新疆石河子第一中学2025-2026学年高三下学期数学周测试卷4月13日

2025-2026学年第二学期数学周测卷答案（4.13) 一。 选择题（共8小题） 题号 2 4 6 8 答案 A A D D B 二。 多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ABC ACD BCD 三.填空题 12.1+3i 13.180 144v 3 四。解答题（共5小题） 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 asin B+bcosA=c. (1)求tanB; A (2)已知角A是钝角，点D在线段BC上，且AD⊥AB.若sin∠CAD=cos2,a=6,求CI 2 【解答】解：(1)由正弦定理及3 asin B+bcosA=c,可得3 sin Asin B+sin B cosA=sinC, 又sinC=sin(A+B)=sinAcos B+cos Asin B,代入上式可得3 sin Asin B=sin Acos B, 又sinA≠0，所以3sinB=cosB,即tanB= A (2)由sin∠CAD=cos 2 22 22 区CAD=A所以4-E=1 222 分别解得A= 2π B 3 B.AC.sin2 于是， BC S.ABC 3 CD S.ACD 2 AD.AC.sin tan B =33, 1 故CD= a_23 353 16、己知函数f)=m-(2a+1x-2,其中aeR. 1 (1)若a=1时，求函数f(x)在1，f(1))处的切线方程； (2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间. 【解答】解：(1)己知函数f=m-(2a+1x-2, 当a=1时，f()=x-3x-2,则f(1)）=1-2=-1, 而f()=1上3+3，则了”(1)=1-3+2=0， 因此函数f(x)在1，f(1))处的切线方程为y=-1: (2)由f)=m-(2a+1m-2,x>0,a>0, 则f田=a 2a+l+2_ar-(2a+0r+2_ac-1r-2）, 2 2 当0<a<时，1>2， 2 a 令f)>0,得0<x<2或x>,令f()<0,得2<x< 1 因此函数f()的单调递增区间为(0,2)，（已，+0），单调递减区间为(2，马)： 当a时、日2，此时wn, a 则函数f(x)的单调递增区间为(0，+o),无单调递减区间； 当a>1时，1<2， 2 令f)>0,得0<x<上或x>2,令f)<0,得<x<2, Q 因此函数fx)的单调递增区间为(0，)，(2，+)，单调递减区间为（亡，2）. a 综上所述，当0<a<时，函数)的单调递增区同为0,2)，（合），单调递减区间为（仁分： 当a=时，函数f)的单调递增区间为(0，+0)，无单调递减区间； 2 1 当a>时，函数f)的单调递增区间为(0，马，(2，+0)，单调递减区间为，2). 17.AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不 同于A,B的任意一点，AB=2AP,三棱锥P-ABC体积的最大值 为 B (1)当∠BAC=无时，求二面角C-PB-A的正弦值： 3 (2)当△PBC的面积最大时，求AC, 【解答】解：(1)设⊙O的半径为r,则PA=r,AB=2r, 因为PA⊥平面ABC,故当三棱锥P-ABC体积取得最大值时，△ABC中AB边上的高最大，即 为半径长， 故有xx2 fxrxF= 8 32 3 解得r=2, 如图以点A为原点，AB,AP所在直线分别为x,z轴，以平面 ABC上过点A的AB的垂线为y轴，建立空间直角坐标系， 因为∠BAC=元，易得AC=r=2, 则A(0,0,0),B(4,0,0),P(0,0,2),C1,3,0), 又BC=(-3,V3,0),BP=(-4,0,2), 设平面PCB的法向量为=(x,y,z), 则 BC⊥i 则 BP⊥i 「8C.m=-3x+5y=0,故可取m=05,2), BP.m=-4x+2z=0 易得平面PAB的一个法向量为i=(0,1,0), i元 36 则cosi,= |.i1×224 设二面角C-PB-A的平面角为6， 则sin0=V1-cos2(i,=1 即二面角C-PB-A的正弦值为 4 (2)由PA⊥平面ABC,BCC平面ABC得PA⊥BC 又AC⊥BC,PA∩AC=BC 所以BC⊥平面PAC 又PCc平面PAC,则BC⊥PC 因此s00-m+4ca4c4+aCi6-4C 即Se=VAC+12AC+64=)V4c-6°+10 因此当AC=√6时SAac取得最大值 作AD⊥PC,垂足为D 由BC⊥平面PAC且ADC平面PAC得BC⊥AD 又PC∩BC=C 则AD⊥平面PBC 由PA·AC=PCAD得AD= 2√62W15 w105 18.现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜 色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个 盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复n次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为X。· (1)求P(X=1): (2)求X,的概率分布列并求出E(X,): (3)证明：B(X,)=1+与E(X,)≥2，neN). 【解答】解：(1)依题意可知X的所有可能取值为1,2,3， 事件“X=1”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球： 则需从甲盒子中取出1个黑球放入乙盒中，且从乙盒子中取出1个红球放入甲盒中， 则=0子号专 21.124 P(X1=2)=二×5+5×日 3333-9 P(x=3)=1x1-1; 339 (2)依题意可知X,的所有可能取值为0,1,2,3， Px=0x-9号g奇 4.4,4.432 PX,=3)=PX=2)×5×3=9g81 1.1、4.14 PX=2=1-PX,=0)-P(X,=1)-PX,=3)=4I 81 P:=2》=px-0x兮3+Px-2号+号3+Px=1 =4×4+4x4141 -X-X-- 9999981 所以X,的分布列如下表： X: 0 1 2 3 P 4 32 41 4 81 81 1 81 4 32+2 所以BX,)=0×81+1×8+2 41+3× 412614 818181=9 (3)证明：依题意可知X1的所有可能取值为0,1,2,3， P0X=0=PX=D×g3古PX=- P0X》K.0x1XDg号3r.习写3 =X=0+号PX=D+号PX=2, Prx==x-f3+p0x=写子+子+x=0x1 3333 号PK,-0+号Px-2+PX-列Px-列-PX.-xG3-Px-, Prx=0+PX=0+PX=2+PX=)=l,PXa=)=PX=2x3号PX=2, P(X=0)+P(Xn=1)+P(X=2)+P(Xn=3)=1, E(X)=0×P(X1=0)+1×P(X+1=)+2×P(X1=2)+3×P(X1=3)代入化简可得： (.)=P(X=0)+P+2+2= BX)-[P(X=0+PX.=+PX,=2+PX,=3别+Px.-+Px=2+Px,=3别 =1+0xPX=0+1×P(X.=)+2xP(X=2)+3xP(X.=3=1+E(X,). 或 0x)69+ 19. 已知双曲线T的标准方程为心-上=1，点P是双曲线r右支上的一个动点. (1)求双曲线T的焦点坐标和渐近线方程： (2)过点P分别向两条渐近线作垂线，垂足为点P,P,,求PP·PP,的值： (3)若|OP卜√2，如图，过P作圆O:x2+y2=2的切线1，切点为M,交双曲线『的左支于点 O,分别交两条渐近线于点A、B.设|PQAB|,求实数1的取值范围. 解笞】解：D双曲线T的标准方程为x1,则c三店 所以双曲线T的焦点坐标为（仕√3,0），渐近线方程为y=±√2x: (2)设P(,m,则22-=2， VA y=√2x x=m+v2n 由 ，解得 y-n=- (x-) 2 √2l+2n P v= 3 3 所以g马. 3 [y=-√2x x=m-v2n 由 ,解得 3 (x-1m 2 y=-V2m+2n 3 所以AL-V!,V2m+2% 3 ”3 所以P所=2m+vm,5m-凸，P2=2m:v51,-5m-%, 3 3 3 3 所以PF.Pg=W5n-2m(-2m-v2+(5m-0(-2u-0 9 9 42-2n2+n2-22_22-n2 9 9 9 即所丽后 (3)设切点M(s,t),则切线l的方程为sx+y=2,且s2+t2=2, [x2+y2=2 y-2 (4)由 x2、y2 解得 ,所以 3 =1 x2= 4 √6 3 3 tsv2 设P(x,),Q(x2,y2),A(,),B(,y), 5m+y=2 由 x-上-1消去y得(2r-5)r+4r-4-2=0, 2 4s x1+X2=- 所以 2t2-52 -4-2t2 X:= 2-52 5x+y=2 4s 由 x_上-0'消去y得(r-s)加2+4r-4=0,所以 2t2-52 20 -4 x3X4= 2t2-s2 所以POFP+(I-ABFP+(1-, 16+8t2 =-西-l=G+户-432 22-s2 V16s2+(16+822-s2)_V322+16t4-8tg2 |AB1|x-x4V区，+x,尸-4xx 16 V16s2+16(2-s2) V32 +4 又s2=2-t, 因为后非反，所以子fs2,所以1片+子s2 3 3 4 所以1哈5， 即a--ea网， 42025-2026学年第二学期高三数学周测（4.13) 数学测试卷 一。选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.全集U=1,2,3,4,5},集合A={2,4},集合B={2,3,5},则AU(C,B)=() A.{1} B.{4} C.1,2,4}D.{1,2,3,4,5} 2若平面内的两个单位向量a,6的夹角为0，c0s0=V2 2 则川√2ā+=() A.5 B.2 C.4 D.5 3.已知，B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，以下判断正确的是() A.若m⊥n,a⊥B,m⊥a,则n⊥BB.若m/1n,a/1B,m/1a,则n/1B C.若⊥a,n⊥B,a⊥B,则m⊥nD.若a/1B,n/1B,/1a,则/n 4.己知实数x,y满足x<y,则下列结论正确的是() A.x+y>V四 B.<(分 c.1+y1+ D.tanx<tany 5.车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过案试验测 得行驶里程x(单位：k)与某品牌轮胎凹槽深度y(单位：w)的数据，并对断这些数据进行 了初步处理.现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到y关于 x的经验回归方程为)=9.15-1.14x,模型I的决定系数R2=0.95,模型Ⅱ为非线性经验回归方 程)=10.11-3.45n(x+1),模型IⅡ的决定系数为R2=0.99,则以下说法正确的是() A.若选用模型I,则两个变量正相关 B.若选用模型I,当自变量x每增加1个单位时，因变量y一定减少1.14个单位 C.若选用模型Ⅱ，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 D.模型Ⅱ的拟合效果比模型I的拟合效果好 6.设函数f()=sin x--coS(o>0),若1f(x)-f(x,)=2V2时，1x-x,|的最小值为匹，则 3 第1页共4页 下列说法正确的是() A.函数f(x)的周期为 3 B.将函数f(x)的图象向左平移元个单位，得到的函数为奇函数 4 C.当xe后争、寸)的值城为0V网 D.函数f(x)在区间[-π，π]上共有6个零点 7.过原点O作直线1：(2m+1)x+(-1)y-2m+2=0(m∈R)的垂线，垂足为P,则P到直线 x-y+3=0的距离的最大值为() A.V2+1 B.√2+2 C.2W2+1 D.2W2+2 8.意大利数学家斐波那契（约1170~1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1,1,2， 3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,·在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草， 万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛 的应用·己知斐波那契数列{a}满足：4=a,=1，a+2=a1+a,(0neN)，若 1+4+a+a+4,+..+49=4,,则k=() A.59 B.60 C.61 D.62 二。多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若(x2+二)的展开式中x的系数为-160，则() CIX 1 A.a= B.所有项系数之和为1 C.二项式系数之和为64 D.二项式系数最大项为第3项 10.己知数列{a},{bn}均为递增数列，它们的前n项和分别为S。,Tn,且满足4.+a+1=21, b,·b+1=2”，则下列结论正确的是（ ) A.0<4<1 B.S2m=m2+3n-2 C.1<b<V2 D.S2n <T 第2页共4页 11.已知f(x)=im2"x+cos2"x(n∈N),则下列说法正确的是() A.f(x)的最小正周期为π B。()在匠上是单调递增函数 C.f()的图象关于直线x=元对称 D.是sfWs1 三。填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数z满足z1-)=4+2i,则z=（用代数式表示). 13.某班5位同学参加3项跑步比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则 不同的报名方法有种。 14.抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B(B在M,A之间) 两点，若∠MFA的角平分线为FB,则IMA-MB的值是一· 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 asin B+bcosA=c. (1)求tanB; (2)已知角A是钝角，点D在线段BC上，且AD⊥AB.若sim∠CAD=cos ，a=6,求CD 16.已知函数f()=-(2a+1br-2,其中a∈R. (1)若a=1时，求函数f(x)在(1，f(1)处的切线方程： (2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间 17.AB为⊙O的直径，PA垂直于OO所在的平面，C是圆周上 不同于A,B的任意一点，AB=2AP,三棱锥P-ABC体积的最 大值为 (1)当∠BAC=元时，求二面角C-PB-A的正弦值： 3 (2)当△PBC的面积最大时，求点A到平面PBC的距离. 第3页共4页 18.现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除 颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一 个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为X,· (1)求P(X=); (2)求X,的分布列及E(X2): (3)若n≥2，用E(X)表示E(X)并求出E(Xn). 19.已知双曲线T的标准方程为x-二=1，点P是双曲线Γ右支上的一个 2 动点. (1)求双曲线厂的焦点坐标和渐近线方程： (2)过点P分别向两条渐近线作垂线，垂足为点P,P,,求PP·P卫的值： (3)若|OP>√2，如图，过P作圆O:x2+y2=2的切线1，切点为M,交双 曲线T的左支于点Q,分别交两条渐近线于点A、B.设|PQ=AB|,求实 数入的取值范围. 第4页共4页