第五章《图形的轴对称》复习与巩固(二) 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第五章 图形的轴对称 复习与巩固 (二) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列各种标志中，不是轴对称图形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【考点】 轴对称图形 生活中的轴对称现象 反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】 利用轴对称图形定义直接逐一判断即可 【解答】 、是轴对称图形，故本选项错误； 、是轴对称图形，故本选项错误； 、是轴对称图形，故本选项错误； 、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：． 2.如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【考点】 根据成轴对称图形的特征进行判断 【解析】 本题主要考查了成轴对称图形的性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键．根据轴对称图形的特征判断即可，成轴对称的两个图形全等，对应角相等，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，对称轴是对称点连线的垂直平分线； 【解答】 解： 与 关于直线MN对称， 交MN于点O， ， ， ，无法判断AB与 的位置关系， A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意； 故选：B. 3.如图，与关于直线对称，若，，则（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【考点】 轴对称的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：∵ 与关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ． 故选． 4.两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【考点】 角平分线性质的实际应用 【解析】 本题主要考查了角平分线性质，根据题意，两把相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点到射线，的距离相等，进而得是的角平分线，有即可求得答案． 【解答】 解：两把相同的长方形直尺的宽度一致， 点到射线，的距离相等， 是的角平分线， ， ， 故选：． 5.如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】 B 【考点】 线段垂直平分线的性质 三角形内角和定理 【解析】 本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键. 先根据等腰三角形的性质求出 和 的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出 ，进而求出 的度数，最后通过 求出 的度数. 【解答】 解： 由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线， 故选：B. 6.将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【考点】 根据平行线的性质求角的度数 翻折变换（折叠问题） 【解析】 根据平行线的性质，可以得到 ，再根据折叠的性质，即可得到 ，最后根据平角的性质即可得解. 【解答】 解： 四边形 是长方形纸片， 折叠， . 7.如图，的角平分线、交于点，且点到的距离等于2cm，的面积是，则的周长为（     ）     A. B. C. D. 【答案】 D 【考点】 角平分线的性质 与三角形的高有关的计算问题 【解析】 本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是利用角平分线的性质得出点D到三边距离相等，再通过面积的分割法将大三角形面积转化为周长与高的乘积形式，从而快速求解周长。解题时需熟练掌握角平分线性质和三角形面积公式的灵活应用. 作 ，根据角平分线的性质得到 ，再根据三角形的面积公式计算，即可得解. 【解答】 解：作 ，连接AD， 点D是 的内角平分线的交点，点D到边BC的距离是2cm， 面积为 即 即 ， 即 的周长为40cm. 故选：D. 8.图，已知村庄与村庄相距，村庄的土地灌溉点在点处，村庄的土地灌溉点在处．已知，现要在线段之间选一点建一水站，使得水站分别到灌溉点与灌溉点的距离之和最短，最短距离是 A. B. C. D. 【答案】 D 【考点】 勾股定理 轴对称——最短路线问题 轴对称的性质 【解析】 作点关于的对称点，连接，连接，交于，过点作，交的延长线于，再根据勾股定理求解即可． 【解答】 作点关于的对称点，连接，连接，交于，过点作，交的延长线于， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中， ， ， ， 故选：． 9.如图，在中，，，，若，则的度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【考点】 三角形内角和定理 三角形的外角的定义及性质 全等三角形的性质与判定 等腰三角形的性质 【解析】 由等腰三角形的性质可得，由“”可证，可得，由三角形外角的性质可得，即可求的度数． 【解答】 ，， 在和中， , ， ， ， ， 故选：． 10.如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【考点】 三角形的角平分线 与三角形的高有关的计算问题 三角形内角和定理 【解析】 ①三角形的中线将三角形分成等底等高、面积相等的两部分，故 ； ②根据直角三角形的面积公式，用面积法可算出斜边上的高AD； ③通过“同角的余角相等”和“对顶角相等”，可推出 ； ④利用“同角的余角相等”和角平分线，可推出 等于 ，即 2 【解答】 解：是中线， ， 等底等高的两个三角形面积相等， ，正确； ， ， ， ， AD是BC边上的高， ， ， 解得 ，正确； ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ，正确； ， ， ， ， ， ， ，正确。 综上，正确的说法有4个。 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.已知等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长是_____或______ ． 【答案】 或 【考点】 等腰三角形的性质 【解析】 本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，先理解题意，再进行分类讨论，然后检验是否符合两边之和大于第三边，即可作答． 【解答】 解：等腰三角形的两边长分别为，， 当腰长为时，则，符合三角形三边关系， 此时； 当腰长为时，则，符合三角形三边关系， 此时； 综上：该等腰三角形的周长是或， 故答案为：或 12.如图，在正方形方格中，阴影部分是张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片，使得到的新图案成为一个轴对称图形的移法有_________8_______种． 【答案】 【考点】 作图-轴对称变换 【解析】 此题暂无解析 【解答】 分析：根据轴对称图形的定义，在平面内，如果把一个图形延某条直线对折对折，直线两旁部分能够完全重合，由此移动其中一个变形即可. 详解：如图，共有种. 故答案为 点睛：本题考查了轴对称图形的概念：确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形分成的两部分完全重合. 13.如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则__30______． 【答案】 30 【考点】 与三角形的高有关的计算问题 与角平分线有关的三角形内角和问题 三角形的角平分线 【解析】 根据三角形高和角平分线的性质得到 、 ，进而利用三角形内角和定理得到 ，再得到 ，据此求出 的度数，进而求出 的度数. 【解答】 解： ， 分别是 的高线和角平分线， 、 ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， . 14.如图，把一长方形纸片的一角沿折叠，点的对应点落在内部．若，且，则的度数为____40____． 【答案】 40 【考点】 几何问题(一元一次方程的应用) 翻折变换（折叠问题） 【解析】 本题考查了折叠的性质，一元一次方程的应用．设 ，则 ，根据折叠的性质列式 ，解之可得答案． 【解答】 解：设 ，则 ， ， ， , , , , 故答案为：40． 15.如图，在直角三角形中， ．、分别是边、上的动点，则的最小值是________ 【答案】 【考点】 轴对称——最短路线问题 三角形的面积 垂线段最短 【解析】 作点关于的对称点，作点，交于点，则，所以，即的最小值为． 【解答】 解：作点关于的对称点，作点，交于点，连接， ， ， 即的最小值为， ，，，， ， ， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（5分）能用一根长为的细铁丝围成一个边长为的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】 能，见解析 【考点】 三角形三边关系 等腰三角形的定义 【解析】 根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键． 【解答】 解：等腰三角形的一边长为，周长为， 当为腰时，另一腰长为，此时，底边长为， 且，此时，三角形是不存在的； 当为底时，此时，腰长为， 且，此时，三角形存在； 故能围成一个边长为的等腰三角形，三边长分别为，，． 17.(8分) 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，的顶点均在格点上，网格线经过格点，按要求完成以下作图． （1）若与关于直线成轴对称，作出； （2）在直线上找一点，使得最短． 【答案】 见解答 【解析】 （1）根据对称轴垂直平分对应点连线，可找到各点的对称点，顺次连接即可得到 (2) 连接 交直线EF于点P即可. 【解答】 （1）解：如图： 即为所求的三角形. （2）解：连接 交直线EF于点P， 点B与点 关于直线EF对称， 此时 取得最小值，最小值 为的长，则点P即为所作. 18.(8分) 如图，点E是直线上一点，是的平分线． （1）作的平分线； （2）求的度数； （3）直接写出的余角． 【答案】 见解析 90° 和 【解析】 （1）根据角平分线的作法画图； （2）根据角平分线的性质求出角之间的关系； （3）根据余角定义进行求解. 【解答】 （1）解：如图所示，EG即为所求； （2）解： 平分 EG平分 （3）解： ，且 的余角为 和 19.(10分) 如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明; （2）利用 ,结合已知求得 ,根据“内错角相等,两直线平行”即可证明. 【解答】 （1）证明: 平分 , 平分 , , , , ; （2）证明: ,, ,, ,, , . 20.(8分) 如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】 见详解； 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）证明：，，在和中，，，是等腰三角形；，，，，，，， 21.（8分）如图，在中，，将三等分，点D，在上． (1)求的度数； (2)写出图中所有的等腰三角形． 【答案】 【解析】 本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，关键是掌握等角对等边. (1) 由三角形内角和定理求出 ， ，求出 ，由三角形的外角性质得到 ； (2) 由等角对等边推出 ， ， ， ， . 【解答】 解： ，AE将 三等分， (2) 解： 图中所有的等腰三角形是 、 、 ， 、 22.(9分) 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数； （3）若，的周长为，求的周长． 【答案】 见解析 34 【解析】 （1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）由在 中，AB=AC， ，利用等腰三角形的性质，即可求得 的度数，利用等边对等角求得 的度数，则可求得 的度数； （3）将 的周长转化为 的长即可求得. 【解答】 （1）解： 的垂直平分线MN交AC于点D， 是等腰三角形； （2）解：在 中， 由（1）得 ， （3）解： 的垂直平分线MN交AC于点D， 的周长为24， 的周长 23.(11分) 如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点F，连接． （1）线段和相等吗？与垂直吗？ （2）有以下两个结论：①平分；②平分；其中正确结论的序号是_____①_______．（只填序号，不说明理由） 【答案】 且 ① 【考点】 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 角平分线的性质 角平分线的判定定理 【解析】 （1）证明 ，再利用全等的性质可判断BD=CE；由 ，可得 ，再由 ， ，可得 ，即可得到BD （2）分别过点A作 ，根据全等三角形面积相等和 ，可得AF平分 ，无法证明AF平分 【解答】 （1）解： 且 因为 所以 即 在 和 中， 所以 所以 因为 所以 又因为 所以 所以 ，即BF CF， （2）分别过点A作 ，垂足分别为M，N， 因为 所以 所以 所以 所以 AF平分 ，无法证明AF平分 故答案为： ① 24.(11分) 如图，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】 见解答； ； 见解答 【考点】 全等三角形的性质与判定 直角三角形的性质 等腰三角形的性质 线段的和差 【解析】 （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【解答】 （1）证明：，，， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， 由知， ， ， ， ， ； （3）证明：延长到，使得，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 25.(12分) 定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． （1）如图，如果，求证：是的“等角分割线”； （2）如图，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； （3）是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为_____或______． 【答案】 详见解析 或 【考点】 线段垂直平分线的性质 三角形的外角的定义及性质 【解析】 （1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当时，由三线合一得到，，，设，则，可得垂直平分，则，然后根据外角性质表示出再由三角形内角和定理得到；当时，设，则，则，由，以及等腰三角形性质得到，在中由三角形内角和定理建立方程求解． 【解答】 （1）解：证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是的“等角分割线”； （2）解：， ， ， ， ， ，， ，， ，， 是的“等角分割线”， ①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； （3）解：记的平分线与交于点， ①当时， ，平分， ，，， 设，则 ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②当时， 平分， ， 设，则， ， ，，， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， 综上：的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第五章 图形的轴对称 复习与巩固 (二) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列各种标志中，不是轴对称图形的是（       ） A. B. C. D. 2.如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（       ） A. B. C. D. 3.如图，与关于直线对称，若，，则（        ） A. B. C. D. 4.两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（       ） A. B. C. D. 5.如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 6.将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 7.如图，的角平分线、交于点，且点到的距离等于2cm，的面积是，则的周长为（     ）     A. B. C. D. 8.图，已知村庄与村庄相距，村庄的土地灌溉点在点处，村庄的土地灌溉点在处．已知，现要在线段之间选一点建一水站，使得水站分别到灌溉点与灌溉点的距离之和最短，最短距离是 A. B. C. D. 9.如图，在中，，，，若，则的度数为（       ） A. B. C. D. 10.如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（       ） A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.已知等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长是__________ ． 12.如图，在正方形方格中，阴影部分是张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片，使得到的新图案成为一个轴对称图形的移法有__________种． 13.如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则_______． 14.如图，把一长方形纸片的一角沿折叠，点的对应点落在内部．若，且，则的度数为________． 15.如图，在直角三角形中， ．、分别是边、上的动点，则的最小值是________ 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（5分）能用一根长为的细铁丝围成一个边长为的等腰三角形吗？为什么？ 17.(8分) 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，的顶点均在格点上，网格线经过格点，按要求完成以下作图． （1）若与关于直线成轴对称，作出； （2）在直线上找一点，使得最短． 18.(8分) 如图，点E是直线上一点，是的平分线． （1）作的平分线； （2）求的度数； （3）直接写出的余角． 19.(10分) 如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． （1）求证：； （2）若，求证：． 20.(8分) 如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 21.（8分）如图，在中，，将三等分，点D，在上． (1)求的度数； (2)写出图中所有的等腰三角形． 22.(9分) 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数； （3）若，的周长为，求的周长． 23.(11分) 如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点F，连接． （1）线段和相等吗？与垂直吗？ （2）有以下两个结论：①平分；②平分；其中正确结论的序号是____________．（只填序号，不说明理由） 24.(11分) 如图，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 25.(12分) 定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． （1）如图，如果，求证：是的“等角分割线”； （2）如图，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； （3）是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 学科网（北京）股份有限公司 $