同角三角函数的基本关系与诱导公式课件-2027届高三数学一轮复习

同角三角函数的基本关系与诱导公式 sin2α＋cos2α＝1 D D CD 3 0 ABD 0 C C C AC A [知识梳理] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： ． (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 公式一 sin (α＋k·2π)＝ sin α(k∈Z) cos (α＋k·2π)＝ cos α(k∈Z) tan (α＋k·π)＝ tan α(k∈Z) 公式二 sin (π＋α)＝－sin α cos (π＋α)＝－cos α tan (π＋α)＝tan α 公式三 sin (－α)＝－sin α cos (－α)＝cos α tan (－α)＝－tan α 公式四 sin (π－α)＝sin α cos (π－α)＝－cos α tan (π－α)＝－tan α 公式五 sin ＝cos α cos ＝sin α 公式六 sin ＝cos α cos ＝－sin α 温馨提示：诱导公式的记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 3．常见的互余和互补的角 互余的角 －α与＋α；＋α与－α；－α与＋α等 互补的角 ＋θ与－θ；＋θ与－θ等 4.常用结论 同角三角函数基本关系的常见变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin α·cos α； sin α＝tan αcos α； sin2α＝＝； cos2α＝＝. [热身训练] 1．计算sin600° 的值是( ). A．　　　 B．－ C．　　　 D．－ 2．已知sin α＝，α∈，则tan α＝( ). A．－2　　　 B．2 C．　　　 D．－ 3．(多选)在平面直角坐标系中，角α的终边经过点(－1，2)，则下列说法正确的有( ). A．＝－ B．cos (5π－α)＝－ C．2sin2α＋sinαcos α－3cos2α＝ D．若α为钝角，则<α< 4．已知tanα＝2，则的值为 ． 5．若sin ＝，则sin ＋cos ＝ ． 题型1　同角三角函数关系的应用 【例1】(1)已知角α满足sin α－cos α＝－.若角α是第三象限角，求tan α的值； (2)已知＝－1，求sin2α＋sinα·cos α＋2的值． 【解析】(1)由题意和同角三角函数基本关系，得消去sin α，得5cos2α－cosα－2＝0，解得cos α＝或cos α＝－.因为角α是第三象限角，所以cos α＝－，sin α＝－，所以tan α＝2. (2)由已知得tan α＝，则sin2α＋sinαcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝. (1)常见的弦化切的结构形式 ①sinα，cos α的一次齐次分式，解决此类问题时，用分子、分母同时除以cos α，将其转化为关于tan α的式子，进而求解． ②sin α，cos α的二次齐次式(如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α)，解决此类问题时，将原式看成分母是1的表达式，把1换成“sin2α＋cos2α”，然后用分子、分母同时除以cos2α，将其转化为关于tanα的式子，进而求解． (2)运用诱导公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 【变式】(1)(多选)(2024·黄冈中学高二期中)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则( ). A． θ∈　　　 B．cos θ＝－ C．tan θ＝－　　　 D．sin θ－cos θ＝ (2)(2025·上海卷)已知tan α＝1，则cos ＝ ． 【解析】因为tan α＝1，即sin α＝cos α，所以cos ＝(cos α－sin α)＝0. 题型2　诱导公式的应用 【例2】已知f (α)＝． (1)化简f (α)； (2)若α是第四象限角，且sin (α－π)＝，求f (α)的值． 【解析】(1)由题意得 f (α)＝＝＝－cos α，所以f (α)＝－cos α. (2)由诱导公式可知sin (α－π)＝－sin α，由sin (α－π)＝，可得sin α＝－，又α是第四象限角，所以cos α＝＝，所以f (α)＝－cosα＝－. 【变式】(1)计算：sin ＋2sin ＋3sin ＝( ). A．1　　　 B． C．0　　　 D．－1 (2)已知sin ＝，则cos ＝( ). A．－　　　 B．－ C．　　　 D． 题型3　同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用 【例3】已知tan (α＋π)＝－4sin . (1)求的值； (2)若α为第四象限角，求sin α＋cos α的值． 【解析】(1)由题意得tan α＝tan (α＋π)＝－6，＝＝＝. (2)由tan α＝＝－6，得sin α＝－6cos α，代入sin2α＋cos2α＝1中，得cos2α＝.因为α为第四象限角，所以cosα＝，sin α＝－＝－，故sinα＋cos α＝－. 【变式】(1)(聊城高三联考)已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ). A．　　　 B． C．　　　 D． (2)(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的有( ). A．sin β＝　　　 B．cos (π＋β)＝ C．tan β＝　　　 D．tan β＝ 【解析】因为sin (π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝.若α＋β＝，则β＝－α，所以sin β＝sin ＝cos α＝±，故A符合条件；cos (π＋β)＝－cos ＝－sin α＝－，故B不符合条件；tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故C符合条件；tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故D不符合条件． 三角函数化简求值中的数学思想 三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及诱导公式的应用． 角度1　分类讨论思想 【例1】若角α的终边落在直线y＝x上，则sin ＋cos ＝ ． 或－ 【解析】因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α为第一或第三象限角，sin ＋cos ＝－cos α－sin α，当角α为第一象限角时，cos α＝sin α＝，－cos α－sin α＝－－＝－；当角α为第三象限角时，cos α＝sin α＝－，－cos α－sin α＝＋＝. 角度2　周期思想 【例2】设f (n)＝cos ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 026)等于 ． － 【解析】因为f (n＋4)＝cos ＝cos ，所以f (n)是以4为周期的函数，又f (1)＝－，f (2)＝－，f (3)＝，f (4)＝，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 026)＝506[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝－. (1)利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值或化简时，关键是明确条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意三角函数的周期性． 【变式】(1)已知函数f (n)＝cos (n∈N*)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝( ). A．0　　　 B．100 C．50　　　 D．2 (2)在△ABC中，若sin (2π－A)＝－sin (π－B)，cos A＝－cos (π－B)，则C＝ ． π 【解析】由题意得由①2＋②2，得2cos2A＝1，即cosA＝±，当cos A＝时，cos B＝，又A，B是三角形的内角，所以A＝，B＝，所以C＝π－(A＋B)＝π；当cos A＝－时，cos B＝－，又A，B是三角形的内角，所以A＝π，B＝π，不符合题意，舍去． $