精品解析：广西壮族自治区桂林市桂林市十二县联考2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

桂林市十二县期中联考高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册，必修第二册第一章至第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定形式是 A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，点，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是，桥头（C）的俯角是，则桥BC的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（，），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 10. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 11. 已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的面积为___________. 13. 已知，，则______. 14. 设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在平行四边形中，点为中点，点在上，且，记，. （1）以为基底表示； （2）求证：三点共线. 16. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及对称中心； （2）先将的图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 18. 已知函数()，的最小正周期为. （1）求的值域； （2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围； （3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点． （1）求； （2）求的坐标； （3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林市十二县期中联考高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册，必修第二册第一章至第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再结合交集的运算，即可求解. 【详解】根据题意，集合， 又集合，所以. 故选：C 2. 命题“，使得”的否定形式是 A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D． 【考点】全称命题与特称命题的否定． 【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式，首先移项，通分，整理为，再转化为二次不等式，即可求解. 【详解】由原不等式可得，即，解得， 故原不等式的解集为. 故选：C． 4. 已知向量，，点，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量坐标的线性运算求解即可. 【详解】由题意得，， 设点B的坐标为，则，所以点B的坐标为. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据正弦值求出余弦值，然后根据和差倍角的余弦公式求出的值. 【详解】因为， 所以， 故. 故选：D. 6. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用模长公式可求答案. 【详解】因为，，所以. 7. 如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是，桥头（C）的俯角是，则桥BC的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出与，由 求出的长即可. 【详解】解：如图所示： 由题意得：， 在中，，即， 整理得：； 在中，，即， 整理得：， 则 . 故选:A. 8. 在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（，），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，结合基本不等式即可求得的最小值． 【详解】连接，如图， 中，， 点满足， , ， ，（，）, , 因为，，三点共线， 所以，，, 所以=()()==， 当且仅当,即 时取“”， 则的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质或者反例可判断正误. 【详解】对于A，例如，满足，但是不满足，A不正确； 对于B，，因为，所以，即，B正确； 对于C，，因为，所以 ，，C正确； 对于D，因为，所以异号，即，若，则，D不正确. 10. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 11. 已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调， 且满足，而，， 即的一个对称中心为，，且在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则，即，解得， 又函数在区间上恰有2个零点，恰为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期，则，即， 解得，而，因此， 所以可能得取值为，. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】把圆心角化为弧度数，然后由面积公式计算． 【详解】（弧度）， 所以， 故答案为：． 13. 已知，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件确定，，再结合关系求结论. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为：, 14. 设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形中线的向量表示，即可求出的最小值，由此求出的长度. 【详解】解：由题意得： 根据是中线上的一个动点，设 是的中线，即，如图所示： 当时，取得最小值为 解得 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在平行四边形中，点为中点，点在上，且，记，. （1）以为基底表示； （2）求证：三点共线. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算即可求解； （2）根据平面的线性运算可得，即，即可证明. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，， ， ，且与有公共点， 所以三点共线. 16. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，， 所以周长的最大值为． 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题； 方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及对称中心； （2）先将的图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 【答案】（1）；对称中心为， （2） 【解析】 【分析】（1）由最值求，由周期求，由图象上的点求，得函数解析式，整体代入法求对称中心； （2）由图象变换得解析式，由定义区间结合正弦函数的单调性求单调减区间. 【小问1详解】 由图象可知，，最小正周期，得， 此时，由， 得，，由，所以， 所以函数的解析式为； 由，，可得，. 故函数的对称中心为，； 【小问2详解】 先将的图象横坐标缩短为原来的倍，可得的图象， 再向右平移个单位，得到的图象， 即. 因为，所以， 当即时，单调递减， 所以在上的单调递减区间为. 18. 已知函数()，的最小正周期为. （1）求的值域； （2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围； （3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值求值域即可． （2）根据函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，再结合三角函数的性质求解即可． （3）由（1）可知.实数满足对任意，都存在，使得成立等价于成立．换元后，分类讨论求出左边式子的最小值，即可列不等式求解. 【详解】（1）函数 ∵的最小正周期为.，∴，∴. 那么的解析式则取值范围是； （2）方程；在上有且有一个解， 转化为函数与函数在上只有一个交点. ∵，∴ 因为函数在上增，在上减， 且， ∴或，所以或 （3）由（1）可知，∴. 实数满足对任意，都存在，使得成立.即成立， 令， 设，那么 ∵，∴，可得在上恒成立. 令，其对称轴，∵上， ∴①当时，即，，所以； ②当，即时，，所以； ③当，即时，，所以； 综上可得，存在，可知的取值范围是. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想的常见类型  1、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；  2、问题中的条件是分类给出的； 3、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；  4、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点． （1）求； （2）求的坐标； （3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，即可得到是平行四边形，从而得到，即可得到，再根据计算可得； （3）设，，又三点共线，设，根据平面向量线性运算及基本定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 依题意可得， ， - ； 【小问2详解】 ，，， ，，， ， 所以四边形是平行四边形，即， ， 是的中点， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 设，， 则，， 因为三点共线，则设， ， ， ， ，， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 或者：由，得， 所以，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是以平面向量基本定理得到，从而得到，再由基本不等式求出面积最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $