精品解析：新疆石河子第一中学2025-2026学年高三下学期5月素养测评数学试卷

石河子第一中学2026届数学素养测评 一、单选题 1. 设复数z满足，，复数z所对应的点位于第四象限，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 记的内角， ， 的对边分别为 ， ，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线 ：（， ）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（ ） A. EF与GH平行 B. EF与GH异面 C. EF与GH的交点一定在直线AC上 D. EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现 点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件与 互斥. D. 对于随机事件与 ，若，，则事件与 独立. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有2个零点和2个极值点 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线 交抛物线于两点，若 为 的准线上任意一点，则（ ） A. 直线若 的斜率为，则 B. 的取值范围为 C. D. 的余弦有最小值为 三、填空题 12. 已知角 满足，则_______. 13. 若的展开式中的系数为20，则的最小值为____________. 14. 三棱锥的各顶点均在球O上，且三棱锥的体积为，球O的体积为，已知 ，，，则动点的轨迹长度为____________． 四、解答题 15. 记为等差数列的前n项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）设函数，记，求数列的前21项和. 16. 为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； （3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 17. 如图，四棱锥 中，底面 ，，. （1）求平面 与平面 所成角的余弦值； （2）已知 ，分别为线段，上的动点，是否存在这样的点 ，，使得， ，，四点共面、且该平面与平面 垂直？若存在，请确定点 ，的位置；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数，是的导函数. （1）当时，证明：； （2）讨论的极值点个数； （3）若有两个极值点，证明：. 19. 已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， （1）求，的方程； （2）若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线 与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； （3）设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段 的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石河子第一中学2026届数学素养测评 一、单选题 1. 设复数z满足，，复数z所对应的点位于第四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设复数，根据已知条件求出可得答案. 【详解】设复数，因为， 所以，又，解得， 因为复数所对应的点位于第四象限，所以， 所以. 故选：B. 2. 设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，，可得到，进行计算即可. 【详解】由题意可知，，所以，对于任意的，有，故需要满足， 若，则存在但，不符合条件， 综上，实数a的取值范围是. 故选：C. 3. 已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量可得数量积，结合夹角公式可得答案. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即； ，； 设向量与向量的夹角为，则， 因为，所以； 故选：D. 4. 记的内角， ， 的对边分别为 ， ，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用余弦定理得出，再应用面积公式计算求解. 【详解】由余弦定理得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 5. 若双曲线 ：（， ）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，，则， 即，即，解得， 故所求渐近线方程为． 6. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（ ） A. EF与GH平行 B. EF与GH异面 C. EF与GH的交点一定在直线AC上 D. EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据题意，证得且，设 和 相交于点 ，得到平面 且平面，进而得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是上的点，且， 所以，且， 又因为点分别是边的中点，所以，且， 所以且，所以 和 相交， 设 和 相交于点 ，则平面 且平面， 因为平面平面，所以点 在直线 上. 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由为奇函数推得，再由为偶函数推得，即得4是的一个周期，通过赋值代入求得，再由周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，即①； 因为为偶函数，所以， 令，则，即， 所以，所以，即②， 所以，所以4是的一个周期． 由① 式，取 ，可得，即得， 又由② 式，取 ，可得 故，， 由② 式，取 ，可得，取，可得， 故， 则. 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对不等式进行变形为，进而把问题转化为函数在区间上单调增，再转化为在上成立的问题， 再通过分离参数，最后构造函数求解问题. 【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在 处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数的应用，关键点在于：对不等式进行变形为,进而把问题转化为函数在区间上单调增是;最后，构造函数,通过导数来求极值与最值,属于较难题. 二、多选题 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件与 互斥. D. 对于随机事件与 ，若，，则事件与 独立. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接根据二项分布的方差公式计算可得；对B根据正态分布的对称性求概率可得；对C直接举反例说明可得；对D根据相互独立事件的定义判断可得. 【详解】对于A，若，二项分布方差公式为， 得：，解得，故A正确； 对于B，正态分布关于对称轴对称，因此， 对于连续型正态分布，单点概率为 ，故： ，故B正确； 对于C，互斥事件的定义是：不可能同时发生的两个事件. 当第一次掷出点（满足事件）， 第二次掷出 点时，两次点数和为奇数（满足事件 ），说明可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 对于D，事件独立的充要条件（）为即. 由得，因为，满足， 因此，事件与 独立，故D正确 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有2个零点和2个极值点 【答案】ABD 【解析】 【详解】函数. 的最小正周期为，所以A正确； ，是函数图象的最高点，所以函数的图象关于直线对称，所以B正确； 当时，， 令，， 因为单调递增，且在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上先单调递增，后单调递减.C错误. 当时，， 当且仅当时，取得极大值；当且仅当时，取得极小值； 当且仅当或时，； 所以在区间上有2个零点和2个极值点，所以D正确. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线 交抛物线于两点，若 为 的准线上任意一点，则（ ） A. 直线若 的斜率为，则 B. 的取值范围为 C. D. 的余弦有最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于抛物线的焦点弦相关问题，首先要熟悉一些二级结论，如A项，若记得焦点弦关于倾斜角的弦长公式则可以秒杀；B项熟悉“以焦点弦 为直径的圆与准线相切”则可以迅速判断结论；而对于C,D两个选项，则需要将直线与抛物线方程联立，借助于韦达定理进行计算推理才可得到. 【详解】对于A选项，由题知， 的斜率为，则， 代入整理得：， 设，则而；故A项错误； 对于B选项，∵以焦点弦 为直径的圆与准线相切， 为 的准线上任意一点， 则点 在以 为直径的圆上或圆外， ∴， 当 在直线 上时，，即的取值范围为，故B项正确； 对于C选项，设，，， 设，联立,消元得：， 则 故，故C项正确； 对于D选项， ， 即的余弦的最小值为，故D项正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的焦点弦的相关问题. 解决过焦点的直线与抛物线相交的相关问题，一般需要二级结论和常规方法相结合，如焦半径，焦点弦的长度公式，以焦半径为直径的圆与轴相切，以焦点弦为半径的圆与准线相切等结论需要熟悉，另外在选设直线方程时，常设成的形式便于计算解题，在代换字母时，常常通过抛物线方程代换计算较易. 三、填空题 12. 已知角 满足，则_______. 【答案】 【解析】 【详解】 ． 13. 若的展开式中的系数为20，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】求得二项式的通项公式，结合题意，求得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 当时，可得的系数，即，即， 则， 当且仅当时，即或时，等号成立， 所以的最小值为 . 14. 三棱锥的各顶点均在球O上，且三棱锥的体积为，球O的体积为，已知 ，，，则动点的轨迹长度为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据外接球的体积求得外接球的半径，再根据三棱锥的体积求得点到平面 的距离，得到点在平行于平面 的平面上，然后求得外接球球心到平面 的距离，进而得到外接球球心到点所在的平面的距离，得到点的轨迹是圆即可. 【详解】如图所示，设三棱锥外接球的半径为， 则由外接球的体积为，解得． 因为 ，，，所以， 所以，所以， 设点到平面 的距离为， 则三棱锥的体积为，解得，即， 所以点在平行于平面 的平面 上． 因为，所以的外接圆的圆心为 的中点，则外接圆的半径为， 所以外接球的球心到平面 的距离为， 即，所以球心到点所在平面 的距离为，即， 在直角中，可得， 所以点的轨迹为以为半径的圆，故动点的轨迹长度为． 四、解答题 15. 记为等差数列的前n项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）设函数，记，求数列的前21项和. 【答案】（1） （2）21 【解析】 【分析】（1）方法一：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行求解即可； 方法二：利用等差数列的性质和前n项和公式进行求解即可； （2）方法一：利用分组求和法进行求解即可； 方法二：判断函数的对称性，利用函数的对称性进行求解即可. 【小问1详解】 方法一：设等差数列的公差为 ，则 解得 所以. 方法二：设等差数列的公差为 ， 因为是等差数列，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 方法一：因为， 所以， 所以 . 方法二：因为， 所以， 所以， 所以曲线关于点中心对称， 因为是等差数列， 所以， 因为的对称中心为， 所以， 同理可得：，, 所以. 16. 为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； （3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】（1）分 （2）分布列见解析，数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望； （3）利用全概率公式可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，这组数据的平均值为： (分)； 【小问2详解】 以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为； 易知， 所以， ， ， . 所以X的分布列为 X的数学期望是. 【小问3详解】 由三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5，得在所有的“滇超达人”中随机抽选一人， 则这名学生是甲、乙、丙三校学生的概率分别是. 已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%， 所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人， 这名学生是“滇超达人”的概率为. 17. 如图，四棱锥 中，底面 ，，. （1）求平面 与平面 所成角的余弦值； （2）已知 ，分别为线段，上的动点，是否存在这样的点 ，，使得， ，，四点共面、且该平面与平面 垂直？