精品解析：江苏 南京市 玄武区2025～2026学年第二学期期中质量调研卷 八年级数学

2025-2026学年度第二学期期中质量调研卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卷上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卷上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 想了解某地区五月份每天的气温变化情况，最适合选用的统计图是（ ） A. 频数分布直方图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 扇形统计图 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计图的合理选择，需根据数据特点及分析目的确定合适的统计图类型． 【详解】解：∵折线图能够表示出数据的变化趋势， ∴想了解某地区五月份每天的气温变化情况，最适合选用的统计图是折线图； 故选B． 2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放苏超联赛 B. 在班级中任选三名同学作数学课代表，则至少有两人是同一性别 C. 今天是小明的幸运日，他买了一张彩票，中奖了 D. 从四大名著中随机抽取一本是《三国演义》 【答案】B 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：∵人的性别只有男和女两类， ∴任选名同学，最多名同学性别不同，剩下名同学必然和其中人性别相同，因此至少有两人是同一性别的事件一定发生，因此B是必然事件； 选项A，C，D中的事件都可能发生也可能不发生，属于随机事件. 4. 为了解某市八年级学生的数学考试情况，评卷人从该市八年级考生中随机抽取了800名考生的数学成绩进行调查．下列说法正确的是（ ） A. 这种调查方式属于普查 B. 调查的总体是八年级学生 C. 样本是随机抽取的800名考生的数学成绩 D. 样本容量是800名学生 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计基础概念，需区分调查方式，明确总体、样本、样本容量的定义，根据定义逐一判断即可。 【详解】解：∵ 本次调查仅从总体中抽取部分对象进行研究，属于抽样调查，不属于普查， ∴A错误； ∵ 本次研究的内容是该市八年级学生的数学考试成绩， ∴总体是该市八年级全体学生的数学考试成绩，不是八年级学生， ∴B错误； ∵ 样本是总体中抽取的用于调查的研究对象， ∴本题样本是随机抽取的800名考生的数学成绩， ∴C正确； ∵ 样本容量是样本中包含的个体数目，是一个纯数值，没有单位， ∴样本容量为800，不是800名学生， ∴D错误. 5. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，根据三角形外角的性质可知． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是的外角， ． 6. 下列二次根式的化简，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和化简规则判断各选项正误，选出化简错误的选项. 【详解】解：A. ，故原化简错误，符合题意； B.=3，故原化简正确，不符合题意； C.，故原化简正确，不符合题意； D.，故原化简正确，不符合题意. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形及特殊四边形的判定定理，逐一判断各选项即可得到正确命题. 【详解】解：∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理， ∴ A正确； ∵ 只有对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定， ∴ B错误； ∵ 存在对角线相等的不规则四边形，既不是矩形也不是等腰梯形， ∴ C错误； ∵ 只有对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅垂直相等无法判定， ∴ D错误， 综上，正确答案为A. 8. 如图所示的三个几何体中，若用C表示底面圆周长，S表示侧面积，表示几何体的母线长，则圆锥侧面积公式可表示为，圆柱的侧面积公式可表示为，请你猜想中间几何体的侧面积公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的上底周长可看成0，，圆柱的两个底面周长相等，，猜想中间几何体的侧面积即可． 【详解】解：根据题意可得：圆锥的上底周长可看成0，即， 圆柱的两个底面周长相等， 即， ∴中间几何体的侧面积可表示为： ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 10. 从一副去掉大小王的扑克中任意抽取一张牌，则以下事件①抽到红桃；②抽到梅花5；③抽到黑色牌；④抽到4，按发生可能性从小到大排列应是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定去掉大小王后扑克牌的总张数，再分别计算四个事件发生的概率，最后根据概率大小从小到大排列即可. 【详解】解：一副去掉大小王的扑克牌，总共有张，共有种等可能的结果. ①抽到红桃，红桃共张，因此. ②抽到梅花，只有张，因此. ③抽到黑色牌，黑色牌包含黑桃和梅花，共张，因此. ④抽到，四个花色各张，共张，因此. 比较概率大小可得 ，即. 故事件按发生可能性从小到大排列为. 11. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为_____． 【答案】 6 【解析】 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，， ∴. 12. 如图，是平行四边形在直角坐标系中，若、点坐标分别是和，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标得出，根据平行四边形的性质得出，，根据点坐标即可得出点坐标． 【详解】解：∵点坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点坐标为，且点在点右侧， ∴点的坐标是． 13. 已知菱形两条对角线的长度分别是10和12，则这个菱形的面积是_____． 【答案】 60 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，菱形的面积为． 14. 如图，在梯形中，，，，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点E，根据矩形的判定与性质可得，在中，利用含30度角的直角三角形性质及勾股定理即可求解. 【详解】解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵，  ∴， ∴ 四边形是矩形， ∴， 在中，，，  ∴， ∴， 由勾股定理得：， ． 15. 如图，以正方形的一边向正方形内作等边，则_____． 【答案】75 【解析】 【分析】由正方形及等边三角形的性质，证明是等腰三角形，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 16. 如图，折叠矩形纸片，使点D落在点B处，再打开，折痕为，若，，连接，则的长是_____． 【答案】5.8 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得 ，设 ，则 ，在中利用勾股定理建立关于 x的方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得， 设 ，则 ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即的长是5.8． 17. 下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】利用平方差公式对进行因式分解，再将各选项正整数分解因数，判断是否为的因数即可． 【详解】解： ， 依次判断各数： ① ，是的因数，能整除； ② ，是的因数，能整除； ③ ，只含一个因数，故不是的因数，不能整除； ④ ，和都是的因数，故是的因数，能整除； ⑤ ，是的因数，能整除； 综上可得，能整除的是①②④⑤． 18. 如图，E为正方形中边上的一点，M、N分别为边、上的动点，且，若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，根据正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形和四边形是平行四边形得到，，，由得当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长，证明得到，进而利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，则四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长， ∵四边形是正方形，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在，， 即的最小值为． 三、解答题（本大题共10小题，共64分．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 20. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数 发芽的粒数 发芽频率 （1）上表中的_____，_____． （2）任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是_____．（结果精确到） （3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗棵，试估计需要准备多少粒这种植物的种子进行发芽培育． 【答案】（1） ， （2） （3） 需要准备粒种子进行发芽培育. 【解析】 【分析】（1）根据发芽频率的计算公式，即可得和的值； （2）大量重复试验中，频率稳定在某一常数附近，该常数就是概率的估计值，据此得到概率； （3）用需要得到的幼苗数量除以估计的发芽概率，即可得到需要准备的种子数量． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得， ． 【小问2详解】 解：观察表格中的频率数据可得，随着试验种子数不断增加，发芽频率逐渐稳定在附近，  ∴任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率； 【小问3详解】 解： （粒） ∴需要准备粒这种植物的种子进行发芽培育． 22. 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下不完整的频数直方图和扇形统计图．（50~60表示大于等于50分同时小于60分，依次类推） 请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查中_____，“”这组的频率是______； （2）在扇形统计图中，“”这组的圆心角为_______°． （3）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数． 【答案】（1）50，0.08 （2）72 （3）672 【解析】 【分析】（1）先利用的人数除以其占比可得总人数，再利用的人数除以总人数即可； （2）由这组人数除以总人数乘以即可； （3）先求解80分（含80分）以上的占比，再利用1200乘以这个百分比即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查中， “”这组的频率是； 【小问2详解】 解：“”这组的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数为672人． 23. 如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE=DG． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由角的等量关系可分别得出△ABG和△DCE是等腰三角形，得出AB=AG，DC=DE，则有AG=DE，从而证得AE=DG． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）， ∴AD∥BC，AB=CD（平行四边形的对边平行，对边相等） ∴∠GBC=∠BGA，∠BCE=∠CED（两直线平行，内错角相等） 又∵BG平分∠ABC，CE平分∠BCD（已知）， ∴∠ABG=∠GBC，∠BCE=∠ECD（角平分线定义） ∴∠ABG=∠AGB，∠ECD=∠CED． ∴AB=AG，CD=DE（在同一个三角形中，等角对等边） ∴AG=DE， ∴AG-EG=DE-EG， 即AE=DG． 24. 已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． （1）求证：是菱形； （2）请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 【答案】（1）见解析 （2）①，②，③，④任意一个即可（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据平行四边形的性质得出点O为、的交点，，根据平行线的性质得出，根据角平分线的判定可得出，根据等角对等边得出，然后根据菱形的判定即可得证； （2）添加①，根据四边形内角和求出，然后根据正方形的判定即可得证；添加②M是的中点，根据线段的垂直平分线的性质得出，结合平行四边形的性质可得出，然后根据正方形的判定即可得证；添加③，证明，得出，则可判断垂直平分，设与的交点为H，则，根据等积法可得出，根据勾股定理得出，则，结合完全平方公式可得出，则，则可判断四边形是菱形，结合，得出菱形是正方形，则，然后根据正方形的判定即可得证；添加④，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，则，然后根据正方形的判定即可得证． 【小问1详解】 证明：连接、， ∵在中，点是它的对称中心， ∴点O为、的交点，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； 【小问2详解】 解：添加①， ∵，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加②M是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加③， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， 设与的交点为H， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴菱形是正方形， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加④， ∵， ∴， ∵， ∴， 又是菱形， ∴是正方形， 故添加①，②，③，④中的任意一个条件，即可使是正方形 25. 对于某些次数较高的多项式，我们可以用“试根法”进行因式分解． 例如，将多项式因式分解． 思路解析：通过观察、尝试，我们发现当时，多项式的值为0，因此因式分解后的结果中一定含有，于是我们设多项式可以分解成，再通过因式分解是整式乘法的逆运算可求出m和n． 解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． （1）用试根法因式分解：； （2）若多项式含有因式和，则这个多项式因式分解的结果是_____． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，仿照题干，设，即可求解； （2）已知两个一次因式，同理设出剩余的二次因式，求出参数后对二次因式继续分解即可得到最终结果． 【小问1详解】 解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：多项式含有因式和， 设， 又， ，， ， ． 26. 如图，在中，、分别是中线，相交于点O，F、G分别是、的中点，连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若， ①求证：四边形是矩形； ②若，，则的长度是_____． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）①证明，得出，，根据等角对等边得出，进而得出，根据平行四边形的性质可得出，最后根据矩形的判定即可得证； ②根据勾股定理求出，，根据平行四边形的性质和线段中点的定义可求出 ，然后在中根据勾股定理求解即可. 【小问1详解】 证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ①证明：∵、分别是中线， ∴，， 又， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形； ②解：∵，、分别是中线， ∴，， 又， ∴，， ∵四边形是平行四边形，F是的中点， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴. 27. 定义：如图1，若正方形的四个顶点分别在的四条边（不含端点）上，则称正方形是的内接正方形． （1）如图2，O是对角线的交点，过点O作直线、分别交、、、于点E、F、G、H． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，且，求证：四边形是正方形； （2）尺规作图：在图3作出的内接正方形；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） （3）若，若存在内接正方形，直接写出的取值范围_____． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①连接、，根据平行四边形的性质判断出、经过O，，证明，得出，同理得出，然后根据平行四边形的判定即可得证； ②先证明四边形是菱形，再证明四边形是矩形即可； （2）连接、相交于O，过点O作的垂线交、于M、N，过O作的垂线，以O为圆心，为半径画弧，交垂线于P、Q，过P作的垂线，交于E ，连接并延长交于F，过O作交于G，交于H，连接、、、即可； （3）找出临界值，当A、G重合时；当A\E重合时，分别求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：①连接、， ∵O是对角线的交点， ∴、经过O，， ∴，， 又， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形； ②∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， 又， ∴菱形是正方形； 【小问2详解】 解：如图，四边形即为所求， 作法：连接、相交于O，过点O作的垂线交、于M、N，过O作的垂线，以O为圆心，为半径画弧，交垂线于P、Q，过P作的垂线，交于E ，连接并延长交于F，过O作交于G，交于H，连接、、、即可； 理由：∵， ∴，，， ∴，， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形； 【小问3详解】 解：当A和G重合时，如图，此时和重合， ∵四边形是正方形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当和重合，如图，此时和重合， ∵四边形是正方形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又正方形的四个顶点分别在的四条边（不含端点）上， ∴当时，存在正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量调研卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卷上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卷上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 想了解某地区五月份每天的气温变化情况，最适合选用的统计图是（ ） A. 频数分布直方图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 扇形统计图 2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放苏超联赛 B. 在班级中任选三名同学作数学课代表，则至少有两人是同一性别 C. 今天是小明的幸运日，他买了一张彩票，中奖了 D. 从四大名著中随机抽取一本是《三国演义》 4. 为了解某市八年级学生的数学考试情况，评卷人从该市八年级考生中随机抽取了800名考生的数学成绩进行调查．下列说法正确的是（ ） A. 这种调查方式属于普查 B. 调查的总体是八年级学生 C. 样本是随机抽取的800名考生的数学成绩 D. 样本容量是800名学生 5. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 6. 下列二次根式的化简，错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8. 如图所示的三个几何体中，若用C表示底面圆周长，S表示侧面积，表示几何体的母线长，则圆锥侧面积公式可表示为，圆柱的侧面积公式可表示为，请你猜想中间几何体的侧面积公式可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为__________． 10. 从一副去掉大小王的扑克中任意抽取一张牌，则以下事件①抽到红桃；②抽到梅花5；③抽到黑色牌；④抽到4，按发生可能性从小到大排列应是_____． 11. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为_____． 12. 如图，是平行四边形在直角坐标系中，若、点坐标分别是和，则点的坐标是_____． 13. 已知菱形两条对角线的长度分别是10和12，则这个菱形的面积是_____． 14. 如图，在梯形中，，，，若，则_____． 15. 如图，以正方形的一边向正方形内作等边，则_____． 16. 如图，折叠矩形纸片，使点D落在点B处，再打开，折痕为，若，，连接，则的长是_____． 17. 下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 18. 如图，E为正方形中边上的一点，M、N分别为边、上的动点，且，若，，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共64分．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 分解因式： （1）； （2）． 21. 下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数 发芽的粒数 发芽频率 （1）上表中的_____，_____． （2）任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是_____．（结果精确到） （3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗棵，试估计需要准备多少粒这种植物的种子进行发芽培育． 22. 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下不完整的频数直方图和扇形统计图．（50~60表示大于等于50分同时小于60分，依次类推） 请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查中_____，“”这组的频率是______； （2）在扇形统计图中，“”这组的圆心角为_______°． （3）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数． 23. 如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE=DG． 24. 已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． （1）求证：是菱形； （2）请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 25. 对于某些次数较高的多项式，我们可以用“试根法”进行因式分解． 例如，将多项式因式分解． 思路解析：通过观察、尝试，我们发现当时，多项式的值为0，因此因式分解后的结果中一定含有，于是我们设多项式可以分解成，再通过因式分解是整式乘法的逆运算可求出m和n． 解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． （1）用试根法因式分解：； （2）若多项式含有因式和，则这个多项式因式分解的结果是_____． 26. 如图，在中，、分别是中线，相交于点O，F、G分别是、的中点，连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若， ①求证：四边形是矩形； ②若，，则的长度是_____． 27. 定义：如图1，若正方形的四个顶点分别在的四条边（不含端点）上，则称正方形是的内接正方形． （1）如图2，O是对角线的交点，过点O作直线、分别交、、、于点E、F、G、H． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，且，求证：四边形是正方形； （2）尺规作图：在图3作出的内接正方形；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） （3）若，若存在内接正方形，直接写出的取值范围_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $