6.2.3 向量的数乘运算 课件（第1课时）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2 平面向量的运算 第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 第1课时 向量的数乘运算及运算律 复习引入 1. 利用三角形法则，如何求作两个非零向量的和向量与差向量？ 2. 在数的运算中，几个相等的实数相加可以转化为数乘运算，如 5+5+5=3×5=15.类似地，几个相等的向量相加也可以转化为数乘运算， + + 记为3 ，（- ）+ （- ）+ （- ）记为-3 .由于向量的和与差仍是一个向量，那么向量 3 ,-3 的模和方向与.的模和方向有什么关系？ 1. 利用三角形法则，如何求作两个非零向量的和向量与差向量？ 两非零向量的和 两非零向量的差 + 2. 在数的运算中，几个相等的实数相加可以转化为数乘运算，如 5+5+5=3×5=15.类似地，几个相等的向量相加也可以转化为数乘运算， + + 记为3 ，（- ）+ （- ）+ （- ）记为-3 .由于向量的和与差仍是一个向量，那么向量 3 ,-3 的模和方向与.的模和方向有什么关系？ 具体情况请大家阅读教材. 教材导学 阅读教材： 1. 向量的数乘运算如何规定？ 2. 向量的数乘运算有哪些运算律？ 3. 向量的线性运算是什么含义？有何一般运算性质？   1. 向量的数乘运算如何规定？ 实数λ与向量的乘积是一个向量，记作λ . （1） = . （2）①当 ＞0时， 与方向相同； 规定 ②当 ＜0时， 与方向相反； ③当 0时， = 2. 向量的数乘运算有哪些运算律？ 设为实数，则 （1） =； （2）= ； （3） = 3. 向量的线性运算是什么含义？有何一般运算性质？ 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 含义 性质 对任意向量，任意实数， 1， 2，恒有 （ 1 2 ）= 1 2 拓展探究 设为非零向量，则向量的含义是什么？ 在△ABC中，若 P 为 BC 的中点，则向量、 有何关系？ 设M为△ABC所在平面内一点，若+ + = ,则点M在什么位置？ 9 1.  设为非零向量，则向量的含义是什么？ 表示与向量a方向相同的单位向量 表示与向量方向相同的单位向量. 10 + =(+ )+(+ )=2 . = （ + ）. 2.  在△ABC中，若 P 为 BC 的中点，则向量、 有何关系？ A B P C 11 3.设M为△ABC所在平面内一点，若+ + = ,则点M在什么位置？ 点M为△ABC的重心. 解： B A D 2 + = , 即 = - 2. C 则+ =2 , 取AB的中点D， M + + = , 例1 化简：（2+3- ）（ 3+ ）+2（ ）=（ ） A. + B. （ ） C. （ ） D. （ + ） 巩固应用 【解析】 =2+3- 3- +2 D =（23）+ （3+26）+（-1-1+2） = = 例2 设P为△ABC所在平面内一点，已知=2（ + ),则直线AP经过△ABC的（ ）. A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【解析】 = , = , B , 分别与, 同向的单位向量，则四边形ADQE为菱形， B A D C Q E P AP为∠BAC的角平分线，直线AP经过△ABC的内心. 则= + , =2 . 例3 已知点O在△ABC所在平面内，且满足 - = + -2 ,则△ABC是（ ） A.直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【解析】 A B A C O △ABC是直角三角形. D 从而DA=DB=DC, - = , + =2 . 则 = -2 = , 则D为△ABC的外心，BC为外接圆直径， B A D C M O 例4 如图， 设△ABC的重心为M，点O在平面ABC内，设= = = ，用向量 , 表示向量. 【解析】连结 AM 并延长交 BC 于点 D，则 D 是 BC 的中点，且 AM= AD. 则= = ( + )= ( + )= + = ( )+ ( )= ()+ ()= + + . + +( + + )= （+ +）. 16 小结 1.  实数可以与向量相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加或相减.向量除以非零实数就是数乘向量，实数除以向量没有意义. 2. 若 =，则有两种可能，即 =0或=. 3. 向量的数乘运算律不是规定，而是可以证明的结论，向量的数乘运算与线段的长度关系可以相互转化. 17 作业 《课时作业》 6.2.3 向量的数乘运算 第1课时 向量的数乘运算及运算律 $