若存在，请确定点 ，的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，点 位于线段上的中点、点位于线段上靠近点 的三等分点． 【解析】 【分析】（1）方法一：由面面角的定义确定二面角的平面角，计算即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，由面面角向量法计算求解； （2）由面面垂直的判定定理及四点共面结合相似三角形计算即可求解；方法二：由面面垂直的判定定理及空间向量共面的基本定理计算求解；方法三：建立空间直角坐标系，设，，由面面垂直向量法即空间向量共面的基本定理计算求解. 【小问1详解】 方法一：因为， 所以，即 因为平面平面 ，所以， 又因为平面平面， 所以 平面， 因为平面，所以， 所以为平面与平面 所成的角， 因为，所以， 即平面 与平面 所成角的余弦值为； 方法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， 由已知，， 则， 设平面 的一个法向量为 ， 则，即， 令，则，所以， 因为底面 ，所以平面 的法向量为， 因此平面 与平面 所成角的余弦值为 ； 【小问2详解】 方法一：取线段上的中点 ，因为，所以， 由（1）可知 平面平面，所以， 又因为平面平面 ，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 延长、交于点，连接，并延长交线段于点， 则， ，，四点共面， 过点 作，交延长线于点 ， 因为，所以① 因为，， 所以，同理可得， 所以，，故， 所以 是的中点， 因为，所以② 联立①②可得，即， 所以存在这样的点 ，满足题意， 此时点 位于线段上的中点、点位于线段上靠近点 的三等分点． 方法二：取线段上的中点 ，因为，所以， 由（1）可知 平面平面，所以， 又因为平面平面PBC，所以平面， 因为平面，所以平面平面 ， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， ， 假设存在这样的点，使得， ，，四点共面， 不妨设（其中）， 则， 因为存在唯一的有序实数对，使得， 所以， 解得，此时， 所以存在这样的点 ，满足题意， 此时点 位于线段上的中点、点位于线段上靠近点 的三等分点． 方法三：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， ， 假设存在这样的点 ，， 不妨设（其中），（其中）， 则 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，所以， 因为平面与平面 垂直， 由（1）可得平面 的法向量为 由，可得，此时， 又因为， ，，四点共面， 所以存在唯一的有序实数对，使得， 即， 解得，此时， 所以存在这样的点 ，满足题意， 此时点 位于线段上的中点、点位于线段上靠近点 的三等分点． 18. 已知函数，是的导函数. （1）当时，证明：； （2）讨论的极值点个数； （3）若有两个极值点，证明：. 【答案】（1）证明：当时，， 令，则定义域为，， 当时， ；当时， ； 在上单调递减，在上单调递增， ，即. （2）当时，的极值点个数为 ；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为 （3）证明：由（2）知：若有两个极值点，则，此时； ， ， 要证，只需证， 即证， 只需证，即证， ，， 令，则与交于两点，其中，则， ， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 要证，只需证，即证， ，，在上单调递减， 只需证， 又， 只需证， 令，则， ，，，在上单调递增， ，又，， 即，原不等式得证，即. 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数求解的单调性和最值，从而证得结论； （2）将问题转化为与位置关系的讨论问题，通过导数可求解出的单调性和最值，结合图象进行分析可得正负，进而得到极值点个数； （3）将所证不等式转化为证明，令，则只需证；根据极值点偏移的证明逻辑，构造函数，利用导数可证得，结合分析法可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，；当 时，； 由此可得大致图象如下图所示， ①当，即时，与有唯一交点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有唯一的极小值点，无极大值点； ②当，即时，与交于两点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有一个极小值点，一个极大值点； ③当，即时，恒成立，即 恒成立， 在上单调递减，无极值点； 综上所述：当时，的极值点个数为 ；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为 . 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 19. 已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， （1）求，的方程； （2）若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线 与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； （3）设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段 的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 【答案】（1） ， （2） 或 （3）设，由 得 ， 所以切线的方程为：， 设，，由得：， 由，得：，代入得：， 所以，所以， 由得： ，所以点R在定直线 上． 【解析】 【分析】（1）先将四个点代入抛物线方程，判断哪些点在上，进而求出得到的方程，将剩余的点代入椭圆方程，结合，求出和得到的方程； （2）先求出椭圆的左焦点的坐标，设出直线 的方程联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到坐标的关系，写出 的坐标，令 得到点 的坐标，根据三角形面积公式表示出面积，求出直线的斜率，进而得到直线的方程； （3）设出点 的坐标，通过抛物线切线公式求出切线的方程，联立切线与椭圆的方程，利用韦达定理求出 中点 的坐标，求出直线的方程，再求出过 且垂直于轴的直线方程，联立这两个方程得到点的坐标，通过化简判断其是否在定直线上. 【小问1详解】 抛物线满足与成正比，将四个点代入验证： 点和满足，得，故； 剩余两点、在椭圆上，代入椭圆方程： 将代入得，再代入得， 故； 【小问2详解】 设，，则，由题意可知直线 的斜率存在，， 设直线l的方程为：， 由得： ，此时， 所以，， 由直线BC的方程：得：， 令 ，则， 所以，此时，所以，当最大时， 的面积最大，而，即：，所以当的面积最大时， 直线l的方程为： 或 ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $