安徽桐城市杨公中学2025-2026学年高二第三次教学质量监测数学试题

**基本信息** 聚焦导数模块，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查极值、单调性、切线等核心知识，融入牛顿迭代法等数学史素材，培养逻辑推理与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|极值判断、导数解不等式、导函数图像应用|单多选结合，基础与能力题分层| |填空题|3题15分|切线方程、牛顿迭代法、恒成立问题|融入数学史，体现应用价值| |解答题|5题77分|单调性讨论、极值点存在性、零点证明|多问递进，综合考查逻辑推理与运算能力|

2026年桐城市杨公中学第三次教学质量监测 高二数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准条形码上的以上信息. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5. 本卷测试范围：导数 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数在处有极小值，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知函数，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 7．已知函数，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则（    ） A． B．函数有两个极值点 C．方程有两个不同的根 D．若函数 在定义域内为增函数，则 10．双曲正弦函数与型函数是两个重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的应用，其解析式分别为，则（    ） A．是增函数 B．的值域为 C．点是曲线的对称中心 D．函数有且只有一个零点 11．已知函数，则（） A．是的极小值点 B．有两个不同零点 C．若函数的对称中心为，则 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______． 13．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”. （1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）. 14．若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题13分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 16．（本题15分）已知函数. (1)讨论函数的单调性 (2)若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值. 17．（本题15分）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值 (2)讨论函数的单调区间； (3)若，对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围. 18．（本题17分）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 19．（本题17分）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)求的零点个数； (3)当时，记，的各零点之和为T，证明：． 参考数据：，． 【高二数学试题第1页（共4页）】 学科网（北京）股份有限公司 $