精品解析：吉林长春汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年度下学期期中考试高二数学试题

吉林长春汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年度下学期期中考试高二数学试题 命题人：李秀 审题人：孙佳欣 注意事项： 试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题：5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案． 【详解】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系， 由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系， 故选：B 2. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，解得． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得，解得， 所以. 4. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】时的预测值， 时的真实为值， 样本点的残差为. 5. 某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据.卫星每次过顶时，会发送10个独立的数据包.由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有20%的概率丢失（收不到），有80%的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立.随机变量表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则（ ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知属于二项分布，利用二项分布期望公式及期望性质求解. 【详解】设每个数据包成功接收的概率为， 由题意可知成功接收的数据包个数服从二项分布，即， 所以，. 6. 已知的展开式中的系数为5，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为的展开式中的系数为5， 则，即，解得. 7. 春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（ ） A. 24 B. 60 C. 120 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. 8. 2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.046 C. 0.68 D. 0.068 【答案】D 【解析】 【分析】应用全概率公式求解即可. 【详解】设随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性为事件A, 设随机抽取一人实际患病为事件B, 随机抽取一人非患为事件， 则. 故选:D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大， 因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确； 对于B，由数据可知，，， 则回归直线过中心点，不过点，故B错误； 对于C，将点代入，可得，解得，故C正确； 对于D，由C知，与的经验回归方程为， 则时，，故D正确. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 名工人各自在天中选择一天休息，不同方法种数是 B. 甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环比赛，冠、亚军的可能性一共有种 C. 的展开式的常数项为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可判断A选项；利用排列数公式可判断B选项；利用二项展开式通项可判断C选项；利用二项式系数和可判断D选项. 【详解】对于A选项，名工人各自在天中选择一天休息，每个人都有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同方法种数是，A错； 对于B选项，甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环比赛，冠、亚军的可能性一共有种，B对； 对于C选项，的展开式通项为， 由，解得，故展开式中的常数项为，C对； 对于D选项，，D错. 11. 甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等.每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球.已知甲、乙每次点球射中的概率分别为，且每次点球是否射中相互独立，则（ ） A. 第2个球是甲射门的概率为 B. 在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门的概率为 C. 前4个球中甲、乙各射2个的概率为 D. 在第3个球是甲射门的条件下，第1个球是乙射门的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：可得第2个球是甲射门的可能情况为：甲甲，乙甲，进而求概率；对于B：分析可知第2球甲未射中，即可得概率；对于C：可能情况有：甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲，进而求概率；对于D：分析可能情况的组成，结合条件概率公式运算求解. 【详解】记“抽签抽到甲”，“甲点球射中”，“抽签抽到乙”，“乙点球射中”， 则，，，可得，， 对于选项A：第2个球是甲射门的可能情况为：甲甲，乙甲， 所以所求事件的概率为，故A正确； 对于选项B：在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门，可知第2球甲未射中， 所以所求事件的概率为，故B错误； 对于选项C：若前4个球中甲、乙各射2个，则可能情况有： 甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲， 所求的概率为，故C正确； 对于选项D：第3个球是甲射门的可能情况为：甲甲甲，乙甲甲，甲乙甲，乙乙甲， 对应的概率为， 第1个球是乙射门且3个球是甲射门的可能情况为：乙甲甲，乙乙甲， 对应的概率为， 所以所求事件的概率，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】0 【解析】 【详解】当时，， 当时，， ． 13. 用模型拟合一组数据，令，将模型转化为经验回归方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将两边取自然对数，再结合题意得到，，即可求出. 【详解】因为，两边取自然对数可得， 令，可得，又， 所以，，所以， 所以. 故答案为： 14. 古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中，通过严谨的几何公理和逻辑推理，系统化地证明并确立了“正多边形有且只有一个外接圆”这一性质.现从正边形的顶点中任取若干个，使之能作为正边形的顶点，则的不同选法共有________种. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知正边形的顶点是正边形的顶点，分析可知，则一定是的因数，且不小于，根据可得出因数的个数，结合即可得解. 【详解】正边形的顶点共有个，它们是正边形外接圆的等分点， 由题意可知正边形的顶点是正边形的顶点， 且正边形的顶点也是上述圆的等分点， 正边形的相邻顶点所在劣弧所对应的圆心角为， 正边形的相邻顶点所在劣弧所对应的圆心角为， 因为正边形的顶点是正边形的顶点，所以（为正整数）， 所以，所以正边形的一定是的因数，且不小于，而， 故的可能取值为从、、、、中选一个数，和从、、中选一个数， 将选出的这两个数相乘得到，故的因数个数为个， 但，故的个数为，所以满足题意的有个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，求： （1）“所选3人中女生人数”的概率； （2）的分布列、均值与方差． 【答案】（1） （2）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）分和两种情况求得概率之和； （2）根据超几何分布求得概率，从而求得分布列、均值和方差. 【小问1详解】 “所选3人中女生人数”的概率. 【小问2详解】 因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量表示所选3人中女生的人数， 所以的可能取值为0，1，2 ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以.， . 16. 为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 （1）该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ （2）填写下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 日均运动时间 合计 男 女 合计 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）人 （2）根据小概率值的独立性检验，能认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联 【解析】 【分析】（1）应用已知比例关系计算求解； （2）先列表格计算，再与临界值比较判断求解. 【小问1详解】 解：因为抽取的100人中日均运动时间不足1小时的人数占比为， 所以该校2000名学生中日均运动时间不足1小时人数约为人； 【小问2详解】 解：作出列联表如表所示 日均运动时间 合计 男 25 30 55 女 35 10 45 合计 60 40 100 零假设：“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 17. 在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即．求： （1）试求考试成绩位于区间的概率． （2）若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在的人数． （3）若从参加考试的学生中（参与考试的人数超过2000人）随机抽取3名学生进行座谈，设选出的3人中考试成绩在80分以上的学生人数为，求随机变量的分布列与均值． 附：若，，， 【答案】（1） （2） （3）的分布列如下： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）利用题设中给出的参考数据可得所求的概率. （2）可求，从而可求相应区间上的人数. （3）利用二项分布可求分布列，利用公式可求期望. 【小问1详解】 因为，故均值为，标准差为， 故. 【小问2详解】 , 故考试成绩在的人数约为， 【小问3详解】 因为，结合题设条件可得， 故，， ，， 故随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 故. 18. 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； （2）若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 【答案】（1） （2）①；②当时，； 当时，. 所以该小组所得经验回归方程是理想的. 【解析】 【分析】（1）利用组合数和对立事件概率公式直接求解即可； （2）①利用最小二乘法直接求解即可； ②分别将和代入回归直线方程，由此可得预估值，与检验数据之差的绝对值均不超过2可确定结论. 【小问1详解】 记事件为“选取的2组数据是不相邻的两个月”， 则 【小问2详解】 ①由题意，，. 1 3 2 4 8 5 则， 即， 所以关于的经验回归方程为. ②略 19. 某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. （2）记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； （3）求九月（30天）王同学去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率的天数. 【答案】（1） （2） （3）1天 【解析】 【分析】（1）设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，利用全概率公式计算可得； （2）设表示第天去餐厅用餐，则，由全概率公式可得，即可得到，从而求出； （3）依题意只需，从而得到，再结合指数函数的性质计算可得. 【小问1详解】 设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅， 根据题意得，，，，， 所以. 【小问2详解】 设表示第天去餐厅用餐，则，， 根据题意得，，， 由全概率公式得，， 即， 整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 【小问3详解】 由题意，只需，即， 则，即， 显然必为奇数，为偶数时不成立， 当时，考虑的解， 当时，显然成立，当时，，不成立， 由单调递减得，时，也不成立， 综上，该同学只有1天去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林长春汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年度下学期期中考试高二数学试题 命题人：李秀 审题人：孙佳欣 注意事项： 试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题：5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（ ） A. B. C. D. 2. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. D. 5. 某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据.卫星每次过顶时，会发送10个独立的数据包.由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有20%的概率丢失（收不到），有80%的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立.随机变量表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则（ ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 6. 已知的展开式中的系数为5，则（ ） A. 4 B. C. D. 7. 春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（ ） A. 24 B. 60 C. 120 D. 240 8. 2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.046 C. 0.68 D. 0.068 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 名工人各自在天中选择一天休息，不同方法种数是 B. 甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环比赛，冠、亚军的可能性一共有种 C. 的展开式的常数项为 D. 11. 甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等.每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球.已知甲、乙每次点球射中的概率分别为，且每次点球是否射中相互独立，则（ ） A. 第2个球是甲射门的概率为 B. 在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门的概率为 C. 前4个球中甲、乙各射2个的概率为 D. 在第3个球是甲射门的条件下，第1个球是乙射门的概率为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 用模型拟合一组数据，令，将模型转化为经验回归方程，则______． 14. 古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中，通过严谨的几何公理和逻辑推理，系统化地证明并确立了“正多边形有且只有一个外接圆”这一性质.现从正边形的顶点中任取若干个，使之能作为正边形的顶点，则的不同选法共有________种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，求： （1）“所选3人中女生人数”的概率； （2）的分布列、均值与方差． 16. 为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 （1）该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ （2）填写下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 日均运动时间 合计 男 女 合计 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即．求： （1）试求考试成绩位于区间的概率． （2）若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在的人数． （3）若从参加考试的学生中（参与考试的人数超过2000人）随机抽取3名学生进行座谈，设选出的3人中考试成绩在80分以上的学生人数为，求随机变量的分布列与均值． 附：若，，， 18. 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； （2）若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 19. 某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. （2）记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； （3）求九月（30天）王同学去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率的天数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $