第41期 5.2 简单的轴对称图形（答案见43期）-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（北师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理极 专题辅导 (2)如图4是示 意图，在(1)的条件 中专题川练 例析最短路径问题 下，如果在湖面上再新 1.某社区准备在街道（直线）旁修建一个 建一座观赏亭V,且游 ◎山西卢颂彤 牛奶站，向居民区A,B提供牛奶.如图1，已知 船路线为湖岸11的码 在几何学习与实际生活中，利用轴对称解 点A关于直线1的对称点为A',A4'与直线1相 头D→亭子M→亭子N→湖岸L2的码头C→ 最短路径问题应用广泛，下面让我们一起探索. 交于点C1,A'B与直线l相交于点C2,BC,⊥1于 湖岸1，的码头D.请在图4中画出当游船的路径 【基本模型】已知：如图1，点A和点B在直 点C3,C4是C,C3的中点，为了能使居民区A,B 最短时两个码头的位置 线同一侧.求作：直线L上一点P,使PA+PB的 到牛奶站的距离之和最短，则牛奶站应建在的 解析：本题主要考查了轴对称最短路径问 值最小 地方为 ( 题，多次利用轴对称将线段转移，化折为直，确 B A.点C,处 B.点C,处 定最短路径 A. C.点C3处 D.点C4处 (1)如图5，作亭子M关于湖岸L的对称点 M',亭子M关于湖岸L,的对称点M",连接M'M", 图1 图2 分别交湖岸L1,L,于点D,C.因为MD+MC+CD 解析：点A,B是定点，点P是动点，属于两 =M'D+M"C+CD,所以当点M',D,C,M"四点 定一动型，根据常见的“定点定线作对称”，可作 点A关于直线1的对称点A',根据两点之间，线 共线时，MD+MC+CD=M'M"最短，即为游船 图1 图2 段最短，连接A'B,此时A'P+PB即为A'B最短， 的最短路径，点C,D即为两个码头的位置 2.如图2，在等边三角形ABC中，AD是边 湖岸1 如图2，作点A关于直线的对称点A',连接 BC上的中线，E是AD上的一个动点，F是边AB A'B交I于点P,则点P即为所求 的中点，在点E的运动过程中，当BE+EF的值 【变式应用】某地发展旅游业，下面是该地 最小时，∠EBD的度数为 某村的一个旅游项目，请你根据要求设计相关 3.如图3，某花店的A0,B0旁分别放置百 内容 合花、玫瑰花，小轩从点C出发，先拿一束百合 ☒5 6 (1)如图3是示意图，游船从湖岸1，的码头 花，再拿一束玫瑰花，最后到D处结帐.请你帮 (2)如图6，作亭子M关于湖岸1，的对称点 D将游客送往亭子M停留观赏，然后将游客送 他确定最短路线（尺规作图，保留作图痕迹，不 往湖岸2的码头C,最后再回到码头D.请在图3 M,作亭子N关于湖岸，的对称点N,连接 写作法) 中画出当游船的路径最短时两个码头的位置. M'N',分别交湖岸l1,2于点D,C.因为MD+CD 百合花 湖岸 湖岸1 +NC+MN=M'D+CD+N'C+MW,所以当点 M',D,C,N'四点共线时，MD+CD+NC+MN= 玫瑰花 MN'+MW最短，即为游船的最短路径，点C,D D· 湖岸12 湖岸12 即为两个码头的位置. 图3 图+4+（同步练习见本期本版《专题小练》 图4 4.如图4，在△ABC中，AB=AC,BC=4, 第40期2版参考答案 二、9.①②：10.14；11.32°；12.9； △ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AB 5.1轴对称及其性质 13.80°；14.42°或63° 5.1.1轴对称的认识 三、15.图略. 于点E,交AC于点F.若D为BC边的中点，M为 基础训练1.B;2.B;3.④. 16.因为△AFE与△ABE关于AE成轴对称，所以 线段EF上的一动点，求△BDM周长的最小值 4.图略.5.图略. ∠AEB=∠AEF,∠B=∠AFE.因为∠B=∠D,所以 能力提高6.符合条件的点D有4个，图略 ∠AFE=∠D.所以FE∥CD.所以∠FEB=LC=72°. 5.1.2轴对称的性质 基础训练1.A;2.A;3.D;4.10°；5.13. 所以∠AEB=号∠BEF=36. 6.(1)图略. 17.(1)因为点E与点P关于OA对称，点F与点P (2)图略.△OCC1的面积为6 关于OB对称，∠OCP=∠F=20°，所以∠OCE= 7.(1)B,AC: ∠0CP=20°，∠DPF=∠F=20°.所以∠PCF=40. (2)图略，根据轴对称的性质得，点C与点E关于直 所以∠CPF=180°-∠F-∠PCF=120°.所以∠CPD 线MN成轴对称，线段CE被直线MW垂直平分. =∠CPF-∠DPF=100°. (3)由轴对称的性质，得∠CAF=∠EAF=39° (参考答案见1,4版中缝) (2)因为点E与点P关于OA对称，点F与点P关于 因为∠DAE=108°，所以∠DAC=∠DAE-∠CAF -∠EAF=30° OB对称，CP=DP,所以CE=CP=DP,DP=DF.所以DA'=DA,AA'⊥BC.因为点B关于AC边的对称点是 能力提高8.70,8 CE=DF.所以CF=CE+DE+DF=2CE+3=13.解B',所以BA=B'A.因为点C关于AB边的对称点是C', 9.(I)因为四边形ABCD是长方形，所以AD=BC, 得CE=5.所以CP=5. 所以AC=AC.在△ABC和△AB'C中，因为BA=B'A, ∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°.由折叠的性质，得GC 18.(1)25°，130°： ∠BAC=∠B'AC',AC=AC',所以△ABC≌△AB'C.所 =AD,∠G=∠D,∠GCE=∠A.所以GC=BC,∠G= (2)分两种情况： 以BC=B'C',∠B=∠C'BA.所以CB∥B'C.因为AD ∠B.因为∠GCF+∠ECF=90°，∠BCE+∠ECF= 当0°<a<60°时，由折叠可得，∠DEF=∠GEF 90°，所以∠GCF=∠BCE.所以△FGC≌ =a.所以∠DEG=2a因为AD∥BC,所以∠FGD'= 上BC,所以AE1B'C.所以BC·AD=B'C·AE △EBC(ASA). ∠DEG=2a,∠EFG=∠DEF=.又因为FC'∥GD', (2)△CEF是等腰三角形.理由如下： 所以∠GFC'=180°-∠FGD'=180°-2a.所以∠GFW 所以AD=AE.所以A'E=3AD.所以SABC=7B'C 因为△FGC≌△EBC,所以EC=FC.所以△CEF =180°-2a.所以∠NFE=∠GFN-∠EFG=180° 是等腰三角形 2a-a=180°-3a. A'E=3×(7AD·BC)=3SABc=3. (3)由折叠的性质，得S四地形cr=S达形DF·由(1) 当60°<a<90°时，如图1，同 2.因为AM∥BN,∠A=60°，所以∠ABW=180° 得△FGC≌△EBC,所以Sa△Fc=S△Ec·所以Sg边Bor 理可得，∠GFN=180°-2a, M ∠A=120°. =Sa边形ECF=S四边形BDF,又因为AB=8,AD=4,所以 ∠EFG=a.所以∠NFE=∠EFG B (1)因为BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,所以 S图边形cF=2S长方彩cD=2AB·AD=16, -∠GFW=a-(180°-2ax)=3a 图 -180°. LCBD LCBP LPBD =LABP+LPBN 第40期3版参考答案 题号12345678 综上所述，∠NFE的度数为180°-3a或3a-180°. 附加题1.连接AA'交BC于点D,延长A'A交B'C (∠ABP+∠PBN)=∠ABN=60 答案ACA DD B C C 于点E,图略.因为点A关于BC边的对称点是A',所以 (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话： 数浮极 2026年4月7日·星期二 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 41期总第1185期 北师大 0351-5271248 七年级 (上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-43 (2)因为AM BN,所以∠ACB 品味方法· ∠CBN.因为∠ACB= …本周庄饼… ∠ABD,所以∠ABD 等腰分类 巧解答 LCBN.所以∠ABD 5.2简单的轴对称图形 ∠CBD=∠CBN 学习目标：1.理解等腰三角形的概念，探 ∠CBD,即∠ABC= O江西 石文清 索等腰三角形、线段、角的轴对称性及其相 ∠DBN.因为BC平分 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三 解析：由于给出的边长没有指明是底边还 关性质 ∠ABP,BD平分 角形，同学们在求解有关等腰三角形的多解问 是腰，所以要分两种情况进行讨论 ∠PBN,所以∠ABC= 2.能用尺规作图作一条线段的垂直平分 题时，一定要注意对等腰三角形进行分类讨论， (1)当10cm是腰长时，则底边长为5cm, ∠ABN=30°. 线，过一点作已知直线的垂线，作一个角的 现举例说明如下， 满足三角形的三边关系，所以它的周长为：10+ (3)分两种情况： 平分线。 一、角不确定，按顶角和底角分类 10+5=25(cm); ①当点C'位于BN 上时，如图2，因为BC 例1已知等腰三角形的一个角等于70°， (2)当5cm是腰长时，则底边长为10cm, 认知重点：会应用等腰三角形、线段的 为∠ABP的平分线，所 求另外两个角的度数 不满足三角形的三边关系，不能构成三角形. 垂直平分线、角的平分线的性质解决问题 以∠ABC=∠CBP,因 解析：由于70°的角没有指明是底角还是顶 故选B. 为BC与BC'关于BP对 三、高不确定，按高的位置分类 角，所以要分两种情况进行讨论， 689 称，所以∠CBP 例3等腰三角形一腰上的高与另一腰的 LPBC',所以∠ABC= (1)当底角是70°时，等腰三角形的另外两 (2)当腰上的高在等腰 ∠CBP=∠PBC'= 夹角为46°，则该等腰三角形的一个底角的度数 个角的度数分别为70°和180°-70°×2=40°； 三角形的外部时，如图2 40°，所以∠NBD 为 因为∠ADB =90°，B 2∠PBC'=20,因为 (2)当顶角是70°时，等腰三角形的另外两 解析：由于本题没有给出图形，也没有指明 ∠ABD=46°， 图2 AM∥BN,所以∠ADB 个角的度数均为：7×(180°-70)=55°， 腰上的高是在三角形的内部，还是在三角形的 所以∠BAD=90°-∠ABD=44° =∠NBD=20°： 外部，所以需分两种情况进行讨论 因此，等腰三角形的另外两个角的度数分 (1)当腰上的高在等腰 所以∠BAC=180°-∠BAD=136°， 别为70°，40°或55°，55° 角形的内部时，如图1. 所以∠ABC=∠C= 二、边不确定，按腰和底边分类 2(180°-∠BAC)= 因为∠ADB=90°，∠ABD 例2已知等腰三角形的一边长为10cm, =46°， 图2 另一边长为5cm,则它的周长为 ( 所以该等腰三角形的一个底角的度数为 ②当点D'位于射 所以∠A=90°-∠ABD=44° A.20 cm B.25 cm 68°或22°. 线BA上时，如图3，同 所以∠ABC=∠C= ①可得：∠DBN C.20cm或25cm D.18 cm 2(180° -∠A) 故填68°或22° ∠PBD=∠ABP 40°，因为AM∥BN,所 课堂在线 ∠CDF,BD=CD,∠B=∠DCF 以∠ADB=∠DBN= 所以△BED≌△CFD(ASA) 直缶“三线合 所以BE=CF. 例3如图4，在 ⊙四川刘泽梦 △ABC中，AB=AC, “三线合一”是等腰三角形所特有的性质 解：因为AB=AC,AD⊥ ∠BAC=100°，中线 图3 即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底BC,所以BD=CD. AD与角平分线BE相 综上所述，20°< 边上的高重合 所以SAAc=2S△ABD= 交于点F,求∠AFE的度数， ∠ADB<40°. 该性质其实包括以下三方面的内容： 本期《专题小练》 如图1，在△ABC中，AB 2× 2AB·DE=2.5AB 解：因为AB=AC,∠BAC=100°，所以 参考答案 =AC,D是BC上的一点. ∠ABC=∠C=(180-∠BM0)=40e 1.B;2.30° (1)若AD是等腰 又因为SABc= AC·BF,所以2AC·BF 3.图略. △ABC底边BC上的中线，那 =2.5AB 因为BE是△ABC的角平分线，所以∠CBE 4.连接AD,AM,图 略.因为AB=AC,点D 么AD是顶角∠BAC的平分 =2LABC=209 是BC边的中点，BC 线，也是底边BC上的高， 因为AC=AB,所以BF=2.5. 4,所以AD⊥BC,BD (2)若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平 所以BF=5cm 因为AB=AC,AD是△ABC的中线，所以 Bc=2.所以5a 分线，那么AD是底边BC上的中线，也是底边 故填5. ∠BDA=90°. BC上的高. =2BCAD= 例2如图3，在△ABC中，AB 所以∠BFD=90°-∠CBE=70°. (3)若AD是等腰△ABC底边BC上的高， =AC,AD是∠BAC的平分线，交 4AD=12.解得AD=6. 由对顶角相等，得∠AFE=∠BFD=70° 那么AD是顶角∠BAC的平分线，也是底边BC 因为EF是线段AB的垂 BC于点D,点E是AB上一点，作 上的中线 直平分线，所以AM= BM.所以BM+MD的最 “三线合一”的性质给我们提供了说明角相 ∠DCF=∠ACB,交ED延长线于 点F.试说明：BE=CF 热身练习 小值为AD.所以△BDM 等、直线垂直、线段相等的新思路和新方法.在 周长的最小值为：AD+ 解答一些与图形有关的问题时，要注意灵活运 解：因为AB=AC,AD是 如图5，在△ABC中， BD=&. 用它，下面举例来说明这一性质的重要应用. ∠BAC的平分线，所以∠B 例1如图2，在△ABC中，AB=AC,AD1∠ACB,BD=CD. AB=AC,AD是BC边上 BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F若 因为∠DCF=∠ACB,所以∠DCF=∠B. 的中线.已知∠BAD= DE=2.5cm,则BF= cm 在△BED和△CFD中，因为∠BDE=60°，则∠C= 2 素养专练 人 数理极 5.2.3角的对称性及角平分线的性质 跟踪训练 垦础训练 】 gEnzoNGXUNLIAN 1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD是 5.2简单的轴对称图形 ∠BAC的平分线，交BC于点D.若BC=5,BD= 5.2.1等腰三角形 3,则点D到AB的距离是 A.2 B.3 C.4 D.5 垦础训练 1.等腰三角形的一个底角为40°，则这个等腰 三角形的顶角为 ( 5.2.2线段的对称性及垂直平分线 A.50°B.65° C.80° D.100° 垦础训练 2.如图1，在△ABC中，AB= AC,AD⊥BC于点D,BD=4,则 1.如图1，线段AC的垂直平分线交AB于点D, BC的长是 ( ∠A=48°，则∠ADC的度数为 ( 2.如图2，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC A.8 B.6 A.48° B.96° C.90° D.84° 于点D,DE L BC于点E,则AD与DE的数量关系 C.4 D.2 为 ( 3.如果等腰三角形的两边长 A.AD DE B.AD DE 客1 分别为3cm,7cm,那么它的周长为. m C.AD>DE D.不确定 4.如图2，在等边△ABC 3.角是轴对称图形，它的对称轴是 中，D为BC边上的中点，以点A 线段是轴对称图形，它的对称轴是 为圆心，AD长为半径画弧，与 图1 图2 4.如图3，已知△ABC的面积 AC边交于点E,连接DE,则 2.如图2，某居民小区在三栋住宅楼A,B,C之是21，B0,C0分别平分∠ABC和 ∠ADE的度数为 间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部∠ACB,OD1BC于点D,且OD= 5.如图3，AD,CE分别是 修建了一个凉亭P.若点P到点A,B,C的距离相3，则△ABC的周长为 △ABC的中线和角平分线，AB=AC. 等，则点P是△ABC的 ( ) 5.如图4，在△ABC中，AD是B A.三条角平分线的交点 它的角平分线，P是AD的延长线 图3 (1)若△ABC的面积是20，且BC=4,求AD 的长； B.三条高的交点 上一点，PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于 (2)若∠CAD=20°，求∠CAB和∠ACE的度 C.三边垂直平分线的交点 点F.试说明：点D到PE和PF的距离相等 数 D.三条中线的交点 3.如图3，在△ABC中，DE是线段BC的垂直 平分线，点F是线段AC的中点，其中CF=5,AB= 8,则△ABE的周长为 E 图3 图4 4.如图4，在△ABC中，边AB的垂直平分线 EF分别交边BC,AB于点E,F,过点A作AD⊥BC 6.如图5，在△ABC中，∠C=90. (1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点 能刀提高 于点D,且D为线段CE的中点若∠C=80°，则 ∠BAC的度数为 D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写 6.如图4，用两条线段，将一个顶角为36°的等 5.如图5，已知△4BC. 作法和证明)； 腰三角形分成了三个小等腰三角形，并标出了三 (1)用尺规作BC边的垂直平分线MN,交AC (2)若CD=3,AB+BC=16,求△ABC的面 个小等腰三角形顶角的度数 边于点D,交BC边于点E(点M在AC的上方，不写积 (1)请你仿照图4的方法，在图5中，用两种不作法，保留作图痕迹)； 同的分割方法将顶角为45°的等腰三角形分成三 (2)连接BD,若CE=4,△BDC的周长为18， 个小等腰三角形； 求BD的长； (2)在△ABC中，∠B=30°，请用线段AD和 (3)若∠ADM=60°，∠ABD=20°，求∠A的 DE(点D在BC边上，点E在AC边上)将△ABC分度数 成三个小等腰三角形，且AD=BD,DE=CE. ①试仿图4，在备用图中，画出示意图； ②求出∠C的所有可能度数， 图5 108 36 108° 图4 能刀提高 6.已知C,D两点在线段AB的垂直平分线上， 且∠ACB=40°，∠ADB=70°，则LCAD的度数为 数理报社试题研究中心 备用图1 备用图2 （参考答案见43期) 数理极 素养·测评 5 16.(10分)如图15，AD平分∠BAC,BF⊥AC 同步达标检测题（十） 于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D,试说 明：DB=DC. TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 【检测范围：5.2】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） :A2D上任取一点E,延长AA2到A3,使A2A3=A2E, 2345 1 图1 题号1 6 P 得到第3个△A,A,E…按此做法继续下去，则第 2026个三角形的底角度数是 答案 A.(2)2×75 (分x75 1.等腰三角形的一个内角为110°，则这个等 腰三角形的底角的度数是 C.(3)20s×650 17.(12分)如图16,0E,0F分别是AC,BD的 A.35 B.55 D.(2)2@×65 垂直平分线，垂足分别为E,F,且AB=CD,∠ABO C.35°或55 D.110° 二、细心填一填（每小题4分，共24分） =79°，∠CDB=38°，求∠DOF的度数 2.如图1，为了让电线杆垂直于地面，工程人 9.如图8，DE是△ABC的边AC的垂直平分 线，若BC=9,AD=4,则BD= 员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉 两条长度相等的固定绳AB和AC,当固定点B,C到 脚杆E的距离相等，点B,E,C在同一直线上时，电 线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的 依据是 A.等边对等角 B.垂线段最短 C.等腰三角形的“三线合一” 图8 D.DE是BC的垂直平分线 10.如图9，在等边三角形ABC中，AD⊥BC 18.(14分)在△ABC中，AB=AC. 垂足为点D,点E在线段AD上，∠EBC=45°，则 (1)AD是BC上的高，AD=AE. D ∠ACE= ①如图17，如果∠BAD=20°，则∠EDC= 11.如图10，在△ABC中，AB=7,AC=6,AD 平分∠BAC,DE⊥AC于点E,DE=2,则△ABC的 ②如图18，如果∠BAD=50°，则∠EDC= 面积为 (2)思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与 图1 图2 ∠EDC之间有什么关系？请用式子表示： 3.如图2，在△ABC中，点M为BC上一点，AB =AM=MC,LB=50°，则∠C的度数为( (3)如图19，如果AD不是BC上的高，AD= A.25° B.30° C.35° D.40° D AE,是否仍有上述关系？请说明理由. 4.如图3，△ABC是等边三角形，AB=6,BD 图10 图11 是∠ABC的平分线，延长BC到点E,使CE=CD 12.如图11，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 则BE的长为 ( 120°，AD是边BC上的中线，点M为AC上一点，且 A.7 B.8 C.9 D.10 CM=CD,则∠ADM= 13.如图12，在△ABC中，∠BAC=105°，AD 网17 M ⊥BC,垂足为点D.若AB+BD=CD,则∠B的度 数为 图3 图4 5.如图4，在△ABC中，分别以顶点A,B为圆 心，大于)AB的长为半径画弧，两弧相交于点M, 图12 图13 14.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°，将 N,连接MN,分别与边AB,BC相交于点D,E.若AD -块足够大的直角三角尺PMN(∠M=90° =4,△AEC的周长为17，则△ABC的周长为 ∠MPN=30°)按如图13所示放置，顶点P在线段 AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C,并 A.20 B.21 C.25 D.30 且与CB的夹角∠PCB=,斜边PN交AC于点D. 附加题⊙ 6.如图5，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC 在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则 和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直，若AD=8,则夹角a的大小是 (以下试题供各地根据实际情况选用) 点P到BC的距离是 1.(10分)如图1，在△ABC中，l是AB的垂直 三、耐心解一解（共44分） A.2 B.4 C.6 D.8 15.(8分)如图14,0M,0N是两条马路，点A, 平分线，与边AC交于点E,点D在1上，且DB= DC,连接AD. B处是两个居民小区.现要在两条马路之间的空场 (1)试说明：∠CAD=∠ACD; 处建活动中心P,使得空场动活中心P到两条马路 (2)连接BE,若BD⊥CD,试说明：BE⊥AC 的距离相等，且到两个小区的距离也相等.请利用 C 尺规作图确定点P的位置，不写作法，保留作图痕 迹 图5 7.如图6，在△ABC中，AB=5,BC=10,AC =9,MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上 图1 图2 一动点，则△ABD的周长的最小值为 ( 空场 2.(10分)如图2，在△ABC中，∠BAC= A.10 B.12 C.14 D.15 B· 120°，AD,BE为△ABC的角平分线，连接DE. 8.如图7，在第1个 M 图14 (1)试说明：点E到DA,DC的距离相等； △ABC中，∠B=30°， A,B=CB;在边A,B上任 D (2)若点E到AB的距离为4，求点E到DA与 DC的距离和. 取一点D,延长CA,到 A2,使AA2=AD,得到 …A4A3A A 数理报社试题研究中心 第2个△AA2D；在边 图7 (参考答案见43期)