6.2.4 向量的数量积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4 向量的数量积 温州科技高级中学 张明 李邦河院士说：“根据我上大学以后搞数学研究的经验，数学根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也！” 但如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的。 我们知道数能进行运算，因为有了运算使数的威力无穷。那么向量是否也像数一样能进行运算呢？人们从向量的物理背景及数的运算中得到启发，向量也引进运算。 本节我们再一次研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用。 这节课我们来研究向量的数量积。 向量的数量积就是向量与向量相乘。这是个新东西，以前没有的。那向量的数量积到底是个什么东西呢？ 问题1：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 　　（１）力F所做的功W= 。 （２）请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量， F（力）是 量， S（位移）是 量 θ是 。 F S 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） θ F S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先定义向量的夹角概念 已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作,,()叫做向量的夹角。 显然，当θ=0时，a ⃗与b ⃗同向；当θ=π时，a ⃗与b ⃗反向向。 如果与的夹角是我们说与垂直，记住. 已知两个非零向量 与 ，它们的 夹角为θ，我们把数量|| ||cosθ叫做 与 的数量积（或内积），记作 =|| || cosθ 一、数量积的定义： 注意：向量的数量积是一个数量。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 记法“”中间的“ · ”不可以省略，也不可以用“ ” 代替。 其实这不是规定而是推论，教材有误。 活动二：探究数量积的概念 夹角 的范围 思考： 讨论并完成下表： 问题2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ =|| || cos 当0°≤ ＜ 90°时为正； 当90°＜ ≤180°时为负。 当 =90°时为零。 正负 例9 已知夹角,求. 解：= =5 =5 =-10 例10 设,，求。 解：由=,得 cos 因为，所以 一、问向量的数量积或内积为什么定义为 ？ 定义是随便定义的吗？难道是定义起来很随便？还是随便起来不定义？ 答：数学上的一个定义不会来自空中楼阁，而是有坚实的现实基础，比如这个定义就是物理中功的原型。在语文写作中，作者在构思一个人物形象时都可以在现实生活中找到原型。可以问你们的语文老师。比如钱钟书的〈〈围城〉〉里面的人物，贾平凹的〈〈废都〉〉里人物。 二、平面向量的数量积为什么取名数量积？积是什么意思？数量是什么意思？合起来是什么意思？ 总结： 答：数量只有大小没有方向，积就是相乘。数量积是说这个积的结果是数量不是向量。 三、1、同学们还记得直线或线段在一个平面内的投影吗？它是什么？线段的长度有什么改变？ 2、在一个平面内一条线段在一条直线上的投影是怎样子的？线段的长度有什么改变？ 3、那向量在另一个向量上的投影是怎么回事？ 答：线段只有大小没有方向，所以投影肯定是正的，但向量是即有大小又有方向，所以大小、方向都有投影。那如何表示方向的投影？所以向量的投影是可正可负的，请同学们看看向量投影的定义。 如图6.2-20（1），设是两个非零向量，，=，我们考虑如下的变 换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到 ，我们称上述变换为向量向向量投影（project)，,叫做向量在向量上 的投影向量。 如图6.2-20（2），我们可以在平面内任取一点O，作=，=.过点M作直 线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量 探究 如图6.2-20（2)，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么 ，与,，，之间有怎样的关系？ 显然，与共线，于是 = 下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式.我们分为锐角、直角、钝角以及=0，=等情况进行讨论 当为锐角（图6.2-21（1)）时，与方向相同，=||=cos，所以 =|l=cos ； 当为直角（图6.2-21（2))时，=0，所以 == cos, 当为钝角（图6.2-21（3））时，与方向相反，所以 入 =-||=-||cos =-||cos()=cosθ 即 =|cosθ 图6.2-21 当=0时，入=|丨，所以 ==l|cos 0 当θ=时，入=一，所以 =-=cos 从上面的讨论可知，对于任意的，都有 =cos . 探究 从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性.这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？ 同学们学到这里可能有疑惑，因为这些结论都是循环推论，从原点出发又回到原点，所以产生不了有价值的新东西。其实只要同学们学了以后几节就会见识到向量的威力。同学们可能对结论(4)不太理解，我用具体简单的例子来套一下，见右图。 由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要 性质！ 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相 同的单位向量，则 (l)==llcosθ (2)=0 (3）当与同向时，·=：当与反向时， . 特别地，=或= 此外，由|cos|≤1还可以得到 (4）|l≤ 思考 如果 或=? 注意 数的乘法运算律： (1) 交换律 (2)(a 结合律 (a 结合律 (3)(a+b) 分配律 (4)a 消去律 问：是实数，而把实数a、b、c换成向量以上运算律还成立吗？ 与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律。 探究 类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？ 实数与向量积的运算律 设为实数，那么 (1)(）=() (2)(= (3) 对于交换律(1)运用向量内积定义即知，所以交换律(1)依旧满足。 对于结合律(2)我们用具体简单的向量套一下，如左下图，发现向量内积不满足结合律(2) 对于结合律,我们运用向量内积定义且用特殊值法即让再结合向量内积的几何图形，发现向量内积依旧满足结合律 对于消去律(4),向量内积不满足,如右下图。 对于分配律(3)向量内积依旧满足。 20 注： 向量数量积的运算律： ×。 对于向量实数有 (1) (2) (3) 其中， 是任意三个向量， 四、向量数量积的四种性质。 如果你觉得理解起来抽象，该怎办？ 答：用具体的向量来代入一下，这两个具体向量也可以取例9，再加画图来理解。 五、向量数量积的三条运算律哪几条可以利用定义来证明，很快的。哪一条用定义证明不行？同学们用定义证明是什么感觉？是不是觉得是天马行空找不到一个坚实的支撑点，空荡荡的？这就是抽象运算。 六、对于向量数量积的运算律，因为是实数满足交换律、结合律，加绝对值的性质，再根据定义，所以向量数量积也满足交换律、结合律。对于证明满足结合律比交换律要难许多。其实在证明结合律的时候取 ，具体值反而容易理解。 七、我们讲过世界是和谐的，虽然无奇不有，今天就是讲讲无奇不有。即三个向量的内积不满足结合律，即 ， 还有不满足消去律，即 ×。 总结： 下面我们利用向量投影证明分配率（3） 证明：如图6.2-22，任取一点O，作=，= ，=，=十 设向量，，与的夹角分别为，，它 们在向量上的投影向量分别为，，与 方向相同的单位同量为，则 =cos . =||cos , =+|cos 因为=，所以=．于是 =+=+ 即 cos =cos +cos 整理，得 （cosθ—||cos-||cos)= 所以 cos-||cos —||cos=0 即 ||cos θ=||cos +||cos 所以 |||cos=||cos +||||cos 因此 ··+·. 例11我们知道，对任意a，b∈R，恒有 =(a+b)(a-b)= 对任意向量，是否也有下面类似的结论？ （1）²=²+2·+²； (2)（）·()=-² 解：（l）（)²=（）·（） = =²+2·+²； ( = 因此，上述结论是成立的 例12已知l丨=6，=4，与的夹角为60°，求（）·（一3） 解：（+2）·（-3） =·一3·-+2·-6· =6 =²-cosθ-6 =6²-6×4×cos60°-6× =—72。 例13已知l｜=3，=4，且与不共线.当k为何值时，向量十k与一k 互相垂直？ 即 因为²=3²=9，²=4²=16， 所以 9—16k²=0 解得 k= ， 也就是说， 当k=士时：十k一k互相垂直 解：十k一k互相垂首的充要条件是 （十k一k）=O， 解法2：四边形OADK是平行四边形。 ,由已知得OD所以四边形OADK是菱形。 于是OK=3,所以. 因为向量与实数一样满足交换律、结合律、分配律，所以在形式上一样，本质上不一样。比如还有向量的和平方公式、平方差公式。但有些东西是形式不一样，本质一样。比如论坛上有句话，你换了马甲我就不认识你了。 对于因为向量因有运算律，所以不必每一步都根据向量数量积的定义。 一种是教材代数解法，但如果一题多解，还有种几何解法。我们都涉及。但几何解法比较难。所以几何解法我们用来验证。可这两种解法可以比较优劣。代数解法不知道本质，几何解法可以看出事物的本质。代数解法是垂直但不知道为什么垂直，几何解法却可以知道垂直为什么是垂直。 总结： 向量十k一k 互相垂直？ 例13已知l｜=3，=4，且 不共线.当k为何值时， $