精品解析：山东烟台市芝罘区2025-2026学年下学期九年级期中（一模）数学考试卷

初四数学 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国邮政计划于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是21 B. 极差是16 C. 平均数是86 D. 众数是85 5. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．图①是机器人练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点C是上一点，点D是另一侧半圆的中点，若，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为（ ） A. 5 B. C. D. 1 9. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，E、F是正方形的边，上的点，，，分别与对角线交于M，N．若，，则的长度是（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 如图，A，B是边长为1的小正方形组成的网格上的2个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A，点B所在的格点），恰好能使构成等腰三角形的概率是______． 13. 如图，两条互相平行的直线m和n穿过正六边形且过顶点B，若，则的值是______． 14. 如图，扇形中，，点C，D分别在和弧上，连接，，若点D是点O关于直线的对称点，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，点A，B在双曲线上，直线分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线交于点E，连接，，若，，，则的值为______． 16. 如图，在菱形中，，E为上的动点，，且，若的最小值为，则菱形的边长是______． 三、解答图（共8题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0. 18. 如图，四边形是长方形，请按要求解决以下问题： （1）请用尺规作图的方法在上确定点E，使沿直线折叠后，点C的对称点F恰能落在边上； （2）若，，求的长． 19. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了 名学生． （2）请补全条形统计图． （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 20. 某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了3000元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 21. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 22. 如图，中，，以为直径的交于点D，连接．于点，交于．和的延长线交于点． （1）求证：是切线； （2）若，半径为4，求的长度． 23. 如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． （1）求抛物线的函数关系式； （2）当点M在直线上方时，若，求m的值； （3）设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 24. 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，则和的数量关系是______； 如图2，在矩形中，，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，则和的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图3，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，当时，求证：； 小颖同学通过对比图2，发现图3中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？ 请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明； 【拓展延伸】 （3）如图4，在四边形中，，，E是上的点，，连接，，，，点F在边上，连接与交于点O，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带有圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 3. 中国邮政计划于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将中文单位“万”转换为标准数字形式，再将其写成科学记数法的标准形式。科学记数法的形式为，其中，为整数，特别注意指数的确定方式。 【详解】解：“万”表示， 2668万 4. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是21 B. 极差是16 C. 平均数是86 D. 众数是85 【答案】D 【解析】 【分析】利用中位数、极差、平均数以及众数的定义求解． 【详解】解：A.中位数是排序后的第30位和第31位的平均数，即中位数为，该选项错误； B.该组数据的极差为，该选项错误； C. 90分和95分的人数为， ∴该组数据的平均数是， 该选项错误； D.∵该组数据中出现的次数最多， ∴众数为85，该选项正确． 5. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．图①是机器人练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作，过作，得到，根据两直线平行，内错角相等得到，，代入计算即可． 【详解】过作，过作， 由题意可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键要抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 根据圆锥的侧面积是底面积的3倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线长为，弧长为，扇形面积为，底面积为，圆心角度数为， ， ， ， ，即， 又， ， 故选：B． 7. 如图，是的直径，点C是上一点，点D是另一侧半圆的中点，若，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握定理以及性质是解题的关键． 过作，连接，，根据是另一侧半圆的中点，得到，继而得到、为等腰直角三角形，进而利用勾股定理得到，再求出，继续利用勾股定理，即可求、． 【详解】解：过作，连接，， 是另一侧半圆的中点， ，， 、为等腰直角三角形， ， ， ，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8. 关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为（ ） A. 5 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系求解，先结合已知条件求出方程的两个根，再根据两根之积的关系求出m的值. 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个根 ∴根据根与系数的关系可得， 又∵ 将 代入，得， 解得， 将 代入，得 ， ∴，即， 整理得，因此， 检验：当时，该方程的判别式，符合题意， 故m的值为． 9. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①正确； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有4个． 10. 如图，E、F是正方形的边，上的点，，，分别与对角线交于M，N．若，，则的长度是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长至点，使，连接，作，交于点，连接，过点作于点，作于点，过点作于点，作于点，利用正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使，连接，作，交于点，连接，过点作于点，作于点，过点作于点，作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设正方形的边长为，则， 由勾股定理得， 解得（负值已舍）， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， 即， 解得， ∴； ∵， 即， 解得， ∴； 由勾股定理得， 即的长度是． 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，A，B是边长为1的小正方形组成的网格上的2个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A，点B所在的格点），恰好能使构成等腰三角形的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】在图中找出顶点C使其能构成等腰三角形，由概率的定义可求出答案． 【详解】解：如图所示，一共有23个符合条件的点，其中能与点A，点B构成等腰三角形的顶点C有9个， 所以恰好能使构成等腰三角形的概率为． 13. 如图，两条互相平行的直线m和n穿过正六边形且过顶点B，若，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正六边形的每个内角都是与平行线的性质求出，再求出即可． 【详解】如下图所示，标记点D、F，过点D作， ∵正六边形的每个内角为， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14. 如图，扇形中，，点C，D分别在和弧上，连接，，若点D是点O关于直线的对称点，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用锐角三角函数以及扇形面积公式和三角形面积公式求解． 【详解】解：如图所示，相交于点， 根据轴对称的性质可得， ， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ． 15. 如图，点A，B在双曲线上，直线分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线交于点E，连接，，若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，可证，推出在上的高相等，推出，得到四边形为平行四边形，推出，接着证明，，再证明，接着证明，通过，得到，最后通过求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接， ∵点A，B在双曲线上， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴． 16. 如图，在菱形中，，E为上的动点，，且，若的最小值为，则菱形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，设交点为点，证明四边形是矩形，四边形是平行四边形，四边形是矩形，设，则，由对称的性质得，，求出，，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即，利用勾股定理求出的值，即可求解． 【详解】解：过点作，作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，设交点为点， 在菱形中，，即， ∵， ∴，即， 由对称的性质得，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 由对称的性质得，， ∴， ∴，， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，即菱形的边长是． 三、解答图（共8题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0. 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2-2x-2=0得x2=2x+2=2（x+1），整体代入计算可得． 【详解】解：原式= = =， ∵x2-2x-2=0， ∴x2=2x+2=2（x+1）， ∴原式= ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 18. 如图，四边形是长方形，请按要求解决以下问题： （1）请用尺规作图的方法在上确定点E，使沿直线折叠后，点C的对称点F恰能落在边上； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的作法作图； （2）结合（1）得出相等的边，利用勾股定理列出方程求解． 【小问1详解】 解：如图点即为所求， 说明：， ∴， ∴点符合要求； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，， ，，， 设则， 由（1）可知，，， 在中，由勾股定理得，， ， 在中，由勾股定理得，， 即，， 解得，， 即的长是． 19. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了 名学生． （2）请补全条形统计图． （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由D的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题； （2）求出C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共调查的学生人数为：（名）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有 8 种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 20. 某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了3000元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【答案】（1）购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元 （2）该校此次最多可购买33个B品牌篮球 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用： （1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元 【小问2详解】 解：∵A品牌篮球售价比第一次购买时提高了， ∴（元） 设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个， 依题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买33个B品牌篮球． 21. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）解即可； （2）先解得到，再解得到，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，在中，， ， ， 的长为； 【小问2详解】 解：如图3，在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∴遮阳篷的长为． 22. 如图，中，，以为直径的交于点D，连接．于点，交于．和的延长线交于点． （1）求证：是切线； （2）若，半径为4，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，有切点即为半径，证明即可； （）根据切线的性质得到，再利用锐角三角形内角度相等其正切值相等得到，即可得到，再利用勾股定理计算相关线段的长度即可． 【小问1详解】 （1）证明：连接，则 于点E， 在和中 ∵为半径， 是切线； 【小问2详解】 解：∵点C在上，， 是切线 是切线 ，， 是直径，，，即 ，， 设，则 由题意， 在中，由勾股定理得，，即 解得，， 由得， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，综合掌握相关知识点是解决问题的关键． 23. 如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． （1）求抛物线的函数关系式； （2）当点M在直线上方时，若，求m的值； （3）设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，，，，． 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． 【小问2详解】 当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 【小问3详解】 存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 24. 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，则和的数量关系是______； 如图2，在矩形中，，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，则和的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图3，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，当时，求证：； 小颖同学通过对比图2，发现图3中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？ 请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明； 【拓展延伸】 （3）如图4，在四边形中，，，E是上的点，，连接，，，，点F在边上，连接与交于点O，当时，求的值． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形和矩形的性质，证明三角形全等和相似即可； （2）以点C为圆心、为半径画弧，交于点G，则，利用平行四边形的性质以及三角形内角和定理得出相等的角，证明，即可得出结论； （3）过点D作的平行线，交的延长线于点G，作，交于点M，在上截取，连接，，得出相等的边，设，表示出相关线段的长度，根据线段的数量关系列出方程求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，以点C为圆心、为半径画弧，交于点G，则， ， 由四边形是平行四边形得，， ， ， ，， ， ， ， 即 ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点D作的平行线，交的延长线于点G，作，交于点M，在上截取，连接， ∴四边形是平行四边形，， ， ， ，， 由（2）得，即， ， ， 是等边三角形，，， ， ， ， ， ， ， ，， ∵四边形是平行四边形，， ， 设，则，，，， ， 解得， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $