精品解析：江苏省南京市玄武区南京玄武外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年度第二学期八年级数学期中质量监测卷 注意事项：本卷共6页，全卷满分120分，时间为120分钟．请将答案填写（涂）在答题纸的指定区域内在试卷、草稿纸或指定区域外作答均无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 2. 今年我市有近7万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这1000名考生是总体的一个样本 B. 近7万名考生是总体 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 1000名考生是样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体，样本，样本容量，个体．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、这1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故该选项不符合题意； B、近7万名考生的数学成绩是总体，故该选项不符合题意； C、每位考生的数学成绩是个体，故该选项符合题意； D、1000是样本容量，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 下列事件中属于必然事件的个数是（ ） ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则；④367个人中至少有2个人生日相同． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了必然事件．必然事件是指一定发生的事件，①产品可能不合格；②三条线段不一定满足三角形条件；③当时，则；④人超过一年天数，至少两人生日相同，据此进行逐一分析各事件，即可作答． 【详解】解：事件①：生产流水线上的产品可能不合格，不是必然事件； 事件②：三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不是必然事件； 事件③：a为实数，当时，则；故a是实数，则不是必然事件； 事件④：一年最多366天，367人至少有两人生日相同，是必然事件， ∴ 只有事件④是必然事件，共1个， 故选：B 4. 对下列分式约分，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，分别根据分式的基本性质进行化简得出即可． 【详解】解：A、，故此选项正确，符合题意； B、是最简分式，无法变形或化简，故此选项错误，不符合题意； C、分子 与分母无公因式，所以不能约分为，故此选项错误，不符合题意； D、分子与分母无公因式，所以是最简分式，无法变形或化简，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，，、是等腰的两腰，将绕点顺时针进行旋转，得到．当点恰好在的延长线时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A顺时针进行旋转，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB､AD为边向外作等边△ABE､△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A､E之间，连接CE､CF､EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项． 【详解】解：在▱ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB， ∵△ABE、△ADF都是等边三角形， ∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°， ∴DF=BC，CD=BC， ∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC， ∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC， ∴∠CDF=∠EBC， 在△CDF和△EBC中， DF=BC，∠CDF=∠EBC，CD=EB， ∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确； 在▱ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC， ∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC， ∴∠CDF=∠EAF，故②正确； 同理可证△CDF≌△EAF， ∴EF=CF， ∵△CDF≌△EBC， ∴CE=CF， ∴EC=CF=EF， ∴△ECF是等边三角形，故③正确； 当CG⊥AE时， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABG=30°， ∴∠ABC=180°-30°=150°， ∵∠ABC=150°无法求出，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，综合性强，解题的关键是考查学生综合运用数学知识的能力． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 近年以来，食品安全问题备受人们的关注，市场监督部门为了检验某品牌食品的防腐剂含量是否符合国家标准，这种调查适合用_________．（填“普查”、“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】根据“普查”、“抽样调查”的概念即可求解． 【详解】解：检验某品牌食品的防腐剂含量是否符合国家标准适用于抽样调查， 故答案为：抽样调查． 【点睛】本题主要普查和抽样调查的识别，掌握其概念是解题的关键． 8. 不透明的袋子里装有5只红球，3只白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1只球．则摸出可能性较大的是___球（填颜色）． 【答案】红 【解析】 【分析】分别计算出摸出的是红球和白球的概率，然后根据概率的大小进行判断． 【详解】解：从中任意摸出1只球．摸出的是红球的概率=， 摸出的是白球的概率=， 而>， 所以摸出的是红球的可能性大于摸出的是白球的可能性． 故答案为：红． 【点睛】本题考查了可能性的大小：某事件的可能性等于所求情况数与总情况数之比． 9. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 10. 已知，则＝_____________ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】设可得 再代入求解即可． 【详解】解：设 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，设再分别表示x，y，z是解本题的关键． 11. 在平面直角坐标系中，点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，点P是点A和点B的中点，应用中点公式进行列式计算，求解点B的坐标，即可作答． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵点与点B关于点成中心对称， ∴点是的中点 ∵点，点， ∴横坐标：，纵坐标： ∴，． ∴点B的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，根据矩形的对角线相等且互相平分得到，再由，得到，由此可证明是的中位线，则． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即点F为中点， 又∵点E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 13. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 由是线段的垂直平分线得到，继而证明，由菱形的性质结合等腰三角形的性质解得，最后由解答． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题关键．由平行四边形的性质得，由折叠的性质得：，，由三角形外角性质求出，由三角形内角和求出，即可求得的大小． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由折叠的性质得：，， ，， ， 故答案为：． 15. 对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．由※、，从而得出，求出，代入可得答案． 【详解】解：※， ， 由题意，得：， 解得：， ∴． 故答案为：5． 16. 如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 连接，作，由旋转的性质可得，把求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：连接，作交的延长线于H， ∵在菱形中，， ∴． ∵， ∴， ∴， 由旋转可得：， 在和中， ， ∴， ∴， 即求的最小值转化为求的最小值． ∵在中，， ∴， ∵菱形的边长为2， ∴， ∴， ∴， 当E与H重合时，最小值是， ∴的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）本题考查分式的化简求值，先通分，再因式分解约分，化到最简即可得到答案； （2）本题考查分式的化简求值，先通分计算括号里的分式，再因式分解约分化到最简即可得到答案； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，从的范围内选一个合适的整数作为代入求值． 【答案】，当，原式 【解析】 【分析】先把括号内通分，再把分子与分母因式分解和除法运算化为乘法运算，约分后得到最简式，由于x不能取±2，-3，所以把可把x=0代入计算． 【详解】 ， ∵且， ∴在-3≤x＜3的范围内使分式有意义的x的值为． 当，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 19. 环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，结果如下（每组含起点值，不含终点值）： 请解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中C组对应的扇形圆心角的度数是______°； （3）若城区共有400个噪声测量点，请估计该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数． 【答案】（1）见解析 （2）108 （3）该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数有260个． 【解析】 【分析】（1）先由B组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他组的频数可得C组频数，即可补全频数分布直方图； （2）用360°乘以C组频数所占比例即可； （3）用总个数乘以样本中噪声声级低于70dB的测量点的个数所占比例即可． 【小问1详解】 解：∵样本容量为10÷25%=40， ∴C组频数为：40-（4+10+6+8）=12， 补全频数分布直方图如图： ； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是360°×=108°， 故答案为：108； 【小问3详解】 解：估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为400×=260（个）． 答：该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数有260个． 【点睛】本题主要考查扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布直方图，解题的关键是结合频数分布表和扇形统计图得出样本容量及样本估计总体． 20. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 落在“谢谢参与”区域的次数 落在“谢谢参与”区域的频率 （1）填空：______，______； （2）若继续转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近多少？若晓慧去转动该转盘一次，则她转到“谢谢参与”的概率约是多少？结果保留一位小数 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】根据频率和频数的关系求得和的值即可； 利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可． 【小问1详解】 解：；； 故答案为：；； 【小问2详解】 若继续不停转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，晓慧转到“谢谢参与”的概率约是． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21. 已知：，． （1）当时，计算的值； （2）当时，判断与的大小关系，并说明理由； （3）设，若均为非零整数，求的值． 【答案】（1）的值为； （2），理由见解析； （3）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查分式运算和比较大小， 正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． （1）将代入计算的值即可； （2）先求差，再比较差与的大小关系； （3）先表示，再求的整数值，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：当时， ， ∴的值为． 【小问2详解】 解：当时，理由如下： ∵ 或 ∴当 且时，， 当时，， ∴当时，． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵均为非零整数， 时，则； 时，则； 时，则； 时，则； 综上所述：的值为或． 22. 如图，在中，交于点O，点E、点F分别是、的中点，请判断线段、的关系，并证明你的结论． 【答案】且，证明见解析 【解析】 【分析】连接，证明四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：且，理由如下： 如图：连接， ∵四边形为， ∴， ∵点E、点F分别是、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定．熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解题的关键． 23. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，，． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若，，求OE和BG的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴OB＝OD， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OEFG， ∵OGEF， ∴四边形OEFG为平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG为矩形； （2）OE＝10，BG＝4 【解析】 【分析】（1）证OE为△ABD的中位线，则OEFG，再证四边形OEFG为平行四边形，然后根据EF⊥AB，即可得出结论； （2）根据菱形的性质得到AB＝AD＝20，OB＝OD，AC⊥BD，根据直角三角形斜边中线的性质得到OE＝AE＝AD＝10，根据矩形的性质得到∠EFG＝∠AFE＝90°，OG＝EF＝8，FG＝OE＝10，根据勾股定理求出AF＝6，于是得到BG＝4． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝20，OB＝OD，AC⊥BD， ∵点E为AD的中点，AD＝20， ∴OE＝AE＝AD＝10， 由（1）知，四边形OEFG是矩形， ∴∠EFG＝∠AFE＝90°，OG＝EF＝8，FG＝OE＝10， ∴AF＝， ∴BG＝AB−AF−FG＝20−6−10＝4． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 24. 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H． （1）求证：EDC≌HFE； （2）连接BE，CH． ①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论； ②若BC长为2，则AB的长为 时，四边形BEHC为菱形（写出AB长度的求解过程）． 【答案】（1）证明见解析 （2）①四边形是平行四边形，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由旋转和矩形的性质可知，，．再根据平行线的性质得出，然后利用定理即可得证； （2）①由矩形性质可知，再根据全等三角形的性质可得．由旋转得，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得出结论； ②根据菱形的性质和旋转的性质可得，即证明为等边三角形，得出，从而求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得． 【小问1详解】 证明：∵将矩形绕点旋转得到矩形， ∴，，， ∴． 在和中， ∴． 【小问2详解】 解：①四边形是平行四边形，证明如下： 如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，即． ∵， ∴． ∵将矩形绕点旋转得到矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②∵四边形是菱形，长为2， ∴， ∵将矩形绕点旋转得到矩形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点．熟练掌握矩形和旋转的性质是解题关键． 25. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图（1）中，作； （2）在图（2）中，将线段绕C逆时针旋转至（点E为点B的对应点）；过点E作于F．（可以写出必要的文字说明） 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】（1）如图，取与最中间的格线的交点，连接，并延长与格线交点即为点，再依次连接，运用对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出； （2）取格点，连接，由勾股定理及逆定理可得：，；连接，与最中间格线的交点为，连接并延长交上面格线于，取格点，且，记，的交点为，连接并延长交于即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 连接并延长与格线交于点，则即为所求． 【小问2详解】 如图，，即为所求， 取格点，连接， 则，， ∴，， ∴； 同（1）的方法可得：，，连接，于最中间格线的交点为， ∴四边形为平行四边形， ∴， 连接并延长交上面格线于， 则由可得： ，而， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 取格点，且，记，的交点为， ∴为的三条高的交点， ∴， ∵， ∴， 连接并延长交于即可． 【点睛】本题考查的是格点作图题，难度大，考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的高线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟练的利用基本几何图形的性质作图是解本题的关键． 26. 【定义】对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”．如图1，四边形为“等角线四边形”，即，． 【判定探究】下列语句能判断四边形是“等角线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为的平行四边形． 【性质探究】以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，判断与的大小关系是 （填“>，<，≥或≤”），并说明理由； 【学习应用】若“等角线四边形”的对角线长为2，的最小值为 ． 【答案】[判定探究]①②；[性质探究]；[学习应用] 【解析】 【分析】[判定探究]根据定义即可求解． [性质探究]证明四边形是平行四边形，根据即可求解； [学习应用]先构造平行四边形，可得对应线段相等，再求出，构造直角三角形求出，即可得出答案； 【详解】解：[判定探究] ①对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故①是“等角线四边形”． ②对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为，故②是“等角线四边形”； 对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等， ∴不能判断③是“等角线四边形”； 故答案为：①②； [性质探究] 是等边三角形 ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 中，， 即； [学习应用]如图，过作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵“等角线四边形”的对角线长为2， ∴， ∴． ∵， ∴． 过点C作，交于点H， ∵，， ∴，， 在中，， 则， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 【点睛】本题考查了四边形综合问题，新定义问题，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，中点四边形性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三边关系，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 27. 【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【解析】 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由模型呈现知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 过点F作于P，连接， 则四边形是矩形， ，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接， 正方形是轴对称图形，F为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由模型呈现知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ， ，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ， ，，， 则， 是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期八年级数学期中质量监测卷 注意事项：本卷共6页，全卷满分120分，时间为120分钟．请将答案填写（涂）在答题纸的指定区域内在试卷、草稿纸或指定区域外作答均无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 今年我市有近7万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这1000名考生是总体的一个样本 B. 近7万名考生是总体 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 1000名考生是样本容量 3. 下列事件中属于必然事件的个数是（ ） ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则；④367个人中至少有2个人生日相同． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 对下列分式约分，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，、是等腰的两腰，将绕点顺时针进行旋转，得到．当点恰好在的延长线时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB､AD为边向外作等边△ABE､△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A､E之间，连接CE､CF､EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 近年以来，食品安全问题备受人们的关注，市场监督部门为了检验某品牌食品的防腐剂含量是否符合国家标准，这种调查适合用_________．（填“普查”、“抽样调查”） 8. 不透明的袋子里装有5只红球，3只白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1只球．则摸出可能性较大的是___球（填颜色）． 9. 若分式的值为零，则x的值是______． 10. 已知，则＝_____________ 11. 在平面直角坐标系中，点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是______． 12. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接，若，则______． 13. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为__________． 14. 如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为______． 15. 对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则______． 16. 如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，从的范围内选一个合适的整数作为代入求值． 19. 环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，结果如下（每组含起点值，不含终点值）： 请解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中C组对应的扇形圆心角的度数是______°； （3）若城区共有400个噪声测量点，请估计该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数． 20. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 落在“谢谢参与”区域的次数 落在“谢谢参与”区域的频率 （1）填空：______，______； （2）若继续转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近多少？若晓慧去转动该转盘一次，则她转到“谢谢参与”的概率约是多少？结果保留一位小数 21. 已知：，． （1）当时，计算的值； （2）当时，判断与的大小关系，并说明理由； （3）设，若均为非零整数，求的值． 22. 如图，在中，交于点O，点E、点F分别是、的中点，请判断线段、的关系，并证明你的结论． 23. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，，． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若，，求OE和BG的长． 24. 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H． （1）求证：EDC≌HFE； （2）连接BE，CH． ①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论； ②若BC长为2，则AB的长为 时，四边形BEHC为菱形（写出AB长度的求解过程）． 25. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图（1）中，作； （2）在图（2）中，将线段绕C逆时针旋转至（点E为点B的对应点）；过点E作于F．（可以写出必要的文字说明） 26. 【定义】对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”．如图1，四边形为“等角线四边形”，即，． 【判定探究】下列语句能判断四边形是“等角线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为的平行四边形． 【性质探究】以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，判断与的大小关系是 （填“>，<，≥或≤”），并说明理由； 【学习应用】若“等角线四边形”的对角线长为2，的最小值为 ． 27. 【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $