可得答案． 【详解】解：假设甲说的真话，那么乙说的假话，丙说的真话，不符合题意； ∴甲说的假话，即不是乙干的， ∴乙说的是真话， ∴丙说的是假话， ∴活是丙干的， 故选：C． 9. 数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 10. 如图，已知，H，J，G分别为，，上一点（），平分，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ②④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①先根据同旁内角互补，可得，再根据平行的传递性即可得到答案； ②根据平行线的性质和角平分线的性质可得到答案； ③根据平行线的性质和角平分线的性质即可得到答案； ④先作出辅助线，多次运用平行线的性质即可得到答案； ⑤辅助线和④中的一样，推导过程仿照④即可得到答案； 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 即，故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 即，故③正确； ④如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 题目中未说明， 即不一定等于，故④错误； ⑤过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 即，故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 根据数量关系“的一半与1的差不大于”，可列不等式_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是根据关键词得到相应的运算顺序．关系式为：的一半减去不大于，据此列不等式． 【详解】解：根据题意，“的一半与的差”表示为， “不大于”即， ∴可列不等式． 故答案为：． 12. 要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是________．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．根据题意解题即可． 【详解】解：由题意，当时， 满足， 但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共24个，它们除颜色外完全相同，其中红球6个．若要使摸出红球的概率为，应再向袋中放入红球的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据概率公式，设放入红球的个数为未知数，结合题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设应再向袋中放入红球个， 根据概率公式可得： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． ∴应再向袋中放入红球的个数为3个． 14. 如图，木工师傅在一块长方形木板上画两条平行线的方法：用直角角尺画木板边缘的两条垂线a，b．关于这样画的理由给出下列4种说法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：如图 ， ， （同旁内角互补，两直线平行）； ， （同位角相等，两直线平行）； ，， （平面内垂直于同一直线的两条直线平行）． 故①③④正确． 15. 在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为______. 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，由题意可知，且在的上方，则，当经过点时，， 此时两直线相交，即可得到时，，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴直线经过定点， ∵无论取何值，始终有， ∴，且在的上方， ∴， 当经过点时， ， ∴， 此时两直线相交， ∴时，， 即且， 故答案为：且． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，， （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质： （1）由两直线平行，内错角相等，可得，，等量代换可得； （2）由邻补角的定义可得，再由平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 按要求解答下列各题： （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得；第一步 移项，得；第二步 合并同类项，得；第三步 系数化成1，得．第四步 根据以上材料，解答下列问题： ①在解答过程中，出现了多处错误，其中最后一处错误在第______步，错误的原因是_____________________； ②请写出解不等式的正确解答过程 【答案】（1），见解析 （2）①四，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；②见解析 【解析】 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： ； 【小问2详解】 解：①四，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； ②解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18. 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 （1）填空：________，________，________； （2）根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； （3）根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； （4）如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】（1）100，， （2）0.8 （3）120 （4） 不会一样，理由如下： 由（2）可知，该运动员投中的概率为0.8，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在0.8左右波动， 故每次试验命中的球数会有所波动，结果不可能跟上一次完全相同． 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． （4）根据概率的意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：，，； 【小问2详解】 由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是0.8； 故答案为：0.8； 【小问3详解】 解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为次， 故答案为：． 【小问4详解】 略 19. 一次函数和的图像如图所示，且，． （1）关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； （2）若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 20. 某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： 优惠方法1：买一只茶壶送一只茶杯； 优惠方法2：按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，x只（不少于4只）茶杯，要使优惠方法2比优惠方法1更省钱，则至少需要购买多少只茶杯? 【答案】至少需要购买25只茶杯． 【解析】 【详解】解：根据题意得， 解得， x为整数， x的最小值为25， 至少需要购买25只茶杯． 21. 如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． （1）判定和的位置关系，并说明理由． （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得和的位置关系； （2）由平行线的性质得到，，根据角的和差得出，再根据，即可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准区域“D”，则顾客未中奖；指针对准“A”“B”“C”三个区域，顾客就可以分别获得4元、12元、24元的购物券一张（转到公共线位置时重转），凭购物券可以在商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元． （1）某顾客转动1次转盘，求其获得购物券的概率； （2）若小亮购买了65元商品，他获得购物券的概率是多少? （3）若小丽购买了120元商品，那么： ①她获得12元购物券的概率是多少? ②转转盘和直接获得购物券相比，小丽选择哪种方式更合算?请你通过计算说明． 【答案】（1） （2）0 （3）①；②选择直接获得购物券更合算 【解析】 【分析】（1）由图算出的圆心角为，即可求解； （2）由得小亮不能获得转动转盘的机会，即可求解； （3）由得能获得一次转动转盘的机会，小丽能获得一次转动转盘的机会， ①根据概率公式即可求解； ②根据概率公式求解，即可判断． 【小问1详解】 解：的圆心角为：， 其未中奖的概率为； 故某顾客转动1次转盘，其中奖的概率为； 【小问2详解】 解：每购买100元商品，才能获得一次转动转盘的机会， ， 若小亮购买了65元商品，他获得购物券的概率是0； 【小问3详解】 解：①由题意得，小丽获得12元购物券的概率为； ②P（获得4元购物券），P（获得12元购物券）， P（获得24元购物券）， （元）， ， 选择直接获得购物券更合算． 23. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° （3）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E，与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 【答案】（1） ，理由如下： 如图①，       ∵， ∴， ∴， ∴． （2），145； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图②， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交于L， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 ∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $